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Full text of "Correspondance d'Hermite et de Stieltjes. Publiée par les soins de B. Baillaud [et] H. Bouget, avec une préf. de Émile Picard"

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CORRESPONDANCE 

D'HERMITE  ET  DE  STIELTJES. 


28427  PARIS.    —     IMPIUMERIE     G  A  U  T  H  I  li  R -V  I  LL  A  R  S 

Quai  des  Grands-Augustiiis,  55. 


?.2-1901 


1856   -  1894 


CORRESPONDANCE 


D'HERMITE  ET  DE  STIELTJES 


PUBLIÉE  PAR  LES  SOINS 


B.  BAILLAUD, 

Doyen  honoraire  de  la  Faculté 

des  Sciences, 

Directeur  de  l'Observatoire  de  Toulouse. 


H.  BOURGET, 

Maître  de  Conférences  à  l'Université, 

Astronome  adjoint 

à  l'Observatoire  de  Toulouse. 


Avec  une  préface  de  Emile  PICARD, 

Membre  de  l'Institut. 

TOME  1. 

(8  NOVEMBRE   1882  —  22  JUILLET  1889.) 


^1  frv 


PARIS, 
GAUÏHIER-VILLARS,  IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

DU     BUREAU     DES     LONGITUDES,     DE     l'ÉCOLE     POLYTECHNIQUE, 
Quai  des  Grands-Augustins,  55. 

1905 

Tous  droits  réservés.) 


t.! 


INTRODUCTION. 


On  sait  quelle  place  tint  dans  la  vie  scientificjue 
d'Hermite  sa  correspondance  avec  des  savants  français 
et  étrangers.  C'était  pour  lui  un  délassement  que  de 
se  livrer  en  toute  confiance  à  de  longues  causeries 
épistolaires,  heureux  tout  à  la  fois  de  faire  profiter 
ses  amis  et  ses  élèves  des  remarques  suggestives  aux- 
quelles l'avaient  conduit  ses  réflexions,  et  de  solliciter 
des  éclaircissements  en  se  faisant  écolier.  D'ailleurs, 
même  pour  les  Mémoires  publiés  dans  les  journaux 
scientifiques,  la  forme  épistolaire  avait  toujours  eu 
sa  prédilection.  Ses  travaux  ont  souvent  paru  sous 
forme  de  lettres,  rappelant  le  nom  de  ses  nombreux 
correspondants;  il  trouvait  ainsi  moyen  d'associer  la 
science  et  l'amitié. 

Aucune  correspondance  d'Hermite  ne  fut  plus 
suivie  ni  plus  abondante  que  celle  qu'il  avait  com- 
mencée en  1 882  avec  un  astronome  adjoint  de  l'Obser- 
vatoire   de   Leyde,   Thomas  Siieltjes.    Le    souci   des 


INTRODUCTION. 


mêmes  problèmes  et  une  même  tournure  d'esprit  atti- 
rèrent Hermite  vers  Stieltjes,  et  une  vive  sympathie 
s'établit  vite  entre  le  jeune  débutant  et  le  vétéran  de 
la  Science.  I.a  mort  de  Stieltjes,  arrivée  prématu- 
rément en  i8(j4,  put  seule  interrompre  cette  corres- 
pondance, unique  peut-être  dans  l'histoire  de  la 
Science.  Relisant,  après  ce  triste  événement,  la  longue 
série  de  lettres  du  géomètre  éminent  pour  qui  il  avait 
une  si  affectueuse  estime,  Hermite  pensa  qu'il  impor- 
tait à  la  mémoire  de  Stieltjes  que  ce  témoignage  de 
son  activité  et  de  son  génie  mathématiques  ne 
disparût  point.  Il  était  impossible  de  publier  les 
lettres  de  Stieltjes  sans  publier  celles  d'Hermite, 
tant  leur  collaboration  avait  été  intime  ;  les  amis 
de  Stieltjes  eurent  ici  à  vaincre  quelque  résistance 
d'Hermite,  qui  finit  cependant  par  se  décider  à 
laisser  paraître  renseml)le  de  la  Correspondance. 
M.  Gauthier- Villars  voulut  bien  se  charger  de  cette 
publication. 

M.  Baillaud  et  M.  H.  Bourget,  qui  avaient  beau- 
coup connu  et  beaucoup  aimé  leiu'  collègue  de  la 
Faculté  des  Sciences  de  Toulouse,  entreprirent  tout 
d'abord  la  collation  des  lettres  et  firent  quelques 
coupures  nécessaires.  Prenant  à  cœur  la  perfection 
de  cette  édition,  ils  reprirent  ensuite  les  calculs,  là 
où  il  leur  parut  nécessaire,  et  ajoutèi^eut  des  \otes 


IMUODUCÏION.  Vil 

et  des  éclaircissements.  Le  manuscrit  était  presque 
entièrement  prêt  à  la  mort  d'Hermite,  qui  avait  suivi 
le  travail  de  re vision.  Tous  les  amis  et  les  admirateurs 
d'Hermite  et  de  Stieltjes  remercieront  MM.  Baillaud 
et  Bourget  du  soin  et  du  dévouement  qu'ils  ont 
apportés  à  cette  œuvre,  qui  comptera  deux  Volumes. 
Il  manque,  hélas!  une  chose  au  Volume  qui  va 
paraître.  Hermite  avait  promis  d'écrire  une  Intro- 
duction, où  il  eût  mis  sans  doute  en  pleine  lumière 
l'originalité  du  talent  de  Stieltjes.  Il  n'appartient  à 
personne  de  tenir  aujourd'hui  la  plume  à  sa  place. 
L'affinité  mathématique  était  complète  entre  ces  deux 
grands  esprits.  Une  grande  partie  de  la  Correspon- 
dance a  un  caractère  arithmétique;  c'est  le  vir 
arithmetlcas ,  comme  aurait  dit  Jacobi,  qu'Hermite 
affectionnait  surtout  en  Stieltjes.  Cet  arithméticien 
ne  reste  pas  seulement  sur  les  sommets  à  contempler 
les  choses  de  loin  et  de  haut  ;  il  descend  dans  le  fond 
des  vallées  et  y  recueille  des  applications  numériques 
d'où  il  sait  ensuite  tirer  des  remarques  générales. 
Quelle  joie  ce  fut  pour  Hermite  que  de  rencontrer 
un  correspondant  si  perspicace  s 'intéressant  aux  ques- 
tions d'approximations,  auxquelles  il  avait  lui-même 
consacré  une  grande  partie  de  son  labeur  scienti- 
fique,-en  particulier  aux  quadratures  approchées  et 
aux  fractions  continues  algébriques.  On  retrouve  chez 


VIII  INTRODICTION. 

Stieltjes,  à  l'apogée  de  son  talent,  le  calculateur  qu'il 
avait  été  jadis  à  l'Observatoire  de  Leyde;  c'est  un  des 
côtés  de  son  originalité . 

On  est  émerveillé  aussi  de  la  rapidité  avec  hujuelle 
il  répond  aux  questions  ([ue  lui  pose  Hermite  et 
tiouve  des  démonstrations  ingénieuses  et  profondes 
aux  théorèmes  qui  lui  sont  énoncés.  Nous  voyons 
en  même  temps  le  champ  de  ses  études  s'agrandir 
peu  à  peu  ;  ses  recherches  sur  une  transcendante 
envisagée  par  Riemann  le  font  pénétrer  profondément 
dans  la  théorie  des  fonctions.  Que  de  beaux  travaux 
il  eût  faits  encore  en  portant  dans  cette  voie  ses 
préoccupations  arithmétiques  et  algébriques,  si  sa 
carrière  n'avait  pas  été  si  prématurément  brisée! 
C'est  ce  dont  témoigne  assez  son  dernier  Mémoire, 
sur  les  fractions  continues  algébriques,  (pii  est  assu- 
rément un  chef-d'œuvre. 

La  Correspondance  d' Hermite  et  de  Stieltjes 
n'intéressera  pas  seulement  les  analystes.  En  même 
temps  que  deux  géomètres  de  premier  ordre,  on  y 
voit  deux  beaux  caractères.  Quelle  simplicité  et 
quelle  franchise  entre  le  maître  et  le  disciple,  ou 
plutôt  entre  les  deux  amis!  Quelle  confiance  afl'ec- 
tueuse  chez  l'un  et  chez  l'autre!  On  est  réconforté 
par  la  lecture  de  ces  pages,  oii  ne  se  môle  aucune 
préoccupation  personnelle,  et  où  chacun  va  jusqu'au 


INTliODUCïION. 


bout  de  sa  pensée.  Il  semble  aussi,  et  e'est  une 
curieuse  impression  laissée  par  ces  lettres,  que  sous 
cette  forme  plus  personnelle  le  langage  abstrait  de 
l'Analyse  perde  de  sa  sécheresse  et  que  la  Mathé- 
matique y  devienne  plus  humaine.  On  n'oubliera 
pas  enfui  que  c'est  à  l'amitié  développée  par  cette 
correspondance  que  nous  devons  de  pouvoir  compter 
Thomas  Stieltjes  parmi  les  géomètres  français  les  plus 
éminents  4e  la  seconde  moitié  du  xix*'  siècle. 

Emile    PICARD. 


NOTICE  SUR  STIELTJES 


(M 


Thomas-Jean  Stieltjes  naquit  en  Hollande,  dans  la  petite 
ville  de  Zwolle,  le  29  décembre  i856. 

Son  père,  Thomas-Jean  Stieltjes,  était  un  homme  de 
haute  valeur.  D'esprit  libre  et  indépendant,  d'une  volonté 
inflexible,  il  avait  une  remarquable  grandeur  de  vues.  A 
vingt-quatre  ans,  lieutenant  du  génie  dans  l'armée  hollan- 
daise, il  publia,  sous  le  couvert  de  l'anonymat,  des  conseils 
touchant  la  défense  stratégique  des  Pays-bas.  La  maturité 
de  ces  conseils  les  fît  attribuer  à  quelque  chef  de  corps. 
Stieltjes  ne  s'en  déclara  Fauteur  que  beaucoup  plus  tard, 
dix-huit  mois  avant  sa  mort.  Plus  tard,  ingénieur  civil,  il 
fut  chargé  d'organiser  la  canalisation  de  la  partie  orientale 
de  la  Hollande,  puis  d'une  mission  de  deux  ans  et  demi  à 
Java,  pour  étudier  les  moyens  de  transport  et  dresser  le  plan 
du  réseau  des  chemins  de  fer  de  l'ile,  plan  entièrement 
exécuté  aujourd'hui.  Sa  forte  personnalité  s'accommoda  mal 

(')  Je  dois  les  éléments  de  cette  Notice  à  l'extrême  obligeance  de 
M'""  Stieltjes. 

Je  tiens  à  remercier  aussi  M.  E.  F.  van  de  Sande  Bakliuyzen,  qui  fut  l'ami 
et  le  collègue  de  Stieltjes  à  l'Observatoire  de  Leyde,  des  renseignements 
précieux  qu'il  m'a  donnés. 

Dans  les  pages  qui  suivent,  j'ai  systématiquement  laissé  de  côté  l'analyse 
des  travaux  de  Stieltjes,  renvoyant  le  lecteur  à  l'excellente  Notice  publiée 
sur  ce  sujet  par  M.  E.  Gosserat  dans  les  Annales  de  la  Faculté  des 
Sciences  de  T'nuloitse,  t.  I\,  1895. 


xii  NOTICE  srit  STii:i.TJi:s. 

avec  sa  situation  de  fonctionnaire.  Des  intrigues  politiques, 
suscitées  par  son  excès  d'honnêteté,  le  firent  tomber  en 
disgrâce  et  rappeler  en  Hollande,  six  mois  avant  la  fm  de 
sa  mission. 

Les  fonctions  de  député  que  lui  confièrent  successivement 
les  villes  de  ZwoUe  et  d'Amsterdam  n'entravèrent  en  rien  son 
activité  d'ingénieur.  Il  fit,  à  cette  époque,  pour  l'Allemagne, 
un  plan  du  canal  reliant  actuellement  la  mer  du  Nord  à  la 
Baltique.  Il  s'occupa  d'un  projet  de  dessèchement  d'une 
partie  du  Zuyderseeet  construisit,  à  Rotterdam,  le  beau  port 
de  la  rive  gauche  de  la  Meuse.  Cette  oeuvre  difficile  et  pleine 
de  hardiesse  lui  permit  de  donner  toute  la  mesure  de  son 
talent  d'ingénieur.  Il  mourut  en  1878.  On  peut  voir  dans  la 
Noordereiland,  sur  la  Burgemeester  Hoffm an-Plein,  au 
centre  du  quartier  qu'il  a  créé,  le  monument  que  lui  ont 
élevé  ses  amis  et  ses  admirateurs.  Il  fut  un  type  accompli  de 
la  forte  race  hollandaise  et  son  fils  hérita  de  sa  hauteur 
d'esprit  et  de  ses  principes  inflexibles  de  droiture. 

Thomas-Jean  Stieltjes,  junior  (comme  il  signait  ses 
premiers  Mémoires),  passa  ses  années  d'enfance  avec  ses 
parents  dans  les  villes  où  son  père,  alors  ingénieur,  fut  obligé 
de  séjourner.  Il  acheva  ses  études  au  lycée  de  Delft  et  entra 
en  1873  à  l'Ecole  Polytechnique  de  cette  ville.  Malgré  sa 
supériorité,  déjà  reconnue  par  ses  maîtres  et  ses  condis- 
ciples, il  en  sortit  sans  son  diplôme  d'ingénieur.  Il  iTavait 
pu,  à  deux  reprises  (187,5,  i87()),  surmonter  Taversion  (jue 
lui  inspirèrent,  toute  sa  vie,  les  concours. 

M.  H. -G.  van  de  Sande  Bakhuyzen,  directeur  de  lObser- 
vatoire  de  Leyde,  ami  de  son  père,  le  fit  entrer  à  l'Obser- 
vatoire  en   avril    1877.    Il    fut    allaché   officiellement    à   cet 


NOTICE    SUR    STIELTJKS.  XIII 

établissement  comme  «  aide  aux  calculs  astronomiques  »  le 
I*"'  décembre  de  la  même  année.  Au  mois  de  février  1878, 
après  le  départ  de  M.  J.-G.  Kapteyn  pour  Groningue,  il 
fut  convenu  qu'il  prendrait  part  aux  observations.  Stieltjes 
eiiti-a  donc  au  service  méridien  et  collabora  avec  MM.  E.  F. 
van  de  Sande  Bakhuyzen  et  Wilterdink  aux  travaux  entrepris 
par  rObscrvatoire  à  cette  époque,  à  savoir  :  un  catalogue 
d'étoiles  voisines  du  pôle,  l'observation  d'étoiles  fondamen- 
tales des  zones  sud  et  l'étude  des  erreurs  systématiques  du 
cercle  méridien.  Il  aidait,  en  même  temps,  à  la  réduction  des 
déclinaisons  des  étoiles  fondamentales,  observées  de  1864  à 
1874,  et  prenait  part,  en  un  mot,  au  travail  général  de  l'Ob- 
servatoire, 

Tout  d'abord  il  se  sentit  dans  un  milieu  qui  convenait 
à  son  esprit,  naturellement  porté  aux  études  particulières  et 
minutieuses  qu'exige  l'Astronomie.  L'étonnante  intensité  de 
travail  dont  il  était  capable  le  rendit  bien  vite  maître  des 
procédés  de  calcul  et  des  méthodes  d'observations.  L'étude 
de  la. Mécanique  céleste  et  des  Mathématiques  pures  occupait 
ses  moments  de  liberté.  Mais,  à  mesure  que  ses  recherches 
personnelles  se  développaient,  Stieltjes  prenait  de  plus  en 
plus  conscience  de  sa  vocation  exclusive  pour  les  travaux 
théoriques.  L'Astronomie,  qu'il  avait  jusqu'alors  regardée 
comme  l'objet  de  sa  vie  scientifique,  lui  apparut  insensible- 
ment comme  un  obstacle  au  complet  développement  de  ses 
études  préférées. 

La  nécessité  pour  son  esprit  de  prendre  une  décision  et 
l'impossibilité  où  il  était,  sans  doute,  delà  prendre  conforme 
à  ses  goûts,  lui  fit  traverser  une  sorte  de  crise  de  réserve 
extrême  et  d'inquiétude,  hésitant  sur  ce  qu'il  devait  faire, 


XIV  NOTICE    SLK    STIKLTJKS. 


parlant  même  à  ses  collègues  d'aller  vivre  pauvrement  en 
Amérique,  pour  étudier  aux  côtés  de  Sylvester. 

L'heureux  événement  de  ses  fiançailles  avec  M"^  Elisabeth 
Intveld  fît  cesser  ses  hésitations,  en  ouvrant  pour  lui  une 
période  de  bonheur.  Ses  idées  originales  se  développent  et 
les  travaux  se  succèdent  rapidement.  J^' Académie  d'Am- 
sterdam imprime,  dans  ses  Mémoires,  son  étude  sur  la  for- 
mule d'interpolation  de  Lagrange;  nos  Comptes  rendus 
insèrent  sa  démonstration,  si  intéressante  pour  nous,  des 
propriétés  des  polynômes  Hansen-Tisserand  :  Les  proposi- 
tions découvertes  par  Tisserand  étaient  cachées;  il  en  a  été 
donné  depuis  des  démonstrations  simples;  aucune  n'est  plus 
ingénieuse  que  celle  de  Stieltjes  montrant  le  lien  qui  rattache 
cette  question  à  la  théorie  du  potentiel  dans  un  espace  à 
quatre  dimensions.  Cette  démonstration  le  mit  en  rapport 
avec  Hermite,  et  la  correspondance  que  nous  publions, 
M.  Baillaud  et  moi,  montre  mieux  que  je  ne  saurais  le  dire 
quelle  affinité  mathématique  ces  deux  esprits  avaient  l'un 
pour  l'autre.  Ces  relations  furent  l'origine  d'une  commune 
amitié,  très  chère  des  deux  côtés. 

Le  i'^''  janvier  i883,  son  directeur,  qui  connaissait  toute 
sa  valeur,  le  dispensa,  sur  sa  demande,  des  observations.  Il 
s'occupa,  chez  lui,  de  la  réduction  des  observations  de  la 
difTérence  de  longitude  Leyde-Greenwich,  et  commença 
même  la  réduction  de  ses  propres  observations.  De  sep- 
tembre à  décembre  i883,  il  suppléa  van  den  Berg  à  l'Ecole 
Polytechnique  de  Delft.  Enlin,  le  i""  décembre  i883,  il 
donna  sa  démission  d'astronome  à  l'Observatoire. 

11  était  désormais  tout  aux  Mathématiques. 

Les  études  qu'il   fit  pendant   ce  séjour  de  six  années  à 


NOTICE    SUR    STIRLTJES.  XV 

l'Observatoire  semblent  avoir  exercé  une  influence  prépon- 
dérante sur  la  formation  de  son  esprit.  Il  y  puisa  cet  attrait 
pour  l'examen  approfondi  des  questions  particulières,  cette 
habileté  dans  le  maniement  des  formules  algébriques  et  leur 
adaptation  au  calcul  numérique  et  l'art  même  de  ce  calcul 
qui  se  manifestent  dans  tous  ses  travaux.  Il  prit  l'habitude  de 
contrôler  ses  inductions  par  de  nombreux  exemples,  déve- 
loppés à  fond,  poussant  parfois  très  loin  et  comme  avec 
amour  les  calculs  numériques.  Cette  méthode  de  recherche, 
que  nous  admirons  chez  Gauss,  est  d'une  singulière  puis- 
sance quand  celui  qui  l'emploie  est  assez  clairvoyant  pour 
démêler  les  lois  générales  à  travers  les  particularités  de 
l'exemple.  Elle  semble  avoir  été,  chez  Stieltjes,  le  nerf  de  la 
découverte.  On  peut  dire,  sans  exagération  je  crois,  que 
toutes  les  vérités  analytiques  qu'il  a  fait  connaître  ont  été 
découvertes  avant  d'être  démontrées.  Une  démonstration 
rigoureuse  de  la  vérité,  ainsi  révélée  par  l'expérience,  est  le 
complément  nécessaire  d'une  telle  méthode  :  Stieltjes  ne  l'a 
jamais  oublié.  Son  esprit  si  fin  et  si  perspicace  dans  l'inven- 
tion ne  l'était  pas  moins  dans  l'examen  de  la  rigueur  d'une 
démonstration.  Maints  passages  des  lettres  à  Hermite  mon- 
trent quels  étaient  ses  scrupules  et  ses  exigences  en  ces  ma- 
tières. Ses  conversations  faisaient  deviner  le  grand  nombre 
des  phénomènes  mathématiques  intéressants  qu'avaient  mis 
en  lumière  ses  patients  calculs.  i\e  possédant  pas  de  démons- 
tration rigoureuse,  mais  seulement  la  conviction  morale  de 
leur  généralité,  il  ne  les  publiait  pas.  Il  les  conservait  cepen- 
dant, soigneusement  annotés.  Cette  réserve  laisse  soupçonner 
les  richesses  contenues  dans  les  papiers  qu'il  a  laissés. 

Cette  méthode,  qui  implique  un  labeur  énorme,  a  imprimé 


XVI  NOTICE    SUR    STIELTJES. 

aux  travaux  de  Stieltjes  le  cachet  qui  leur  est  propre.  On 
a,  en  les  lisant,  Timpression  qu'on  arrive,  sans  grand  appareil 
de  formules  et  comme  par  le  seul  effort  de  la  pensée,  par  la 
voie  la  plus  simple,  à  des  propositions  cachées. 

Marié  depuis  le  mois  de  mai  i(S83  à  une  femme  digne  de 
lui,  stimulé  par  l'appui  et  les  conseils  d'Hermite,  tout  à  ses 
éludes  favorites,  son  activité  durant  les  années  f883,  i884, 
i885  fut  considérable.  Les  conceptions  ingénieuses  et  les 
idées  neuves,  germes  des  travaux  qu'il  aurait  achevés  sans  sa 
mort  prématurée,  se  multiplient.  Ses  belles  recherches  sur 
les  résidus  cubiques  et  biquadratiques,  sur  la  décomposition 
d'un  nombre  en  cinq  carrés,  sur  la  densité  intérieure  de  la 
Terre  et  le  commencement  de  ses  études  sur  les  quadratures 
mécaniques  et  les  fractions  continues  algébriques  datent  de 
cette  époque.  Ces  travaux  lui  font  conférer  le  grade  de 
docteur,  hojioiis  causa,  de  l'Université  de  Leyde.  L'Aca- 
démie d'Amsterdam  lui  ouvre  ses  portes. 

Présenté  en  première  ligne  pour  la  chaire  de  calcul  inti- 
nitésimal  de  Groningue,  il  n'est  cependant  pas  nommé.  Avec 
sa  modestie  extrême,  il  écrit  à  Hermite  qu'il  n'avait  peut- 
être  pas  les  grades,  nécessaires.  11  sentit  pourtant  très  vive- 
ment cet  échec.  La  décision  de  son  caractère  lui  lit  prendre, 
non  sans  quelque  peine  sans  doute,  le  parti  de  quitter  la 
Hollande  où  tant  de  liens,  cependant,  le  retenaient.  Il  vint 
s'installer  à  Paris  au  mois  d'avril  r885. 

Devons-nous  déplorer  cet  échec,  malgré  ce  que  nous  en 
pouvons  penser?  Il  nous  a  donné  Stieltjes  et  contribué  ainsi 
à  l'honneur  de  la  science  française  de  notre  époque. 

A  Paris,  il  commence,  en  vue  d'une  thèse,  l'étude  de  la 
fonction  C(-sj  de  Kiemanu,  puis,  sans  en  donner  les  motifs, 


NOTICE    SUR    STIELTJES.  XVII 


l'abandonne,  malgré  l'importance  des  résultats  obtenus. 
Quelques  points  restaient-ils  dans  l'ombre  ou  sans  démons- 
tration rigoureuse?  Était-ce  plutôt  la  conséquence  de  l'opi- 
nion qu'il  me  communiqua  un  jour  :  Qu'en  admettant  même 
l'exactitude  de  tous  les  résultats  énoncés  par  Riemann,  on 
ne  pouvait  conclure  de  son  Mémoire  rien  de  définitif  sur  la 
distribution  des  nombres  premiers. 

Il  fut  reçu  docteur  en  juin  1886  avec  une  thèse  remar- 
quable sur  les  séries  seini-coiwer génies  (de  la  nature  de  la 
série  de  Stirling-),  puis  chargé  de  cours,  la  même  année,  à 
l'Université  de  Toulouse  et  nommé  titulaire  trois  ans  après. 

A  la  Faculté  des  sciences,  Stieltjes  fut  chargé  du  cours  de 
Calcul  différentiel  et  intégral,  succédant  dans  ces  fonctions 
à  MM.  Picard,  Goursat  et  Kœnig's.  Un  peu  gêné  au  début 
par  la  langue,  il  se  montra  vite  professeur  éminent.  Ses 
cours  possédaient  les  qualités  de  ses  mémoires.  Une  grande 
clarté,  reflet  de  sa  lucidité  d'esprit,  lui  permettait  d'exposer 
simplement  les  théories  difficiles.  Des  exemples  nombreux, 
très  instructifs,  ayant  toujours  de  la  portée,  faisaient  péné- 
trer dans  l'esprit  de  ses  auditeurs,  presque  à  leur  insu,  les 
notions  les  plus  délicates.  (3n  sortait  de  ses  leçons  étonné 
de  la  facilité  d'acquisition  des  méthodes  générales,  émer- 
veillé de  leur  fécondité  et  avec  le  sentiment  que  Fart  consis- 
tait plus  à  les  bien  appliquer  qu'à  les  comprendre.  Je  n'ai 
jamais  connu  de  professeur  donnant,  autant  que  lui,  à  ses 
élèves,  conscience  de  la  puissance  des  instruments  qu'il  leur 
mettait  en  mains.  Ce  penchant  à  toujours  faire  comprendre 
les  théories  par  leurs  usages,  n'excluait  pas  chez  lui  la 
rigueur,  dont  il  avait  le  plus  scrupuleux  souci.  Mais  il  savait 
admirablement  distinguer  ce  qu'on  devait  enseigner,  de  ce 
qu'on  pouvait  seulement  signaler. 


XVIII  NOTICE    SLR    STIELTJES. 

Chargé  également  de  faire  des  conférences  aux  candidats 
à  ragrégation,  il  put  y  déployer  plus  librement  sa  science.  Je 
me  souviens  notamment  de  deux  de  ces  cours  :  l'un  eut  pour 
objet  la  théorie  des  fonctions  de  variables  imaginaires.  Il 
montra  comment  les  deux  voies  suivies  par  M.  Mérav  et 
Weierstrass  d'une  part,  par  Riemann  d'autre  part,  abou- 
tissent au  même  point.  Dans  l'autre,  il  exposa  la  théorie 
des  fonctions  elliptiques.  Il  suivit,  dans  ses  di'tails,  une  idée 
ingénieuse  de  Riemann,  consistant  à  étudier  d'abord,  et  indé- 
pendamment, les  intégrales  elliptiques  et  les  fonctions  thêta, 
et  à  montrer  ensuite  qu'en  remplaçant  l'argument  de  la  fonc- 
tion thêta  par  l'intégrale  on  obtient  une  fonction  algébrique. 
L'inversion  est  ainsi  effectuée. 

Ses  devoirs  de  professeur  n'absorbaient  pas  tout  son 
temps.  Les  mémoires  sur  les  fonctions  sphériques  et  les  poly- 
nômes de  Legendre,  la  fonction  gamma  et  l'équation  d'Euler, 
les  soins  pieux  qu'il  apporta  à  l'étude  extraordinairement 
*  difficile  des  fragments  du  troisième  Volume  du  Traité  des 
fonctions  elliptiques  d'Halphen,  sont  la  preuve  de  son 
infatigable  activité.  Elle  se  manifeste  encore  mieux  dans  la 
promptitude  de  ses  réponses  aux  difficultés  que  lui  signalait 
Hermite,  dont  les  questions  et  les  réflexions  suggestives 
provoquaient  ses  recherches.  Mais  déjà,  à  cette  époque,  le 
principal  sujet  de  ses  méditations  fui  les  fractions  continues. 
Frappé,  dès  1884,  en  étudiant  la  méthode  de  quadrature  de 
Gauss,  de  l'étrange  identité  dune  intégrale  définie  et  dun 
type  spécial  de  fractions  continues,  il  chercha  pendant 
dix  ans  à  mettre  en  pleine  lumière  la  généralité  de  ce  fait. 
Le  résultat  de  ses  efforts  fut  le  très  beau  mémoire  ([uil 
donna  en  1894,  peu  de  temps  avant  sa  mort. 

Au  mois  d'octobre   1890,   il  sentit  s'aggraver  les  symj)- 


NOTICE    SUR    STIELTJES.  XIX 

tomes,  tout  d'abord  anodins,  du  mal  qui  devait  l'emporter. 
Les  fatigues  du  travail  excessif  et  incessant  qu'il  s'était 
imposé  depuis  i883  en  précipitèrent  les  progrès.  Ni  les  soins 
affectueux  dont  l'entouraient  les  siens,  ni  les  facilités  de 
repos  et  de  bien-être  que  lui  procurèrent  ses  amis  et  ses 
collègues  ne  purent  enrayer  la  marche  de  la  maladie.  Sur 
les  conseils  d'Hermite,  il  passa  en  Algérie  les  hivers  de  1892 
et  de  i<S(j3.  Pendant  son  dernier  séjour,  il  trouva  la  solution 
de  la  difficulté  qui  arrêtait  depuis  si  longtemps  l'achèvement 
de  ses  recherches  sur  les  fractions  continues.  Il  découvrit  un 
théorème  remarquable  lui  permettant  d'elléctuer  la  conti- 
nuation analytique  de  sa  fraction  continue  dans  tout  le  plan. 
La  joie  qu'il  en  ressentit  lui  donna  pour  quelques  mois  des 
forces  nouvelles.  La  sollicitude  d'Hermite  durant  sa  maladie 
fut  admirable.  Elle  le  suivit  jusqu'à  la  fin,  veillant  sur  lui  et 
sur  son  repos,  pleine  de  délicates  attentions.  Stieltjes  le  sen- 
tait. Le  prix  qu'il  attachait  à  ses  lettres,  le  soin  avec  lequel 
il  les  avait  conservées  et  classées  montrent  bien  qu'elles 
étaient,  à  ses  yeux,  une  partie  de  son  bonheur  et  de  sa  vie.  Il 
lutta  quatre  ans.  Il  se  savait  perdu.  Il  attendit  sa  fin  avec  la 
liberté  d'esprit  et  de  pensées,  avec  la  fermeté  de  cœur  qu'il 
avait  montrées  dans  les  circonstances  difficiles  de  sa  vie.  Par 
un  elTort  de  volonté  que  peuvent  seuls  comprendre  ceux  qui 
l'ont  vu  à  cette  époque,  il  trouva  la  force  de  rédiger,  quelques 
mois  avant  sa  mort,  son  mémoire  sur  les  fractions  continues, 
avec  une  hâte  désolante  pour  ses  amis,  qui  en  voyaient, 
hélas!  bien  la  cause.  Il  mourut  le  3t  décembre  1894. 

Les  honneurs  que  lui  réservait  l'avenir  étaient  déjà  venus 
le  trouver.  L'Académie  des  Sciences,  en  1892,  le  porta  sur 
la  liste  des  candidats  au  fauteuil  d'Ossian  Bonnet;  en  1893, 


XX  NOTICE    SUR    STIELTJES. 

elle  lui  décerna  le  prix  Petit  d'Ormoy.  Le  rapport  élogieux 
de  M.  Poincaré  sur  son  dernier  niéuioire  présenté  pour  le 
prix  Lecomte  montre  bien  l'admiration  que  le  monde  savant 
avait  pour  ses  travaux.  L'Académie  de  Saint-Pétersbourg 
l'avait  nommé  son  correspondant. 

Ses  élèves  et  ses  amis  connaissaient  son  empressement  à 
rendre  service  et  sa  libéralité  à  les  faire  profiter  de  sa  science 
si  vaste  et  de  son  érudition  si  sûre.  Très  exigeant  pour  lui- 
même,  il  jugeait  librement  les  travaux  des  autres,  aussi 
joyeux  de  leurs  découvertes  que  modeste  vis-à-vis  des 
siennes.  Ses  jugements,  sévères  quelquefois,  n'ont  jamais 
blessé,  sa  bonté  s'efforçant  toujours  de  trouver  quelque 
excuse  aux  faiblesses  et  aux  erreurs.  11  exécutait  avec  une 
volonté  inflexible  les  décisions  que  lui  dictait  sa  droiture. 
A  la  fois  très  ferme  et  très  doux,  personne  ne  sut,  au  même 
degré  que  lui,  conformer  sa  conduite  à  ses  principes. 

Ceux  qui  l'obt  connu  et  aimé,  devinant  sous  sa  réserve 
naturelle  cette  réunion,  chose  rare!  des  qualités  du  cœur, 
du  caractère  et  de  l'esprit,  ne  roul)lieront  jamais! 

C'est  sur  le  désir  même  d'Hermite  que  nous  publions  cette 
correspondance.  Elle  montre  l'affectueuse  bonté  d'Hermite 
et  son  amour  profond  de  la  science,  en  même  temps  que 
toute  la  dignité  de  la  vie  et  le  rare  talent  de  Stieltjes. 
Puissent  ses  amis  y  retrouver  un  peu  la  douceur  et  le 
charme  de  cette  nature  d'élite  que  la  mort  a  si  prématuré- 
ment anéantie  ! 

Henry    BOURGET. 


ERRATA. 


'âge 

■>,o8 

entre 

les  ] 

lignes 

1 1 

et 

12. 

» 

214 

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4 

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5. 

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216 

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lu. 

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16. 

)) 

221 

» 

3 

)) 

4- 

» 

221 

» 

2 

» 

3 

Nous  avons  oublié  d'indiquer  par  une  ligne  de  points  quelques-unes  des 
coupures  que  nous  avons  dû  faire.  Le  lecteur  est  prié  de  rétablir  cette 
indication  aux  passages  suivants  : 


;n  bas 


en  bas. 

»       226  »  3  avant  les  mots  «  Vous  lui  ferez,  etc.  ». 

»       248  »  3       ))       4- 

»       253  »  16  avant  les  mots  «  Je  dois  aussi,  etc.  ». 

»       260  »  9       »       4     6f  bas. 

»       261  1)  10       »      1 1 . 

»       261  »  lettre  137,  au  début,   après   «   Mon  cher 

ami   ». 
»       266  »  10     et     II     en  bas. 

»       26S  » 

»       270  )) 

>;        278  » 

»       281  »  4  entre  les    mots  «   sur  vos  intérêts  » 

et  «  et  dans  l'espérance,  etc.   ». 
Par  contre  il  faut,  page  220,  ligne  7,  supprimer  les  points  au  début 
de  la  phrase. 


10 

et 

1 1 

10 

» 

1 1 

i3 

» 

14 

10 

» 

11 

CORRESPONDANCE 

D'HERMITE  ET  DE  STIELÏJES. 


Il  Eli  MITE  A  STIELTJES. 

Paris,  8  novemijre  1882. 


jNIoiVSlEX'll  , 


Je  m'empresse  de  vous  accuser  réception  de  la  lellre  que  vous 
m'avez  fait  l'honneur  de  m'adresser  (')  et  de  vous  lénioigner  tout 
le  plaisir  que  j'ai  eu  en  prenant  connaissance  des  beaux  résultats 
auxquels  vous  êtes  parvenu.  Mes  éludes  ne  m'ont  point  conduit 
jusqu'à  présent  aux  questions  d'analyse  concernant  les  fonctions 
de  Legendre  d'ordre  supérieur,  mais  j'ai  été  lié  avec  l'illustre  géo- 
mètre (-)  dont  vous  avez  suivi  la  trace,  et  je  sais  avec  quelle  admi- 
ration il  a  accueilli  la  belle  découverte  de  M.  Tisserand  dont  vous 
vous  êtes  inspiré.  Je  ne  puis  douter.  Monsieur,  qu'au  retour  du 
voyage  qu'il  fait  pour  l'observation  aux  Antilles  du  passage  de 
V^énus,  M.  Tisserand  ne  lise  avec  le  plus  grand  intérêt,  dans  les 
Comptes  rendus,  votre  lettre  dont  je  donnerai  communication  à 
l'Académie  dans  sa  prochaine  séance  (■'  ).  En  attendant  que  son  opi- 
nion sur  votre  travail,  à  laquelle  vous  devez  surtout  tenir,  vous 
parvienne,  permettez-moi,  Monsieur,  de  vous  offrir  en  témoignage 
de  mes  sentiments  de  haute  estime  quelques  opuscules  rpii  vous 
parviendront  avec  celle  lellre,  et  d'y  joindre  l'expression  (h-  toute 
ma  sympathie  et  de  ma  considération  la  plus  distinguée. 


(' )  La  première  leLtre  de  Slielljes  à  HeriniLc  manque. 

(-)  M.  Heine,  probablement. 

(^)  Cette  lettre  a  été  communiquée  à  l'Académie  le  i3  novembre  18S2.  Elle  se 
trouve  dans  les  Comptes  rendus,  t.  XCV^  p.  goi-goS,  sous  le  titre  :  Sur  un 
théorème  de  M.  Tisserand.  Stieltjes  y  donne  la  démonstration  d'une  propriété 
trouvée  par  Tisserand  et  relative  à  la  forme  analytique  des  coefficients  du  déve- 
loppement de  la  fonction  perturbatrice  lorsque  l'inclinaison  mutuelle  des  orbites 
est  considérable. 


M< 


(;OUIU>POM)ANCK    I)  III'H.MIIE:    KT    de    SriELTJES. 

2.  _  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Leyde,  lo  novembre 


Je  VOUS  suis  1res  reconnaissant  pour  la  manière  trop  bienveil- 
lante avec  laquelle  vous  avez  bien  voulu  prendre  connaissance  de 
ma  lettre  précédente,  et  de  l'envoi  de  vos  opuscules,  qui  sont  pour 
moi  d'un  prix:  inestimable.  Je  ne  peux  que  vous  exprimer  mon 
chagrin  que,  pour  le  moment,  mon  peu  de  loisir  ne  me  permettra 
pas  de  les  étudier  comme  je  voudrais  les  étudier,  car  je  suis  très 
convaincu  de  l'importance  fondamentale  de  ces  belles  recherches 
qui  pénètrent  si  profondément  dans  la  théorie  générale  des  fonc- 
tions. 

J'aurais  certainement  fait  communication  de  mes  l'ésultats  à 
M.  Tisserand,  mais  je  savais  qu'il  est  allé  observer  le  passage  de 
Vénus. 

Je  hasarde  encore  à  vous  envoyer  avec  cette  lettre  une  petite 
Note  (')  sur  un  sujet  bien  élémentaire  qui  aura  besoin  de  toute 
votre  indulgence.  Étant  écrite  en  hollandais,  je  veux  en  exposer 
l'esprit  en  quelques  lignes. 

Vous  avez  fait  connaître,  dans  le  Tome  8-4  du  Journal  de 
Bovchardt  ('-),  l'expression  analytique  du  reste  de  la  formule 
d'interpolation  de  Lagrange.  J'avais  pensé  qu'il  serait  possible 
d'arriver  d'une  manière  élémentaire  à  une  expression  de  ce  reste, 
analogue  à  celle  de  la  formule  de  Taylor,  donnée  par  Lagrange. 
V'^oici  comme  j'y  arrive  : 

Si  la  fonction  (j'(2)  s'annule  pour  :;  ^=  .r  et^  =  .r,  (^<<^',), 
on  aura 

Si  maintenant  (j(-:;)  s'annule  encore  pour  3  =  j^.j  >>  ji-, ,  on 
aura  de  même 

(  '  )  Le  Mémoire  de  SLielljes  a  pour  litre  :  Ovev  Lagrange's  Interpol  atie- for  mule 
(  Verslagen  en  Mecledecliiigen  der  Koninklijke  Akadcmie  van  Wetenschappen 
te  Amsterdam,  1"  série,  t.  XVII,  p.  289-254;  1882). 

(-)  Le  Mémoire  d'Hermile  est  intitulé  :  5m/'  la  formule  d'interpolation  de 
Lagrange  (Extrait  d'une  lettre  de  M.  Cli.  Ilermile  à  ^L  Borcliardt). 


LETTRE    2.  à 

Donc 

En    général,    si    ()'(:;)    s'annule    ])our    z  =  x,  x^,  Xo,   .  •  -,   -Xu 
\  X  <C,  X  \  <i^  X-^  .  .  .  <C  X/i  j , 

à  la  condition  que,  pour  toutes  les  valeurs  de  z  entre  x  et  .r«,  les 
fonctions  Çî'{z),  Çj"{z),  •  •-,  G^"~*H^)  soient  finies  et  continues, 
et  que,  pour  les  mêmes  valeurs  de  z,  ()''"~''(^)  admette  une  déri- 
vée ^J^"\z). 

Soitmaintenant^(:r)le  polynôme  de  Lagrange,  qui  pourx  =  Xf , 
x-2j  .  .  .,  x,i  prend  des  valeurs/(,r,  ),  /(xo),  •  •  -,  f{x,i),  et  posons 

f(x)=  :j'{x)-{-(.v  —  Xi){x  —  x,).  ..{x  —  Xa)K; 

comme  il  s'agit  d'obtenir  une  expression  simple  dey(^)  —  ^'^i^), 
nous  pouvons  supposera  différent  de  jT),  Xo,  .  .  .,  x„,  et  alors  la  va- 
leur de  Rest  parfaitement  déterminée  par  l'expression  précédente. 
Si  l'on  envisage  maintenant  la  fonction 

(J(z)  =  —fiz)^^{z)  +  (z-xi)(z-x,)...(::-x„)R, 

il  est  évident  qu'on  a 

Ç(x)=o,  (J{xi)=o,  ...,  (j(^„)=0, 

donc 

(,'(")( -V)  =  o, 

où  'f\  a  une  valeur  entre  la  plus  grande  et  la  plus  petite  des  quan- 
tités X,  Xi,  .  .  .,  X/i-  Mais  ^(5)  étant  au  plus  du  degré  n  —  i ,  on  a 

G(«)(s)  =  — /'"(^)+i. -2.  ■]...«  R, 
donc 


i .  Î.3. .  .n 


Il  est  facile  d'étendre  ce  raisonnement  au  cas  que  plusieurs  des 
quantités  ^Ti,  .  .  .,  jp,j  sont  égales.  La  forme  du  reste,  ainsi  obtenue, 
est  aussi  une  conséquence  immédiate  de  la  belle  formule  que  vous 
avez  fait  connaître. 

C'est  avec  le  plus  profond  respect,  Monsieur,  que  je  signe  votre 
très  reconnaissant. 


4  COIlRESPONDA>CE    1)  HEIOUTE    Kl     DK    STIEI.TJF.S. 

3.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  i3  novembre  1882. 
Monsieur, 

Recevez  tous  mes  remercîments  pour  la  bonté  que  vous  avez  eue 
de  ni'exposer  le  point  principal  de  voire  travail  sur  la  formule 
d'interpolation  de  Lagrange.  L'extrême  simplicité  et  l'élégance  de 
votre  méthode  m'ajantfait  penser  qu'elle  devait  trouver  |)lacedans 
l'enseignement  des  Mathématiques  spéciales  de  nos  lycées,  je  l'ai 
communiquée  dans  celte  intention  à  l'un  de  mes  élèves,  directeur 
des  études  à  l'école  préj)aratoire  du  collège  vStanislas.  J'ai  eu,  Mon- 
sieur, la  surprise  et  le  regret  d'apprendre  que  vous  avez  été  de- 
vancé, et  que  dans  son  Traité  élémentaire  d'Algèbre,  destiné 
aux  candidats  à  l'Ecole  Polytechnique,  M.  Lavirent  propose  comme 
exercice  de  démontrer  la  proposition  à  laquelle  vous  êtes  parvenu  : 
une  fonction  Ç){~-)  s'annulant  pour  z  =■  x,  Xx,  .  .  .,  x„,  l'équation 
D"(j(^)=:o  admet  une  racine  z=^r^  comprise  entre  x  et  Xn-  Je 
n'ai  point  le  traité  de  iNI.  Laurent,  et  me  trouvant  comme  vous. 
Monsieur,  surchargé  de  travail,  je  n'ai  pu  encore  vérifier  ce  dont 
j'ai  été  informé,  mais  qui  ne  me  laisse  pas  de  doute. 

Aujourd'hui  même  je  donnerai  communication  à  l'Académie  de 
votre  beau  travail,  et  je  ne  pense  pas  avoir  été  contre  vos  inten- 
tions en  lui  donuanl  pour  titre  Sur  une  formule  de  M.  Tisserand. 

Veuillez  agréer.  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de  ma  haute 
estime  et  de  mes  sentiments  dévoués. 

4.  -  STIELTJES  A   II EB MITE. 

i3  novembre  1882. 
MoNSIEl  U, 

En  lisant  votre  deiuiière  lettre,  je  n'ai  pu  m'empêcher  dem'ima- 
giner  que,  peut-être,  vous  n'avez  pas  lu  dans  ma  dernière  lettre 
Vapplication  de  ce  théorème  (A)  : 

si 

à  la  détermination  du  reste  de  la  formule  de  Lagrange,  que 


LKTTHE    O.  D 

j'obtiens  sous  la  forme 

•l{x)  =  (x  —  Xi)(x  —  X.,).  .  .{X  —  Xn), 
p  =  n 

f(x)=  >   ' n /(•^i>)+ 7      ('I)- 

-^  ^d{X  —  X,j)'V{X,,/  ''  1.-2...  Il  ^         V' 

p=i 

Je  n'écris  ceci  que  pour  m'excuser,  car  il  ne  me  sérail  jamais  venu 
dans  l'esprit  d'abuser  de  votre  temps  pour  vous  annoncer  seule- 
ment ce  théorème  (A). 

Mais  aussi,  si  cette  sup|)osition  est  erronée,  la  chose  est  de  troj) 
peu  d'importance  pour  en  jiarler  plus. 

Veuillez   accepter  l'assurance   de    mon   profond  respect  et  de 
toute  ma  reconnaissance. 


Monsieur, 


HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  17  novembre  1882. 


Je  n'avais  pas  été  renseigné  d'une  manière  suffisamment  corn- 
|)lète  lorsque  j'ai  eu  l'honneur  de  vous  écrire  au  sujet  du  point  de 
V  silgèbre  Ae^l.  Laurent,  qui  se  rapporte  aux  recherches  dont  vous 
avez  eu  la  bonté  de  me  donner  communication.  Ayant  maintenant 
cette  Algèbre  sous  les  jeux,  j'extrais  des  Exercices  et  Notes  qui 
font  suite  au  Chapitre  Vil,  à  la  page  222,  ces  énoncés  que  je 
transcris  textuellement. 

16.  Démontrer  que,  si  f{x)  s'annule  pour  x  =^  a,  b,  .  . . ,  l,  les 
(piantités  a,  b,  .  .  .  ,  l  étant  au  nombre  de  /?,  on  a 

f{x)  =  {x  —  a)  (x  —  b)...(x—I)  \    ^     ■   , 

X  désignant  une  quantité  comprise  entre  la  plus  grande  et  la  plus 
petite  des  quantités  a,  b,   ...,/. 

17.  Si  l'on  pose 


X  —  ai 

f{a^,x)  —  f{a^,a,) 


fiai,x), 


=  /(a,,a.2,x). 


f(ai,ao^,x)—  f( ai.  0-2,(13) 


6  CORRESPO.M)A.\Ci:    u'UKIUllTE    ET    1)K    STIEI.TJES, 

on  a 

-^(x  —  ai){x  —  ai)...{x-  a„)f"{\), 

X  étant  compris  entre  la  ])lus  grande  et  la  plus  petite  des  quan- 
tités Xy  a,,  a-y,  •  •  -,  a»  (Ampère).  (On  s'appuiera  sur  l'exercice 
précédent.) 

J'ignorais  absolument  le  résultat  qui  est  attribué  à  Ampère,  et 
je  regrette  que  M.  Laurent  n'ait  point  indiqué  dans  quel  Mémoire 
on  pourrait  en  lire  la  démonstration  (').  Autant  que  je  puis  le 
présumer,  c'est  sans  doute  dans  \e  Journal  de  V Ecole  Polytech- 
nique qu'on  aurait  chance  de  le  trouver. 

Je  ne  sais,  Monsieur,  si,  sous  différentes  latitudes,  à  Lejde 
comme  à  Paris,  ce  sont  les  mêmes  devoirs  universitaires  qui 
surchargent  les  pauvres  géomètres  et  entravent  leurs  recherches. 
A  la  Sorbonne,  nous  avons  maintenant  une  session  dexamens  de 
baccalauréat,  et  j'ai  le  regret  de  passer  bien  du  temps  à  lire  des 
compositions  et  à  interroger  sur  l'Arithmétique,  la  Géométrie  élé- 
mentaire, etc.  Je  revois  cependant  les  épreuves  d'un  second  tirage 
lithographie  de  mon  cours  de  cette  année,  dont  la  rédaction  a  été 
faite  par  un  de  mes  élèves,  et  qui  a  pour  objet  les  intégrales 
prises  entre  les  limites  imaginaires,  puis  quelques  points  de  l'étude 
des  fonctions  en  général,  et  des  fonctions  ellijitiques.  Je  me  ])er- 
mets.  Monsieur,  devons  annoncer  l'envoi  d'un  exemplaire  de  ces 
Leçons  aussitôt  qu'elles  seront  parues,  et  je  saisis  cette  occasion 
pour  vous  renouveler  l'expression  de  ma  haute  estime  et  de  mes 
sentiments  dévoués. 


(')  Le  Mémoire  d'Ampère  où  se  trouve  la  proposition  citée  par  M.  Laurent  e>l 
dans  le  Tome  XVI  des  ^n/(a/e5  de  Gergonne,  p.  829;  i8n6,  et  a  pour  lilTC  :  Essai 
sur  un  nouveau  mode,  d'exposition  des  principes  du  calcul  dijferentiel,  du 
calcul  aux  différences  et  de  l'interpolation  des  suites,  considérées  comme 
dérivant  d'une  source  commune. 


LETTRE    (J.  7 

6.  —  STIELTJES  A   II  ERMITE. 

Leyde,  iî\  novembre  1882. 
Monsieur, 

Je  vous  prie  encore  de  vouloir  bien  faire  insérer  la  Note  ci- 
jointe  dans  les  Comptes  rendus  (^). 

Dès  que  j'avais  trouvé  la  formule  que  je  vous  ai  communiquée 
dans  ma  première  lettre,  je  soupçonnais  qu'il  devait  exister  une 
généralisation,  que  je  suis  heureux  d'avoir  obtenue  maintenant, 
après  bien  d'inutiles  efforts. 

Vous  savez  que  M.  Tisserand  avait  originairement  à  développer 
cos/iy,  et  c'est  seulement  plus  tard  qu'il  a  reconnu  qu'il  fallait 

chercher  le  développement  de  ^^ -. —•    Ma    formule    générale 

^  '  siny  ^ 

montre  qu'on  peut,   en  effet,   développer  cos/iy  d'une    manière 

analogue,  mais  la  série  procède  alors  suivant  les  P''^(o,  x')  qui  se 

réduisent  aux  fonctions  (1  —  x-^  -j-  (X/_,  ). 

Je  suis  bien  aise  d'en  être  quitte,  maintenant,  avec  cette  for- 
mule de  M.  Tisserand,  et  je  veux  laisser  reposer  quelque  temps 
d'autres  recherches  qui  se  rattachent  encore  à  cette  question. 

Je  vous  remercie  d'avance  beaucoup  du  pi^écieax  présent  que 
vous  m'avez  annoncé,  et  je  liie  promets  beaucoup  de  fruit  de 
l'étude  de  votre  Cours,  à  laquelle  je  veux  consacrer  les  instants 
que  mes  autres  devoirs  me  laissent.  Je  suis  astronome  adjoint  à 
l'Observatoire  ici  :  jusqu'ici  je  pris  part  aux  observations,  mais 
l'année  suivante  je  ne  m'occuperai  qu'aux  calculs  de  réductions 
qui  sont  beaucoup  en  arrière.  Outre  cela  j'ai  encore  à  calculer  des 
observations  astronomiques  et  météorologiques  qu'un  voyageur 
hollandais,  M.  Rjckevorsel,  a  faites  et  fait  encore  dans  le  Brésil. 
Maintenant  vous  pourrez  vous  bien  imaginer  que  je  n'ai  pas  beau- 
coup de  loisir  pour  mes  études  favorites. 

J'ai  beaucoup  de  regret.  Monsieur,  de  n'avoir  pas  eu  à  ma  dis- 
position V Algèbre  de   M.  Laurent,  ce  qui  vous  aurait  épargné  la 


(')  Sur  un  théorème  de  M.  Tisserand  {Comptes  rendus  du    27  nove:nbre). 
Note  de  M.  Slieltjes  présentée  par  M.  Hennile. 


8  COURI'SI'ODANCK    DllEUMlTi:    KT    DE    SIIELTJES. 

peine  de  copier  |)our  moi  le  passage  dans  votre  dernière  lellre. 
Je  n'ai  pas  encore  cherché  dans  le  Journal  de  V Ecole  Poly- 
technique ponr  la  pièce  d'Ampère. 

X'euille/-  bien  accepter,  Monsieur,  l'expression   de  la  reconnais- 
sance que  vos  bontés  m'inspirent,  et  de  mon  plus  profond  respect. 

7.  —  II ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  ■>.%  novcmbro  18S2. 
Monsieur, 

En  venant  vous  informer  que  voire  seconde  Noie  sur  le  théoi'ème 
de  M.  Tisserand  a  été  présentée  hier  à  l'Académie,  et  qu'elle  pa- 
raîtra, par  suite,  dans  le  Compte  rendu  delà  séance,  j'ai  une  occa- 
sion dont  je  m'empresse  de  jirofiter  pour  vous  remercier  de  m'avoir 
appris  que  vous  êtes  aslronome  adjoint  à  l'Observa-toire  de  Lejde. 
Je  comprends  bien,  ainsi,  que  les  découvertes  de  M.  Tisserand, 
dans  lesquelles  je  n'ai  vu  que  de  l'analyse,  aient  altiré  votre  atten- 
tion comme  s'appliquant  en  outre  à  dimporlanles  questions  de 
Mécanique  céleste.  Pour  moi,  Monsieur,  je  ne  suis  qu'algébriste  el 
jamais  je  n'ai  quitté  la  sphère  des  Mathématiques  subjectives.  Je 
suis,  toutefois,  bien  convaincu  qu'aux  spéculations  les  plus  abs- 
traites de  l'Analyse  correspondent  des  réalités  qui  existent  en 
dehors  de  nous  et  parviendront  quelque  jour  à  noire  connaissance. 
Je  crois  même  que  les  ellbrts  des  géomètres  purs  reçoivent,  à  leur 
insu,  une  direction  qui  les  fait  tendre  vers  un  tel  but,  et  l'histoire 
de  la  Science  me  paraît  prouver  qu'une  découverte  analytique  sur- 
vient au  moment  nécessaire  pour  rendre  possible  chaque  nouveau 
pr'ogrès  dans  l'étude  des  phénomènes  du  monde  réel  qui  sont  acces- 
sibles au  calcul.  Un  de  mes  élèves,  qui  est  aussi  l'élève  de  M.  Weier- 
strass,  M.  Mittag-Lefller,  a  ainsi  communiqué  à  jNI.  Gylden  des 
vues  profondes  du  grand  géomètre  qui  semblent  annoncer  une  pro- 
chaine liMusformation  de  la  Mécanique  céleste,  en  établissanl  (jue 
les  bases  mêmes  de  l'édifice  de  La|)lace  sont  bien  chancelantes.  Mais 
je  ne  sais  si  nous  verrons  se  réaliser  cette  transformation  à  laquelle 
auront  part,  sans  doute,  les  découvertes  analytiques  de  notre  époque. 
V^ous  trouverez,  Monsieur,  exposées  à  ma  manière,  quelques-unes 
de  ces  découvertes,   celles  précisémenl  auxf[uelles  M.  A\'eierstrass 


LKTÏRE    9.  9 

a  allaclié  son  nom,  dans  les  leçons  de  mon  Cours  de  la  Sorbonne, 
dont  je  revois  en  ce  moment  le  texte,  et  qui  s'adressent  aux  candi- 
dats à  la  licence  es  Sciences  mathématiques.  J'ai  tenté,  et  vous  ju- 
gerez dans  quelle  mesure  j'aurai  réussi  à  introduire  dans  l'ensei- 
gnement quelques-unes  des  notions  les  plus  essentielles  qui  sont 
dues  à  Cauchj,  à  Riemann,  à  M.  Weierstrass  lui-même. 

V  euillez  agréer,  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de  ma  plus  haute 
estime  et  de  mes  sentiments  dévoués. 

8.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Le>cle,  6  janvier  i883. 
MoiVSIEUU, 

En  vous  donnant  dans  ma  dernière  lettre  (  '  )  la  nouvelle  propriété 
de  cette  fonction  B(/z),  j'aurais  dû  mentionner  la  propriété  corres- 
pondante de  la  fonction  F(/i)  de  M.  Kronecker.  Soit^  un  nombre 
premier  impair,  n  non  divisible  par/?-;  alors 

V I  n/)-''  )  —     />'■■  +  //■'  -1  -h  /j'''-2  +. , .  -|_  ^  -I- 1  _  ( j  (p''-^  +  //'-2  -t-.  ..4-  /■  -i-  n 

lorsque  n  est  divisible  par  p, 

De  plus,  comme  on  sait, 

F(4n)=  -n'in). 

Ces  deux  formules  correspondent  aux  propriétés  de  B(«). 


Fin] 


MojVS 


9.  —  rfERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  9  mars  iSS3. 


Votre  lettre  me  donne  une  occasion  que  je  suis  heureux  de  mettre 
à  profit  pour  vous  faire  savoir  que  mon  cher  confrère  M.  Tisserand 


(')  Entre  la  lettre  (7)  de  Hermile  et  la  lettre  (8)  de  Stieltjes,  il  y  a  évidem- 
ment une  lacune.  Il  manque  au  moins  une  lettre  de  Stieltjes  donnant  une  pro- 
priété de  la  fonction  B(/?). 


10  CORRESPONDANCE    U  IIEIIMITE    ET    DE    STIELTJES. 

jii'a  entretenu  de  la  Communication  c[ue  vous  avez  faite  à  lAca- 
(lémie  en  m'en  faisant  le  plus  grand  éloge.  Je  vois  aussi,  Monsieur, 
que  vous  êtes  un  ami  de  l'Arithmétique,  et  que  vous  partagez  mon 
admiration  pour  Gauss  et  Eisenstein;  permettez-moi,  si  vous  ne 
me  faites  point  parvenir  un  avis  contraire,  de  donner  à  M.  Darboux, 
|tour  qu'il  la  publie  dans  le  prochain  numéro  de  son  Bulletin,  votre 

méthode  élégante  (  '  )  pour  obtenir  la  valeur  de  (  (  -^—  j  )  •  Elle  me 

rappelle  d'anciens  souvenirs  qui  remontent  à  plus  de  trente  ans,  et 
des  tentatives  que  j'ai  faites  alors  pour  obtenir  le  caractère  de  2, 
dans  la  théorie  des  résidus  de  cinquième  puissance. 

Veuillez  agréer.  Monsieur,   lu  nouvelle  assurance  de  ma  haute 
estime  et  de  mes  sentiments  dévoués. 


lAloNÎ 


10.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Leyde,  16  mars  i883. 


Je  me  suis  apeixu  qu'il  s'est  glissé  une  faute  dans  ma  lettre 
d'hier  (-).  On  a,  pour  n  =  ce  : 


7 —    / =  'Og2 


X  dx  3         r 

^--  \o" -■> 


\  —  x  °  :>.         3 


y.  — '^ —  =  f 

y      /y  _  ^    Ç'  xdx^  ^\^J±_\ 

Jmà       n  (/<—/>-+-!)        J^     \  —  x  °  3         4 


(')  Bulletin  des  Se.  mathématiques  et  astronomiques,  1'  série,  t.  VII,  i883, 
p.  139-141;  Sur  la  théorie  des  résidus  biquadratiques,  par  M.  T.-J.  Stieltjes 
(Extrait  d'une  lettre  adressée  à  M.  Herniite). 

(-)  La  lettre  du  i5  mars  manque.  Un  extrait  est  inséré  aux  Comptes  rendus 
(lu  19  mars  :  Sur  le  nombre  des  diviseurs  d'un  nombre  entier. 


LETTKE    10.  I  I 

Je  dois  avoir  indiqué  faulivemenl  les  limites  dans  ces  sommations 
partielles,  et  je  vous  prie  de  vouloir  bien  corriger  cette  erreur,  due 
à  cette  circonstance,  sans  doute,  que  j'avais  auparavant  nommé  /v;, 
ce  que  je  désigne  maintenant  par  r„_/f+, . 

Si  l'on  prend  seulement  k  de  ces  séries  partielles,  la  somme  des 
termes  négligés 


reste  inférieure  à -7 A  l'aide  de  cette  remarque,  il  serait  très 

/i  -r-  1  ^        ' 

facile  de  donner  à  ma  démonstration  une  forme  tout  à  fait  rigou- 
reuse en  laissant  d'abord  k  constant,  mais  arbitraire.  —  Les 
valeurs  de  /"(  i  )  + /"(à)4- . . . +y(/?)  ont  été  calcidées  dans  le 
temps  (en  1876);  ainsi  : 

Soit/?  un  nombre  arbitraire  "^  n  et  posons 

Alors 

/(■)  +  /(, )  +  ...+/('0=^      Ef!;)+E(^)+...-.E(i') 

Pour  n  =  100 000,  ])ar  exemple,  j'ai  pris 

jD  =  3i6,         g  =  ù\5, 
et  la  somme  devient 

J'avais  calculé  la  somme/(i)  -h  .  .  .  +f{n)  pour  n  =  1000,  1 00000 
pour  avoir  une  idée  de  la  rapidité  avec  laquelle  le  rapport 

[f(i)-^...+f(n)]:n\o»n 

s'approche  de  Tunité  ;  les  valeurs  numériques  obtenues  m'avaient 

r  •.                                             /(  i)-^.  .  .-h  fin)  ,  ,  ,1, 

tait    soupçonner    que  *^ — log«    s  approche    dune 

limite  fixe,  ce  qui  se  confirmait,  comme  vous  l'avez  vu. 


12  CORRIiSPONDA.NCE    I)  IIEItMITE    ET    DE    SIII'LTJES. 

J'espère,  INIonsieur,  que,  s'il  arrivait  qu  il  vous  sérail  néces- 
saire quelque  calcul  numéri(]ue,  vous  voudrez  bien  m'en  lionorer. 
■V  ]>résent,  je  ne  peux  poinl  faire  une  chose  plus  utile  et  je  serai 
toujours  heureux  si  je  pourrai  vous  rendre  quelque  service. 

V^cuillez  accepter,  de  nouveau,  l'assurance  de  mes  sentiments 
dévoués. 

11.  —  H  ERMITE  A  STfELTJES. 

Paris,  19  mai's  i883. 
Monsieur, 

Recevez  mon  compliment  pour  votre  Note  sur  le  nombre  des 
diviseurs  d'un  nombre  entier  que  j'ai  lue  avec  grand  plaisir  et  qui 
sera  présentée  à  la  séance  d'aujourd'hui,  avec  les  corrections  indi- 
quées dans  votre  seconde  lettre.  J'accepte  bien  volontiers  votre 
offre  de  me  venir  en  aide  lorsque  je  serai  amené  à  des  calculs  numé- 
riques qui  sont  toujours  pour  moi  une  grande  difficulté;  permettez- 
moi,  en  retour,  de  me  mettre  à  votre  entière  disposition  dans  le 
cas  où  vous  désireriez  entrer  en  relation  avec  les  astronomes  de 
l'Observatoire  de  Paris.  M.  Tisserand,  que  j'ai  eu  pour  élève,  est  un 
de  mes  amis  et  j'ai  avec  tous  de  bons  et  excellents  rapports.  Je 
serais  heureux,  Monsieur,  que  vous  me  donniez  ainsi  l'occasion  de 
vous  être  utile,  et  dans  cette  espérance  je  vous  renouvelle  l'expres- 
sion de  ma  haute  estime  et  de  mes  sentiments  bien  dévoués. 


12.  —  IIERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  2^  mai  i883. 
Monsieur, 

Je  serai  extrêmement  heureux  de  profiler  de  votre  présence  à 
Paris  pour  faire  votre  connaissance  personnelle,  et  je  viens  vous 
prier,  ne  pouvant  point  disposer  de  ma  journée  pour  me  présenter 
chez  vous,  de  nous  faire  l'honneur  de  \enir  dîner  chez  moi,  avec 
mon  gendre  l'Emile  Picard,  mardi,  à  ()''.')()'". 

Je  suis.  Monsieur,  avec  les  senliments  de  la  plus  haute  estime, 
votre  bien  sincèrement  dévoué. 


M( 


LETTRE     13.  l3 

13.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Leyde,  4  aug.   iS83. 


Je  hasarde  à  vous  présenter  le  développement  plus  complet  de 
la  remarque  que  je  vous  ai  déjà  communiquée  (').  J'ai  étendu  ma 
démonstration  au  cas  que  la  fonction  ^J (x)  dans  l'intégrale 


/ 


h 

f{x)(J{x)dx 


n'est  assujettie  qu'à  la  restriction  d'être  continue  et  de  ne  présenter 
qu'un  nombre  fini  de  maxima  et  mininia. 

Ensuite  j'ai  ajouté  quelques  conséquences  concernant  le  déve- 
loppement en  fraction  continue  : 


f 


X  —  c 


X, 


On  peut  affirmer  queXo,  )m,  ^^2'  •  •  •  sont  tous  positifs  et  que  a„, 
ai,  ao,  .  .  .  sont  tous  compris  entre  a  et  b. 

Je  ne  sais  si  cela  était  connu,  mais  je  ne  le  trouve  pas  dans  le 
Mémoire  de  M.  Heine  {Monatsber.  der  Berl.  Akad.,  i866). 
M.  Heine,  dans  son  Ti^aité  des  fonctions  spliéi-iques  {\..\^  p.  20G. 
•i"  édition),  cite  encore  des  travaux  de  MM.  Clii-istoffel  et  Tclie- 
bjchef  sans  donner  une  indication  précise  où  on  peut  les  trouver. 
Je  n'ai  pu  consulter  que  le  Mémoire  de  Christoffel  sur  les  quadra- 
tures mécaniques  (^Borcliardt,  55),  que  vous  citez  aussi  dans 
votre  Cours  de  l'Ecole  Polytechnique,  et  le  Mémoire  de  M.  Tche- 
bychef  dans  le  Journal  de  Liouville,  'i^  série,  t.  HI. 

Je   suis.   Monsieur,  avec  le  plus    profond    respect,   votre  bien 
dévoué. 


(')  Nous  n'avons  pas  la  trace  de  cette  précédente  Communication.  La  présente 
lettre  accompagnait  évidemment  l'envoi  d'une  Note  insérée  aux  Comptes  rendus 
des  I"  et  8  octobre  sous  le  titre  :  Sur  l'évaluation  approchée  des  inté<^rales. 
(Note  de  M.  Stieltjcs,  présentée  par  M.  Hermile.) 


l4  COURESPONDAISCK    d'hI'RMITE    ET    DE    SllELUES. 

14.  —  Il  ERMITE  A  STIELTJES. 

Kouras  (  Charcnle-Iuférieurc),  7  août  i8S3. 
Monsieur, 

Je  serai  absent  de  Paris  et  en  voyage  pendant  la  durée  des  va- 
cances, c'est-à-dire  jusque  dans  le  courant  du  mois  d'octobre,  de 
sorte  qu'il  ne  me  sera  point  possible  de  présenter  à  l'Académie, 
avant  cette  époque,  le  travail  extrêmement  remarquable  que  vous 
m'avez  fait  Thonneur  de  m'adresser.  Les  propriétés  que  vous  avez 
découvertes  des  polynômes  P„(^)  et  Q/, (.r)  m'ont  vivement  inté- 
ressé, et  les  conséquences  que  vous  en  avez  déduites,  sur  les  quan- 
tités A  et  a,  ajoutent  des  résultats  tout  nouveaux  à  la  belle  théorie 
de  développement  en  fraction  continue  de  l'intégrale 


I 


dz  =  o. 


Je  vous  félicite,  Monsieur,  bien  vivement  du  succès  de  vos  efforts, 
et  je  me  promets  de  mettre  votre  beau  travail  à  profit  l'année  pro- 
chaine pour  mes  leçons  de  la  Sorbonne.  Il  me  rappelle  une  remarque 
que  j'ai  faite  autrefois  et  que  je  prends  la  liberté  de  vous  commu- 
niquer, en  y  joignant  une  question  à  laquelle  vous  serez,  mieux 
que  moi,  en  mesure  de  répondre.  Soit 

D^[{x  —  ay^+^ix  — h )''+?]  ={cc  ~  a)^{.r  —  b )^  ll(>), 

de  sorte  que  n(x)  soit  un  polynôme  entier  de  degré  n,  et  suppo- 
sons que  0L-{-[i  soit  un  nombre  entier  A.  On  pourra  écrire,  en 
désignant  par  'f{x)  la  partie  entière, 

(X  —  ay^+'-^  {ce  —  by^^^  =  ^{x)  -^  ^  "^^2  ^••• 
puis 

Y)'.i^(^^  _  a)-+^{x  -  b  y-^?]  =  <\^{x)  +  -^^  -^  ^^  +. .  . 

où  <ï>(j?)  est  un  polynôme  de  degré  n  +  /.".  Nous  avons  donc  ainsi  : 

(x-a)Hx-b)?n(x)=^l>(.r)+-^^  +  Jl--^... 

M  ( x) 
de  sorte  que  la  fraction  .,  /  e^'t  hi  /i"""^  réduite  du  développement 


LETTRE    14.  iS 

en  fraction  continue  de  la  quantité  [x  —  a)'^{x  —  b)'^.  Gela  étant, 
je  demande  si,  en  supposant  a  et  b  réels,  l'équation  U(^x)  ^=  o  a 

ses  racines  réelles.  Pour  y.  = ,  3  = 5  on  se  trouve  dans  le 

cas  de  vos  théorèmes,  mais  pour  d'autres  valeurs,  en  supposant 
par  exemple  A"  =  —  i,  le  polynôme  ^(x)  aurait-il  encoix  les  pro- 
priétés de  la  dérivée  du  dénominateur  $(^)? 

Permettez-moi,  puisque  vous  êtes  nn  ami  de  l'Arithmétique,  de 
vous  dire  un  mot  d'une  recherche  qui  m'occupe  en  ce  moment. 
En  supposant  n  ^  5  mod  8,  et  désignant  pary(/i)  le  nombre  des 
décompositions  de  n  en  cinq  carrés  impairs  dont  les  racines  sont 
positives,  j'obtiens  la  relation  suivante  où  E(.r)  désigne  l'entier 
contenu  dans  x  : 

\/n  —  /l  an'  -+ 


/(5)^-/(i3)-t-...+/(>0=2«E 

le  signe  1]  s'appliquant  à  tous  les  entiers  impairs  a  et  a',  tels  qu'on 
ait  /i  >■  4  <^«'-  Soit  ensuite  E|(^)  une  nouvelle  fonction  égale  à 
zéro  ou  à  l'unité, 

Ei{x)=e(x-\ —  )— E(^)        ou  bien     E{ix) — 2E(^), 


En  désignant  par  F  (n)  le  nombre  total  des  décompositions  de  n 
en  cinq  carrés,  on  a 

-H  1 6  ^  [a  E  (y/«  —  aa'  )  —  2  ( —  1  /'  c  E  {^11  —  4  ce'  )]  ■ 

Dans  cette  formule  a  et  a'  sont  tous  les  entiers  impairs,  c,  c'  les 
entiers  quelconques  tels  que  n  >>  aa',  n  >-  4 ce'. 

Les  formules  analogues  pour  trois  carrés  sont  plus  simples;  j'ai 
vérifié  le  premier  théorème  pour  n  =  21,  mais  je  me  trompe  si 
facilement  dans  les  calculs  nuuiériques  qu'à  mon  grand  regret  je 
ne  me  suis  pas  risqué  à  aller  plus  loin. 

En  vous  renouvelant.  Monsieur,  mes  félicitations  et  mes  remer- 
cîments  pour  votre  Communication,  veuillez  recevoir  l'assurance 
de  mon  meilleur  souvenir  et  de  mes  sentiments  tout  dévoués. 


l6  C0UUES1MI.M)ANCE    DIIEKMITE    F.T    DE    STIELTJES. 

15.  —  STIELTJES  A   HE R MITE. 

Lcvdc,  <)  auùl  iSS3. 
MOA'SIEUK, 

Je  n'ai  pu  résister  au  plaisir  de  vérifier  les  belles  formules  aritli- 
méliques  que  vous  avez  bien  voulu  me  communiquer  et  qui  me 
semblaient  d'autant  plus  mjstéi'ieuses,  parce  qu'il  n'v  entre  point 
le  nombre  des  résidus  quadratiques  au-dessus  d'une  certaine  li- 
mite, mais  je  dois  vous  avouer  qu'en  ce  moment  je  suis  à  peu  pi^ès 
étranger  à  cette  belle  et  profonde  matière.  Pour  le  calcul  numé- 
rique j'ai  mis  votre  formule 

\/ n  —  4  aa  -^  i  \ 


\l  n  —  4  />  -T-  I 


sous  la  forme 

/(5)-+-/M3)^...H-/Y/i,i=2,^M/Ml 


ou 

n  ^    . 

P  <-,  p  =  1.0,  ),~,  ... 

cl 

g(p}  =  somme  des  diviseurs  de  p. 

C'est  ainsi  qvie  j'ai  j)Oussé  les  calculs  jusqu'à  //  =  ioi. 

J'ai  encore  calculé  le  second  membre  de  votre  formule  pour 
/?=:i5-,  i65;  la  différence  des  nombres  obtenus,  1698  et  1918, 
320,  est  bien  égale  3/(16.")).  En  effet  on  a 

i63  =    81  +  49^- 23 -r-    9-i-i  (l20)(») 

=    81  -t-  8i  -+-     1-4-    I  -I-  I  (10) 

=     81  -1-  25 -f-  25  -h  23  -H  9  (    20)         }      220 

=    49 -^- 49 -i- 49 -^    9 -+-9  (    10) 

=  121  -H  25  -^     9-1-9-1-1  (60) 


(')  Cette  colonne  indique  le  nombre   des  décompositions  en    cinq    carrés  ne 
dill'crant  que  par  l'ordre  des  carrés  de  ceux  écrits  sur  la  même  ligne. 


LETTRE    15.  17 

X.  y.  z. 

{')  p.  n-kp.       eWx).     e(-^)-      g{p).  zg{p). 


/<  =  1 3 .  . .       I  9 

3  I 


ï  17 

3  9 


5 


/i  =  29 .  . .       I  25  5 

3  17  4 

5  9  3 

7  I  ï 


•2 

I 

2 

I 

4 
Somme. . 

4 
.     (■) 

î 

I 

2 

2 

4 

8 

1 

6 

() 

Somme.  . . 

iG 

3 

I 

3 

2 

4 

8 

'2 

6 

12 

Somme. 


/i  =  37 ...        I                   33                   5                 3                   I  3 

3                  25                  5                3                  4  12 

5                   17                   4                 2                   G  12 

7                     9                   3                 2                   8  16 

9                    I                   I                 I                 i3  i3 

Somme.  .  .     56 

«  =  45.  •  .        I                   4'                   (>                 3                   I  3 

3                   33                   5                 3                   4  '2 

5                   25                   3                 3                   G  18 

7                   17                   4                 2                   8  iG 

9                     9                   3                 2                 i3  26 

II                      I                    I                  I                  12  12 

Somme  .  .     87 

/i  =  53 ...        I                  49                  7                4                  i  4 

3                  41                  6                3                  4  12 

5                  33                  5                3                  G  18 

7                  25                  5                3                  8  24 

9                 17                 4               2                i3  26 

II                   9                 3               2                12  2  i 

i3                   I                  I                I                14  14 

Somme.  .  .      122 

(*)  Nous  reproduisons  les  Tableaux  tels  que  les  a  formés  Stieltjes  pour  le  calcul 
du  second  membre  de  la  formule  à  vérifier.  Les  valeurs  des  premiers  membres 
sont  données  ensuite. 


i8 


COUUKSl'ONDANCK    I)  IIKIUIITE    El     DK    STIELTJKS. 


n  =  6 1 


«  =  69, 


n  =  77 


85. 


F- 

/t  — H/ 

y.     J^  VV  -^  /• 

'\     ^  ) 

1    ~,  \r  1  • 

-^o  \l' 

I 

57 

7 

4 

i 

4 

3 

49 

7 

4 

4 

16 

5 

etc. 

etc. 

3 

6 

18 

7 
9 

coDime   j 

3 

8 

24 

puur   / 
»  ^  63.  .' 

3 

i3 

39 

II 

9, 

12 

24 

i3 

2 

14 

28 

i5 

I 

24 

Somme.  . 

•M 
•  177 

I 

Cj 

8 

4 

I 

4 

3 

57 

7 

4 

4 

16 

5 

etc. 

etc. 

4 

6 

24 

7 

3 

8 

24 

9 

3 

i3 

39 

II 

3 

12 

36 

i3 

2 

14 

28 

i5 

2 

24 

48 

17 

I 

18 
Somme.  . 

18 
.   237 

i 

73 

8 

4 

I 

4 

3 

65 

8 

4 

4 

16 

5 

etc. 

etc. 

4 

6 

24 

7 

4 

8 

32 

9 

3 

i3 

39 

II 

3 

12 

36 

i3 

3 

14 

42 

i5 

2 

24 

48 

17 

2 

18 

36 

19 

I 

20 
Somme.  . 

ao 
•   297 

I 

81 

9 

5 

, 

5 

3 

etc. 

etc. 

4 

4 

16 

5 

4 

G 

24 

7 

4 

8 

32 

9 

4 

i3 

52 

1 1 

3 

12 

36 

i3 

3 

14 

4'> 

i5 

3 

•M 

7'^ 

17 

2 

18 

36 

2 

1 

20 

32 

Somme.  . 

40 

32 

.  387 

n=93.  . 


n  =  loi  . 


3 
5 
7 
9 
1 1 
i3 
i5 
•7 
•9 

21 
9.3 


I 

3 
5 

7 
9 

IT 

i3 
i5 
17 
19 

21 
23 
25 


I 

3 
5 
7 
9 
II 
i3 
i5 
17 
19 

21 
23 
25 


LETTIIF.    15. 

a;. 

y- 

-4/p 

.        E{sjx). 

89 

île. 

9 
etc. 

97 
etc. 


i53 

145 

i37 

IÎ9 

121 

1 13 

loô 

97 

89 

81 

73 
65 

5- 


9 
etc. 


E  (■-.;- 

5 
5 

4 
4 
4 
4 
3 
3 
3 
2 
2 
I 


12 

12 

f  I 

II 

1 1 

10 

10 

9 

9 

9 

8 


'(/^)- 


4 

6 

8 
i3 
12 
14 
24 
18 
20 

32 

Somme. 

I 

4 

6 

8 
i3 
12 
14 
24 
18 
20 

32 

24 
3i 

Somme. 
I 

4 

6 

8 
i3 
12 
14 

21 
18 
20 

3». 

24 
3i 


19 


5 
20 

24 

32 
52 

48 
42 

■"2 
54 
40 

24 

477 

5 

20 
3o 

32 
52 

48 
56 

72 
54 
60 
64 
48 
3i 

672 


36 
48 
78 
60 
70 
120 

90 
100 

128 

9'» 
.24 


CORllESPONDANCE    U  IIERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

X.  y.  z. 


'\P- 


vA^'x).     Ef^).  g{p).  zg{p). 


n=   i5-..   >.7  49  7 

29  41  6 

il  33  5 

33  '23  5 

35  17  4 

37  9  3 

39  I  I 


rt  =  1 65 .  .   I        161 

3 

5 

7 

9 
1 1 
i3 
i5 
•7 

19 
11 
■ïi 

•25 

•27 

29 
3i 
33 
35 
37 
39 
4> 


4 

40 

160 

3 

3o 

90 

3 

32 

96 

3 

48 

i44 

2 

48 

96 

2 

38 

76 

i 

56 

56 

Somme.  .  , 

.  169S 

6 

•     i 

6 

6 

4 

24 

6 

6 

36 

6 

8 

48 

6 

i3 

78 

6 

12 

72 

5 

14 

70 

5 

■ii 

120 

5 

18 

90 

5 

20 

100 

5 

32 

160 

4 

24 

96 

4 

3i 

124 

4 

40 

160 

4 

3o 

120 

3 

32 

96 

3 

48 

144 

3 

48 

144 

2 

38 

76 

2 

56 

112 

i 

42 

42 

Somme. . . 

1918 
1698 

/(i65)  220 

LETTRE  15. 


21 


n  =  5 . .  .   I  1 

«  =  i3. .   9  I 

«  =  •21..   9  9 

n  =  9.9. .   9  9 

25  I 

«  =  37..   9  9 

'2  3  9 

n  =  45. .   9  9 

25  9 

«  =  53. .  49  1 

■25  '2  5 

■25  9 

«  =  6i..  49  9 

■2  5  9 

■25  25 

n  =  69. .  49  9 

25  25 

«  =  77--  'I9  9 

25  23 

49  25 

25  25 

n  =  S5..     81  I 

49  9 

49  •^■> 

25  2  5 

n  =  g3..     8i  9 

49  ''^5 

25  25 

n  =  loi.  81  9 

49  49 

49  25 

49  25 

25  25 


9 
9 

9 
9 

9 
9 
I 

25 


25 


2'J 


9 


9 

25 


1   I 

9  9 
9  1 
9 


I   I 

9   9 
9 


9 

2  5 


Nombre 

des 

dccom- 

positions. 


10 

10  / 


I 
3o 


3o 
3o 

20 
10 


5 

5 

60 

20 


25 


3i 


10   35 
20  ,' 

20  \ 

5   55 
3o  ) 


60 


(io 


90 


•20 

60   90 

10  ; 

3o 
10 

3o  I   9> 
20 
5 


5  I  I 

i3  5  6 

21  10  I G 

29  i5  3i 

37  25  56 

45  3i  87 

53  35  122 

61  55  177 

69  60  237 

77  f>o  297 

85  90  387 

93  90  477 

101  95  572 


22  CORRESPO^DA^CE    D  IIEUMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Quant  à  votre  seconde  foi  mule,  dans  votre  seconde  lettre,  elle 
se  trouve  ainsi  : 

F(/?)  le  nombre  tola/  des  dccamj:iosilions  en  cinq  carres 


Ei(,r)  =  E  Ix-h  -  j  ~E{cr)  =  E(-2:r)  — -2 E(a:), 
F(i)  -f-  F(-2)+...+  F(/î) 

-f-  iC)^  [rtE(v//<  ^ —  ««')  —  2(—  ly' cE{\/u  —  4 ce')], 

a  et  a'  sont  tous  les  nombres  entiers  impairs,  n  >>  aa',  c  et  c'  les 
entiers  quelconques  tels  que  n  >>  4 ce'. 
J'ai  supposé  que  dans 


n 


fE{-  )  +  2cE,  '   "- 


,4c 

il  fallait  poser 

a  =  I,  3,  5,  .  .  . ,  al  n 

et 

c  =  I,  2,  3,  .  . . ,  4c<  n, 

On  aura,  par  une  transformation  analogue  à  celle  déjà  emplojée, 

SaE(v/«  —  aa')  =  ^g{p)  e{^ n  — />)  (/»  =  i,  3,  5,  .  . . ,  1  «) 

-S(_i).'cE(v/;r:i7,7c')-S^'(5')E(v/^r^4^)     (^5'  =  i,2,3,  ...,<:^'); 

en  posant 

^'('Z)  =  — -(— 0''^.  cc'=q, 

on  voit  facilement  que  pour 

cj  impair  ^'(^)  =  é'(</), 
q  =  2>>/-,  /■  impair  é'-'f^r)  =  ff(r). 

Mais  en  faisant  les  calculs  pour  n  =  5,  i3,  .  .  .,  je  trouve  la  for- 
mule fautive;  je  ne  puis  donc  que  conclure  que  je  ne  l'ai  pas  bieji 
comprise  ou  (pi'elle  est  gâtée  par  quelque  erreur  que  je  n'ai  pu 
deviner.  Voici  cependant  les  valeurs  de  F(i)H-.  .  .-\~F(n)   que 


LETTRE    16. 


23 


J  ai  trouvées 


n  =  I .  .  . 

lO 

n  =  6. 

57'2 

n   =11.. 

.    •2462 

71  =  1.  .  . 

JO 

7/  =7. 

. .   892 

Il  =  1  •). .  . 

2862 

«  =-  3  .  .  . 

i3o 

/t  =rr  S  . 

..    J09'2 

/*  r=  1  3  .  . 

.   34'22 

/i  =  4  • .  ■ 

2'>.0 

n^Ç). 

1 34?- 

/i  =  5 . .  . 

.  332 

n  =  10 

. .  1902 

Je  crois  que  ces  valeurs  sont  exactes;  je  les  vérifierai  par  un  calcul 
indépendant  et  contrôlerai  votre  formule  avec  plaisir,  si  cela  vous 
parait  intéressant,  dès  que  je  connaîti-ai  la  forme  exacte.  J'espère 
pouvoir  revenir  plus  tard  siu"  une  autre  question  que  vous  ave» 
posée  dans  votre  lettre. 

Veuillez  bien  me  croire,  Monsieur,  votre  très  dévoué. 

P. -S.  —  En  adressant  cette  lettre  à  Paris,  j'espère  qu'elle  vous 
parviendra  en  bon  ordre.  J'ai  une  copie  de  tous  les  calculs. 


Me 


16.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Leyde,  \î  août  i883. 


Lorsque,  hier  soir,  j'apercevais  la  transformation  dont  votre  for- 
mule est  susceptible  ('),  j'ai  voulu  vous  en  donner  connaissance  le 
plus  tôt  que  possible  et  le  temps  m'a  manqué  à  indiquer  comment 
j'j  suis  arrivé. 

Prenons  /?  =  3^  ;  en  jetant  les  jeux  sur  le  calcul 


'\P- 


33 

2,5 

'7 
9 


^Uii-kp).      M 


giP)- 
I 

4 

6 

8 

i3 


j'observe  que  dans  la  colonne  ^  =  E  ( 


v/«  —  /\p  -h  i 


giP)- 

3 

12 
12 
16 
i3 


56 
on  trouve  les 


(  '  )  Le  début  de  la  lettre  semble  indiquer  qu'il  existe  une  lettre  du  11  août. 
Elle  manque. 


24  COUUESl'ONUA.NCE    d'hKUMITE    ET    DE    STIELTJES. 

nombres  (en  renversant  l'ordre)  i,  a,  2,  3,  3.  On  s'assure  aisément 
que,  dans  le  cas  général,  ces  nombres  sont 

I  2  -i  3       3       3  4       4       4     4  etc. 

/  deux  fois  ,  ,  trois  fois  i  /quatre  fois  \ 

en  sorte  que  le  second  membre  de  votre  formule  peut  s'écrire 

ff(p)-^^[S'(p—  i)  +  g{p-  4)] 

-h-^[g{p~    Ç>)  +  g{p—    8)  +  ^^-(/>  — 10)] 

+  4[.c(/?  — i'i)-i-,^(/)  — i4)M-^(/?  — 16)  +  ^(/)  — i8j] 
-f- 

En  remplaçant  n  par  n  —  8,  /?  par  p  —  2  on  a  de  même 

g{p  —  i)^a[g{p-  4)  +  ^-(/>-   6)] 

+  3[^(/>—   8)  +  ^^(/>  — 10) -H^(/^  — r2)J 

+  4[^(7?  — i4)  +  ^(/>  — i6)  +  ^(/>  — i8)H-i>-(/'  — 20)] 


la  dilTérence  est 

gip)  —gip—    2) 

^■i\g(p^  2)-g(p-  6)] 
-h3[g(p~  6) -,:?•(/>— 12)] 
+  4  [^(/^  —  1 2  )  -  g(p  —  20)] 

ou 

ffip)  +  S'{p  —  'i-)-^  gip-  6)-+-^(/>  — 12)^..., 

c'est-à-dire 

j.,     .  /n~\\  In  —  ()\  (n  —  25  \  In  —  49  \ 

A-t-on  jamais  vu  une  formule  plus  belle!  Je  n'aurais  jamais 
pensé  qu'une  expression  aussi  simple  pourrait  exister.  Et  que  cette 
formule  est  différente  de  celles  qu'a  données  Eisenstein  !  Je  ne  puis 
exprimer,  Monsieur,  que  mon  admiration  pour  des  recherches  qui 
vous  ont  mené  à  une  vérité  aussi  belle.  J'espère  être  assez  heureux 
pour  connaître  un  jour  les  principes  que  vous  avez  suivis  dans 
cette  investigation. 

Votre  très  dévoué. 


LETTRK    17. 


25 


17.  _  STIELTJES  A  IIERMITE. 

Leyde,  i3  août  i883. 
Monsieur, 

En  réfléchissanl  de  nouveau  sur  votre  première  formule,  je  me 
suis  aperçu  qu'on  peul  l'obtenir  très  simplement  comme  il  suit  : 

Attribuons  à  ^jj-,  z,  t^  ?<  seulement  des  valeurs  positives  impaires, 
/î  ^  8A "  +  5  et  considérons  le  nombre  des  solutions  de  l'inégalité 

a?2-i- j'-  -f-  3-  -I-  C-  -\-  U--  n  ; 

ce  nombre  sera  évidemment  égal  à 

/(5)+/(. 3) +...+/(«). 

Mais  le  nombre  des  solutions  ])Our  lesquelles  x  =  i  est,  d'après  le 
théorème  de  Jacobi  (C/'e//e^  t.  3,  p.  191),  égala:  [g'{r)  somme  des 
diviseurs  de  r], 

'  n  —  9 
4 


4 


-r^) 


Le  nombre  des  solutions  pour  lesquelles  ^  =  3,  5,  ...  est  respec- 
tivement 


ff 


n  —  33 


En  sommant,  on  obtient  pour  le  nombre  total 


n  —  4  1 
~4~~ 


n  —  73 


c'est  bien  là  votre  formule. 

Il  est  difficile  à  croire  qu'on  puisse  avoir  une  démonstration  plus 
simple.  Du  reste,  il  va  sans  dire  que  je  n'aurais  jamais  fail  le  rai- 


20  nOHUESPONDANCE    d'hEKMITE    ET    DE    STIELTJES. 

sonnemenl  plus  haut  sans  voire  Commuuicalion.  A  cuillez  bien  me 
croire  toujours  votre  très  dévoué. 


18.  —  UERMITE  A  STIELTJES. 

t'ouras  (  Cliarenle-Inféficure),   \\  août  i883. 


Moi 


Vos  Communications  sur  la  propriété  arithmétique  dont  je  vous 
avais  donné  bien  succinctement  l'énoncé  m'ont  extrêmement  inté- 
ressé, en  ajoutant  encore  à  l'estime  cpie  m'avait  inspirée  votre  péné- 
tration et  votre  beau  talent  en  Analyse.  Je  n'ai  point  suivi  tout  à 
fait  la  voie  que  vous  avez  découverte,  et,  touten  arrivant  au  même 
résultat,  j'y  ai  été  conduit  par  une  autre  méthode.  Je  m'étais  pro- 
posé, Monsieur,  d'entrer  avec  vous  dans  des  développements 
étendus  sur  ce  sujet,  et  c'est  dans  cette  espérance  que  j'ai  ajourné 
ma  réponse  à  votre  dernière  lettre;  mais  un  état  d'indisposition 
m'a  contraint  de  mettre  les  vacances  à  profit,  non  pour  travailler 
comme  je  l'aurais  voulu,  mais  pour  prendre  le  repos  dont  j'avais 
besoin.  En  attendant  que  je  me  remette  à  l'ouvrage,  permettez-moi 
cependant  de  vous  dire,  en  peu  de  mots,  comment  j'ai  été  amené 
aux  décompositions  d'un  entier  en  cinq  carrés.  Dans  le  principe, 
je  n'avais  en  vue  que  les  foi^mes  quadratiques  de  déterminant  né- 
gatif et,  en  désignant  par  F(D)  le  nombre  des  classes  de  détermi- 
nant —  D,  j'avais  voulu  tenter  la  recherche  de  la  valeur,  pour  D 

très  grand,  de— ^ ^ — rr Mais  mes  eflorls  n  ont  pas 

eu  de  succès,  et  je  n'en  retiens  que  la  formule  suivante  dont  j'ai 
donné  communication  à  M.  Kronecker,  il  y  a  quelque  temps. 
Soit  D  =  4'^  —  ï  '  <'t  désignant  par  F(D)  le  nombre  des  classes 
proprement  primitives  de  déterminant  —  D,  on  a 


les  diverses'sommes  étant  prises  en  supposant  v  =:  o.  i,  2.  .  .  •.  ji'^- 


LETTRE    18.  27 

<[ii'à  ce  que  les  quantités  sous  le  signe  E,  assujetties  à  la  condition 
d'être  positives,  deviennent  moindres  que  l'unité. 

Cette  expression  de  la  fonction  sommatoire  de  F(D)  ne  m'ajanl 
point  servi  pour  l'objet  que  j'avais  en  vue,  j'ai  cherché  dans  le 
voisinage.  J'ai  supposé  n  impair  et  considéré  les  décompositions 
d'un  entier  en  trois  carrés  impairs,  puis  en  trois  carrés  quelconques, 
puis  en  cinq.  C'est  alors  que  j'ai  entrevu,  comme  consolation  de 
mon  insuccès,  quelques  remarques  qui  ne  m'ont  point  paru  sans 
intérêt,  et,  en  ce  qui  concerne  la  décomposition  en  cinq  carrés 
impairs,  l'introduction  d'une  fonction  numérique  qui  s'ofTre  tout 
naturellement  et  d'elle-même.  Cette  fonction  est  la  somme  des 
diviseurs  ô  d'un  nombre  impair,  tels  qu'en  faisant  n  =  ùù ,  on 
ait  ù^rj  mod4  et  o<<35',  La  fonction  correspondante  au  cas 
de  la  décomposition  en  trois  carrés  impairs  est  la  somme  des  divi- 
seurs tels  que  l'on  ait  0<<2Ô'.  Mais  ces  recherches  demandent 
plus  d'efforts  que  je  ne  puis  en  faire  en  ce  moment,  et  je  dois,  en 
me  proposant  de  vous  communiquer  mes  résultats,  attendre  que 
j'aie  repris  courage  à  l'ouvrage,  afin  de  ne  point  m'exposera  vous 
envoyer  encore  des  formules  inexactes. 

Je  pense  aussi.  Monsieur,  à  vos  belles  recherches  sur  le  déve- 
loppement en  fraction  continue  de  l'intégrale  de  Tchebicheff  et  de 
Heine,  et,  comme  l'Algèbre  est  chose  plus  facile  que  l'Arithmétique, 
j'ai  vu,  sans  avoir  à  travailler  pour  cela,  ce  que  sans  doute  vous 
avez  remarqué  vous-même  :  qu'on  a  sous  la  même  forme  le  numé- 
rateur et  le  dénominateur  des  réduites  de  [x  —  ay-^ix  —  b)'^  où 
a -f- [3  =  un   entier  k.    Supposons  k  ])Ositif;  dans  une  réduite  de 

rang  quelconque  —,  A  se  détermine  en  posant 

D;^.  [(,r  —  a)"+='  (a?  —  b  j«+P  \  =  {x  —  a)«  (.r  —  b  )?  A, 
et  B  par  la  relation  semblable 

D:i:+''[(^  — a  ;"+''-=' (^  -6)"+/'-P]  =  ix  —  a)-'J-{x  ~  b)-  \^^\ 

et,  en  écrivant  ceci,  il  me  semble  voir  que  le  résultat  subsiste,  que 
k  soit  positif  ou  négatif. 

Je  dois,  dans  quelques  jours,  partir  pour  la  Bretagne,  d'où  j'es- 
père pouvoir  vous  écrire  en  traitant  les  questions  plus  à  fond  qu'au- 
jourd'hui; veuillez  en  attendant.  Monsieur,  recevoir  l'expression 


28  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    KT    DE    SÏIELTJES. 

(le  mes  senliments  de  bien  sincère  sympathie  el  l'assurance  de  ma 
plus  haute  estime. 


19.  -  HE R MITE  A  STIELTJES. 

Paris,  6  octobre  i883. 
MoKSIEtIR, 

Vos  recherches  sur  l'évaluation  approchée  des  intégrales  (  '  )  ont 
été  présentées  à  la  dernière  séance  de  l'Académie  et  paraîtront  dans 
les  Comptes  rendus  de  cette  séance.  Mais,  votre  rédaction  dépassant 
en  étendue  la  limile  réglementaire  de  trois  pages  d'impression,  j'ai 
dû  la  diviser  en  deux  parties,  de  sorte  que  la  fin  de  voire  Note  pa- 
raîtra seulement  dans  les  Comptes  ?'endus  de  la  prochaine  semaine. 

Permettez-moi,  Monsieur,  de  profiter  de  cette  occasion  pour  rec- 
tifier l'erreur  (-)  que  vous  avez  reconnue  et  signalée  dans  l'énoncé 
de  ma  formule,  concernant  le  nombre  des  solutions  de  l'équation 
.r^-H  T-+  -■' +  i'-\-  li- ^  n.  Si  l'on  désigne  ce  nombre  \yâv  fÇn), 
la  somme  /'(i) -f- /Y '^) -I- ...  +  /(/?)  =  F(/?)  s'obtient  comme  il 
suit  : 

Désignons  par  a  les  entiers  impairs  i,  3,  5,  .  .  .,  el  ])ar  c  et  c' 
les  entiers  quelconques  i,  '>.,  3,  .  .  .:  on  a 

F(«)  =  ^E(v/«)  +  82;['H^(i^)  +  .cE,(^,)] 

-I-  i6\^[rt  E(//i  —  ac)  —  ■2(—  I  )'''cE(v/«  —  2.CC  )\- 

Dans  cette  expression,  ¥^(x)  est  l'entier  contenu  dans  x, 

Ei(.r)=  E  (.r^  -\  —E(x)^  E{:ix)  —  -jtE{x), 

de  sorle  qu'on  a  toujours  E,(.r)=  o  ou  =  i ,  suivant  que  la  diflé- 
rence  entre  x  et  le  plus  grand  entier  qui  y  est  contenu  est  infé- 
rieure  a  -j  ou  bien  égale  ou  supérieure  a  -• 

Voici,  dans  cet  ordre  de  recherches,  les  formules  que  je  viens  d'ob- 
tenir, ])Our  le  nombre  des  solutions  de  l'équation  x--i-j'-=  n.  En 


C)  Les  recherches  présentées  à  l'Académie  et  mentionnées  au  dél)ul  de  cetic 
lettre  sont  celles  dont  il  est  question  dans  la  lettre  13. 

(')  La  formule  rcclifiéc  est  la  seconde  formule  de  la  lettre  14. 


LETTRE    '20.  29 

désignant  ce  nombre  par  y"(/i),  vous  savez  qu'Elsenstein  a  donné, 
le  premier,  pour  la  somme  /(i)  +/{'■■'-)  H-  •  •  --^f {''>-)  =  F(w), 
cette  expression  bien  remarquable  : 

4K")-'^(î)-^(l 

J'ai  remarqué  qu'en  posant 

-  v/8  /*  -^ 


X  =  E 


puis 


S  =E 


,±E 


n  -+-  X 


F (  /i  )  —  4  (  s  +  Si  —  À  si ir^ 


on  a  aussi 


J'obtiens  encore  pour  la  somme  suivante, 

/(2)+/('2.5)+/(2.9)+... 

où  n^\,  mod  4,  l'exi^ression  que  voici 

32  \        ^/n  —  5'-\ 


It.' 


■/(■>■"), 


4^('^)-'K^>^('^)-]-^-^' 


(  '}.  I  )  TT 


en  désignant  j)ar  ij.  l'entier  impair  immédiatement  au-dessous  de 
\^n  ou  égal  à  \//i. 

Je  me  ferai.  Monsieur,  un  plaisir,  quand  je  publierai  ces  résul- 
tats, de  donner  la  méthode  si  élégante  que  vous  m'avez  commu- 
niquée au  sujet  de  la  décomposition  en  cinq  carrés  impairs  des 
nombres  ^  5  mod  8,  en  insérant  dans  mon  travail  la  lettre  que 
vous  m'avez  adressée  sur  cette  question.  Veuillez,  en  attendant 
recevoir  la  nouvelle  assurance  de  ma  plus  haute  estime  et  de  mes 
sentiments  bien  dévoués. 


20.   -  STIELTJES  A  HE R MITE. 

Leydc,  10  octobre  i883. 
Monsieur, 

Vous  m'avez  fait  un  très  grand  |)laisir  en  m'écrivanl  votre  der- 
nière lettre,  et  encore  une  fois  vous  m'avez  fait  votre  débiteur  en 


3o  nORUESPOXDANCE    d'hERMITE    KT    DE    STIELTJES. 

présenlanl  mou  travail  à  l'Académie.   Vous  ne  dites  rien  de  votre 
santé  :  j'espère  bien  sincèrement  qu'elle  soit  complètement  rétablie. 
Maintenant  (pie  j'ai  sous  mes  yeux  voire  formule  pour 

je  vois  bien  <|ue  seulement  quelques  légères  erreurs  d'écriture  dans 
votre  premier  énoncé  m'avaient  empêché  de  la  bien  comprendre. 
Mes  efforts  pour  découvrir  ces  erreurs  moi-même  ont  été  inutiles. 
Voici  comment  j'avais  tâché  de  retrouver  votre  formule  : 

Le  nombre  des  représentations  de  n  par  x-  -\- y-  -\-  ^-  +  t'  est 

8[2+(— i)"J^"-'{/0, 

où  je  désigne  par  o'(|/?)  la  somme  des  diviseurs  impairs  de  n.  C'est 
ce  qu'on  peut  déduire  de  la  dernière  formule  des  Fundamenta 
no^'a  [OEavres  de  Jacobi,  t.  1,  p.  289) 

Vit/  \^  y  V'  — 'Z         H-g-         \  —  q^         l~-q-  ) 

A  l'aide  de  ce  résultat,  on  trouve  facilement 

/(«)=  i6[^-'(n)-H'2^^-'(«-i2)  +  2^-'(n-22)  +  2^'(n  — 3'-)+...! 

-i-(-i)"8[^'(rt)-2^'(/e  — r^)  +  -.>.^'(/î  — 22)+ 2^'(n  —  32) +...], 

où  il  faut  continuer  les  séries  jusqu'à  ce  que  les  arguments  devien- 
nent négatifs.  Si  n  est  un  carré,  il  faut  prendre  g''{o)  =  — r* 

24 

Partant  de  cette  expression,  on  trouve,  ]iour 

F(n)=/{n)+/[n-i)+.... 
F(/i)  =  16P  -F(— i)"8Q  —  1, 


^  ff'(n)±:  Zg'{n~  i)^5g'{n  —  \)  ±  7 -'(  «  —  9) -^-.  .  . 
-h3^'(«  —  2)±5^'(/v  —  5)-+-..  . 
±:  'iff'in  —  3)  -i-  5ff'(  n  —  6) 
±5,^'(/(  —  -) 
-(-5^'(n  — 8). 
(Pour  avoir  P,  prendre  le  signe  supérieur;  pour  Q,  le  signe  inférieur). 

J'avais  pensé,  par  analogie  à  ce  qui   se  passait  dans  le  cas  de  la 
décomposition  d'un  nombre  S/.-l-  5  en  5  carrés  impairs,  que  cette 


LETTRE    20.  3l 

formule  résullerail  aussi,  par  une  Iransforaiation  facile,  de  celle  que 
vous  avez  donnée.  Mais  en  lâchant  de  transformer  voire  formule  je 
n'ai  point  vu  se  confirmer  celte  prévision,  de  sorte  que  je  n'ai 
point  trouvé  une  méthode  pour  arrivera  votre  formule.  Cependant 
je  n'ai  pas  encore  pu  faire  le  calcul  avec  le  soin  nécessaire  et  je  me 
propose  d'j  revenir. 

Comme  je  trouve  toujours  un  plaisir  à  accompagner  des 
recherches  abstraites  par  des  calculs  numériques,  j'ai  été  vivement 
frappé  par  la  transformation  que  vous  m'avez  indiquée  de  cette 
expression 

K")-'H3)-'^(")"'^ 

Votre  transformation,  en  effet,  permet  de  calculer  cette  somme 
pour  des  valeurs  de  n  j)Our  lesquelles  le  calcul  direct  serait  rebu- 
tant, quoique  je  vois  bien  qu'on  ne  doit  point  envisager  celle  trans- 
formation seulement  sous  ce  point  de  vue.  En  effet,  je  me  rappelle 
d'avoir  vu  dans  le  second  Volume  des  Œuvres  de  Gauss  (  '  )  d'autres 
formules  encore  plus  faciles  pour  ce  calcul,  déduites  de  cette  con- 
sidération que 

est  le  nombre  des  points  dont  les  deux  coordonnées  rectangulaires 
X,  y  sont  des  nombres  entiers,  situés  à  l'intérieur  d'un  cercle  décrit 
de  l'oi^igine  avec  le  rajon  \jn. 

Quoi  qu'il  en  soit,  j'ai  voulu  appliquer  votre  transformation  à 
d'autres  cas  pour  en  bien  comprendre  le  sens.  J'ai  considéré  à  cet 
effet  le  nombre  f{n)  des  représentations  de  n  par  x--^  'iy-  ;  on  a 

f{n)  =  'i.{d^+ di  —  di  —  d-,), 

OÙ  dx,  G?3,  (5^3,  â?7  signifient  les  nombres  des  diviseurs  de  n  qui  sonl 
compris  dans  les  formes  8/i  -f-  i ,  8/i  -|-  3,  8A"  -f-  5,  8/:  -|-  'j.  C'est 
ce  que  j'ai  trouvé  par  la  considération  du  développement  de 


(')  Cf.  Gauss,  Werke,  l.  II,  p.  270,  ■>■](),  29^ 


32  COIinnSPONOANCE    d'iIKUMITE    et    de    STIELTJES. 

on  en  concluL 


/(!)+/(  ■>.)+/(.  3) +...  +  /(«) 


|.;,2^-Er4)-E"' 


ij-y-] 


lin  faisant  usage  d'une  transformation  analogue  à  celle  que  vous 
avez  donnée,  j'obtiens  les  formules  suivantes  : 

Soit  o{x)  une  fonction  numérique  définie  pour  des  valeurs  en- 
tières de  X  par 

:p(.i/v  +  2)=2,  .    _^-x 

cp(4A--i-3)  =1,  ^'     '  4 

o{\k)  =o, 

c'est-à-dire  '^{x)  est  égale  à  la  somme  des  x  premiers  termes  delà 
série 

I-4-I  —  I  —  I^I-hl—  I  —  IH-I-Hl  —  I  —  I-I-I-+-I— .... 

Posons  maintenant 


E 


I  -I-  y/S  «.  -t-  I   ' 


S  =E 


EiV\-M'\ 


alors 


/(.)  +  . ..  +  /(n)  =  2[S-S,-X'^(X.)l. 


11  est   évident   que   i +/(i) +/(^) +•  •  •  +  /(/0    est   égal   au 
nombre  des  points  à  coordonnées  rectangulaires  entières  situés  à 

l'intérieur  d'une  ellipse  dont  les  demi-axes  sont  égaux  à  \^' a  et  i/-* 

L'aire  de  cette  ellipse  étant  —^,   ce    sera    l'ex[)ression    approchée 


(')  La  formule  ^(J?)  =  2  sin^  -^  a  été  ajoutée  par  llcrniile. 

4 


LETTRE    21.  33 

de  /(i)  -(-/('>.)  H--  •  •  +  ./V0  poiii'  /'  LiT'S  grand.  On  en  déduit 

^  _     / 1        I        I        i        I         I 
\J-i        "  \  I         0         3        7        ()         11 

Je  ne  vois  pas  encore  la  raison  de  cette  autre  formule  que  vous 
m'avez  communiquée,  mais  je  veux  j  penser. 

Ces  derniers  mois  ne  m'ont  point  été  favorables  pour  les  études... 
je  vais  quitter  l'observatoire  vers  la  fin  de  ce  mois  et  je  suis  main- 
tenant chargé  provisoirement,  pendant  la  maladie  d'un  des  profes- 
seurs (  '  ),  de  leçons  de  Géométrie  analytique  et  descriptive  à  l'École 

Polytechnique  de  Delft J'aurais  cependant  à  dire  quelque  chose 

sur  les  intégrales  définies,  mais  je  dois  finir  cette  lettre  déjà  trop 
longue. 

Croyez-moi  toujours  votre  très  reconnaissant. 

21.  -  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  i5  octobre  i883. 
Monsieur, 

En  reprenant  le  calcul,  j'ai,  en  effet,  trouvé  que  ces  deux  formules 

-+-  iG\^[«E(v//i  —  ac)  —  2(— i)c'cE(v/«"—  ce')], 

(B)  ^  0 

In 
Q  =2^"  '^" t'  -  ■^'^Wp)]  g'(n  -p) 
0 

peuvent  aisément  se  réduire  l'une  à  l'autre. 

(')  .M.  le  professeur  Van  den  Berg. 


34  CORRESPONDANCE    d'fIERMITF.    ET    DE    STIELTJES. 

ConiiiK'  on  a   «-'(o)  =^  —5  la  foi-imile  (B)  peut  se  meltre  aussi 
sous  la  forme 

n-l 

(B')     F(«)=  ■iE(iG)---iG^[i^'îE(Jp)]g'(n-p) 

0 

n-  l 

+  (-i)''82(— i)/'[i-f-'>,E(\/^)]^-'i«-^) 
0 

D'un  autre  côté,  on  trouve  facilement 


/•  étant  égal  k  n  ou  k  n  —  1 .  selon  que  n  est  pair  ou  impair. 
Et  puis, 

^  «  E  (v^/i  —  acj  =  \^  ^' (  /?  )  E  {\/n  —  p  ) 

=^^Wp)s'(n—p)  (p=i,2 n  —  i), 

\^  — (—  i)c' cE{\/n  —  -icc')  =^  g'ip)  E(v''«  —  -ip)  (p=  I,  2,  3,  . . .  ), 

=-^g'{9)^W'i  —  -^'])  C^  =  2,  4:6,  ...), 

=  ^^E{\/ q)  g' { n  —  q)  (q  ^  n  —  i,  n^^.  n  —  6,  .  .  .). 


(')  Eq  cfTct 

E^(x)  —  E{2x'j  —  2E(a;). 
Donc 

Celle  somme  est  égale  à 
ou  bien  à 


LETTRE    22.  35 

A  raide  de  ces  transformations,  la  formule  (A)  se  met  sous  la  forme 
suivante  : 

(A';  F(/i)  =  2E(v//i)-F-    8[/(  t  )  ^  ^'(2)  + .  . . -t- é^'C»  >I 

^  i6[,5-'('2;^^'(4)-t-...-+-^'('-'] 
+  16^  E{\/p)  g'(n  -p) 

^  Sa^]  E  Wq  )  g'in  —  (j  ) 

(/7  =  I,  2,  3,  . . ..  n  —  i), 
j   (npair       (7  —  2,^,6,..    ,11—1). 
{  (  n  impair  gr  =  1 ,  3,  5,  . . .,  11  —  i  ) . 

En  distinguant  les  deux  cas  :  n  pair,  n  impair,  on  reconnaît  de  suite 
l'identité  des  formules  A'  et  B'. 

En  vous  communiquant  ce  calcul,  j'espère  ne  vous  point  impor- 
tuner. Du  reste,  les  remarques  que  j'ai  faites  à  l'occasion  des  for- 
mules que  vous  avez  bien  voulu  me  communiquer  ne  méritent 
point  de  figurer  dans  un  Mémoire  que  vous  vous  proposez  de  faire 
paraître.  ' 

Le  peu  de  temps  que  je  peux  consacrer  à  l'étude  ne  me  permet 
point  de  faire  quelque  chose  qui  vaut  la  peine  et  parfois  je  crois 
que  ce  serait  plus  sage  d'j  renoncer  tout  à  fait. 

Cependant  j'éprouverai  toujours  un  vif  sentiment  de  reconnais- 
sance en  me  rappelant  l'accueil  si  bienveillant  que  vous  avez  bien 
voulu  faire  à  votre  très  dévoué. 


22.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  i5  octobi-e  i883. 


Moxs 


En  vous  informant  que  la  suite  et  la  fin  de  votre  Note  sur  l'éva- 
luation approchée  des  intégrales  sont  dans  le  numéro  des  Comptes 
rendus  que  je  viens  de  recevoir,  je  prends  la  liberté  de  vous  de- 
mander une  nouvelle  Communication  pour  l'Académie.  C'est  à 
mon  tour  de  ne  pas  réussir  à  deviner  certaines  combinaisons  ana- 
lytiques; il  ne  m'a  pas  été  possible  de  voircomment  vous  êtes  par- 
venu à  l'expression  de  la  somme  /(i) -1-/(2) -t-.  .  .-!-/(«)  où 
f'yii)   désigne  le  nombre  des  représentations  de  n  par  la  forme 


36  CORRESPONDANCE    d'heRMITE    ET    DE    STIELTJES. 

x- -[- "iy- .  ^lais  voire  résultat  m'intéresse  extrêmement  et  me 
semble  si  remarquable  que,  dans  l'intention  d'être  agréable  aux 
amis  de  l'Arithmétique,  je  viens  vous  prier  de  pidilier  dans  les 
Comptes  rendus  la  Note  extraite  de  votre  dernière  lettre,  que  j'ai 
transcrite  sur  une  feuille  détachée  afin  que  vous  puissiez  j  faire 
les  changements  qui  vous  conviendront.  Et,  puisque  les  mêmes 
questions  nous  plaisent  également,  je  prends  la  liberté  de  vous 
communiquer  sur  la  fonction  que  vous  aj)pelez  g'(x),  et  qui  est 
désignée  par  c2(/i)  dans  Xes  Fundainenta,  une  transformation  sem- 
blable à  celle  qui  concerne  K  (  -  )  —  E  (-)-+-  E  (  ^  j  —  .  .  .  et 
permettant  de  calculer  rapidement  la  somme 

*  (  /l  )  =  cp  (  I  )  _t-  çp  (  2  )  -f-  .  .  .  -f-  CD  (  n  )  , 

c'est-à-dire 

*(«)  =  E(^--j^-3E(-^j-^E(^_--JH-.... 

J'introduis,  dans  ce  but,  en  outre  des  fonctions  E(.i")  et 
E,  (jr)  =  E(2,r)  —  riE(.r),  la  fonction  suivante,  à  savoir  : 

EH^)  =  {[E2(.r)  +  E(.r)]. 

Elle  donne  d'abord,  en  effet,  cette  expression  : 


où  vous  voyez  que,  dans  la  première  ligne,  le  nombre  des  termes 

est et,   dans  la  seconde,   l'entier  compris  dans  — r— •  Je  le 

réduis  à  l'entier  contenu  dans  y//i  en  distinguant  deux  cas,  suivant 
qu'il  s'agit  de  la  somme 

<p(3) -I- C5(7)  H- 'f  (il) -^. .  .4- œ(4«  —  I) 

ou  bien 

t^(l)^-?(5)^-o('^)-^-. .■-+■?(. i/i-Hi)- 

C'est  la  première  qui  donne  la  formule  la  plus  simple  ;  j'obtiens. 


LETTRE    22.  37 

en  effet,  pour  cette  somme,  la  quantité  suivante  : 

_,[,.,„,.H,(^).E.(-^>E.(^)-...]. 

^  ous  avez,   ^Jonsieur,  très  heureusement  exprimé  ])ar  la  formule 

8[2-(-i)«]'^(n), 

dont  l'idée  ne  m'était  jamais  venue,  le  nombre  des  représentations 
de  «par  une  so«ime  de  quatre  carrés,  et  je  mettrai  à  profit  votre 
expression  dans  mes  recherches.  La  fonction  sommatoire  m'a  con- 
duit à  introduire  la  quantité  ainsi  définie  ('  )  : 

E-iix)  =  E(a;)Ei 

et  je  trouve  en  faisant  ]iour  abréger  à  (n)  =  [3  -f-( —  i)"]'j  (/?), 
les  équations  suivantes  : 

'!^{i)-^'l{2)^...^'!^{n) 


H'î)-H'^)-H^) 


r-) 


mais  bien  des  calculs  me  restent  encore  à  faire  pour  arriver  à  trans- 
former la  somme  'i;(i)  + '^(a)  +.  .  .-\-'\>{n)  de  la  même  manière 
que  cp(3)  +  0(7)  -+-•  •  •+  ç(4^i  —  0- 

Je  ne  puis  douter  que  vous  n'arriviez  à  démontrer  mes  formules 
pour  la  somme  /(i)  4-/(2)  -j-.  .  --{-/{n)  en  suivant  la  voie  que 
vous  m'avez  indiquée.  Beaucoup  d'autres  doivent  s'y  ajouter,  et 
je  m'occupe  de  les  réunir,  mais,  chemin  faisant,  je  suis  revenu  à  la 
fonction  F(/?)  exprimant  le  nombre  des  représentations  de  n  pai- 
une  somme  de  trois  carrés.  On  a  alors 

F(i)--F(2)-^...^F(/0  =  2E(v/rt)+:So(c)[i  --E(v//r^=^)], 
(')  Voii"  la  noie  de  la  page  44- 


38  CORRESPONDANCE    d'iIKKMITE    ET    DE    STIELTJES. 

en  supposant  que  'f  (c)  soil  le  nombre  des  représentations  de  c  par 
une  somme  de  deux  earrés  et  qu'on  prenne  c=  i,  2,  3,  .  .  .,  n. 
C'est  sous  une  forme  toute  paredle  que  peut  se  mettre  la  fonction 
sommatoire  du  nombre  des  décompositions  en  cinq  carrés. 

Je  souhaite  vivement,  Monsieur,  que  les  devoirs  d'enseignement 
auquel  vous  éles  appelé  vous  laissent  assez  de  loisirs  pour  songer 
à  l'Arithmétique.  Permettez-moi  de  vous  demander,  lorsque  vous 
me  retournerez  votre  Note  ci-jointe,  si  l'Ecole  Polytechnique  de 
Delft  est  à  la  fois  civile  et  militaire,  comme  notre  Ecole  Polj- 
lechnique,  quelle  est  la  durée  des  études  et  cjuelles  sont  les  matières 
de  l'enseignement.  En  vous  remerciant  de  votre  intérêt  pour  ma 
santé  qui,  sans  être  parfaite,  ne  met  cependant  pas  obstacle  à  mon 
travail,  je  vous  prie,  Monsieur,  de  recevoir  la  nouvelle  assurance  de 
jna  haute  estime  et  de  mes  sentiments  bien  sincèrement  dévoués. 

23.  —  STIELTJES  A  II ERMITE. 

La  tlaye,  17  octobic  i883. 
Monsieur, 

Il  semble  bien  c[ue  la  manière  que  j'ai  suivie  pour  arriver  à  votre 
transformation  de 


dilFère  de  celle  que  vous  avez  employée.  Je  forme  le  Tableau 

I    I,     -i-,     3,     4,      j,     6,     7,      ,     E(  -  j, 

',     2,     3,     4,     5,     6,     7,      'm  "3  '' 


(A) 


1 ,      a .     o ,      

I,     2,     3,      K 


I,  -i, 

1,   ■', 


■ip  —  \ 


LETTRE    23.  89 

La  somme  de  tous  les  nombres  de  ce  Tableau  sera  égale  à  4^sl 
l'on  a  eu  soin  de  changer  les  nombres  de  la  première,  troisième  el 
cinquième  ligne  horizontale  en  +  i ,  ceux  de  la  deuxième,  qua- 
trième et  sixième  ligne  horizontale  en  —  i .  De  plus,  si  l'on  désigne 

par  s(/)  -  -  E  (  —  —  j  le  nombre  des  nombres  impairs  i ,  3,  5,  -,  . .  . 


qui  ne  surpassent  pas  t  (l  étant  entier  ou  non),  on  voit  facilement  que 
la  première  ligne  verticale  contient  £( -)  -^  E  ( )  nombres. 


la  seconde  liiine  verticale  en  contient  ef  -  )  =  E(  — —  ],  la  troi- 


\,  2/  \     4      / 

sième  eZ-jr— E(— ; — ),   etc.    Soit   encore  <f{x)  la  somme  des 
X  premiers  termes  de  cette  série 

I  —  I-T-I  —  I-^I  —  I-l-I   —  T-f-.... 

en  sorte  que  la  somme  des  nomlires  de  la  yj*"^'™''  ligne  verticale  est 

Considérons  maintenant  votre  nombre  \  : 

,  \/8/i-t-H-i 


2  A  -+-  2  £  —  I  = 


d'où 


donc 


O,  -^^ 2    A  -!-  £    r:   À, 

•2  À  —  I  ^ 


2  X  -+-  I     ""        -r-  o  ^    ^ 


c'est-à-dire  la  À"'""' ligne  Ao/7'^o/?/rt/e  contient  }v  nombres  au  moins^ 
la  X.  -h  1"'"°  en  contient  A  au  plus.  Maintenant  on  pourra  obtenir  la 
somme  de  tous  les  nombres  de  (A)  (après  le  changement  indiqué 
en  ±  i)  en  prenant  d'abord  les  À  premières  lignes  Iwrizontales ; 
cela  donne 


4o  CORItESPO.XDANCE    d'hEUMITE    ET    DE    STIELTJES. 

puis  on  prendra  les  ).  ])remières  lignes  verticales  :  cela  donne 

On  aura  maintenant  compté  deux  fois  les  nombres  qui  sont  écrits 
dans  un  carré  avec  le  côté  )>  ;  il  faut  encore  retrancher  leur  somme 
qui  est  égale  à  ).©().);  donc 

Cela  ne  diffère  pas  essentiellement  de  la  formule  que  vous  avez 
obtenue. 

Le  même  raisonnement  s'applique  pour  transformer  l'expression 

avec  cette  seule  différence  que  o{x)  sera  maintenant  la  somme 
des  X  premiers  termes  de  la  série 

i-^i  —  I  —  i-f-i-f-i  —  I  —  i-t-   ... 

Vous  voyez,  donc  bien.  Monsieur,  combien  fut  simple  l'applica- 
tion de  votre  transformation  à  ce  nouvel  exemple 

dès  que  j'avais  trouvé  la  démonstration  que  vous  venez  de  lire  de 
votre  formule. 

Je  suis  trop  pressé,  en  ce  moment,  ])our  ajouter  encore  d'autres 
développements.  L'Ecole  Polytechnique  de  Delft  est  une  école 
civile;  tous  nos  ingénieurs  civils,  des  mines,  etc.,  sortent  de  cette 
école.  Dans  les  deux  premières  années,  les  élèves  ont  à  suivre  des 
cours  d'Anal jse,  de  Géométrie  analytique  et  descriptive.  La  Méca- 
nique fait  partie  du  cours  des  deux  dernières  années,  le  cours 
complet  comprenant  quatre  années.  En  arrivant,  les  élèves  pos- 
sèdent les  éléments  de  la  Géométrie  descriptive,  mais  ils  n'oni 
point  de  notion  encore  de  la  Géométrie  analytique  et  de  l'Analyse. 

Je  ne  trouve  rien  à  changer  à  la  Note  que  vous  avez  bien  voulu 
transcrire,  et  qui  pourra  paraître  dans  les  Comptes  fendus  si  cela 
vous  paraît  utile.  Veuillez,  encore  cette  fois,  recevoir  les  remercî- 
ments  de  votre  très  dévoué. 


LKTTRI':  2i.  4' 

p.  s.  —  Veuillez  bien  adresser  mes  lettres  encore  à  Lejde; 
ordinairement  elles  me  parviendront  ainsi  ])lus  tôt.  Vous  aurez 
bien  remarqué  que  je  n'avais  point  encoi'e  reçu  votre  dernière  lettre 
quand  je  vous  acbessais  ma  lettre  du  i  5  octoln"e. 


24.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  19  octol)ie  i883. 
MOJNSIEUII, 

La  démonstration  que  vous  venez  de  me  communiquer  de  ma 
transformation  de  la  somme 


C=Kff)-Ef" 


m'a  fait  le  plus  grand  plaisir,  et  mon  intention,  qui,  j'es]ière,  ne  vous 
contrariera  pas,  sera  d'insérer  votre  lettre  du  i^  octobre  dans  mon 
travail,  en  disant  que  vous  me  l'avez  adressée  en  réponse  à  la 
communication  de  l'énoncé  de  ma  proposition.  Les  méthodes  en 
Arithmétique  sont  loin  de  se  présenter  aussi  variées  et  aussi  nom- 
breuses qu'en  Analyse,  et  je  ne  puis  m'empêcher  de  croire  qu'il 
sera  utile  de  donner  pour  parvenir  aux  mêmes  conclusions,  deux 
procédés  très  différents,  surtout  lorsque  le  vôtre  s'applique  à  des 
(juestions  que,  par  le  mien,  je  ne  puis  aborder.  En  effet.  Monsieur, 
je  suis  moins  que  vous,  vir  aritliineticus,  comme  dit  Jacobi  :  je 
ne  fais  que  recueillir  chemin  faisant,  dans  le  champ  des  fonctions 
elliptiques,  quelques  résultats  faisant  suite  au  n"  40,  p.  io3  des 
Fondamenta,  et  mon  travail  s'intitulera  par  conséquent  :  Sur 
quelques  nouvelles  applications  à  V Arithmétique  de  la  théorie 
des  fonctions  elliptiques.  Je  compléterai,  si  vous  voulez  bien,  en 
ce  qui  concerne  les  nombres  ^n  -f-  i,  ce  que  je  vous  ai  précédem- 
ment dil  sur  la  somme  des  valeurs  de  la  fonction  ^{x)  où  co(^)  est 
la  somme  des  diviseurs  impairs  de  x,  en  considérant  les  nombres 
4  n  --  .  ) . 
Soit 

je  distinguerai   deux  cas  suivant  que  4 '? -^  ■'>   est  différent  d'un 


!\2  CORIU-SI'ONDA.NC.K    l)  llKHMITi;    KT    DK    STIKLTJKS. 

carr('',  ou  hini  éi;;)!  à  iiu  carré.  On  a  dans  le  |)reiiiier,  la  lormiile 

C5  (  0  -H  'i  (  j  )  -4- .  .  .  -4-  o  (  .  rt  -+-  1  I  —  '-i  7   1'-  M 7, 

'        •  •  '  .^d         \  V.  C  ^  I  /  3 

(c  =  1 ,   2,  3,   .  .  . ,  À  —  i)  ; 

dans  le  second  cas.   le   terme  algébiiqne   se  modifie,   et    j'oliliens 
alors 


cp(r)-f-ç(5)-^.  ..-^o(/in^i)  =  'A^Ï{.'-  ("^_^) 


3 


Mais  vos  devoirs  à  1  École  Polytechnique  vont  réclamer  tout 
votre  temps  et,  comme  je  le  fais  moi-même,  vous  allez,  Monsieur, 
renoncer  aux  recherches  pour  ne  songer  <]u'à  vos  leçons.  Je  vois 
que  l'Ecole  de  Delft  ressemble  bien  plus  à  notre  Ecole  Centrale 
<ju'à  TEcole  Polytechnique,  pour  son  objet,  comme  pour  l'ensei- 
gnement qui  y  est  donné,  et  c'est  en  vous  remerciant  des  détails 
cfue  vous  avez  eu  la  bonté  de  me  donner  pour  satisfaire  à  ma 
curiosité  que  je  vous  renouvelle  l'expression  de  ma  plus  haute 
estime  et  de  mes  sentiments  bien  dévoués. 


25.  -  II ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  24  octobre  i8S3. 
MoNSIEUT^, 

Les  théorèmes  que  vous  venez  de  me  communicjuer  sur  la 
somme  des  valeurs  de  la  fonction  f{ii)  pour  les  valeurs  de  11  qui 
sont  E^  I  ou  ^  5  mod8,  m'ont  paru  si  intéressants  que  je  n  ai  pu 
m'empêcher  de  donner  à  l'Académie  les  résultats  auxquels  vous 
êtes  parvenu,  ainsi  cjue  ceux  qui  concei'nentla  fonction  '-^{n).  Vous 
ne  serez  point  mécontent,  je  l'espère,  de  trouver  dans  le  prochain 
numéro  des  Comptes  rendus  les  énoncés  de  vos  théorèmes  con- 
tenus dans  votre  lettre  du  20  octobre,  en  même  temps  que  votre 
proposition  sur  la  somme  des  nombres  de  représentation  de  n  par 
Va  forme  x- -\-  2J'-.  Il  me  parait  hors  de  doute  que  vos  méthodes, 
(jui  permettent  de  démontrer  les  résultats  tirés  des  formides  de  la 
théorie  des  fonctions  elliptiques,  vont  plus  loin  et  donnent  des 
résultats  entièrement  nouveaux.  Les  deux  points  de  vue  auront 
donc,  à  la  fois,  un  domaine  commun  et  des  domaines  distincts,  par 


LETTRE    25.  4'^ 

exemple,  en  ce  qui  concerne  la  théorie  des  formes  quadratiques  de 
déterminants  négatifs.  En  particulier,  pour  les  déterminants  —  D, 
lorsque  D^3mod8,  la  théorie  des  fonctions  elliptiques  con- 
duit à  introduire  la  fonction  numérique  qui,  à  l'égard  d'un 
nombre  /?^^3mod4,  représente  l'excès  du  nombre  de  ses  divi- 
seurs ^  I  sur  le  nombre  des  diviseurs  ^  3  mod4  sous  la  condition 

que  ces  diviseurs,  d'une  espèce  et  de  l'autre,  soient  inférieurs  à  y//?. 

Posant  donc 

,i  —  \ 

où  d  représente  tous  les  diviseurs  de  n  moindres  que  sa  racine 
carrée,  et  désignant  par  F(N)  le  nombre  des  classes  proprement 
primitives  de  déterminant  — N,  on  a  pour  la  somme 

F(3)-F(ii)-...-Fi//) 
où  n  zh;  3  modS,  la  \aleur 

'];(3)  +  'j/(ii)+...-H'i(7i) 

+  22<|;(/0  R(iV«^^-)  --<2]'^^^)  f^^(iv/'^^^^+  à)- 

Il  faut  prendre,  dans  les  sommes,  pour  /,■  et  /,  les  valeurs  : 
A'  =z  3,  II,  . .  . ,  n;  l  =  '],  1 5,  •  •  • ,  n  —  4  e^  relativement  à  la  fonc- 
tion '^(/i)  je  trouve  ces  formules 

J;(3) -4- ^.(7)  ^-.  .  .- <|.(4  N -^  3  )  -^2  ^- ')'""' E  (^"T^ZT^)  ' 

i;(3;  -  4^(7) +  . .  .±  <].( 4'N  ^  3)  =2  E.  (^4v:':t^') • 

Pour  ce  qui  concerne  la  somme  des  diviseurs  d'un  entier  impair, 
j'entrevois  dès  à  présent  que  les  formules  elliptiques  donnent  les 
théorèmes  que  vous  avez  découverts,  où  l'on  distingue  entre  les 
diverses  formes  de  n,  par  rapport  au  module  8.  Mais  déjà  sur- 
viennent des  devoirs  qui  m'obligent  d'aller  à  la  Sorbonne,  faire  des 
examens  de  baccalauréat,  et  il  faut  m'arracher  à  mes  réflexions  et 
à  mes  calculs. 

Recevez,  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de  ma  vive  sympathie 
et  de  mes  sentiments  de  haute  estime. 

Je  crains  de  vous  avoir  inexactement  donné  la  définition  d'une 


44  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

(les  fonclions  que  je  nomme  ^^{x)  et  E:i(x\:   permettez-moi  de 
vous  indiquer  les  expressions  exactes  qui  sont 

Es(x)  =  Ii;(a7-f-  i)[i  —  -iEiix}]. 
Ces  expressions  me  servent  dans  l'étude  de  la  fonction  cp(/i)  ('). 

26.  -  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Leyde,  28  octobre  i883. 
Monsieur, 

Certainement  je  ne  suis  point  mécontent  de  ce  que  vous  avez 
communiqué  à  l'Académie  quelques  formules  que  j'ai  rencontrées 
en  méditant  sur  les  résultats  que  vous  avez  bien  voulu  me  commu- 
niquer. Mais,  comme  je  l'ai  déjà  dit,  tout  cela  est  facile;  toutefois, 
cela  met  sur  la  voie  de  déduire  d'autres  formules  plus  difficiles. 

J'ai  consulté  de  nouveau  vos  beaux  Mémoires  dans  les  Tomes  VIT 
et  IX  (2^  série)  du  Journal  de  Mathématiques ,  et  je  crois  main- 
tenant être  sûr- de  pouvoir  démontrer  à  ma  manière  arithmétique 
les  formules  de  M.  Rronecker  et  d'autres  H[ui  résultent  de  la 
théorie  des  fonctions  elliptiques.  Toutefois,  dans  mes  recherches, 
je  fais  usage  de  votre  manière  d'introduire  la  notion  de  classe, 
c'est-à-dire,  elle  est  remplacée  par  celle  du  nombre  des  fomnes  d'un 
système  complet  de  formes  réduites.  Pour  moi,  je  n'ai  point  de 
doute  que  ma  méthode  n'ait  pas  une  grande  analogie  (ou  peut-être 
ne  diffère  pas  essentiellement)  de  celle  que  M.  Liouville  a  suivie 
dans  ses  recherches.  Mais,  pour  le  moment,  je  n'ai  pu  consulter 
encore  c[ue  les  deux  volumes  précités  du  Journal  de  Mathéma- 
tiques, et  je  ne  sais  pas  encore  si  M.  Liouville  n'a  pas  exposé  sa 
méthode  dans  un  autre  endroit.  Vous  m'obligerez  infiniment  en 


(  '  )  La  Note  aux  Comptes  rendus  mentionnée  au  début  de  cette  lettre  est 
insérée  dans  le  nuuiéro  du  22  octobre  et  intitulée  :  Sur  quelques  tliéorèmes 
aritfimétiques  (extrait  d'une  lettre  adressée  à  Hermite).  Cette  Note  a  trois 
pages  dont  la  troisième  contient,  avec  de  légers  changements  de  rédaction,  la 
seconde  moitié  de  la  lettre  20  du  10  octobre.  Les  deux  premières  pages  devaient 
se  trouver  dans  la  lettre  du  20  octobre,  qui  manque. 

L'expression  de  '^^{x)  donnée  à  la  fin  du  post-scriptum  diiïère  de  celle  donnée 
dans  la  lettre  22. 


LETTRE    26.  45 

me  renseignant  sur  ce  point.  En  ce  moment,  j'ai  en  effet  reconnu 
la  source  de  plusieurs  des  théorèmes  de  M.  Liouville.  Mais,  en  tout 
cas,  pour  pouvoir  dire  quelque  chose  de  plus  certain  sur  cet  objet, 
je  devrai  faire  une  étude  sérieuse  des  résultats  de  M.  Liouville 
dans  leur  ensemble,  ce  que  je  n'ai  pu  faire  encore  et  ce  que  je  ne 
pourrai  faire  dans  les  premiers  mois. 

Je  veux  ajouter  quelques  remarques  sur  vos  dernières  formules. 
En  premier  lieu,  n^  3  modS.  Alors 

F(3:)^F(ii)-.-...-F(«) 
=  4.(3)  +  -|;(ii)-H...-^.^(«} 

-^i^^{k)E{\^'iir^^c)  (A- -3,  II,  ....  rt) 

^^y  t{;(/)E(V;r^TH-|)         (/  =  7,  i5,   ...,  rt-4): 
dans  votre  lettre,  vous  avez  écrit,  par  une  inadvertance 

Cette  formule  est  équivalente  à  celle-ci  : 

F(/i)  =  J/( «)  -1-  24'(/i  —  4- 1^)  -i-  '-^'K  'i  —  4-'-i^  j  -t-  '•^4'(^  ~  4-3" )  -. . . . 

en  ce  sens  que  l'on  déduit  immédiatement  l'une  de  ces  formules 
de  l'autre.  Mais  cette  dernière  formule  se  trouve,  sous  une  forme 
un  peu  différente,  dans  la  lettre  que  M.  Liouville  vous  a  adressée 
(t.  VII  du  Journal,  p.  43,  44)-  H  tlit  •  "  Or,  je  trouve  que  ce 
nombre  (des  solutions  771  =  i'--^  i''--\-  i"-  où  /,  /',  i"  sont  impairs 
et  positifs)  s'exprime  aussi  au  moyen  de  p'(/i)[  =  tl;(/i)],  par 

p'(m)  --  2p'(/?i  —  4- 1^^  -i-  2p'(m  —  4-2^)  —  . . . .  » 

M.  Liouville  dit  lui-même,  du  reste,  que  cette  formule  se  tire  aussi 
de  vos  formules. 

Quant  à  vos  formules  pour  les  sommes 

J;(3)  ±  6(7)  +  4'(iO  ±- • -^ '}'(4N  4- 3), 

j'ai  reconnu  qu'on  peut  les  déduire  directement  de  la  définition 
même  de  la  fonction  »];.  Il  j  a  encore  d'autres  formules  du  même 
genre,  par  exemple, 

^      ^        '  ^    :  '  ~  2  2.3  2 . D 


46  CORRESPOXDA.XCE    U  HEUMITE    ET    DE    STIELTJES. 

On  doit  avoir  des  formules  analogues  pour  la  i'ouclion 


tandis  nue 


<^in)  =  S(  —  ij   2    . 


par  exemple, 

cp(3)  +  cp(7}-T-...-^cp(4N^3) 

mais  tout  cela  est  très  facile. 

^  ous  êtes  tellement  au  courant  dans  cet  ordre  de  recherches  que 
j'ose  vous  prier  (sans  que  cela  doive  vous  coûter  de  la  peine)  de 
vouloir  bien  m'indiquer  si  les  formules  de  M.  Kronecker  ont  été 
l'objet  d'autres  recherches,  que  je  ne  connais  pas  encore.  Mais  il 
n'j  a  pas  de  hâte  :  dans  ces  premiers  mois  je  ne  puis  songer  à  des 
études  sérieuses. 

Je  vous  prie,  Monsieur,  d'agréer  l'expression  de  mon  respect 
et  de  mon  entier  dévouement. 


27.  ~  HERMITE  A   STIELTJES. 

Pai'is,  5  novembre  i883. 


Mowi 


Recevez  tous  mes  compliments  pour  le  beau  théorème  con- 
cernant la  décomposition  en  cinq  carrés  des  nombres  N^o  modS, 
que  vous  m'avez  communiqué  et  que  je  présenterai  aujourd'hui 
à  l'Académie  pour  qu'il  soit  publié  dans  le  prochain  numéro  des 
Comptes  rendus  [^).  A  votre  lettre  j'ajoute  une  courte  Note  dans 
laquelle  je  donne,  pour  le  même  objet  cjue  vous  avez  eu  en  vue,  la 
propriété  suivante,  qui  se  tire  des  formules  de  la  théorie  des 
fonctions   elliptiques.   Décomposons    de    toutes  les    manières  un 


(')  Entre  la  lettre  26  et  la  lettre  27,  il  existe  une  lettre  de  Slieltjes  à  Iler- 
niite  contenant  la  Note  :  5m/'  la  décomposition  d'un  nombre  en  cinq  carrés, 
publiée  aux  Comptes  rendus  du  5  novembre.  Cette  lettre  manque. 


LETTRE    27.  /)7 

entier  n  's^  i  mod4  en  deux  facteurs  d  et  d'  assujelLis  à  la  condi- 
tion suivante  :  <:/'>  3<i,  et  posons 


7/«)  ^^-iC^d-d'). 


Le   nombre   des   décompositions   de   N  (en   cinq   carrés  impairs, 
à  racines  positives)  sera 

Je  saisis  cette  occasion  pour  vous  donner  l'assurance  que 
AI.  Liouville  n'a  rien  publié  sur  l'Arithmétique  en  dehors  des  nom- 
breuses Notices  contenues  dans  les  derniers  ^  olumes  de  son 
Journal  de  Malhéniatiques.  J'aurais  bien  préféré,  au  lieu  de 
fragments  disjecli  meinhra  poëtœ,  un  seul  et  unique  Mémoire 
bien  condensé,  où  le  lecteur  aurait  à  la  fois  le  principe  et  les 
diverses  applications  de  la  méthode.  Mais  M.  Liouville,  à  qui  j'ai 
exprimé  ce  désir,  n'a  point  voulu  le  satisfaire,  sans  doute  pour  se 
réserver  à  lui  seul  la  récolte  plus  complète  de  toutes  les  consé- 
quences de  sa  découverte  première.  Sur  ce  même  sujet,  vous  trou- 
verez dans  les  Comptes  rendus  une  ou  deux  Notes  du  P.  Joubert, 
entre  1860  et  i8jo;  mais  c'est  un  géomètre  allemand  extrêmement 
distingué,  M.  J.  Gierster,  dont  les  recherches  vous  intéresseront  par 
leur  importance.  M.  Gierster  a  suivi  la  voie  ouverte  par  M.  Kro- 
necker,  et  ce  m'est  un  regret  de  n'avoir  pu,  à  cause  de  l'allemand, 
lire  et  étudier  ses  travaux  qui  me  semblent  extrêmement  remar-- 
quables.  Cette  difficulté  n'existant  pas  pour  vous,  permettez-moi, 
IV'Ionsieur,  de  vous  adresser  un  exemplaire,  que  l'auteur  a  eu  la 
bonté  de  m'envojer,  de  l'un  de  ses  Mémoires,  et  que  vous  pourrez 
conserver  aussi  longtemps  qu'il  vous  sera  utile.  Vous  trouverez,  en 
consultant  la  table  des  matières  des  Matkeniatische  Annalen, 
ses  autres  publications  sur  ce  sujet;  mais  j'ai  lieu  de  penser  que 
c'est  celle  que  je  joins  à  ma  lettre  qui  est  la  plus  étendue  et  la  plus 
importante. 

En  vous  souhaitant,  avec  la  continuation  de  vos  succès,  un  bon 
courage  pour  mener  de  front  le  travail  de  recherches  avec  les 
leçons  et  les  devoirs  d'enseignement,  je  vous  prie.  Monsieur,  de 
recevoir  la  nouvelle  assurance  de  ma  plus  haute  estime  et  de  mes 
sentiments  bien  sincèrement  dévoués. 


48  COKIIESPONDANCE    D  IlERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

28.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE . 

Leyde,  6  novembre  i883. 
MoJNSIEUK, 

Vous  m'avez  fait  un  très  grand  plaisir  par  la  communication  de 
votre  formule  pour  la  décomposition  d'un  nombre  8/i-f-  5  en  cinq 
carrés,  formule  beaucoup  plus  cachée  que  celle  que  jai  donnée. 
En  efi'et,  le  raisonnement  qui  m'avait  donné  ma  formule  était  assez 
compliqué  et  curieux,  ce  qui  m'avait  empêché  de  reconnaître  le 
véritable  caractère  de  ma  formule.  Maintenant,  j'ai  reconnu  que 
cette  formule  peut  se  démontrer  d'une  manière  assez  simple,  et  l'on 
peut  établir  un  grand  nombre  de  formules  analogues  pour  la 
décomposition  en  3,  5,  "j  carrés  impairs;  mais  dans  toutes  ces  for- 
mides  entrent  seulement  les  fonctions 


2 


m  impair,  d  parcourant  les  divisevus  de  m. 

Ces  fonctions  jouissent  toutes  de  la  propriété  expiùmée  par 

F(m)F(/i)=  Y  {mil), 

m  et  n  étant  premiers  entre  eux.  Mais  elles  ne  sont  point  de  la 
nature  singidière  de  votre  fonction  'b  et  de  cette  fonction  nou- 
velle y, 

■/  {n)  =  N  { (  3  û?  -f-  <i'  ),         d'  >  3  d.         ti  =  dd' 

que  vous  avez  introduite. 

Païuni  les  résultats  auxquels  je  suis  parvenu  il  j  a  quelque  temps 
il  en  reste  cependant  un  qui  me  parait  avoir  plus  d  intérêt.  Le 
voici  : 

Soit  n  :=  8A"  ±  3,  F(/i)  le  nombre  des  classes  pour  le  détermi- 
nant —  n,  excluant  les  formes  avec  les  coefficients  extrêmes  pairs 
tous  les  deux.  Alors 


2f(„ 


\r^)=  —  {^'{n)         u-^o,  ii:i,±2, 


LETTRE    29.  49 

$'(aî)  est  la  fonction  de  M.  Kronecker 


*''"'=2(3 


d 

d  parcourant  les  diviseurs  de  n. 

Cette  formule,  en  effet,  ne  semble  point  rentrer  dans  les  formules 
données  par  M.  Kronecker,  tandis  que  la  sommation  s'effectue 
encore  par  cette  fonction  simple  ^' [n).  Dans  les  Monatsberichte 
de  1875,  p.  22.3-236,  M.  Kronecker  a  donné  de  nouvelles  relations  ; 
mais,  comme  il  le  remarque,  dans  ces  nouvelles  formules  il  entre 
des  fonctions  arithmétiques  plus  compliquées,  en  sorte  qu'il  reste 
toujours  encore  possible  que  ses  anciennes  formules  soient  les 
seules  où  entrent  seulement  ces  simples  fonctions  arithmétiques, 
qui  ne  dépendent  que  de  la  totalité  des  diviseurs  d'un  nombre. 

J'ai  communiqué  cette  formule,  il  J  a  quelques  jours,  à  M.  Kro- 
necker, mais  je  ne  sais  pus  encore  son  opinion  là-dessus. 

Je  vous  suis  extrêmement  reconnaissant  pour  l'envoi  du  Mémoire 
de  M.  Gierster  qui  ne  m'était  point  connu.  Mais  je  ne  pourrai  l'étu- 
dier, comme  il  le  mérite,  dans  le  premier  temps,  en  sorte  que  je 
devrai  faire  usage  de  votre  permission  de  le  conserver  assez  long- 
temps. 

Veuillez  bien  agréer.  Monsieur,  l'expression  de  mon  profond 
respect  et  de  mon  entier  dévouement. 


39.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  9  novembre  i883. 
Monsieur, 

Un  deuil  de  famille  m'oblige  de  quitter  Paris;  permettez-moi 
avant  de  partir,  de  vous  demander  si  vous  voudriez  bien  rédi<^er 
pour  les  Comptes  rendus,  une  Note  contenant  les  résultats  que 
vous  venez  de  découvrir,  pour  la  décomposition  en  3,  5  et  7  carrés 
impairs.  Je  ne  puis,  par  mes  moyens,  d'aucune  façon  aborder  le 
cas  de  7  carrés,  et  ma  méthode  ne  me  conduit  aucunement  à  vos 
fonctions  -I/q,  '},,  'h-^'i  vous  rendi-ez  donc  service  à  ceux  qui  aiment 
l'Arithmétique,  en  annonçant  des  théorèmes  entièrement  nouveaux 
et   d'un    grand   intérêt.    Joignez-j,    Monsieur,   cette    proposition 

4 


5o  CORRESPONDANCK    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

2F(/i  —  8r-)  =  —  ^^'(^n)  qui  tient  aussi  à  des  principes  différents 
de  ceux  que  j'ai  employés,  et  qui  doivent  avoir  une  grande  puis- 
sance. A  mon  retour,  j'ajouterai  quelques  remarques  à  ce  que  je 
vous  ai  déjà  dit  de  la  fonction  y  (/i);  en  l'employant  pour  toutes  les 
valeurs  impaires,  et  les  valeurs  paires  divisibles  par  4,  de  n,  elle 
donne  le  nombre  des  décompositions  d'un  entier  quelconque  en 
5  carrés. 

Croyez,  Monsieur,  à  mes  meilleurs  sentiments  d'affection  et  de 
haute  estime. 

30.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Lej-de,  12  novembre  i883. 
Monsieur, 

En  réponse  à  votre  dernière  lettre,  je  vous  adresse  ci-joint  une 
Note  contenant  un  théorème  que  je  crois  nouveau.  Ce  théorème 
s'est  offert  à  moi,  il  y  a  quelques  jours,  sans  que  cela  m'ait  coûté 
la  moindre  peine.  En  effet,  c'est  une  conséquence  si  facile  des  ré- 
sultats que  j'ai  obtenus  auparavant,  que  je  m'étonne  de  ne  l'avoir 
point  vu  immédiatement. 

Je  n'ai  pas  encore  eu  le  loisir  nécessaire  pour  voir  par  quelle 
formule  ce  théorème  s'exprime  dans  la  théorie  des  fonctions  ellip- 
tiques. 11  serait  intéressant  de  déduire  encore  ce  théorème  de  cette 
théorie. 

Vous  trouverez  plus  bas  les  formules  que  j'ai  obtenues  concer- 
nant les  décompositions  en  cinq  et  sept  carrés  ;  mais  peut-être  il  en 
existe  encore  d'autres,  et  je  crois  qu'il  sera  sage  d'ajourner  la 
publication  jusqu'à  ce  que  j'aurai  eu  l'occasion  de  revenir  à  cette 
recherche.  Dans  ce  moment,  d'autres  devoirs  ne  me  laissent  pas 
le  loisir  nécessaire. 

J'attends  avec  impatience.  Monsieur,  les  observations  que  vous 
m'avez  promises  concernant  votre  fonction  '/{ri). 

J'espère  bien  retrouver  vos  résultats  à  l'aide  de  considérations 
arithmétiques;  cela  sera  le  premier  travail  que  je  me  propose  d'en- 
tamer. 

Croyez-moi,  Monsieur,  toujours  votre  très  reconnaissant  et 
dévoué. 


LETTRE    30.  5l 

m  impair,  m  =  dd'  : 

Fi(/i) «  =  8 /i -H  5,  nombre  des  solutions  de 

«  =  a?^ -H  J/2 -H  ^32  _^  1(2  _4_  jf  2  j 

¥=i{n). .'. n  =  8/i  -t-  7,  nombre  des  solutions  de 

n   =  37-2  -+-  j2  _|_  ^2  _|-  ;2  4.   j<2  _,_  (;2  _,_  ^^2. 

JT,  jKj  -3,  ^,  î^,  t',  ^v  positifs  impairs  : 
n  —  i-\  f  n  —  3"-' 


Fi(«)  =  cp 


4         /  \         4 


8F,(„,  =  ,,(^)+,.('±^)^,,(Î 


8Fi(rt)  =  cpi(n)  +  2cpi(/i  —  2^)  +  2(pi(n  —  42)  +  .  .  ., 
6  î  F.2  (yi  )  =  <p2  (  «)  +  2 cf  2 (  Ai  —  22  ^  _,_  2  cp, (  n  —  42  ■)  _|_  ,  _  ^ 

4Fi(«)  =4/i(/i)-H  2<|;i(/i  — 8.i2)  +  2(];,(n  —  8.22)  +.  .  ., 
48F2(«)  =  '4;2(/i)  +  2f2(«  — 8.i2)-h2(|;2(n  — 8.22)+..., 

2Fi(n)  =  l{;i(n  — 2.l2)  +  (];i(/t  —  '^.32)  +  .l;i(/i  — 2.52)  -^.  .  ., 
24  F2  (  n  )  =  ({^2  (  «  —  2 .  I  2  )  -1-  (l>2  (  «  —  2 .  32  )  -i-  4/2  (  n 2  .  52  )  -f-  .  .  .  . 

Siu^  un  nouveau  théorème  d^ arithmétique . 

On  connaît  le  beau  théorème,  trouvé  par  Legendre  et  démontré 
par  Gauss,  qui  établit  une  relation  si  simple  entre  le  nombre  des 
décompositions  d'un  nombre  entier  /r  =  8A'-l-3  en  trois  carrés 
impairs  et  le  nombre  des  classes  de  formes  quadratiques  de  déter- 
minant —  n. 

J'ai  trouvé  qu'il  existe  un  théorème  analogue  pour  tout  nombre 
entier  de  la  forme  SA"  +  5. 

Désignons  généralement  par  F(/?)  le  nombre  des  classes  de 
formes  quadratiques  de  déterminant  — n^  les  coefficients  extrêmes 
étant  positifs,  et  excluant  dans  le  cas  «  =  8/r4-  3  les  formes  qui 
ont  ces  coefficients  pairs  tous  les  deux.  Alors,  n  étant  ^5  (mod8) 


52  CORRESPONDANCE   D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

le  nombre  des  solutions  de  l'équation 

H  =  X-  -+-  ly-  -\--  -iz-, 

en  admettant  pour  x,  y,  z  seulement  des  valeurs  positives  et  im- 
paires, est  égal  à  |F(/î). 

Voici  encore  deux  vérités  qui  sont  intimement  liées  à  ce 
théorème. 

Posons  pour  un  nombre  impair  quelconque  n 


^("^=^2(i)^' 


d  parcourant  tous  les  diviseurs  de  n,  d'  étant  le  diviseur  complé- 
mentaire, en  sorte  que  dd'  =  n. 
Alors  on  a 

F(n)  —  2F(/Z  —  8.l2)4-2F(/J  —  8.22)  +  2F(«  — 8.32)-t-...=  i'j;(/0, 

pour  //  =  8/>r  -j-  3  ou  n  =  S k  -{-  5  ;  et  puis 

F(«  —  2.i2)-HF(«  —  2,32)  -H  F(7l  —  2.52)-f-..  .=   i(p(«), 

pour  n  ^=  8k  +  5  on  n  ^  8A  +  7. 

31.  _  SriELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  i5  novembre  i883. 
jMojvsieur, 

Depuis  que  je  vous  ai  adressé  ma  dernière  lettre,  j'ai  pu  consulter 
les  Disqu.  Arithin.  J'ai  vu  alors  que  le  théorème  auquel  j'ai  été 
conduit  par  des  considérations  d'une  autre  nature  est  encore,  un 
simple  corollaire  de  ce  que  Legendre  a  trouvé  par  induction  et  de 
ce  que  Gauss  a  prouvé  dans  son  Art.  292  (je  n'ai  à  ma  disposition 
que  la  traduction  par  Pouillet-Delisle,  p.  349-35o).  J'aurais  donc 
dû  mentionner  cette  circonstance.  Pour  le  moment,  je  ne  puis  que 
vous  prier  de  retirer  ma  Note  et  de  ne  la  point  pi'ésenter  à  l'Aca- 
démie. En  effet,  Monsieur,  je  sens  bien  qu'il  faudra  attendre 
jusqu'à  ce  que  j'aurai  la  tête  libre  et  pourrai  approfondir  plus 
à  mon  aise  toutes  ces  choses,  avant  que  de  publier  mes  études. 
Voici  encore  quelques  formules  (si  vous  voulez  bien  en  prendre 
t'onnaissance  )  qui  pourront  se   déduire,  sans  doute,  toutes  de  la 


LETTRE    31.  53 


même  source,  c'esl-à-dire  de  la  relation  découverte  par  Legendre 
entre  F(n)  et  la  représentation  de  n  par  trois  carrés. 


'/— I 


Soit  c£>(/z)  =  S( —  i)  -  ,  cl  parcourant  tous  les  diviseurs  impairs 
de  n  {n  pair  ou  impair)  et  prenons  F{n)  toujours  dans  le  sens  de 
M.  Kronecker.  Convenons  encore  que,  dans  les  sommations,  il 
faudra  prendre  s  =^  i,  3,  5,  ...  et  /•  ^  o,  ±  i,  ±2,  ±3,  .... 

Alors  on  aura 

n  =  i  (mocl8)     F(nj  =  2  ^^  y 


si  n  est  un  carré,  il  faudra  continuer  jusqu'à  ^(o) 

n  =  3  (modS)     F(/i)=     Vç 
/2  =  5(mod8)     F(n)  =  2\^ 


.  n  —  S' 


Encore,  n  étant  le  double  d'un  nombre  impair 

re  =  2  (mod^)     F(«)  =  >  o(n  — 52)  =^  -  ' 


n  —  4  s- 


En  distinguant,  dans  cette  dernière  formule,  les  cas  /i  =  8/iH-2, 
8A"  +  6  et  faisant  attention  que  cp(4A-  +  3)  =  o,  on  pourra  écrire 

■^     /  n  —  16  r-  \ 
n  =  '2(mod8)     F{n}—      X'f(  7^ ■)' 

ns6(mod8)     F(n)^'i\o 

Comme  on  a  généralement 

F(22/'m)  =  2/'- F  (/??), 

les  formules  précédentes  donnent  toujours  une  expression  de  F(n) 
excepté  seulement  dans  le  cas  /i  =  4^(8r  +  7).  Ces  nombres 
^k(^^^  _s^  rj'j  étant  précisément  ceux  qu'on  ne  peut  repi-ésenter 
par  X-  -\-j-  +  z^. 

A  l'égard  de  ces  déterminants  SA +  7,  j'ai  encore   trouvé  la 

relation 

SF(rt  — i6/-2)  =  !-*(«)  — «I>'(n), 

$(n)  désignant  la  somme  des  diviseurs  de  n,  <!>'(/«)  la  somme  des 
diviseurs  inférieurs  à  y/«. 


)4  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Ija  formule  VII  de  M.  Kronecker  fait  connaître  la  somme 


2:(— i)'-F(n  — i6/-2), 


8k  ^  y. 


Celte  somme  est  une  fonction  arithmétique  de  n  un  peu  moins 
simple  que  celle  plus  haut. 

Les  théorèmes  de  Legendre  doivent  donner  facilement  les  exprès 
sions  asymptotiques  de 


F(i)  +  F(9;  +  F(i7)  + 
F(2)-4-F(io)-t-F(i8)  + 
F(3)+F(ii)-f-F(i9)H- 
F(5)  +  F(i3)  +  F(2i)-f- 
F(6)  +  F(i4)-4-F(22)-H 


+  F(n), 
+  F(n), 
+  F(«), 
+  F(n), 
-■.-Fin). 


Ces  expressions  sont  égales  à  7^^-,  tandis  que  la  valeur  appro- 
chée de 

F(r)^F(2)+...-^-F(/0 

I      -i 
est  huit  fois  plus  grande  et  égale  à  ^"^'ï'- 

Mais  il  ne  semble  pas  qu'on  puisse  obtenir  cette  dernière  valeur 
aussi  facilement. 

Je  suis,   Monsieur,   avec   le    plus    profond   respect,   votre   très 
dévoué. 

32.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  24  novembre  i883. 


Mo 


NSIEUR, 


Permettez-moi  de  compléter  les  formules  que  je  vous  ai  déjà 
communiquées,  et  d'indiquer,  en  même  temps,  comment  j'ai  pu 
vérifier  partiellement  ces  formules  à  l'aide  de  la  théorie  des 
fonctions  elliptiques. 

Soit,  d  parcourant  les  diviseurs  impairs  de  /?, 

«ï>(n)  =  \   I  —  I  <:/,         dd  =  n, 
en  sorte  que  Q.W{n)  est  le  nombre  total  des  représentations  de  n 


LETTRE    32.  55 

par  X- -{-  ly-.  On  a  alors  [F(/?)  toujours  dans  le  sens  de  M.  Kro- 
necker] 

(A)  /i=i(mod8)         XF(n  — 87-2)  =  }t>(n)  +  ivF(/0 

(/•  =  o.  ±  I,  ±  2,  ±  3,  . . .), 

(B)  n  =  3,  5  (modS)         S  F(ai  —  8/-2)  =  {*(«) 

(/•  =  o,  ±1,  ±2,  ±3,   ...), 

(C)  71  =  3,  5,  7  (mod8)         ^¥{n  — j.s'^)  =  \^{n) -^  \W{n) 

(5  =  1,  3,  5,  7,   .  .  .). 

D'ailleurs  W[n)^=  o  lorsque  /z  ^  5,  'j  (modS). 
Partons  maintenant  du  développement 

s  f    _  iKx^' 

2Â-K  -^      q'-       .  (  ^  =  — 

^  ^^  '  —  V'  (s  =  1,  3,  5,  7,  ...), 

en  différentiant  et  posant  après  a:  =:  ^  ?  on  trouvera,  à  cause  de 


;n  —  =  i  / T7 ,  dn  —  =  \/k  , 


(•)  ^^\/ni-A-')=^2^^-   ^_^^,  ^  (5  =  1,  3,  5,  7,  ...,). 

Soit,  comme  à  l'ordinaire 

6(^)=:l  —  iq  ^-xq*  —  25-9-+-..., 

1  9  2_5 

62  (  7  )   ^-=   2  g  *   -t-   2  (7  '*  +  2  <7   *     -t-  .  .  . 

63(5')  =  I  -4-  2  ^  -f-  2  g-^  -f-  2  (y9  -1- 

on  a 

et,  changeant  ^  en  q-. 


^  /{i-k')K 

y — ^^ — =^^iq-\ 

de  plus, 

,     /2"FK  ^,      ^ 


56  CORRESPONDANCE   d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

en  sorte  que  le  premier  membre  de  l'équation  (i)  devient 

|e2(5r)0,(5-2)63(gr), 

ou  bien,  à  cause  de 

QHq)  =  niq')-n(q-), 

s-  —  1       s 

(2)  [e|(g-)-el('7^)ie2(y^)03(?)  =  ^^^~|'_y^' 

(5  =  I,  3,  5,  -,  .  . .). 

J'emprunte  maintenant  les  formules  suivantes  à  M.  Kronecker 
(Monatsberichte  der  Berliner  Akademie,  1875,  p.  229) 

(3)  \^¥{J^n~i)q"^~'   =02(f/)0|(^), 

0 

(4)  82F(8n+3)/"^^  =  0|(fy), 

0 

La  formule  (4)  est  du  reste  la  même  que  celle  que  vous  avez 
donnée  dans  \e  Journal  de  LiouvlUe,  1^  série,  t.  VII,  1862,  p.  38. 
Dans  ces  formules,  on  a  généralement 

FU)  =  F(/i); 

seulement  si  n  est  un  carré  impair 

F(«)  =  F\n\—\        (n  =  I,  9,  9.5,  49,  . .  .  ). 
Comme  on  a 

on  voit  facilement  que  la  formule  (3)  se  décompose  d'elle-même 
dans  les  deux  suivantes  : 

<^  1 

0 

42f(8«  + 5)7'"^*  =  0,(7)01(^2). 
0 

A  l'aide  des  formules  (3),  (  ^),  nous  trouverons 


(5)  263(7) 


.    0  0  J 


.«-  —  1        s 


LETTRE    32.  57 

En  posant  maintenant,  avec  M.  Kronecker, 

(i>'(n}—'Z{ — ^f)    ^     d         (<:/ diviseur  de  n), 
le  développement  du  second  membre  de  (5)  donnera 

s 
S*'('5)^2         (s  =  1,  3,  5,  7,  ...)• 

La   comparaison  avec  le   développement  du  premier  membre 
donne 

«=i(mod8)  ^\n)=       aSFCn  —  8  z'^), 

n  =  3  (mod8)  *'(«)=— 4  5:F(«  —  8/-2) -r- 42:F(7i  — '252), 

n=5(mod8j  *'(«)=       •2SF( /i  —  8/-2)  —  8S  F(«  —  25^  ), 

rt  =  7  (mod8)  *'(«)=       4SFl'/i  — 2s2) 

(/•  =  o,  ±1,  ±2,  ±3,  ..-.;  5  =  1,  3,  5,  7,  ...)• 

Il  est  facile,  maintenant  d'introduire  la  fonction  F{n)  au  lieu 
de  F(n);  on  trouve 

n=i(mod8)  ^'{n)-^W{n)^       ■y.ZFin  —  Sr^  ), 

/i  =  3  (mod8)  *'(«)-+- iIf(>)  =  —  4SF('/i  —  8/-2|^4SF(n  — 252), 
rt  =  5(mod8)  *'(>)=       2SF(/«— 8/-^)  — 8SF(rt  — 2s2), 

71  =  7  (modS)  <ï>'(/0=       4SF(n  — 252). 

Ces  relations  résultent  aussi  directement  des  formules  (A),  (B), 
(G)  en  remarquant  que 


*(«)  = 

*'(n) 

lorsque 

n=±i 

(  m  û  d  8  ) , 

*(«)=- 

-<P'(n) 

lorsque 

n=±3 

(modS). 

Mais  pour  retrouver  les  formules  (A),  (B),  (G)  elles-mêmes,  il 
serait  nécessaire  de  recourir  à  d'autres  formules  de  la  théorie  des 
fonctions  elliptiques,  formules  que  je  n'ai  pas  encore  cherchées. 
Toutefois,  cela  ne  sera  pas  difficile,  probablement. 

J'ai  encore  retrouvé  quelques  relations  dans  lesquelles  les  dé- 
terminants sont  compris  dans  la  suite  3k^ —  n  ;  voici  les  plus  simples 

«^5(modi2)     SF(«-3/-2j  =  r,(/0  ^      ^         .   o  , 

n  =  7(modi2)     ^F(n  —  3/-2)  =  |r,(n) 

7l(«)  signifiant  la  somme  des  diviseurs  de  n  de  la  forme  laA"  ±  5, 
diminuée    de  la   somme   des    diviseurs    compris    dans    la    forme 


58  CORRESPONDANCE    b'uERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

12/rrhi.  Peut-être  on  ])ourra  ol)tenir  ces  formules  encore  au 
moyen  de  la  liiéorle  des  fonctions  elliptiques,  en  faisant  usage  de 
la  transformation  du  troisième  ordre  des  fonctions  8;  c'est  ce  que 

je  me  propose  d'étudier Dans  une  de  ses  nombreuses  Notices, 

M.  Liouville  a  donné  la  relation 

(  s  =  1 ,  3 ,  5 ,  7 ,  .  .  .  ) . 

C'est  une  formule  qui  appartient  évidemment  à  la  même  caté- 
gorie, et  qu'il  faudra  retrouver. 

Voici  une  question,  Monsieur,  qui  s'est  présentée  à  moi,  à  l'occa- 
sion de  ces  études.  En  posant 

1  9.,  2  5 

61  ( .r,  q  )  —  -2  q  '*  si n  x  —  iq*  ^\r\'ix  -^  -iq  '*   sin  5 a:  — ... 

on  sait  que 

6'i(o,  q)=  fXq^—  3q~'*-^5q^—...)  =  9(0)9,(0)63(0). 

Maintenant,  je  crois  voir  qu'il  serait  utile  de  connaître  de  même 

une  expression  de 

I.n^q"- 

en  fonction  des  B.  Quelques  formules  que  j'ai  obtenues  d'une  ma- 
nière arithmétique  me  font  soupçonner  qu'il  existe  une  telle 
expression  de  ^n-q"'  par  les  fonctions  B.  Mais  je  n'ai  pas  encore 
tâché  d'étudier  cette  question.  Peut-être  une  telle  expression  est- 
elle  déjà  donnée  sans  que  j'en  aie  connaissance.  Dans  ce  cas,  si  une 
telle  formule  vous  serait  connue,  vous  m'obligeriez  beaucoup  de 
m'en  avertir  quand  cela  vous  conviendra. 

Crojez-moi  toujours,  avec  le  plus  grand  respect,  votre  très 
dévoué. 

P.  S.  —  En  parcourant,  dans  ces  derniers  jours,  le  beau  Rapport 
de  M.  Smith  sur  les  progrès  de  la  théorie  des  nombres,  spéciale- 
ment dans  le  Rapport  de  i865,  ce  qui  a  rapport  aux  formules  de 
M.  Kronecker,  j'y  ai  rencontré  cette  expression  8[2  H-( —  i)"]X(/i) 
pour  le  nombre  des  représentations  de  /?  par  x- -\- y- +  z- -{- l- . 
De  même,  la  relation 

n  =  -j  (modSj     I.F(n  —  \Gr^-)  =^  15(«)  — 0"(«) 


LETTRE    33.  69 

que  je  vous  ai  communiquée  i^J{/i)  somme  des  diviseurs,  Ç'{n) 
somme  des  diviseurs  <<  \/nj  est  une  conséquence  directe  de  deux 
formules  données  par  M.  Smith.  Mais  probablement  cette  formule 
rentre  dans  celles  I-VIII  de  M.  Kroneckcr. 


33.  —  STŒLTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  2.5  novembre  i883. 
Monsieur, 

Permettez-moi    encore   d'ajouter  à   ma   lettre   d'hier   quelques 
remarques  sur  ces  séries  'Sn'-q"'. 
En  posant 

K=    r'  ^"^ .  E=    P  /i-^2sin2(f  ^ç, 

«-')      V  •  —  ^^  sin^o  ^'o 

les  formules  de  Jacobi  ayant  rapport  aux  fonctions  de  seconde 
espèce  donnent  d'abord 

U  )  4\  K  -  E  )  ^  8  9_zil9l±9q!^2^9^^.  ^  , 

7i2  '  ,  _  2gr -I- 2^*— ag-^  — .  .  . 

1  9  j^ 

4KE  _     ^^-t-9^^-H25y  ^ 

q'*  -^  q'*  -\-  q  '*   -^  .  .  . 

Par  le  changement  de  q  en  ^%  la  formule  (  •-«  )  donne 
(3)         5- H- 9^9-t- 25<7-3-H  49^''9-+-.  .  . 

=  P   =  SS2^'% 


.-y/F^^.    ,    ^//(,_AV//)^- 


et,  ensuite,  à  l'aide  de  (i) 

(4)        a(45r*-)-l67i«H-36g36_,_...) 

Ici,  et  dans  la  suite,  dans  les  sommations  il  faudra  prendre 

5  =  1,     3,     5,     7,     .... 

^  ==::  o,     ±-2,     d=4.     ±6,      .... 


6o  CORRESPONDANCE    d'hERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

Mainlenantj  on  a  encore 

(6)  Q,=  Vr/^=(i-^v//7)^/A. 

Gomme  vous  voyez,  la  fonction  de  seconde  espèce  E  est  éliminée 
dans  cette  combinaison 

PQi-QPi=  :^AVr 

2  71'* 

que  l'on  peut  écrire  aussi 

(7)  i(3ss(5^-r-)r"+'"-=^AV/7=ee|03, 

en  posant 


AA-'K 
0  =  1  —  iq  -h  iq* —  2(]/^  ^.  .  .=  1/  j 

^2=  iq*  -+-  9.g*  -+-  2g  *  +  .  .  .  =  4  /  , 

/ÏK 
^3=1-^  2g -i- ■2q'*-h'iq^-^.  .  .—  i/ 

Mais  on  a 

06363=  2[q^—  3q^  +  5q  *  —...)  =  9.S(— r)    ^    gq* 

et 

e,^  =  sV  F(8/?  +  3)^^^ 

0 

en  sorte  qu'on  obtient 

,î  -  1  5-       "=_  8  H  -H  3 

(8)  ^i-i)~sg'^^F{8n^'S)q~^^^^{s-^-nq^"-+'\ 

fi 

La  comparaison  du  développement  des  deux  membres  suivant 
les  puissances  de  q  donne  cette  relation  singulière  que  l'on  doit 
encore  à  M.  Liouville  et  dans  laquelle  N  signifie  un  nombre  impair 

.«  —  1 

(9)  ^(-i)~^sF(/i^-s^-)=^{s^--n. 

Dans  le  second  membre,  la  sommation  s'étend  à  toutes  les  repré- 
sentations de  N  par  5-+  t-,  ce  second  membre  s'évanouissant  si  N 


LETTRE    34.  6l 

ne  peut  pas  être  représenté  par  la  somme  de  deux  carrés. 
Prenons  par  exemple  N  =  aS,  on  a 

N  =  32-^(±4)2=  52+02, 

donc 

S  (  52  _  f  2  )  =3  2  (  9  —  1 6  )  -f-  -25  =  1 1 . 

En  effet,  on  trouve 

iF(99)-3F(9i)  +  5F(7J;  — 7F(5i)  +  9F(ig), 
=  1.9  — 3.6H-5.7  —  7.6  — 9.3=^  II. 

Pour  N  =  a'-,  on  trouve 

,F(.o7i-3F(99)-t-5F(83)  — 7F(59)-9F(27), 
=  1.9  -  3.9  +  5.9  — 7.9  +  9.4  =  o. 

En  effet,  27  n'est  pas  la  somme  de  deux  carrés. 

Comme  vous  voyez,  le  théorème  arithmétique  exprimé  par 
la  formule  (9)  est  équivalent  à  la  formule  (8);  cette  dernière 
formule  revenant  à  {'j )  comme  on  le  voit  à  l'aide  de  votre  relation 

Veuillez  m'excuser  si  j'ai  demandé  trop  de  votre  attention,  mais 
je  craignais  ne  pas  m'être  exprimé  assez  clairement  sur  ce  que  je 
me  proposais  en  parlant  des  séries  Hn'-q'^'.  La  formule  (7)  est  une 
de  celles  dont  j'avais  pressenti  l'existence.  Crojez-moi  toujours, 
avec  le  plus  profond  respect  votre  très  dévoué. 


34.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  27  novembre  i883. 
MoNSIEUK, 

Je  m'empresse,  en  revenant  à  Paris,  de  vous  accuser  réception 
de  vos  communications  du  24  et  du  20  novembre,  dont  j'ai  fait 
l'étude  avec  le  plus  grand  soin  et  avec  le  plus  grand  plaisir.  Les 
théorèmes  contenus  dans  les  relations  (A),  (B),  (C)  sont  extrême- 
ment intéressants  et  l'analyse  par  laquelle  vous  établissez  en  partie 
ces  relations  au  moyen  des  développements  de  la  théorie  des 
fonctions  elliptiques  me  prouve  que  les  méthodes  dont  j'ai  fait 


02  CORRESPONDANCE   d'hERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

usage  dans  mes  recherches  sur  ces  questions  vous  sont  bien  fami- 
lières. Vous  allez  même  bien  au  delà,  car  il  ne  m'est  jamais  arrivé 
de  rencontrer  des  déterminants  de  la  forme  3  A-  —  /«,  ni  la  fonction 
numérique  'fi{n)  auxquels  vous  avez  été  amené.  Mais  les  détermi- 
nants compris  dans  la  formule  n  —  8/--  que  vous  considérez  si 
souvent  s'offrent  continuellement  aussi,  sous  mon  point  de  vue. 
Je  viens,  par  exemple,  de  remarquer  qu'en  désignant  par  F(/i)  le 
nombre  des  solutions  de  l'équation  x- -]-y- -i- z- =  n,  lorsqu'on 
suppose  X  impair,  y  divisible  par  deux,  et  z  par  quatre,  si  l'on 

continue  de  représenter  par  'f  (/<)  la  somme  S( —  i)  -  ,  où  d  par- 
court tous  les  diviseurs  de  n,  qui  actuellement  est  impair  et 
=^  I  (mod4),  on  a  la  formule  suivante 

F(n)^(— [)         32  2^1— i)''cp(/i  — Sr^)  (r  =  o,  ±1,  ±-2,   ...). 

Votre  méthode  pour  parvenir  à  la  relation 

PQ,_QP,=.i^/.VF, 

2  71"» 

d'où  vous  concluez 

i6I.I.(s^-—t'-)g^'+<"-=  06.^63, 

est  fort  belle,  et  c'est  également  un  excellent  résultat  que  d'avoir 
rattaché  à  la  théorie  des  fonctions  elliptiques  le  théorème  si  remar- 
quable découvert  par  M.  Liouville.  Mais  je  ne  puis  en  rien 
satisfaire  à  votre  demande  relativement  aux  quantités  '^n-q'^^]  j'ai 
remarqué  seulement  que  l'on  a 

Sn2^"'^=03(ry)^^^-^^^^  (a  =  i,  3,  5,  .  .  .), 

S2aVyT=0,(ry)[,-t-82^7ip^,]  (^='^,4,6,  ...). 

Veuillez,  Monsieur,  m'excuser  de  ne  vous  rien  dire  sur  la 
fonction  '/{n),  mon  travail  arithmétique  ajant  été  interrompu  par 
les  circonstances  qui  m'ont  appelé  dans  ma  famille  de  Lorraine, 
mais  vous  ne  perdrez  rien,  j'espère,  pour  attendre  un  peu.  En  vous 
priant  de  vouloir  bien  me  faire  savoir  s'il  vous  convient  que 
la  partie  essentielle  de  vos  deux  lettres  soit  publiée  dans  les 
Comptes  j'endiis,   comme   les  précédentes,  je   vous  renouvelle, 


LETTRE    35,  63 

Monsieur,  avec  l'expression  de  ma  plus  hauLe  estime  pour  votre 
beau  talent,  l'assurance  de  mes  sentiments  bien  dévoués. 


MONJ 


35.  —  STIELTJES  A  II ERMITE. 

Leyde,  2^  novembre  i883 


Comme  les  remarques  suivantes  concernent  encore  l'appli- 
cation de  la  théorie  des  fonctions  elliptiques  à  la  théorie  des 
nombres,  j'espère  que  vous  voudrez  bien  les  considérer  avec  indul- 
gence. 

En  premier  lieu,  je  trouve,  par  un  calcul  qui  n'offre  point  de 
difficulté, 


(1)  2^^  '  ~  <P(^'—  2^-,)  q^'^^y  _3 

(37,7  =  0,  =tT,±2,  ±3,  ±4,   ...) 

ou  bien 
Mais  on  a  : 

e(5r2)62(5r2)  03(^2)  =,22]  (-1)    ^    sq-^  (>•  =  . ,  3,  5,  7,  9,  .  .  .  ), 

4_2F(4n  +  2)^"^2=6;(5')(e3)5r; 
0 

donc 

i  — 1  £;      ""  1 

(2)  22(_i)~F-5^22F(4n  +  2)r^"^2 

0 

=  22*~  0^(^^-272)  q^+^y\ 

On  en  tire  ce  théorème,  dans  lequel  N  désigne  un  nombre  entier 
(positif)  quelconque  : 

(3)  ^^(-O  2'sF(4N-252)  =  (-r)     ^      ^^Î^'-'^J-) 

(5  =  1,  3,5,  7,  ...), 

la  sommation,  dans  le  second  membre,  ayant  rapport  à  toutes  les 
solutions  de 

N  =  3724-272,        07,7  =  0,  ±1,  ±2,  ±3,  ...; 


64  CORRESPONDANCE   d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

le  second  membre  étant  égal  à  zéro  s'il  n'existe  point  de  représen- 
tation de  N  par  x- -\-  2y'-.  Par  exemple, 

NiN-l) 

N=9.5,  25  =(±5)2+ '2.02;         (— i)      2      ^(.r-2— ■ij^)  =  2.15, 

2[F(98)  — 3F(8'i)M-5F(5o)  — 7F(2)]  =  o.{9  — 3.44-  5.7  —  7.0  =  2.25. 

N  =  26,         pas  de  représentation  par  x--h  2j'2, 
F(io2i  — 3F(86)-^5F(54)-  7F(6)  =  4  — 3.10  +  5.8  — 7.2  =0. 

N  =  27,         27  =  (±3)-2+2(d=3)2  =i±5)2  +  2(±r)2; 

(—  I)     ^      2(072  —  272)  =_  4  [9  _  18  -4-  25  —  2]  =  —  56, 
2[F(io6)  — 3F(90)  +  5F(58)  — 7F(io)] 

=  2 (  6  —  3 . 1 o  +  5 . 2  —  7 . 2  )  —  2 (  —  28  )  =  —  56. 

J'avais  d'abord  obtenu  la  relation  (3)  par  des  considérations 
arithmétiques;  c'est  en  réfléchissant  sur  cette  formule  que  j'ai  eu 
l'idée  d'inlroduire  ces  séries  'En'-q'^^.  Voici  encore  une  autre  for- 
mule du  même  genre  : 

X—  1        '■''  —  1  ,  TV 0  <  N  +  5 

Neee3  (^mod8),     ■2y{  —  \}-^'^~^sVl^—^]=(  —  i)    »    2^{x'-—iy^) 

(5  =  I,  3,  5,  7,  ...), 

la  sommation,  dans  le  second  membre,  ayant  rapport  à  toutes  les 
solutions  de  N  =  .r-+  ajK",  x  et  y  étant  positifs  et  impairs. 
Par  exemple, 

>>'  =  99.         99  =  r- -4-  2.72=  j2_i_  2.52=,  92_j_  2.32; 
donc 

N-t-S 
(—1)     8      S(0'2—  2_^K-j  =  —  (  I  —  98  +  49  —  30  -<-  81  —  18)   =-+-  35, 

2F(49)-+-6F(45)-ioF(37)  — i4F(25)  +  i8F(9) 

(1  S  ^ 

=  2--t-6.6  —  10.2  —  i4-  — f-i8.  -  =  n-!-36  —  20  —  35  +  45  =  +  35. 
2  22 

Le  second   membre   devient  o   quand  il  n'y  a  point  de  solution 
de  N  =  X-  -j-  2y'-.  Par  exemple,  N  =  35,  pas  de  solution 

I'  (  1 7  I  +  3  F  (  I  ■)  )  —  5  F (  5  )  =  4  -r-  3.2  —  5.2  =  0. 

Ce  théorème  est  une  conséquence  du  développement  en  série  que 
voici  : 


LETTRE   35. 

OÙ  il  faut  attribuer  à  x  el  y  sevilement  les  valeurs  i,  3,  5,  n. 
En  efl'et,  on  a 

o(\/^)o.>(vA})o,(\/ry)  =  2:s(-i)  2  ,,,yi 
et 

^Wq)  (ijy^)  (hUj  )  =  (i-'(  cj  )i)i(  q). 

Maintenant,  j'observe  que  la  formule  de  M.  Rronecker, 

"  1 

i  /,  F  (  4  /i  -+-  u  '7        ''  =  d-, (  q  )  9fj  (  q  ). 

donne,  à  cause  de 

°°  1 


65 


iV  F(8«  ^-5)/""^^=  ^■i(q)^{q-' 


donc 


>^  F(8«  —  \)  q  "^  '•  —  \   F('8/i  H-  j  )  ^'"^  '*      =  ^'iiq)  62(^  ). 

0  0 

\  l'aide  de  ces  formules,  nous  aurons 

V  F(8/t     -  l)q'"'   '  — '^  F(8/i  --  f})q 


(   -  I  )    -    .s-^  • 


.^2]i-^--  — ■'X-)^y 


La  comparaison    des   développements  des    deux    nombres    donne 
notre  formule 


(4  ) 


■'"£ 


N  ci^  3     (  modS  j, 
—  Il-  "    sv[ )  =  (—!)    "      7  (■^■-— -•2J'--) 


.f  =  I ,  J ,   > , 


\  --=  a;2-f-  lyi,         x,y  r-:  ,,  :j,  -,,  ;.  .  . .  ). 


Comme  vous  le  voyez,  ces  deux  formules  se  met  lent  à  côté  de  celle 
donnée  par  M.  Liouville  i  .Journal  de  M  allié  m.  ^  'i''  série,  I.  \1\  . 


66  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    El    DE    STIELTJES. 

année  iSGy  ;  p.   i  ). 

A-    1 

(5)        N  =  i(mod'2),         V(— i)~^^F(4N  — 52)=V(.r2— y2) 

(s  =  i, 3,5,7,         N=x^--hy\         a;  =  i,  3,  5,  7,  . . ., 

j  =  0,  ±2,  ±4,±6,  ...). 

Dans  la  formule  (3j  les  arguments  des  fonctions  F  sont  de  la 
forme  4^'+ 2;  dans  la  formule  (4)  ces  arguments  sont  de  la 
forme  4  ^- +  i  ;  enfin,  dans  (5)  ils  sont  de  la  forme  8A'H-  o.  Dans 
tout  ce  qui  précède,  F(/î)  désigne  le  nombre  des  classes  du  déter- 
minant —  n  pour  lesquelles  un  au  moins  des  coefficients  extrêmes 
est  pair.  Seulement  si  n  est  un  carré  impair  [ce  qui  peut  seulement 
arriver  dans  la  formule  (4)]  il  faut  retrancher  ^  du  nombre  de  ces 
classes. 

Dans  la  démonstration  à  l'aide  de  la  théorie  des  fonctions  ellip- 
tiques de  la  formule  donnée  par  M.  Liouville,  j'ai  fait  usage  de 
cette  formule  : 


8K3 


iG 


=  iG<7 
n  impair. 


"y  (— I  )'>cf' 


=  [6  7[(i  —  q*  )  {\ 


Il  ri^'i^  — 2« 


=  \(S^2^[s^-l'^)q-''-+''-=  iG^/,/^ 


)q" 


8K3 


/( 71)  =  '^(s-'^—  t-),         n  =  s'--h  r^ 
(  A- =  i,  j,  j,  . . .  ;    ^  =  o,  d=  2,  ±  4,  . . .), 
k'-^I'  =  i6(q  —  G^-'-^9^5-^io7i3_3o^i7_)_ij^2o 

-+-  42^-5 —  70  ^^'^  -h  187^'—  54 '7**  4-  49?''^  +  (jOfySS,  ,  _) 


ou  bien,  par  le  changement  de  q  en  rf, 

----  AA'  =  fi  2^  fis)q^        s  =  I ,  o ,  5, 


J'ai    observé  que  cette  fonction  arithmétique  f{s)  jouit  de  celte 
propriété 


Par  exemple. 


/(  m  )/(  n  }  =  /(  mn  ). 


/(■3)/(9)  =-6.9=-54  =/(45), 


LETTRE    35.  67 

m  el  n  étant  premiers  entre  eux.  Soit  maintenant  q  un  nombre 
premier  de  la  forme  /\k  -{-  ^,  on  aura 

/(  y2«+i  )  =:  o,       /(.q-" )  =  q''" . 

En  désignant  par  p  un  nombre  premier  de  la  forme  4^'  H-  ',  ou 
pourra  calculer  les  valeurs  successives  de 

à  l'aide  de  la  relation 

mais  il  faut  déjà  connaître  /(p)  =  ^(a- — b-),  p  =  a- -\- ù'^ , 
a  impair. 

Mais  la  valeur  générale  de  /(p"  )  se  met  sous  une  forme  élégante 
en  introduisant  les  facteurs  complexes  de  p.  Soit 

vy  =  a  -h  bi,         w  =^  a  —  bi,         p  =  mm', 
on  a 

fip)    =m^-{-m'-  —(m'* — m"*)Um^ — rrs'-i  )■ 

/( /?2  )  z=  ra^ -f-  m-m'-^  m'''  =(m^ —  rn'^  ):{  m-  —  m'-  ), 

f{p^)  =  715^-1-  m'*m''^-\-  m'^'m"* -\-  m'^  ={m^ —  m'^):{m- —  m'-  i. 

,  .    .  /.,     ,.         sin(2A- -I- 2  )  a  sinfa/: -f- '2)7.      , 

m  =  /•(  cosa  +  t  sina  ),         f  (  pi^  )  =  ^-^ /-^a  — :^ pi, 

sinaa  suaaa  ' 

Celte  fonction  arithmétique  présente  donc  une  certaine  analogie 
avec  la  fonction  ù[n)  que  M.  Kronecker  a  introduite  dans  son 
Mémoire  dans  les  Comptes  rendus  de  V Académie  de  Berlin 
(avril  18^5)011  l'on  trouve  ces  formules  : 

En  posant  de  toutes  les  manières 

n^X'-^y"^,         r  =  I,  3,  5,  7,  .  . .,         a?  =  o,  ±  1,  ifc  2,  rb  3,  . .  . , 

on  a 

y-' 
£2(rt)  =  S(— i)   '   y         [on  suppose  rt  =  I  ou /i  =  2(inod4)]. 

Veuillez  bien  excuser  la  longueur  de  cette  lettre;  mais  je  croyais 


68  COURESPONDANCE    D'HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

devoir  VOUS  indiquer  comment  on  peut  arriver  à  ces  relations  (3), 
(4),  (5). 

Grojez-moi  toujours  votre  entièrement  dévoué. 


Mo] 


36.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Leyde,  3o  novembre  i883. 


Vous  poussez  votre  bonté  trop  loin  en  m'offrantde  faire  paraître 
dans  les  Comptes  rendus  la  partie  essentielle  de  mes  lettres 
du  24  et  du  20  novembre.  En  effet,  il  ne  m'est  jamais  venu  dans 
l'esprit  que  ma  correspondance  vous  causerait  de  la  peine  de  celte 
façon  et  j'espère  vous  pouvoir  donner  bientôt  une  Note  contenant 
la  démonstration  du  théorème  de  M.  Liouville,  à  laquelle  je  crois 
pouvoir  joindre  les  deux  théorèmes  que  j'ai  obtenus.  —  Je  dois 
vous  avouer  que  je  ne  suis  pas  bien  content  des  calculs  à  l'aide 
desquels  j'ai  démontré  en  partie  ces  théorèmes  (A),  (B).  (G)  de 
ma  lettre  du  24  novembre  et  que  j'espère  trouver  un  autre  chemin 
(pii  mènera  d'une  manière  plus  complète  au  but.  Si  je  ne  joins  pas 
ici  la  Note  svir  le  théorème  de  M.  Liouville,  c'est  qu'une  indisposi- 
tion m'oblige  de  m'abstenir  de  tout  travail;  —  vous  voudrez  bien 
m'excuser  aussi,  dans  ces  circonstances,  de  vous  écrire  une  lettre 
où  il  n'entre  pas  d'arithmétique  et  de  vous  remercier  simplement 
|)Our  la  communication  des  formules  contenues  dans  votre  dernière 
lettre. 

Crojez-moi  toujours,  avec  le  plus  profond  respect,  votre  très 
dévoué. 

37.  —  STIELTJES  A   IIERMITE. 

Leyde,  8  décembre  1880. 
Monsieur, 

Je  vous  prie  de  vouloir  bien  présentera  l'Académie  la  Note  ci- 
jointe  (  '  ).  L'espace  m'a  manqué  pour  indiquer  comment  la  théorie 
des  fonctions  elliptiques  conduit  à  ces  formules;  mais  il  n'y  aura 
pas  d'inconvenance,  je  l'espère,  si  je  doiiu*;  la  démonslraliou  du 

('  )  5a/'  un  théorème  de  Liouville.  Noie  de  M.  Slielljes,  présentée  par  M.  ller- 
niile  {Comptes  rendus,   10  décembre  i883). 


LIiTTUE    37.  69 

théorème  de  M.  Liouville  dans  une  autre  Note.  Je  pourrai  alors 
encore  indiquer  les  formules  qui  donnent  les  trois  autres 
théorèmes. 

J'ai  été,  d'abord,   un  peu  efïVayé  des  calculs  que  demandait  la 
vérification  du  théorème  IV.  Posons 


1     .  •«- 


Ji=^(—i)'-sq'x^F(8n^5)q     «  (s  =  i,  3.  5,  7,   .  . .). 

0 

Le  théorème  IV  fait  voir  que  dans  le  développement 

^^=  aiq  ■+-  a>q--h  a^cj^  -+-  aiq'*-i-  .  .  . 
la  partie  paire 

«2  q^  +  «i  q'*^  Ctf,  q^  -^  .  .  . 

est  égale  à 

V  V(a72  — 3r5)72(<'-i-3.i5)     (r,  j  =  o,  ±  i,  ±2,  ±3 )     (j7+jk  impair) 

ou  bien  qu'on  a 


y  H-  j" 


4^  étant  ce  que  devient  t^par  le  changement  de  ^  en  —  q. 
Or,  je  trouve 

_      1 K^       .,    ,g      sina|  /  K  2  K  ~ 

3/3tt3   '    '     sinaf  \cl\ 
d'où 


ai  =  ain  -77  '  ^2  =  ^""  "T" 


_  _     uK'        .,  sin ni 


3^/3-3  .inafA::, 

Après  quelques  réductions  on  obtient 


■C  +  -C'       K-u-^    .  .     „ 

-^^ -^-  =  — — —  s  in  ai  cosai  sinar, . 


C'est  la  même  valeur  que  je  trouve  pom^ 

J'ai  calculé  d'abord  la  somme 

^^(JT- — 3j'-)<^'^'  +  3j2         (toujours  x~y  impair) 


y" 

qui  s'exprime  par 


CORRESPONDANCE    D  nEHMITE    ET    DE    STIIÎLTJES. 


/\K^k^   sinaîcosaf 


■.^3^3         sina. 
Le  changement  de  g  en  q-  donne  la  valeur  déjà  écrite  de 


22(^'-37^-)^^""'""'-"^'  = 


r  -^i" 


Pour  avoir  la  somme 
j'ai  pris  comme  point  de  départ  les  sommations  des  séries 

où  j'ai  remplacé  q  par  q^,  etc.  Les  fonctions  de  seconde  espèce 
sont  éliminées  dans  le  résultat,  mais  elles  entraînent  bien  des  lon- 
gueurs dans  le  calcul  qui,  par  là,  a  seulement  le  caractère  d'une 
vérification.  Mais,  d'autre  part,  les  démonstrations  arithmétiques 
demandent  aussi  quelques  développements.  Le  théorème  III  a  été 
obtenu  seulement  en  suivant  la  voie  que  je  vous  ai  indiquée;  je 
n'en  ai  pas  encore  une  démonstration  arithmétique  comme  des 
autres  théorèmes. 

Agréez,  Monsieur,  l'assurance  des  sentiments  respectueux  de 
votre  serviteur  dévoué. 

38.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  i4  décembre  i883. 
Monsieur, 

Je  prends  la  liberté  de  vous  adresser  en  même  temps  la  suite  de 
ma  Note  sur  le  théorème  de  M.  Liouville  (  '  ).  J'y  ai  ajouté  encore 
trois  théorèmes  du  même  genre.  Vous  avez  bien  remarqué  que  dans 


(')  Sur  un  théorème  de  M.  Liouville.  Note  de   M.  Stieltjes,  présentée  par 
M.  Ilermile  {Comptes  rendus,   17  décembre  i883). 


LETTRE    39.  T^I 

toutes  les  relations  de  ce  genre  qvie  j'ai  rencontrées  il  n'entre  point 
des  valeurs  de  F(8A-h7)-  J^  ^^^  propose  de  tâcher  de  combler 
cette  lacune  et  j'ai  quelque  espérance  de  réussir,  mais  je  dois 
encore  ajourner  un  peu  cette  recherche  parce  que  ma  santé  ne 
me  permet  pas  encore  de  m'appliquer  trop  à  ces  études.  Certaine- 
ment, si  elle  réussit,  la  démonstration  analytique  sera  un  peu  plus 
difficile  parce  que  la  fonction  génératrice 

ou  bien 

que  vous  avez  donnée,  est  d'une  nature  plus  compliquée  que  dans 
les  aTitres  cas. 

Agréez,  Monsieur,  l'assurance  des  sentiments  respectueux  de 
votre  serviteur  dévoué. 

39   —  Il  ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  i5  décembre  i883. 
Monsieur, 

Votre  Note  sur  un  théorème  de  Liouville  a  été  présentée  à  la 
séance  de  l'Académie  de  lundi  dernier  et  paraîtra  dans  les  Comptes 
rendus  de  cette  séance.  Je  me  rends  compte,  par  les  indications 
contenues  dans  votre  dernière  lettre,  des  difficultés  qu'il  vous  a 
fallu  surmonter,  et  aussi  de  la  joie  que  vous  avez  dû  éprouver  en 
voyant  les  fonctions  de  seconde  espèce  disparaître  dans  le  calcul 
de  la  somme  S2(^- —  ?>y')q^°"^^''"\  Vous  aurez  certainement  donné 
le  premier  exemple  de  l'emploi,  pour  l'arithmétique,  de  la  transfor- 
mation du  troisième  ordre,  et  je  suis  bien  sûr  que  M.  Kroneckcr 
et  d'autres  s'intéresseront  vivement  à  vos  résultats.  En  tout  cas, 
vous  travaillez  avec  une  telle  activité  que  je  ne  puis  vous  suivre 
que  de  loin.  J'en  suis  encore  aux  formules  (A),  (B),  (C)  de  M.  Kro- 
neckcr qui  ont  été  mentionnées  dans  votre  lettre  du  :î4  novembre 
et  qui  m'ont  rappelé,  en  réveillant  d'anciens  souvenirs,  une 
recherche  à  laquelle  je  suis  revenu.  M.  Lipscliitz,  avec  qui  je  suis 
depiiis  longtemps  lié,  m'y  a  encouragé,  et,  en  me  bornant  à  la  pre- 


72  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

mière  (p.  ^.aç)  des  MonalsbericJite)  voici  mon  procédé  de  démon- 
sl  ration  : 

Je  remarque  d'abord  que,  pour  un  délerminaiil 

AG  — B2££E9.         (mod4), 

toutes  l€s  formes,  et  en  particulier  les  formes  réduites,  peuvent  se 
répartir  en  trois  catégories,  représentées  de  celte  manière  : 

(a,  a',  rt"),     («,  b,  ■>.a'),     (art,  b,  a'), 

OÙ  a,  a',  a"  sont  des  nombres  impairs  et  b  un  nombre  pair.  Ceci 
posé,  excluons  les  formes  ambiguës,  qui,  dans  le  cas  actuel,  sont 
toutes  données  en  supposant  b  ^=  o;  supposons  de  plus  le  coefficient 
mojen  positif;  il  est  clair  qu'il  suffira  de  changer  b  en  ^  b  pour 
obtenir  la  totalité  des  formes  réduites  non  ambiguës.  Maintenant, 
je  ramène  ces  formes  à  Jin  seul  type,  le  premier,  représenté  par 
(a,  a',  a");  mais,  au  lieu  de  limiter  le  coefficient  moyen  par  la 
condition  'la!  <^  a,  j'admettrai  qu'il  reçoive  la  série  des  valeurs 

«'—I,  3,  5,   . . .,  a  —  2. 

Considérez,  en  effet,  les  réduites  («,  è,  2a');  elles  deviennent 
par  la  substitution  a:  =  X  +  Y,  y  ■=^  —  ^',  au  déterminant  —  i  : 
(«,  a  —  6,  a  -\-  ia! —  ib)  et  rentrent  par  conséquent  dans  le  pre- 
mier type,  le  coefficient  a  —  b  ayant  pour  limite  supérieure  a  —  a, 
et  le  coefficient  a  +  a  a' —  ib  étant  supérieur  à  a  d'après  la  con- 
dition ib  <Cia' . 

Envisagez,  en  second  lieu,  les  réduites  représentées  par 
(aa,  b,  a');  elles  sont  improprement  équivalentes  à  (<ï',  b,  2«)et 
ces  dernières  formes  sont  elles-mêmes,  comme  nous  venons  de 
voir,  improprement  équivalentes  à  (a',  a' — b,  r//+2rt  —  o,b). 
Or,  on  retrouve  encore  par  le  coefficient  a' —  b  la  limite  supé- 
rieure a' —  2  et  la  condition  a'-i-^a  —  '2b^a'.  De  là  je  conclus 
que  les  formes  réduites  de  ces  deux  types  (a,  b,  2fl'),  (aa,  b,  a') 
sont  équivalentes,  les  premières  improprement,  et  les  secondes 
proprement,  aux  formes  (a,  a',  a")  dans  lesquelles  nous  suppo- 
sons «'=[,  3,  5,  ...,  a — 2  et  d' ^  a! .  Ces  dernières  formes 
peuvent  donc  être  employées  à  représenter  la  totalité  des  classes 
non  ambiguës,  en  leur  joignant  celles  qui  n'en  diffèrent  que  par 
le  signe  du  coefficient  moyen  :  {a,  — «',  «"V 


LETTRE   39.  7.3 

Ce  point  établi,  je  fais  le  produit  des  séries  suivantes  : 

^'•^'TW-^S-'t^T^         («=.,3,-,..., 


H 


r 
sin.r 

(«'=3,5,7,...!. 


J'intègre  ensuite  entre  les  limites  zéro  et  -  •  Si  l'on  remarque 
que  l'on  a 


/*2  sinax    ,  t: 

/        —. dx  =  -  : 

J        ?<\nx  1 


on  trouve  ainsi 

cr  n'        n        11"'' 


V"i 


f),= 


jLd  1  —  C/'<         ^  l 


q"        ^         1  —  7« 

où  d'  passe  par  la  suite  des  valeurs 

a"  =  I,   3,   5,    .  .  . ,  a  —  2. 

Développons  maintenant  le  second  membre  suivant  les  puis- 
sances croissantes  de  q  et  il  viendra  immédiatement 


r/ai  = 


na  n-       ini 


a"  prenant,  comme  a,  les  valeurs  impaires  i,  3,  5,  .... 

Des  deux  séries  auxquelles  nous  sommes  ainsi  amenés  la  pre- 
mière est  évidemment 

2^4?(Njg'2  (N=:i,3,  5,  ...). 

Soit  ensuite 

«2-1-  2  «a'  —  a"2  =  2  N , 

il  est  clair  que  2N  est  le  déterminant  changé  de  signe  de  la  forme 
(a,  a",  a  +  2a').  Sous  la  condition  relative  à  a" ,  cette  expression, 
comme  nous  l'avons  vu,  fournit  la  moitié  du  nombre  des  classes 


74  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    KT    DE    STIELTJES. 

non  ambiguës:  d'ailleurs,  le  nombre  des  classes  ambiguës  est  pré- 
cisémenl  '^(Nj,  comme  Gauss  l'a  établi;  désignant  donc  par  F(2N) 
le  nombre  total  des  classes  de  formes  quadratiques  de  déter- 
minant —  2N,  on  trouve  le  beau  résultat  de  M.  Kronecker 

et  l'on  obtient  pareillement  les  équations  (13)  et  (  C  i  de  l'illustre 
géomètre.  Ma  dernière  lettre  (^)  contient  une  erreur  qui  tient  à  ce 
que  j'ai  écrit  83  au  lieu  de  B,  et  ma  formule  obtient  par  là  une 
autre  signification  que  celle  que  j'ai  indiquée;  une  autre  fois  j'y 
reviendrai.  Tous  mes  vœux,  Monsieur,  pour  le  succès  de  votre 
travail  et  la  nouvelle  assurance  de  ma  plus  haute  estime  et  de  mes 
sentiments  bien  dévoués. 


40.  —  HE  EMIT E  A  STIELTJES. 

Paris,  3o  décembre  i883. 
Monsieur, 

Vos  propositions  concernant  les  fonctions  que  vous  nommez 
A(/2)  et  B(«)  me  semblent  extrêmement  belles,  et  j'étais  bienloin 
de  m'attendre  que  ma  relation  (a)  pût  avoir  d'aussi  imjjortantes 
conséquences.  Je  ne  puis  pas  garder  pour  moi  seul  les  beaux  théo- 
rèmes contenus  dans  les  équations  (5)  et  j'en  donnerai  communi- 
cation à  l'Académie,  pour  qu'ils  paraissent  dans  les  Comptes 
rendus  (-),  étant  bien  certain  qu'ils  seront  accueillis  avec  l'intérêt 
qu'ils  m'ont  inspiré.  Je  supprimerai  toutefois  la  fin  de  votre  lettre, 
non  parce  qu'elle  ne  serait  pas  assez  intéressante,  mais  uniquement 
pour  ne  point  dépasser  l'étendue  réglementaire  des  Commu- 
nications insérées  dans  les  Comptes  rendus  par  les  auteurs  qui 


(')  Il  s'agit  probablement  de  la  lettre  34,  mais  nous  ne  voyons  pas  à  quelle 
erreur  M.  Hermile  fait  allusion,  ni  quelle  est  la  signification  qui  a  été  indiquée. 

(^)  Les  Comptes  rendus  du  3i  décembre  i883  contiennent  une  Note  de 
Stielijes,  extrait  d'une  lettre  adressée  à  M.  Hermite  :  Sur  le  nombre  de  décom- 
positions d'un  entier  en  cinq  carrés.  La  lettre  dont  il  est  question  ici  nous 
manque.  Il  y  a  lieu  de  signaler  que  la  table  du  Volume  des  Comptes  rendus,  par 
noms  d'auteurs,  ne  mentionne  pas  cette  Note. 


LETTRE    hO.  75 

n'appartiennent  pas  à  l'Académie.  Un  jour  viendra  j'espère,  et  mon 
confrère  M.  Tisserand  a  eu  la  même  pensée  que  moi,  où  vous  aurez 
droit  à  un  nombre  de  pages  moins  restreint,  et  alors  je  me  félicite- 
rai pleinement  de  vous  avoir  engagé  plus  complètement  que  vous  ne 
l'étiez  dans  la  voie  arithmétique.  Mais  ménagez,  Monsieur,  votre 
santé;  je  n'étais  point  sans  un  peu  d'inquiétude  en  apprenant  de  vous, 
précédemment,  que  le  travail  vous  avait  été  défendu  ;  je  me  rappelle 
ce  qui  m'est  arrivé  à  moi-même  lorsque  je  me  suis  occupé  de  l'in- 
variant du  18"  ordre  des  formes  binaires  du  5^  degré  qui  était  alors 
le  premier  exemple  d'un  invariant  gauche,  et  je  m'autoriserai  de 
mon  expérience  pour  vous  mettre  en  garde  contre  l'excès  du  tra- 
vail. Votre  intention  doit  être  de  réunir  et  de  coordonner  les  nom- 
breux résultats  auxquels  vous  êtes  parvenu  et  ceux  que  vous  décou- 
vrirez encore.  Je  me  permettrai,  s'il  en  est  ainsi,  de  vous  recom- 
mander, pour  les  publier,  le  journal  de  Stockholm,  Acta  mathe- 
matica.  L'éditeur,  M.  Mittag-Leffler,  fera  à  vos  recherches  un 
bon  et  cordial  accueil  :  c'est  dans  son  journal  que  paraîtra  une 
seconde  fois,  à  cavise  de  sa  publicité  plus  étendue,  un  article  que 
j'ai  adressé  au  Bulletin  de  V Académie  des  Sciences  de  Saint- 
Pétersbourg,  à  la  demande  de  M.  Bouniakowskj  et  qui  contiendra 
les  démonstrations  des  équations  (A),  (B),  (C)  avec  quelques 
remarques  (  '  ).  Je  compte  faire  suivre  cet  article  de  plusieurs  autres 
sur  les  points  que  je  vous  ai  communiqués,  suivant  la  possibilité 
que  j'aurai  de  travailler,  et  ce  me  sera  extrêmement  agréable  d'être 
réuni  dans  ce  Recueil  avec  vous  et  M.  Lipschitz. 

Veuillez,  Monsieur,  pour  la  nouvelle  année,  recevoir  mes  vœux 
bien  sincères  pour  le  succès  de  vos  travaux  et  pour  votre  bonheur, 
et  croire  à  tous  mes  sentiments  de  sympathie  et  de  haute  estime. 


(  '  )  Le  Mémoire  dont  parle  M.  Hermite  est,  en  effet,  inséré  au  Tome  V  des  Acta 
matheniatica,  p.  297-380,  sous  le  titre  :  Sur  quelques  conséquences  arithmé- 
tiques des  formules  de  la  théorie  des  fonctions  elliptiques. 


76  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

41.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Leyde,  '\  janvier  iSS/j. 
Monsieur, 

J'avais  bien  remarqué  que  la  première  de  vos  deux  formules 


=  (  1-4- ■:>.q-^iq'*  -^i(f 

I  9  2J 

(h)     (j''^{)q''^i'>q'*  -^ 

1  9  23 

=  (q'*-^q*-^q'*  - 


q  _  7'  ^         q" 


ii-^q)-        i\—q*y-        (i-hq'n- 


[  (1-4-  5?2)2~^  (,  _|_  ^i)2      •      (,_g,li)2  •■■] 


suffit  pour  établir  la  plupart  des  relations  entre  A(/î)  et  B(ai)  que 
jai  rencontrées;  mais  il  n'est  pas  possible  de  les  établir  toutes  de 
cette  façon.  En  réfléchissant  sur  cet  objet,  j'ai  éprouvé  une  vive 
satisfaction  en  voyant  que  les  deux  formules  («)  et  [b)  ensemble 
contiennent  en  effet,  en  germe,  toutes  ces  relations.  L'intérêt  que 
vous  avez  bien  voulu  monti^er  pour  ces  relations  me  fait  espérer 
qu'il  me  sera  permis  d'entrer  là-dessus  dans  quelques  détails.  En 
désignant  par  J(/i)  la  somme  de  ces  diviseurs  de  n  qui  sont  divi- 
sibles par  la  même  (plus  haute)  puissance  de  2  que  n,  par  g(n)  la 
somme  des  diviseurs  impairs  diminuée  de  la  somme  des  diviseurs 
pairs,  on  a  : 


(f^q)^         {\-^q^f         (i-f-^M^ 

=  V  (— !)"-'/(  n)q". 
1 

(^  -^  q  )'      (  '  -I-  (j  } 

=  I  -^S^giiDq"-". 
1 

Pour  plus  grande  conformité,  faisons 

/(o)  =  o, 


LETTRE    ki. 

alors  les  deux  séries  seront 

oc  00 

0  0 

el  vos  deux  formules  donnent  ces  relations 


77 


(Jl)        /{11}  —  if  {H  —  \-^) 

-+-  a/(  n  —  '2- 1  —  xfi  II  —  3''  ) 


o  ou  =( — ij"-i/i, 


8 


Ai  ^s  I   (  inodH  ). 


=  o,   ou   =  n  ; 


la  seconde  valeur  a  lieu  seulement  quand  n  est  un  carré. 

Ces  deux  relations  donnent,  en  eflet,  toutes  les  formules  de  ma 
lettre  précédente.  Soit,  comme  autrefois,  o(/^)  la  somme  des  di\i- 
seurs  impairs  de  n  et  supposons  n  :=  9.^ m,  m  étant  impaii'.  Ou  u 
évidemment 

f(n)  —  f{  ■2'''"  m  )  —  -i''  o  I  m  ]  =  ■!''/{  ni  ), 

gin)  =  g{i'^  ni)  ={\  —  -2  —  2-  — .  .  .—  'x''  )  o(  m  )  =(3  —  a''^'  i  ç-i  ni  i, 

cp  (  n  )  =  <&  {  2^'  »i  )  =  ç  (  ni  ), 

d'où 

(ij  2/(/i) -f- ^(ni  =  3cp(rt  ), 

et   si  nous  prenons,   comme  autrefois,   csfo)  =—.  celte  reUilion 
reste  encore  vraie  pour  //  =  u. 

Rappelons  maintenant  les  définitions  de  A(/?),  B(  /?     : 

A ( n  )  =  'f  (  "•  )  -+-  2  9 ( «  —  -i-  )  -  -  ■i':j(  n  ~  \-  )  ~T . . . 
B  (  /i  )  =  cp  (  /i  —  I  -  )  -(-  G  (  /t  —  32)-^... 

et  ])Osons,  de  plus, 

A' (  n )  =  J\  n  )  H-  2/(  n  —  -x-  )  —  ■>./[  n  —  \- )  + .  .  . 
B' { n  )  =/{n  —  \-)  -+-/(  n  —  3-  )  -h.  . . 


/i  =  I    (m 


[  B"(/(  )  =  o  (jii  /(  J, 


on  a  évidemment 

(  A(4/i)  =^  A(/t)^  2B(/n, 
^^^  /  A'(4/j,)  =  4A'(/ij-r-8B'(// 


^8  CORRESPONDANCE   d'hERMITE   ET    DE    STIELTJHS. 

Je  vais  maintenant  déduire  les  formules  i-elallves  au  cas  où  l'ar- 
gument n  est  de  la  forme  4*"^  f^  ==  i  (modS). 

Posons  d'abord  n  =  m  dans  (oAd)  et  (ii'o).  La  première  qui  s'éciil 

A'(  rt  )  —  5>B'(«)  =  o         ou         (  — i)"-'/i 

donne,  n  étant  impair  et  par  conséquent  A'(«)  =  A(/i), 
(3)  A(/n)  —  •2B'(/H)  =  o         ou         -^  m. 

Mais  on  a  évidemment 

el  la  formule  (iH»)  donne 

/»  —  3-' 


B"  (  m  )  =  % 


=  o         ou 


Donc,  à  cause  de  (i), 

2B'("'  )  H-  B"(  /?(  )  —  i\  Bi  /??  ). 

En  retranchant  donc  W {m)  des  deux  membres  de  (3).  le   second 
membre  devient  loniours  égal  à  zéro,  et  nous  trouvons  : 

A( m  )  =  ai  B( /?n,         m  s^  i   (inodS). 
Une  application  réitérée  de 


A'(4/î  )  =  4A'(/?  )  +  8B'(rt) 


donne 


A'(4/'w)  =  4 /''A' (m) 

+  2[4/^-B'(7n)  +  4^-iB'(4m)  +  .  .  .h- 4B'(  4^-1  m  ij     (/c^i). 

D'après  (Jl.)  et  (i(l)),  le  premier  membre  est  égal  à 

•2B'(4^m)  — 4^"B"(m). 

En  ajoutant  donc  des  deux  côtés  4''B"(/?î)  et  observant  que 

2B'(7?i)  +  B"(/n)  =  24B(m), 
k'{m)  =  A(m)  =  24B(m), 
on  obi  icnt  : 

B'(  4/'/»  )  =  4/'. 24  B(/n)  4-  [4*-iB'(4w  i-f-. .  .-+-  4B'(  4/f-i///  )  | 


LETTRE    'il.  79 

OU  bien,  parce  que  pour  n  pair  B'(/?  )  =  B(//). 

B(4w  )   —  \,i^  Bim  ). 

B(42wj  =  42.'?.4B(m)-t-4B(4m), 

B(43m)  =  4^.24  B(m)-î-42B(4/?i)-+-4B(42w), 

6(4*  w  )  =  4*.24  B(/n)  +  43B(4m)-h  42B(42w  )  -^^B(^^rn), 

Donc 

B(4w)   =:96B(/n), 

B(42wj=    8B(4m), 

B(437n)=    8B(42m), 

B(  \'*in)  =    8B(4»/«). 


et  ces  relations  jointes  à  A(4/^)  =-=  -^('')  +  2B(/^)  donnent  immé- 
diatement les  formules  que  j'ai  données  pour  le  cas  d'un  argument 
de  la  forme  4^m,  m^i  (modS).  Les  autres  cas  peuvent  être 
traités  d'une  manière  analogue;  mais  alors  la  relation  (.A,)  suffit  et 
il  n'est  pas  nécessaire  de  connaître  cette  seconde  relation  (itî)). 

Mais  voici,  Monsieur,  une  nouvelle  propriété  de  celte  fonc- 
tion B(/i)  qui  entraîne  immédiatement  une  propriété  semblable 
de  la  fonction  ^(n). 

SoityO  un  nombre  premier  impair,  n  un  nombre  quelconque  non 
divisible  par  p^.  Alors  : 


OÙ  ^  -  1  est  le  symbole  de  Legendre  et  où  il  faut  prendre  (  — 
lorsque  n  est  divisible  par/?.  Le  facteur  de  B(A^)  est 

pZ/,  _;_  p3k-3  _(_  y^3/.-6  _^_  _  .  ,  _j_  ,  |   _    \  p(  pZk-Z  _|_  p3k-&  _;_  _  .  ^  _,_ 

i3Am-3 I  /  n\    n3A'  —  j 


PI    />"—  1 

Mais  je  n'ai  pu  établir  cette  formule  que  très  péniblement  pour  le 
cas  de  k  =  i  seulement,  et  il  faudra  trouver  une  autre  méthode  pour 
traiter  le  cas  génér^al.  Vous  trouverez  donc,  peut-être,  que  je  suis 
trop  hardi  à  donner  déjà  la  formule  générale;  mais  quelques  ana- 
logies m'ont  guidé  et,  ayant  confirmé  cette  relation  dans  plusieurs 
cas,  A' étant  égal  à  2,  3,  4.  •  •  .,  j'ai  une  entière  confiance  dans  l'exac- 
titude de  cette  relation. 


8o  CORRESPONDANCK    d'hERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

Comme  une  conséquence,  voici,  par  exemple,  la  valeur  expli- 
cite de  ^{n),  n  étant  un  carré, 

S^+i  _  , 

cî  (  22^7)2=' 5r2p/-2Y..  .)   r^   [O PQR..., 

7 
P  =  p3a_p3a--2_^y,3a-3_^3a -5_;_.  .  .-4-  [, 


n  étant  un  carré  très  grand,  on  a  donc  sensiblement 


^{ti)        8o  ,„ 

— ^—  =^ — •=11,43...  ou  lo. 

7 

"Z  '  I  n  nair  1 


I  n  impair) 


(j'est  un  peu  moindre  que  la  valeur  moyenne 


Mais,  Monsieur,  permettez-moi  cette  demande  :  la  réduction  de 
^(np-)  à  ^(n)  ne  se  trouve-t-elle  pas  dans  les  Mémoires  couronnés 
|)ar  l'Académie  l'année  passée  :  Sur  la  décomposition  d'un 
nombre  en  cinq  carrés?  En  effet,  dans  le  Mémoire  de  Dirichlet 
([ui  servira  pour  toujours  comme  exemple  dans  ces  recherches,  les 
relations  analogues  ont  été  déduites  des  séries  infinies  qui  servent 
à  exprimer  le  nombre  des  classes. 

Sojez  bien  remercié.  Monsieur,  pour  les  bons  vœux- que  vous 
avez  exprimés  à  mon  égard;  certainement  je  vous  souhaite  le  même 
bonheur. 

^'^otre  très  dévoué. 

P.  S.  —  J'ai  remarqué  une  erreur  dans  le  théorème  ^  de  ma 
Note  sur  un  théorème  de  M.  Liouville  :  l'expression  exacte  csl 

rN  =  5(mocl8),         •2N  =  ^2^jk2, 
(')  T^'expression  donnée  dans  les  Comptes  rendus,  l.  \CVII,  p.  i4i5,ctuit 


^--7')       ( 

) 

i  1110(1 

i(>  ) 

b 


8^]  (-  .  ;    '^    ^- 1'-  Cl  N  -    2  5=  ;  =^  (  X"-  ~  y-  ) 

0     inodS  ,        2N  =  x--hy\  ^      ■'  ) 

y^  ^  1   {  mod    ^  ) 


LETTRE    42.  81 

42.  —  IIERMITE  A  STŒLTJES. 

Pai'is,  i4  janvier  1884. 
MoNSIEUU, 

J'étais  tout  occupé  de  votre  lettre  du  4  janvier  et  des  beaux  résul- 
tats qu'elle  contient,  lorsque  j'ai  été  frappé  d'un  nouveau  malheur 
de  famille.  Ma  belle-mère,  après  une  courte  maladie,  nous  a  été 
enlevée  à  l'âge  de  85  ans  et  j'ai  dû  quitter  Paris  pour  me  rendre  à 
Bain-de-Bretagne  assistera  ses  obsèques.  Je  m'empresse,  Monsieur, 
dès  mon  retour,  de  vous  exprimer  mon  intérêt  le  plus  vif  pour 
votre  analyse  extrêmement  ingénieuse  concernant  les  fonc- 
tions A(/i)  et  B(/i)  et  aussi  pour  vous  dire  que  je  me  proposais 
d'appeler  votre  attention  sur  la  fonction  F(/i)  de  M.  Ki'onecker 
lorsque  m'est  parvenue  votre  carte  postale  du  6  janvier  (  '  )  et  le 
beau  théorème  contenu  dans  l'équation 


F(/ip2)  =  [(/j^M- />/'-« -f-...)—  l — -\  (^^-i-t-/J^-2-f-..,)| 


F(/0. 


L'introduction  du  symbole  de  Legendre  a  la  plus  grande  impor- 
tance à  mes  yeux;  c'est  un  point  qui  vous  appartient  absolument, 
et  je  ne  vois  aucunement  de  quelle  manière  vous  y  parvenez.  En 
attendant  de  connaître  la  méthode  qui  vous  y  a  conduit,  je  réponds 
autant  que  possible  à  votre  demande  i^elative  aux  Mémoires  cou- 
ronnés par  l'Académie,  sur  la  décomposition  d'un  nombre  en  cinq 
carrés,  en  vous  indiquant  deux  articles  de  M.  Smith  publiés  dans 
les  Volumes  XIII  et  XVI  des  Proceedings  of  the  Royal  Society 
intitulés  :  On  the  orders  and  gênera  of  quadratics  fornis,  contai- 
ning  more  than  tliree  indeter minâtes,  qui  sont  le  fondement  du 
Mémoire  adressé  à  l'Académie.  La  comparaison  entre  les  nombres 
de  décomposition  en  cinq  carrés,  pour  les  entiers  n  et  A"*w,  nous 
y  a  paru  implicitement  contenue.  Son  travail  et  celui  de  M.  Min- 
kowski  sont  livrés  à  l'impression  et  par  conséquent  ne  tarderont 
pas  à  paraître  (-). 


(')  Cette  carte  postale  manque  dans  le  Recueil  des  lettres. 
(2)  Les  deux  Mémoires  de  M.  S.  Smith  et  de  M.   Minkowski  ont  paru   dans  le 
Tome  XXIX  de  la  2"  série  des  Mémoires  des  Savants  étrangers  (1887). 

6 


82  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Veuillez,  Monsieur,   recevoir  la  nouvelle  assurance  de  ma  plus 
haute  estime  et  de  mes  sentiments  dévoués. 


43.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Leyde,  i5  janvier  i88^. 
Monsieur, 

Je  vous  ai  communiqué,  il  j  a  quelque  temps,  les  sommes  de 
ces  séries 

VFfn  — 8/-2)         (/•  =  o,  ±  i,d=9.,  ...) 

Vf(«—  is^)  f.v  =  1,3,5,  ...) 

en  supposant,  dans  la  première,  /i^i,3,  5,  dans  la  seconde, 
/i  ^  3,  5,  'j  (modS).  J'ai  enfin  réussi  à  combler  la  lacune  qui  se 
montre  ici,  et  à  sommer  la  première  série  encore  dans  le  cas  n  ^  7, 
la  seconde,  dans  le  cas  n  ^  i   (modS). 

Je  vais  rapporter  les  formules  générales  qui  supposent  seulement 
que  n  est  impair.  Prenons  toujours  F(/i)  dans  le  sens  de  M.  Kro- 
necker  [en  sorte  c^xC on  di  sans  exception  F(4/i)=  2F(/i)]  et  posons 
de  plus 

(J/(«)=V(_i)    8     d        (ddt  =  n), 

la  sommation  ajanl  rapport  à  toutes  les  solutions  de 

X  étant  positif,  y  positif,  nul  ou  négatif,  mais  inférieur  en  valeur 
absolue  à  -.r  (ou,  ce  qui  revient  aii  même,  2y-<</î,  ou  encore 
:r--<  3  /r).  S'il  n'y  a  pas  de  relation  de  cette  (façon)  sorte,  il  faut 
prendre  7(^)  =  o;  c'est  ce  qui  a  \\v\\  loujours  quand  n  est  ^^  3  ou 
=  5  (modS),  mais  encore  en  d'autres  cas.  (^cla  posé,  on  a  les  rela- 
tions suivantes  : 

n  —  \ 

(  .1,  )  'xS  (—  1  )'F  (  n  —  •>.  7-2  )  =:  (—  I  )  ^  •/  C  /?  )         (  «  =  o.  d=  I ,  ±  'i,  .  . .  ) 


LETTRE    43.  83 

Considérons  encore  les  solutions  de  /?  =  jr- —  ajK"  ;  mais,  cette 
fois,  prenons  y  positif,  x  positif  ou  négatif  et  d'ailleurs,  comme 

précédemment,  en  valeur  absolue,  j)^- <;  -  et  posons 

Alors  on  a  les  deux  formules  suivantes  dans  lesquelles  n  est  Loujours 
impair, 

(8)  2^_,)rF(2n-  -.A/-^)  =  y_(n)_/_,(/i), 

(CD)  ^¥{-2,1  -  r^-  )  ^-  '2'!^in)-y(n)  ^  yj(n). 

L'intérêt  principal  de  ces  nouvelles  relations  me  paraît  consister 
dans  l'introduction  de  ces  fonctions  '/{n),'/{  (n)  qui  dépendent  delà 
représentation  de  n  par  la  forme  d'un  déterminant  positif  x- —  •s.y- 
avec  cette  limitation  aval.  abs.  y<^val.  abs.  x.  Il  me  semble 
en  effet  que  cette  circonstance  sera  la  source  de  très  grandes  diffi- 
cultés si  l'on  (voudra)  veut  entreprendre  de  retrouver  ces  formules 
par  l'analyse  des  fonctions  elliptiques  ou,  du  moins,  par  des  déve- 
loppements analogues.  Je  ne  crois  |)as  qu'on  ait  jamais  vu  s'intro- 
duire, dans  ces  calculs,  des  formes  d'un  déterminant  positif  tel 
que  x- —  aj'-. 

Comme  un  exemple  plus  simple,  j'ai,  maintes  fois,  lâché,  mais 
toujours  sans  succès,  de  démontrer  par  l'analjse  seule  cette  formule 


11 


,X'-2J' 


9 

ry3 
1  —  q*^ 

r  —  </!'*    '     I 

<!'' 

l  —  q- 

_,^K, 

X  impair, 

2.r  >  Zy  -^o 

qui  exprime  ce  théorème  connu  que  le  nombre  k  des  solutions  de 

n  =  .r^ — ■ly'^,     n  impair,     x  impair,      ix^'iyl-o 

est  égal  au  nombre  des  diviseurs  de  n  compris  dans  la  forme  8/'  ±  i 
moins  (minus)  le  nombre  des  autres  diviseurs  8rrt3.  Et,  avant 
moi,  ]M.  Heine  n'a  pas  été  plus  heureux,  comme  il  le  dit  dans  son 
Traité  des  fonctions  sphériques  (a^  édition,  t.  I,  p.  112). 


84  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

En  prenant  successivement  a'  =  i ,  3,  5,  .  .  .,  on  a 


11"- 

-2yi 

-    q' 

2.r  >  3_x  =  o 

^q'  ( 

I  +  <7-2-i 

-i-q^Hi 

+  ^-21 

-\-g^Ui 

+  ^-2.1 

^-^8«(I 

+  5r-2.i 

_1_  ^-2.4  _^  ^-2.9  _^.  ^-2.16) 
_(_^-2.V_j_  ^-2.9  _|_  ^-2.16  _^  ^-2.25) 


Mais  la  condition  2^"^  '6j^  ^  o  donne  dans  le  second  membre  une  loi 
un  peu  compliquée.  J'ai  remarqué,  toutefois,  que  cette  expression 
est  susceptible  d'une  transformation  élégante.  En  efTet,  je  trouve 
que  le  nombre  des  solutions  de  n  =  x^  —  2 j'^,  a:  >  ay  ^  o  est  égal 

à  -  ou  à  selon  que  A"  est  pair  ou  impair.  On  aura  donc 

^22  ^"'~'''  ~22  ^"'~''' = ^' + 7' + 7" + • .  • 

X  >  ly  ^o        ix  "^  3 y^o 
parce  que  A"  est  seulement  impair  quand  n  est  un  carré.  Or  on  a 

^>2/^0  -h  q^  (1  +  q---'^) 

-t-<725(x_t-^-2.1^_^-2.4) 


7"(l  +  7-2-»+  (/-^-i-j-gr-î-») 


donc 


VV«-'-^r'  = 


g,a--zj-_  ^. 


2a">3jKèo  -I- 7^'(i-t- 27-^'') 

-+-  q^{\  -f-  27— -■•'-1-  2(7- 


+  7(2"  +  Jl'(l  -4-  27-2-1°-+  2  <7-2-2'+  .  .  .-+-25--!"»). 

Le  second  membre  rappelle  bien,  de  loin,  les  développements 
que  vous  avez  rencontrés  dans  vos  recherches  sur  les  théorèmes  de 
M.  Rronecker;   mais  je  n'ai  pu  prouver  par  l'anal jse  l'égalité  de 

ce  second  membre  à  — - —  H [-••••  Or  il  me  semble  que  la 

I  —  7         '  — ■  q" 

démonstration  analytique  des  relations  (JU),  ....  (ôD)  sera  difficile  à 


LETTRE    i3.  85 

plus  forte  raison  et  je  ne  (me)  hasarderai  pas  à  l'entreprendre  après 
mon  insuccès  dans  la  question  plus  simple  dont  je  viens  de  parler, 
La  formule  (<.l))  par  exemple  revient  à  celte  identité 

-+-•  m 

—  »  0 

=  ^' 

-H  5^25(,  _  2^-2.1  4_  2^-2.4) 

-^{■m  -4-l)5r'2/2  +  I)'(i  _  2^-2.1_t-2  5r-2.4-l-..  .-+-  -^i— lyiq-ln^ 
-H 

Je  prévois  déjà  que  les  formules  données  par  M.  Liouville,  dans 
lesquelles  la  série  des  déterminants  est  — ■  (/i —  3/'2),  ne  forment  que 
les  cas  les  plus  simples  ;  pour  avoir  des  formules  plus  générales  il 
faudra  des  fonctions  analogues  à  y  et  qui  dépendront  des  solutions 
de  n  =  x- —  ?>y'^  et  n^=z  x--\-  3^2,  J'espère  aussi  que  je  pourrai 
maintenant  compléter  le  système  des  relations  données  dans  ma 
Note  sur  le  théorème  de  M.  Liouville,  et  je  me  propose  de  pré- 
senter alors  ces  formules  à  l'Académie. 

On  m'a  offert,  il  y  a  quelques  jours,  un  professorat  d'Analyse 
[Calcul  différentiel  et  intégral)  à  l'Université  de  Groningue. 
J'ai  accepté  cette  offre  et  je  crois  que  cette  position  me  permettra 
d'être  plus  utile.  Je  dois  beaucoup,  dans  cette  circonstance,  à  l'ex- 
trême bienveillance  de  mon  ancien  chef  M.  Bakhuyzen,  le  direc 
teur  de  l'observatoire.  Un  de  ces  jours,  ma  nomination  définitive 
arrivera.  Mais  vous  comprendrez  bien  que  ce  changement  entraine 
pour  moi  des  distractions  qui  m'éloigneront  de  l'étude  dans  les 
premiers  mois  à  venir. 

Agréez,  je  vous  prie,  Monsieur,  l'assurance  des  sentiments  res 
pectueux  de  votre  serviteur  dévoué. 

P.  S .  —  Je  viens  de  recevoir  votre  lettre  qui  me  fait  une  impres- 
sion pénible  en  me  portant  la  nouvelle  du  deuil  de  famille  qui  vient 
de  nouveau  vous  frapper. 

Acceptez  mes  remercîments  pour  vos  renseignements  précieux 
sur  les  Mémoires  de    M.  Smith.  Je  me  propose,  dès  que  j'aurai 


86  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

le  loisii',  et  ce  sera,  j'espère,  dans  les  vacances  de  l'été  prochain, 
de  faire  une  étude  sérieuse  de  ces  théories.  Peut-être  aussi,  alors, 
les  Mémoires  couronnés  par  l'Académie  auront  paru.  Je  ne  doute 
point  que  la  relation  entre  F (np^^)el  F(/i),  comme  celles  entre 
F(/i.4*)et  F(/i)  ne  soient  (seront)  contenues  dans  les  résultats  de 
M.  Smith  et  je  me  promets  beaucoup  de  satisfaction  à  voir  comme 
cela  découle  de  ses  théories  si  belles  et  si  importantes.  Quant  à  la 
formule 

elle  est  une  conséquence  facile  des  résultats  de  Ganiss  (Disc/.  A  rit  h., 
art.  2o3-2o6)  retrouvés  et  complétés  plus  tard  par  Dirichlet.  La 
recherche  de  (jauss  est  une  application  de  sa  théorie  de  la  compo- 
sition des  formes  quadratiques;  ses  résultats  ont  été  démontrés 
aussi  d'une  znanière  très  belle  et  très  simple  par  M.  Lipschitz(yo«/'«. 
de  Borch.,  t.  LUI,  p.  •i^S-'Àog)  qui  se  fonde  sur  l'étude  des  sub- 
stitutions linéaires  de  déterminant/?  qui  transforment  directement 
une  forme  quadratique  d'un  déterminant  n  en  une  autre  de  déter- 
minant np^. 

Nommons  H  (/i)  le  nombre  des  classes  proprement  primitives 
de  déterminant  —  n;  alors 

(a)  H(«/y^A)=.  L/._(^:=_!!^y,-ij  H(«); 

seulement,  lorsque  /<  =  i ,  il  faut  prendre  la  moitié  du  second 
membre;.  Et,  de  plus, 

si  l'on  prend  pour  d  tous  les  diviseurs  de  n  (jui  sont  des  carrés 
impairs.  Seulement,  lorsque  n  est  un  carré  im])air,  il  faudra  retran- 
cher-1  du  second  membre.  Mais,  comme,  dans  ce  cas,  il  y  aura  un 
diviseur  d  =  n,  on  voit  que  les  deux  formules  (a)  et  (  [3)  sont  vraies 
sans  exception,  si  l'on  convient  seulement  de  prendre  H(i)  =  -  au 
lieu  de  H(i)  =  i.  En  supposant  maintenant  que  n  n'est  pas  divi- 
sible par  yo-,  vous  trouverez  sans  difficulté  que  les  équations  (a) 
et  ([3)  donnent  ce  théorème  :  ¥{np^'')  =  . . .  etc.  L'équation  (a),  du 
reste,  ne  suppose  point  cette  restriction  que  n  doit  être  divisible 


LETTRE    kk. 

par/)'-.  En  effet,  l'équation  (a)  donne 


87 


i:"("r)K'"-(^)Hi:"(r;)=k-("i;^)H^- 


de  même 


2  H 


np^ 


["'-'-{'--)"'-']  ''('^^^ 


F{n), 


et  l'addition  donne  la  formule  voulue  par  une  nouvelle  application 

de(^). 

44.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES. 


Paris,  28  février  li 


Monsieur, 


Une  élection  qui  doit  se  faire  lundi  prochain  à  l'Académie  pour 
remplacer  M.  Puiseux  que  nous  avons  eu  le  malheur  de  perdre 
l'année  dernière,  au  mois  d'octobre,  m'a  imposé  une  lourde  tâche 
dont  je  viens  seulement  d'être  délivré.  En  me  consacrant  aux  tra- 
vaux des  autres,  il  m'a  bien  fallu  renoncer  aux  miens,  et  j'ai  quelque 
peine  maintenant,  après  une  interruption  de  plusieurs  semaines,  à 
ressaisir  mes  idées  et  à  reprendre  la  trame  de  mes  calculs.  Je  reviens 
à  l'Arithmétique  en  vous  remerciant,  Monsieur,  de  votre  dernière 
lettre  et  vous  exprimant  tous  mes  vœux  pour  que  vous  trouviez  à 
l'Université  de  Groningue  une  situation  entièrement  favorable  et 
qui  vous  permette  de  donner  à  la  Science  ce  qu'elle  attend  de  votre 
beau  talent.  Vos  recherches  publiées  dans  les  Comptes  rendus  ont 
attiré  l'attention,  et  je  viens  vous  apprendre  que  vous  avez  un 
émule  digne  de  vous  dans  M.  Hurwitz,  privat-docent  à  l'Université 
de  Gottingue.  Son  nom  ne  doit  point  vous  être  inconnu  si  vous 
lisez  les  Malhematisclie  Annalen  où  il  a  publié  récemment  une 
extension  à  de  nouvelles  transcendantes  de  la  méthode  exposée  à 
ses  élèves  par  M.  Weierstrass  pour  établir  plus  simplement  que  ne 


88  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

l'a  fait  Lindemann  que  le  rapport  de  la  circonférence  au  diamètre 
n'est  pas  un  nombre  algébrique.  En  ce  moment,  ce  sont  vos  résul- 
tats sur  la  décomposition  d'un  nombre  en  cinq  carrés  et  les  for- 
mules extrêmement  remarquables  que  vous  annoncez  avoir  obtenues 
par  induction  : 

F(/)2)  =  I0(/?3_^4-i),  F(p^)   =  10[/)(/>2— l)(/>3+l)-+-l] 

que  M.  Hurwitz  démontre  en  confirmant  votre  prévision,  et  il  les 
généralise  de  la  manière  suivante  : 

Le  nombre  des  décompositions  du  carré  d'un  entier  quelconque  m 
en  cinq  carrés  s'exprime  par 

F(m2)  =  io  r  1  r  j  ^  j 


1^ — I  p^ — I  q-^ — I 

on  suppose 

m  =  2'^ p"-*- q\^ . . . , 

2,  /?,  q^  étant  des  nombres  premiers  différents. 

La  démonstration  que  vous  verrez  dans  le  prochain  numéro  des 
Comptes  rendus  et  qui  se  déduit  de  cette  formule 

F(m2)  =  10  ^ —  [(f(«2)-4-2(p(rt2_22)-|-2Cf(rt2—  42)  —  ..  .] 

est  aussi  simple  et  élégante  que  profonde;  je  suis  sûr  qu'elle  vous 
intéressera  vivement. 

En  attendant  que  je  puisse  revenir  sur  ce  sujet,  en  le  prenant 
sous  le  point  de  vue  que  je  vous  ai  indiqué,  je  rédige  pour  le  Bul- 
letin de  V Académie  de  Saint-Pétersbourg,  afin  de  ré[)ondre  à 
une  bienveillante  demande  de  M.  Bouniakowskj,  la  démonstration 
des  théorèmes  (A),  (B),  (C)  de  M.  Kronecker,  avec  quelques 
remarques  auxquelles  ils  donnent  lieu.  Ainsi  le  théorème  (A)  con- 
tenu dans  l'égalité 


^2 


F(4«-f-2)/""»=S|(7)2r,(^) 


conduit  à  exprimer  la  somme 

F(2)  +  F(6) -t- F(io) -+-.  .  .-+- F(/i«  +  2) 
par  la  formule  suivante. 


LETTRE    45.  89 

Considérez  tous  les  entiers  positifs  impairs,  a  et  a',  qui  satisfont 


à  la  condition 


et  soit 


=2:<- 


a  —  \ 


S, 


a 


a  —  l 


^-17/4/^  +  2 


on  a 


4« 

F(2)  +  F(6)^-...+  F(4/n-2)  =  S  +  2S1. 


Que  de  choses  j'aurais  à  vous  dire,  Monsieur,  sur  cette  question  ; 
mais  il  me  tarde  que  cette  lettre  parte  et  vous  porte  le  motif  du 
retard  qvie  j'ai  mis  à  vous  répondre,  en  même  temps  que  mon  vif 
désir  de  recevoir  bientôt  de  vos  nouvelles.  La  liste  des  candidats  à 
la  place  vacante,  dans  la  Section  de  Géométrie,  a  été  arrêtée  comme 
il  suit  :  i"  M.  Darboux;  2°  M.  Laguerre;  3°  M.  Halphen;  4°  6X- 
œquo  et  par  ordre  alphabétique  :  MM.  Appell,  Picard,  Poincaré  ; 
l'âge  et  l'ancienneté  des  services  rendus  à  la  Science  ont  été  pris 
en  considération,  comme  le  mérite  scientifique;  mais,  sans  doute, 
à  une  autre  occasion  et  quand  je  céderai,  à  mon  tour  la  place 
que  j'occupe,  cette  liste  pourra  être  bien  changée.  Je  suis  toujours, 
avec  les  sentiments  de  la  plus  haute  estime,  votre  bien  sincère- 
ment dévoué. 

45.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  i"  mars  1884. 
Monsieur, 

En  rentrant  en  ville  hier  soir,  j'ai  trouvé  votre  lettre  qui  m'est 
bien  précieuse. 

J'avais  réussi,  de  mon  côté,  à  démontrer  les  formules  trouvées 
par  induction,  mais  ma  démonstration  arithmétique  ne  pouvait  se 
résumer  en  peu  de  mots.  Votre  lettre  m'a  fait  penser  de  nouveau 
sur  ce  sujet;  voici  comment  je  crois  que  l'on  peut  arriver  à  mes 
résultats  assez  simplement  en  partant  de 

F(w2)  =  10 [o(«^)  4-  2  0(«2_  22)-4-  2Cp(rt2—  42)  -H.  .     ]. 


go  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELÏJES. 

Soil  d'abord  n  ^p  un  nombre  premier  :  il  s'agit  d'évaluer 

4^=    Cp(p2)    -i-    rj,r^    (  p2    _    .2-)    -\-.    .    . 

OU  bien,  à  cause  de 

■ii-hp  =  9{p)0{p)  -i-  .2'^(;,-2_  22)  +  '2Cp(/?2_  42)+..  . 

OU  encore 

Ce  sont  deux  l'ormules  elliptiques  qui  mènent  au  but;  en  ellel, 
on  a  (OEuv/'es  de  Jacobi,  nouvelle  édition,  t.  T,  p.  162.  16-) 

V ,)  "" ^2'^^" *'^'"    (/i =1, 3, 5, 7, ...), 


I  —  q-  I  —  ^+  I  —  cp 

=  '6[x(i)  ry  ^  /.(  2.)  7-^  7.(3)  5-3  ^.  .  .], 

y(/i)  représentant  la  somme  des  cubes  de  ceux  des  diviseurs  de  // 
dont  les  diviseurs  sont  impairs. 

Or,  en  élevant  au  carré  la  formule  (i),  on  voit  aussitôt  que 
le  coefficient  de  qP  devient 

(i(i)<p(a/)  — n  -^  cp(3)  0(2/?  —  3)  -f-.  .  .-H  cp(/?)  cp(/>)  ^.  .  .-H  cpfayO  —  i)o([) 
donc 

-l^-f-/J  =  -/.(/>)=/?=*-)-  I  C.Q.F.D. 

On  peut  traiter  d'une  manière  analogue  le  cas  où  n  est  composé  . 
Cela  nécessite  encore  quelques  considérations  supplémentaires  qui, 
toutefois,  n'olïrent  point  de  difficulté. 

Voici  comment  j'avais  auparavant  traité  le  cas  de  la  décomposi- 
tion d'un  carré  en  trois  carrés. 

Soit 

pour  un  nombre  quelconque  n,  d  parcourant  les  diviseurs  impairs 

de  n  et  t|/(o)  =  I;  alors  : 

(a)  F(«  j  ==  ^l-K/i-i'-j  +  'K/i- 32) +  ■}(«- 52)  ^...j. 


LETTRE    45.  91 

n  étant  un  nombre  de  la  forme  8A-+I,  el¥{n)  la  fonction  de 
M.  Kronecker.  Si  l'on  considère  iiY{n)  comme  représentant 
le  nombre  des  représentations  de  n  par  x'^+y--{-z-^  on  peut 
obtenir  celle  expression  à  l'aide  des  considérations  les  plus  élémen- 
taires. Maintenant  on  a 

Donc 

^^^^^.W,)^^)KW^)  J^^^^'^         (.  =  „3,S,..., 

ou  bien,  en  changeant  q  en  —  q^ 

.ç  — 1         J-5  — 1         .«5 

e3('7)-=  ,._!    ,.        -42'^*>"'^"- 

En  posant  donc,  pour  un  nombre  ^  i  (modS), 


.*,  G(„)=4.('^>H'i^)-* 


8 


=  i 


on  aura,  lorsque  n  n'est  pas  un  carré, 

(c)  G(n)  =  o 

et  lorsque  az  esl  un  carré 

Â-l      x-^- 1 
G(A-/o  =  (-i)  2    "    -*    A-. 

Les  formules  (a)  et  (6)  donnent  maintenant 

iF^n)-^^G{n)  =  /i'S\<!^{n-f^)  (^=1,7,     9,  '5,...), 

(  Fin)  -  '-G(n)  =  i^'i^{,i  -  ,r^)        {a  =  3,  5,  u,  i3,  ...)• 

Ce  sonl  ces  formules  (^d)  qui  donnent,  par  une  discussion  facile,  la 
valeur  de  F(/i)  lorsque  n  est  un  carré  impair  quelconque. 

Soit,  pour  considérer  seulement  le  cas  le  plus  simple,  n  =ip-^, 
p  étant  un  nombre  premier  ^  i  (modS).  Alors  la  seconde  des 


92  CORRESPONDANCE    d'hERMITE   ET    DE   STIELTJES. 

équations  {d)  donne,  en  faisant  attention  aux  valeurs  (c), 
F(^U)_i^A-=42'}f/^2A-„2)        („  =  3,  5,  II,  ...). 

Considérons  un  terme  quelconque 

et  supposons 

u  ^:=  p''u' ,        ol  /•  <  A:, 

u'  n'étant  point  divisible  par/?;  alors 

Or, /)*~^  est  ^£  I  et  ii!  est  ^  ±  3  (modS);  donc  un  des  nombres 
p^~^-±L  u'  est  ^6  (modS),  et  par  conséquent 

^{p'^^—u'^)  =  o        et        F(/>2A)  =  |pA-. 
En  supposant 

/>,,/?25  •••  étant  des  nombres  premiers  ^  i  (mod4),  ^i,  «72?  •••  étant 
des  nombres  premiers  ^  3  (mod4),  on  trouve  que  le  nombre  des 
représentations  de  n-  par  x--\-  y--\-  z-  est  égal  à 

bpjp2...prX   ~ X    ^ X...X   -^— ^ 

Çl  —  l  Çi—l  Çs—i 

Probablement  on  pourra  aussi  arriver  à  ce  résultat  en  suivant  un 
chemin  analogue  à  celui  (celle)  qui  m'a  conduit  plus  haut  au 
nombre  des  décompositions  en  cinq  carrés;  mais  le  temps  me 
manque  en  ce  moment  pour  vérifier  cela.  Je  suis  très  intéressé 
à  voir  la  démonstration  de  M.  Hurwitz,  qui  certainement  ne  m'est 
point  (connu)  inconnu,  parce  que,  en  voulant  étudier  les  Mémoires 
de  M.  Gierster,  j'ai  dû  recourir  à  un  beau  Mémoire  de  M.  Hurwitz 
intitulé  :  Fondements  d'une  ihéorie  indépendante  de  la  théorie 
des  fonctions  modulaires. 

Lorsque  j'étais  engagé  dans  ces  recherches,  j'ai  aussi  considéré 
la  décomposition  en  sept  carrés.  On  a,  dans  ce  cas  encore,  des 
formules  entièrement  analogues;  l'analogie  est  plus  grande  avec  la 
décomposition    en    trois    carrés    qu'avec    la    décomposition    en 


LETTRE    4^5.  93 

cinq  carrés.  Mais  je  n'ai  point  mené  à  fin  ces  recherches,  et  aussi 
je  n'avais  point  encore  trouvé  une  méthode  pour  déduire  mes  for- 
mules de  la  théorie  des  fonctions  elliptiques. 

Peut-être    vous     trouverez    intéressante    cette    remarque,    que 
j'ai  faite  à  l'occasion  de  cette  relation 

F(np'-^)=  r/>A+^/,-i^..._|.i_^3jL*V^A--i  +  ..,^_,  Jf(«), 

qu'on  a  des  relations  analogues  pour  la  décomposition  en  2,  4? 
6,  ...  carrés.  En  effet,  vous  verrez  aisément  que  l'on  a,  pour 
/■=2,  4,  6,  ..., 

la  valeur  du  symbole   de  Legendre    ( I   étant  it  i    ou  o 

lorsque  n  est  divisible  par/?  (mais  non  par/?^^^ 

^^(/i)  est  le  nombre  des  solutions  de  n  =  x'^ -\-  x', -\-  . . .  -\-  x^. 
De  même,  on  a  pour  r  =  3,  5,  ^,  . . . 


P 

A  =/?('-2'/'-|-.  ..-|-pr-2_^,^ 


mais  je  n'ai  démontré   cela,   dans  les   cas   /'=3,   5,  'j,  que  dans 
quelques   cas  particuliers. 

L'expression  de  3'(/?)  fournie  par  les  fonctions  elliptiques  est 

m  —  l      r  OT  — 1"!  rf  — 1 

d  parcourant  les  diviseurs  impairs  de  n  ;  il  est  facile,  d'après  cela, 
de  vérifier  la  relation  donnée  plus  haut. 

Mais,  dans  ces  derniers  temps,  j'ai  abandonné  ces  recherches 
parce  que  je  veux  étudier  d'abord  les  théories  de  M.  Smith;  or,  les 
Mémoires  que  vous  avez  bien  voulu  m'indiquer  manquent  dans  la 


94  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

bibliothèque  de  l'Université,  en  sorte  (|ue  je  dois  attendre  la  publi- 
cation de  votre  Académie. 

J'aurais  encore  à  vous  dire  bien  des  choses  concernant  votre 
lettre;  mais  le  temps  me  manque  et  je  dois  finir  cette  lettre  déjà 
longue. 

Crojez-moi  toujours,  avec  le  plus  profond  respect,  votre  très 
dévoué. 

46.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  12  mars  i884- 
Monsieur, 

Vos  théorèmes  sur  la  décomposition  des  nombres  en  sept  carrés, 
contenus  dans  les  équations 

F7(4Am)=/(A-)F,(m), 

sont  entièrement  nouveaux  et  extrêmement  beaux  et  je  viens  vous 
demander  l'autorisation  de  les  communiquer  à  l'Académie  en  pu- 
Idiant  votre  lettre  du  8  dans  les  Comptes  rendus  (').  Peut-être  en 
prendrai-je  occasion  pour  j  ajouter  quelques  remarques  concernant 
votre  expression  de  la  fonction  F(/2)  de  M.  Rronecker  par  la 
formule 

F(«) =y  j/(«  — 8/-2) 

que  vous  tirez  sans  doute  du  développement 

9,/iK       il\x       !\Jq?,\nx        4v'7^sin3.r 

su =  ■ 1 1- .  .  . , 

Ti;  -  I  —  q  {  —  q-^ 

en    supposant    ^  =z  y    Le    premier    nombre    devient,    en    effet, 

4 
T  "nS  fi 

"7=  n  ,    1 X  J  et  le  développement  de  la  quantité  x-Q,  conduit  pi'éci- 

sèment  à  F(/\n  -+-  -i).  11  ne  me  semble  pas  inutile  de  i-emarquer  que 
votre  résidtat  est  d'une  autre  nature  que  ceux  qu'on  tire  immédia- 


(')  La  lettre  du  8  mars  manque.  Elle  constitue,  sans  doute,  la  Communica- 
tion insérée  aux  Compter  rendus  :  Sur  quelques  applications  aritlunétiques 
de  la  théorie  des  fonctions  elliptiques  {Comptes  rendus,  t.  XCVIII,  p.  663; 
17  mars  i884). 


LETTRE    46. 


95 


temenl  des  théorèmes  A,  B,  C  de  M.  Kronecker  et  qui  dépendent 
de  la  fonction  plus  élémentaire /(/«)  donnant  le  nombre  des  solu- 
tions de  l'équation  a:--\-y-^=  ni. 
On  trouve  aisément 


I 
3 

/i  =  o,  I,  a,  3,  .  .  . , 

«.  =  ±i,±3,±5,  .... 
6  =  o,  ±  I,  d=  2,  .  . .; 
puis  encore 

C  =  0,±I,lt2,  ±3,    ..., 

mais  ces  formules  ne  sont  point  les  seules  à  s'offrir. 
Désignez  par  g{n)  la  fonction  ainsi  définie  : 

d-l 

^(n)=2,(-0   '   ' 

en  désignant  par  d  tous  les  diviseurs  de  Ai,  moindres  que  \/n  et 
supposant  /i  ^  3  (mod4);  vous  aurez 

6  =  o,  ±'2,±4,  ±6,  .    ., 

Soit  ensuite  gt  (n)  une  fonction  relative  à  un  nombre  pair,  à  savoir  : 
1      r  'i'—i 


d-V 

(-1)     2 


où  d  représente  tous  les  diviseurs  impairs  de  n,  moindres  que  i/n 
et  d'  tous  les  diviseurs  impairs,  plus  grands  que  \^n,  on  a  : 

Q  1  =  0  +  4^]  ^' '^  "-«')'?" ^  ^2  *"■' ('^  —  c') (- ^)" 
avec  la  condition  de  prendre  c  ^  n  (moda). 


96  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

La  difficulté  est  de  reconnaître  de  quelle  manière  se  ramènent  les 
unes  aux  autres  des  expressions  si  diverses;  n'ayant  aucun  espoir 
de  la  surmonter,  je  me  résigne,  Monsieur,  à  interroger  les  formules 
elliptiques  de  diverses  catégories,  en  demandant  à  chacune  son 
secret  arithmétique,  et  à  recueillir  les  réponses  utiles  ou  inutiles 
avec  patience  et  persévérance  ;  plus  laboris  quani  artis.  Mais  voici 
mes  leçons  qui  arrivent,  avec  les  examens  de  la  Sorbonne,  et, 
comme  vous,  il  me  faut  faire  la  part  aux  devoirs  et  aux  obligations 
de  l'enseignement.  Non  sans  regret,  je  m'arracherai  aux  formules 
suivantes  qui  m'ont  coûté  bien  des  efforts  et  dont  je  ne  désespère 
point  d'obtenir  quelques  résultats.  Soit  toujours  «  :^  i,  3,  5,  .  .  .; 
on  a 

\^  )    ~2d  (l— 5r2«)2  ^2d  '        I  —  g2a         ' 

puis,  en  faisant  c  =  i,2,3,  .  .  ., 

Permettez-moi,  Monsieur,  de  vous  demander  s'il  vous  conviendrait 
d'appartenir  à  la  Société  mathématique  de  France  ;  le  règlement 
de  la  Société,  qui  impose  aux  membres  étrangers  la  même  cotisa- 
tion annuelle  de  ao*^""  qu'aux  Membres  nationaux,  et  un  droit  de  lo^'" 
pour  délivrance  du  diplôme,  ne  me  permet  point,  sans  avoir  obtenu 
votre  consentement,  de  vous  proposer  au  choix  de  mes  confrères 
qui,  j'en  suis  assuré,  vous  accueilleront  avec  la  plus  grande  sym- 
pathie. 

Recevez,   Monsieur,  la   nouvelle  assurance   de  ma   plus    haute 
estime  et  de  mes  sentiments  bien  dévoués. 


47.  _  STIELTJES  A  HERMITE. 


Leyde,  i3  mars  188^. 
Monsieur, 

Je  verrai  avec  le  plus  grand  plaisir  que  vous  fassiez  (ferez)  im- 
primer dans  les  Comptes  re  ni  us  ma  dernière  lettre;  seulement  je 


LETTHE    k7.  97 

ne  sais  pas  si  ce  que  je  dis  sur  cette  relation 

F(«/>2/.)  =,  [pK_^p/c-y^__,.^  ,  _  (^j  (/>/■-!  +  ..  ■  /'  ^-  0    F(n) 

sera  intelligible.  Aussi,  j'espère  avoir  (que  j'ai)  exprimé  assez  clai- 
rement ma  satisfaction  sur  la  méthode  de  M.  Hurwitz,  qui  est  beau- 
coup préférable  à  celle  que  j'avais  suivie  auparavant  dans  le  cas  de 
la  décomposition  en  trois  carrés. 

Enfin,  il  faut  supprimer  cette  relation 

(q^'-i-cf-  ^.,.)(l  —  9,  cf^'^  ...)  =  cj^'-—  cf  ^  q-'  ( ,  —  2  ^S-''^  )  —  .  .  . 

parce  que  je  me  suis  aperçu  que  le  théorème  arithmétique  qu'elle 
exprime  a  été  donné  par  M.  Smith  sous  une  auti^e  forme,  et  il 
serait  nécessaire  d'j  ajouter  plusieurs  remarques.  Cette  découverte 
m'a  intéressé  beaucoup  parce  que  la  démonstration  indiquée  par 
M.  Smith  est  tout  à  fait  différente  de  la  mienne.  Ces  relations  appar- 
tiennent à  ime  classe  dont  on  a  vu  le  premier  exemple  dans  le  pre- 
mier Mémoire  de  Gauss  sur  la  théorie  des  résidus  biquadratiques  : 
p  étant  un  nombre  premier  ^  i  (modS)  et 

alors  si 

ar  ^  ±  I  (  inod  8  ).  u  est  pair 

et  si 

a7^±3(mod8),  a  est  impair, 

{OE livres  de  Jacobi^  nouv.  édit.,  t.  II,  p.  218). 

M.  Smith,  en  parlant  de  ces  théorèmes,  remarque  qu'il  existe  des 
théorèmes  analogues  pour  la  représentation  d'un  nombre  par  deux 
formes  quadratiques,  l'un  des  déterminants  étant  positif,  l'autre 
négatif.  Et,  comme  un  exemple,  il  donne  un  théorème  qui  ne  diffère 
pas  essentiellement  de  celui  donné  plus  haut. 

Je  sens  bien.  Monsieur,  qu'il  vaudrait  mieux  que  je  publie  (si  je 
publiais)  in  extenso  les  recherches  auxquelles  je  me  suis  (m'ai) 
livré  d'après  vos  indications  et  encouragements;  mais  je  n'en  vois 
pas  encore  la  possibilité  prochaine. 

La  Faculté  de  Groningue  m'avait  bien  présenté  en  première  ligne 
pour  la  place  vacante,  mais  M.  le  Ministre  a  nommé  un  des  autres. 
Probablement  la  raison  aura  été  que  n'ayant  point  eu  l'occasion  de 
suivre  le  chemin  ordinaire,  je  n'ai  point  obtenu  un  grade  à  l'Uni- 
versité. Je  suis  très  sensible  à  votre  proposition  honorable  à  la  fin 

7 


gS  CORRESPONDANCE    D'hERMITE    Eï    DE    STIELTJES. 

de  voire  lettre;  mais  dans  mes  circonstances  un  peu  précaires,  je 
dois  vous  demander  d'en  ajourner  quelque  temps  l'exécution. 

Dans  le  commencement  de  la  semaine  suivante  je  serai  à  Paris 
pour  quelques  jours;  peut-être  aurai-je  alors  le  bonheur  de  vous 
voir.  Je  suis  toujours  votre  serviteur  bien  dévoué. 

48.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  25  avril  1884. 
MojVSIEUR, 

Permettez-moi  de  vous  communiquer  le  résultat  d'une  recherche 
que  j'avais  projetée  depuis  longtemps,  mais  que  je  n'ai  exécutée 
que  dans  ces  derniers  jours.  Le  résultat  simple  auquel  j'arrive, 
c'est  que  la  quadrature  de  Gauss 


I 


+  1 

f{x)clx  =  Ai/(Xi)  -\-  k^fi^X.,)^...^  knf{Xa) 


s'applique  avec  une  approximation  indéfinie  (en  augmentant  /i)  à 
toute  fonction  intégrable. 

Supposons  x^<iXi<i  .  .  .  <C,x,i'i  on  sait cjue 

Al-+-    A2-+-.    .    .+    A,;    =    2 

et  mon  résultat  est  une  conséquence  immédiate  de  la  définition 

d'une  intégrale  définie  et  des  inégalités  suivantes  dont  j'ai  véi'ifié 

la  justesse  : 

—  1     <a7i<  — iH-A,, 

—  1     -i-Ai<:r2< — i-i-Ai-f-Aj, 

—  I  -^  A 1  -+-  A2  <  a"3  <  —  I  -4-  A 1  -i-  A.2  -i-  A3, 


J'ai  supposé  n  assez  grand  :  alors  on  peut  vérifier  ces  inégalités 
pour  celles  (ceux)  des  racines  Xh  qui  ne  sont  pas  proches  des 
limites  ±  i ,  à  l'aide  des  valeurs  approchées  des  Xu-,  ^k  qu'on  ob- 
tient sans  difficulté.  Toutefois  il  est  un  peu  pénible  d'obtenir  les  A^ 
avec  une  approximation  suffisante. 

Ensuite,  j'ai  considéré  les  racines  extrêmes  qui  diffèrent  peu  de 
±  I  et  j'arrive  aux  formules  suivantes. 

Soient  j', ,  JK25  J)'3j  •  . . ,  les  racines  de 

■1/2  yZ 

F(  y  )  =  I  —  Y  -^ — h.  .  . 


LETTRE    48.  99 

rangées    dans  leur  ordre   nalurel   de  grandeur  (on  a  à  peu  près 

j/f=     '  '      — ^lorsque  k  est  gi-and  ;   cela  donne  _;>',  ^  i ,  38^9  ... 
04 

au  lieu  de  1 ,44^^^  — 

Alors     on     obtient    les     plus     grandes     racines     de     X//=:o, 
.r ,  >  ^0  >>  X:j  . . .  en  substituant  JK) ,  jk^?  ^37  •  •  •  au  lieu  de  y  dans 

l'expression 

%y  8u  Hv 


^+--M 


(•2  11  -i-  l)'>  (  '2  /t  -t-  X  ) 

j3  8     ,       3'2     , 


Par  exemple,  on  trouvera  jCi  par 

1 1 ,566386. . .        26,i523i...         20, 453... 

I '- -1-  — ? iii_i _|_  _    ^ , 

(•2/t-Hl)-  ('2/1  -H  ij»  (2/1  +  1)'"' 

Pour  /ï  =  2,  l'erreur  restante  est  o,  000046. 

Pour  II  =  3,  elle  est  o,  000004  ;  pour  de  plus  grandes  valeurs 
de  n  elle  devient  insensible  sur  les  six  premiers  chiffres. 

Je  développe  une  expression  analogue  pour  obtenir  les  coeffi- 
cients correspondants  A,  A0A3  .  .  .  dont  je  n'écris  ici  que  le  pre- 
mier terme 

8  I 

La  vérification  des  inégalités  données  plus  haut  conduit  alors  à 
celles-ci  qui  ont  effectivement  lieu  : 

1  I 

Une  légère  indisposition  m'a  obligé  d'abandonner  l'Arithmétique 
pour  quelque  temps  ;  mais  maintenant  j'éprouve  de  nouveau  l'attrait 
de  ces  études  ;  toutefois  je  ne  pourrai  faire  beaucoup  faute  de  loisir. 

En  vous  souhaitant  un  sort  plus  heureux,  Monsieur,  je  (me) 
signe  votre  très  dévoué. 


100  CORRESPONDANCE    D  UERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

49.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  2  mai  1884. 
Monsieur, 

Votre  lettre  m'a  vivement  intéressé  par  les  beaux  résultats 
qu'elle  contient;  elle  ajoute  encore,  s'il  est  possible,  à  mes  senti- 
ments de  haute  estime  et  de  sympathie  pour  votre  beau  talent.  J'ai 
eu  dernièrement  l'occasion,  que  j'ai  mise  à  profit,  d'exprimer  ces 
sentiments  à  votre  compatriote  M.  Bierens  de  Haan,  venu,  comme 
moi,  à  Edimbourg  pour  assister  aux  fêtes  du  cinquième  centenaire 
de  l'Université,  et  M.  Picard  qui  m'accompagnait  a  fait  de  même 
de  son  propre  mouvement.  Ce  me  serait  une  vive  satisfaction  si  le 
témoignage  de  mon  opinion  sur  votre  mérite  scientifique  pouvait 
vous  servir  en  quelque  chose  et  contribuer  à  vous  faire  obtenir  une 
situation  digne  de  vous  et  qui  vous  permit  de  vous  livrer  en  entier 
aux  recherches  que  vous  avez  entreprises.  Permettez-moi,  Mon- 
sieur, de  vous  prier  de  disposer  de  moi,  si  vous  en  avez  l'occasion  : 
je  ne  puis  douter  que  mon  confrère  et  ami  M.  Tisserand  ne  s'em- 
presse, à  ma  demande,  de  joindre  son  témoignage  d'astronome  et 
de  géomètre  au  mien.  La  publication,  dans  les  Comptes  rendus, 
des  résultats  de  vos  travaux,  pouvant  ne  pas  être  inutile  pour 
appeler  sur  vous  l'attention,  je  viens  vous  demander  s'il  vous  con- 
vient que  je  présente  à  l'Académie  votre  Communication  du 
28  avril  et,  en  attendant  votre  décision,  je  me  permets  une 
remarque  au  sujet  de  l'équation 


(1.2)2  (l.2.3j2 


Si  vous  faites  j^  =  \  —  )   vous  avez  la  fonction  de  Bessel  qui  joue 

un  si  grand  rôle  dans  la  théorie  de  la  chaleur  et  autres  applications 
physiques.  Or,  l'équation  dont  vous  obtenez  les  racines  par  la 
formule  a|q>rochée 


(4  A- -1)2^2 


64 
a  été  l'objet  des  recherches  d'un  géomètre  extrêmement  distingué 


LETTRE    50. 

M.  Boussinesq,  qui  obtient  l'expression 


A-        i\  .       Ik        i\2  /i 


C'est  dans  les  Comptes  rendus,  t.  LXXII,  p.  48o,  que  vous 
trouverez  l'exposé  de  ses  recherches  sur  ce  sujet,  qui  a  longuement 
occupé  M.  de  Saint-Venant;  ne  jugeriez-vous  pas  à  propos  d'en 
prendre  connaissance  et  de  le  citer  en  le  rapprochant  des  vôtres? 

La  liaison  que  vous  avez  découverte,  liaison  cachée  et  qui 
m'échappe  entièrement  entre  les  racines  de  l'équation  de  Bessel 
et  l'équation  X„=:o,  me  semble  on  ne  peut  plus  intéressante, 
ainsi  que  votre  expression  des  coefficients  A  par  la  formule 


Vous  avez  indiqué  trop  succinctement  votre  point  fonda- 
mental, que  l'extension  à  une  fonction  intégrable  de  la  formule 
d'approximation  de  Gauss  est  une  conséquence  immédiate  des 
inégalités 

I-i-Ai<a72< —  I4-A]  +  A2,  .... 

Plus  de  détails  ne  me  sembleraient  point  superflus  si  vous  devez 
publier  la  lettre  que  vous  m'avez  adressée,  et  il  vous  serait  facile, 
dans  ce  cas,  d'y  joindre  une  addition  qui  serait  mise  à  la  place 
convenable. 

En  remettant  l'Arithmétique  à  une  prochaine  lettre  et  attendant 
votre  réponse,  je  vous  renouvelle.  Monsieur,  avec  tous  mes  vœux 
pour  vous,  l'assurance  de  ma  plus  haute  estime  et  de  mes  senti- 
ments bien  dévoués. 


50.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  3  mai  1884. 
Monsieur, 

Je  viens  répondre  à  votre  lettre  pleine  de  bonté  par  quelques 
développements  sur  la  question  que  j'avais  agitée.  Ces  développe- 
ments sont  probablement  trop  étendus  pour  permettre  de  les 
publier  dans  les  Comptes  rendus.  Je  composerais  cependant  avec 


I02  CORRESPONDANCE    D  IlERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

})laisir  une  rédaction  pour  quelque  Journal  et  je  demande  votre 
conseil  sur  un  choix. 

Comme  vous  verrez,  la  manière  dont  je  traite  maintenant  la 
question  n'a  rien  de  commun  avec  celle  que  j'ai  décrite  succincte- 
ment dans  ma  lettre  précédente.  Elle  est  infiniment  plus  simple. 

J'ai  toujours  été  frappé  par  cette  circonstance  que,  tandis  que  la 
définition  même  d'une  intégrale  définie 

(A)  /     G(.T)r/.r  =  lim[ôlG(^l)^32G(b)-^...-^5„G(t^)] 

'-'a 

permet  toujours  de  calculer  sa  valeur  avec  vine  approximation  indé- 
finie, cela  n'était  point  du  tout  démontré  si,  en  appliquant  une 
quadrature  mécanique,  on  calcule 

(B)  AiG(^i)  + A2G(^2)+...-^A„G(3"«). 

Si  l'on  prend,  avec  Mewton  et  Cotes,  les  ^i,  .To,  . . .,  ^„  en  pro- 
gression arithmétique,  les  A,,  ne  sont  pas  toujours  positifs  (comme 
on  le  voit  par  les  valeurs  calculées  par  Cotes  et  reproduites  dans 
le  Mémoire  de  Gauss),  et  cette  circonstance  m'a  fait  croire  qu'il  j  a 
bien  peu  d'espérance  d'arriver,  dans  ce  cas,  à  un  résultat  simple. 
[Toutefois  je  n'ai  pas  cherché  si,  peut-être  aussi  dans  ce  cas,  les  A;- 
ne  finissent  pas  par  (de)  devenir  tous  positifs,  n  augmentant.] 

Mais,  dans  la  quadrature  de  Gauss,  les  A^  sont  tous  positifs,  en 
sorte  qu'on  est  porté  naturellement  à  chercher  si  l'expres- 
sion (B)  ne  rentre  pas  dans  celle  qui  figure  au  second 
membre  de  (A)  en  prenant,  comme  il  est  permis  de  le  faire 
(en  efi'ct  A,  +  Ao  H-  . . .  +  A„  =  6  —  a)  o,  =  A, ,  ôo  =  Ao,  . . . , 
o„=A„.    Mais,    pour   que   celte   identification   soit   possible,   on 

devra  avoir 

«  <  ^1  <  «  -1-  A]  <  j~2  <  «  -t-  A]  -H  Ao  <  . . . 

inégalités  qui  expriment  que  x^  x^, ^n  sont  compris  dans  les 

intervalles  choisis. 

C'est  ce  qui  a  lieu,  en  eft"et,  et  ce  que  j'avais  vérifié  d'abord 
d'une  manière  fort  pénible  en  me  servant  d'expressions  approchées 
des  Xr  et  des  A^,  en  supposant  n  très  grand. 

Je  vais  établir  maintenant  une  proposition  plus  générale  : 
Soiiy(:r)  une  fonction  qui  reste  constamment  positive  dans  l'in- 
tervalle a  —  b. 


LETTRE    cO.  I03 

On  sait  qu'on  peiil  déterminer  n  constantes  ^i,  .To,  . . .,  x„ 
«  <  ^1  <  -^2  <  •  • .  <  •^w  <  ^ 
et  n  autres  constantes  A,,  Ao,  •  •  .,  A„  de  manière  que  l'on  ait 


(U 


l     f{x)G{x)dx  =  A,/(jri)-HA2/(.r,)  +  ...+ A„/(.r„) 


toutes  les  fois  que  G(^)  est  un  polynôme  en  x  du  degré  2«  —  i 
au  plus. 

Les  A/f  sont  tous  positifs  :  c'est  ce  que  l'on  voit  en  prenant 

(X—Xiy'...{x  —  Xn)-, 

{x  —  XkY 
cela  donne 

r'' 

/     f{x)G{x)dx  =  \kG{xk). 

Les  Ay;  étant  positifs  et 

Ai-h  A2-1-.  .  .-t- A,j=    /     f{x)dx, 

'J  a 

on  pouri\i  déterminer  /? —  i   constantes  j^,,  y^-,  •  ■■,  J'»-i   de  ma- 
nière que 

«  <  7i  <  J'2  <  •  •  •  <  J«-i  <  ^ 
et 

Ai=    /      f{x)dx,  A2=    /      f(x)dx, 

I      f{x)dx,         ....         A„_i=  /         f(x)dx. 

On  aura  alors  aussi 

A,j=    /      f(x)dx. 

Je  dis  maintenant,  et  c'est  ma  proposition  fondamentale  :  que 
ces  constantes  j^,,  y 2,  ■  ■  -,  Jn-\  séparent  ;r,,  X2-,  ■  •  -,  ocn-  Donc 

a  <  J"i  <  Ji  <  x-i  <  j2  <  .r.j  <  . .  .  <  j„-,  <  Xn  <  b. 

Il  faut  remarquer  que  la  démonstration  que  les  A/t  sont  positifs 
se  fonde  seulement  sur  l'exactitude  de  (i),  Q{x)  étant  un  polynôme 
du  degré  in  —  2  au  plus  (et  non  in  —  i).  Aussi,  dans  la  démon- 
stration suivante  de  la  proposition  fondamentale  nous  ferons  usage 
de  (i)  seulement  dans  le  cas  que  G(.r)  est  du  degré  in  —  2. 


io4 


CORRESPONDANCE   D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 


Je  détermine  un  poljnome  du  degré  m  —  ■>.,  T(^)  par  les  con- 
ditions suivantes  : 


T(a^i)-  I, 
T(a^2)=  I, 

T(3;/,_i)  =    I, 

T(^/,)=  I, 
TCr/,+i)  =  o, 
T(.r/,_^o)  =  o, 

T(x„)  =  o, 


T'(.ri)  =  o, 

T'(.^A-i)  =  o, 

T'(a-/,+i)  =  o, 
T'(.r/,+,)  =  o, 

T'(.r„)  =  o. 


Ces  conditions  étant  au  nombre  de  in  —  i,  le  poljnome  T(^) 
est  parfaitement  défini  par  cela,  et  l'on  aura 


,r 


f{x)i:{.x)dx  =  Ai  + A2- 

Les  racines  de  l'équation 

T'(^)  =0 

sont  (d'après  le  théorème  de  Rolle). 


A/.. 


Nombre. 


A- 


ia)  Xi,       X2,       ...,  a-A_i 

(6)  ^1,        ^2,       ••  ,  ;/,-!_  'Vi<çi<^i<h<^i<--<^/^-i<^A  Z^  — I 

(c)  37/,+],  :rAM-2,  .-..  .r„,  ;;  —  A- 

Le  nombre  total  de  ces  racines  est  m  —  3  ;  T' [x)  étant  du  degré 
in  —  3,  l'équation  ne  saurait  en  avoir  davantage,  et  toutes  ces 
racines  sont  simples. 

Il  est  facile  d'a[)rès  cela  de  se  représenter  la  marche  de  la  l'onc- 
tion T(.r)  ou  de  la  ligne  j'^=  T(.r).  Dans  la  figure  ci-dessous,  c'est 


Oi^  a^Xj 


•^k-2'^k-i-^H   ''«•i  •*"*«: 


■^n-i  ^n 


la  ligne  en  trait  plein;  en  effet,  la  ligne  pointillée  ne  saurait  con- 
venir parce  qu'il  en  résulterait  au  moins  une  racine  de  T'{x)  =  o 
fnlre  x^  et  x^^^^  qui  n^ existe  pas. 


LETTRE    50.  I05 

On  voit  : 

1°  Que  T(^)  est  toujours  positif  dans  l'intervalle  <7,  b] 

2"  Que  I  estla valeur mmî/?zi<mdeT(:r) dansl'intervallert  —  x^. 

De  l'équation 

Ai+ A2-+-...+ Â/,=  /    f{x)i:{x)dx 

nous  pouvons  donc  conclure 

Ai+A2-+-...-i-AA.>  ^     f{x)'Y{x)dx, 
et  enfin 
(a)  Aj-t- A,-!-.  .  .-t- A/,>   /      f{x)dx. 

On  démontrera  d'une  manière  parfaitement  analogue,  en  consi- 
dérant l'autre  limite  b  de  l'intégrale 

A/,+  1  -4-  Aa+o  -h .  . .  +  A;î  >   /     f{x)dx; 

mais, 

Ai-i- A2-I-..  .-4- A„=   /    fix)dx, 
donc 
(P)  Ai-^A2^-...^-AA.<  /        /{x)dx. 

Ces  deux  inégalités  (a)  et  ([3)  font  bien  voir  que  la  quantité jka 
définie  par 

Ai+ A2  +  . .  .-i- A/,-=  /     f{x)dx 

reste  comprise  entre  Xk  et  x^j^k-  C'est  la  proposition  qu'il  fallait 
démontrer. 

Avant  que  j'eusse  trouvé  cette  démonstration,  j'avais  constaté 
l'exactitude  dans  les  cas  suivants  : 

J-i    \/i  —  x^  n.Ld''l  111        \ 

1        ^i  —  X-  (t(x)  dx   =  — ^ —  y  s\n-  (  — ^^ )  Cl'  (  cos  — ^ ), 

J_^  '  ii-^iAd  V  /i  ^  I  /  •'  V        ;i  -i-  1  / 


r  i/'-^i^qix)dx=~^^S.\n^-J^^q(co.^^).. 
{j(x)  du  degré  m  —  i  au  plus. 


I06  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Quand  j'éLais,  dernièrement,  à  Paris  ('),  j'ai  été  votre  auditeur 
à  la  première  leçon  de  votre  cours  du  second  semestre,  et  c'est 
même  de  ce  temps  que  datent  mes  nouvelles  réflexionssur  la  ques- 
tion que  je  viens  de  résoudre  enfin. 

Si  mon  séjour  eût  été  un  peu  plus  long,  j'aurais  certainement 
tâché  d'avoir  le  plaisir  de  vous  parler.  jMais  alors,  l'heure  du  dîner 
me  semblait  trop  proche  et  je  suis  parti  le  lendemain  matin. 

Votre  très  dévoué. 


51.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  5  mai  188^. 


Mon  5 


Ne  sojez  pas  fâché  si,  après  avoir  lu,  avec  toute  l'attention  dont 
je  suis  capable,  votre  dernière  lettre,  je  viens  de  nouveau  vous  faire 
part  de  difficultés  qui  n'en  sont  certainement  pas,  dans  le  fond, 
et  que  quelques  développements  feront  évanouir.  On  sait,  dites- 
vous,  qu'en  désignant  par  G  (.r  )  un  poljnome  en  x  du  degré  in  —  i 
au  plus,  on  peut  poser  : 


/ 


h 

f{x)  G{x)  dx  =  \,/(x,  )  +  A,/(..-,)  +.  .  .-^-  A„/(^„), 


les  quantités  x^^  X-y, ^«  étant  comprises  entre  a  et  b.  Je  dois 

vous  avouer  que  cette  propriété  m'est  complètement  inconnue,  si 
inconnue  cjue  je  ne  vois  aucun  moyen  d'y  parvenir  et  de  l'établir. 
Je  ne  vois  pas  non  plus  pourquoi  ayant  trouvé,  en  supposant 

(a-  — .-r,  )2.  .  .(.r  —  .r„)2 

0{x)  =  ; -, 

(x-xi,y 

une  valeur  positive  pour  A^,  vous  concluez  immédiatement  que 
pour  tout  autre  polynôme  cette  constante  sera  la  même,  et,  par  cela 
seul,  sûrement  positive.  En  attendant  que,  par  f[uelques  mots 
d'explications,  vous  dissipiez  les  ténèbres  de  mon  esprit,  permettez- 
moi  de  vous  demander  s'il  vous  conviendrait  de  Aonner  n\\^  A  nnale s 

(')  Pendant  le  voyage  annonce  à  la  fin  de  la  Lettre  47. 


LETTRE    52.  107 

de  V École  normale  supérieure,  dont  M.  Tisserand  est  le  rédac- 
teiii"  en  chef,  un  Mémoire  étendu  et  bien  complet,  sur  cette  ques- 
tion des  quadratures  qui  a  été  le  sujet  de  vos  dernières  lettres  ('). 
Aussitôt  que  je  connaîtrai  vos  intentions,  j'en  ferai  part  à  M.  Tis- 
serand qui  sera,  j'en  suis  certain  d'avance,  exti^êmement  satisfait 
d'offrir  un  jMémoire  de  vous  à  ses  lecteurs.  Mais,  pour  nombre 
d'entre  eux,  il  est  d'une  absolue  nécessité  de  ne  supprimer,  dans 
les  développements,  aucun  intermédiaire;  je  me  range,  tout  le  pre- 
mier, dans  cette  catégorie  ;  la  peine  à  prendre  et  l'effort  à  faire  pour 
combler  les  solutions  de  continuité  que  je  trouve  dans  un  travail, 
sont  un  motif  suffisant  pour  me  détourner  d'en  faire  l'étude.  La 
question  de  l'intégration  par  approximation  est  de  la  plus  haute 
importance,  et  le  point  de  vue  auquel  vous  vous  êtes  placé  en  envi- 
sageant les  fonctions  intégrables  d'après  Riemann  est  entièrement 
neuf  et  intéressera  vivement  les  géomètres.  C'est  donc  une  occasion, 
Monsieur,  d'attacher  votre  nom  à  un  sujet  élémentaire  et  fondamen- 
tal en  Analyse;  je  n'ai  |ias  besoin  de  vous  dire  combien  je  serais 
heureux  de  le  faire  connaître  en  exposant  vos  recherches  à  mes 
élèves  de  la  Sorbonnc. 

En  vous  renouvelant.  Monsieur,  l'expression  de  ma  plus  haute 
estime  et  de  mes  sentiments  bien  dévoués. 


52.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  7  mai  1884. 
Monsieur, 

Je  suis  bien  fâché  que  mon  travail  vous  ait  causé  tant  d'ennui  et 
je  me  hâte  de  vous  donner  les  développements  demandés. 

Soity(jc)  luie  fonction  donnée,  qui  ne  devienne  pas  négative 
entre  a  et  b.  Il  n'est  pas  exclus  qu'elle  devienne  infinie  ;  seulement 

/   fi-^)  ^^-^  ào\l  avoir  un  sens. 


(  '  )  Ce  travail  a  efTectivement  paru  dans  \es  Annales  de  l'École  NoF'nia/e  supé- 
rieuie  :  «  Quelques  recherches  sur  les  quadratures  dites  mécaniques  »,  3°  série, 
t.  I,  p.  409-426;  1884. 


Io8  CORUESPONDANCE   d'heRMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Problème.  —  Déterminer  un  polynôme 

d'un  degré  donné  n,  tel  que 

(i)  /    f{x)'^{x)xf^dx  =  o 

'■'a 

pour  A'  =  o,  1 ,  2,  .  .  .,  «  —  I . 

Ces    conditions    donnent,    pour  déterminer   les  inconnues  «(, 
«2,  •••,  ctrtj  les  équations  linéaires  suivantes  : 

1      /    x'^      f{x)dx  +  ai    I    x"-'^  f{x)  dx 

I      '^a  "-'a 

pb  h 

l  '  -i- «2   /     x'^-^  f{x)  dx -^ ...-{- a „   I    f(x)dx  =  o, 

/    a;«+i /(a7)</a;-)- «1    /    .r"      f(x)dx    ■ 

■'Il  ^  a 

-i- a.2   I    x"--'^  f{x)  dx -{-.  .  .-\- a,i   j    xf{x)dx  =  o, 

'-'a  >J  a 

(2)       /  /.  l, 

I    x"-+'^  f{x)dx-\-  ay   I    xn-^i  f(x)dx 

-)- «2  /    *■"      f{x)dx-\-...-^a,i   I    x^f{x)dx  =  o, 

Jf    x^'i-'^f(x)dx  -+-  ai   I    x'^-'i-"- f  {x)  dx 

+  «2     /     X^-n-^fl^x)  dx  -h.  .  .-h  Un    f     X'^-^f{x)  dx  =  O. 

Le  problème   est  donc  déterminé  en  général  et  flri,«o.  ...,a,t 
deviennent  des  fonctions  rationnelles  des  in  constantes 

r'' 

/     x'^  f{x)  dx         (  /i  =  o,  1,2,  .  .  . ,  2  n  —  i). 

Mais,  si,  comme  nous  le  supposons,  la  fonction  /(x)  ne  change 
point  de  signe,  on  peut  démontrer  qu'aucune  contradiction  ou  in- 
détermination ne  peut  se  présenter  dans  la  solution  du  système  (•^.), 


LETTRE    52.  109 

le  déterminant  A  étant,  alors,  certainement  différent  de  zéro. 
En  effet,  écrivons,  dans  les  intégrales  de  la  première  ligne,  x^  au 
lieu  de  x,  dans  celles  de  la  seconde  ligne,  ^o,  etc.,  enfin  dans  celles 
de  la  dernière  ligne,  x,i  au  lieu  de  a:  ;  le  déterminant  A  peut  alors 
se  mettre  sous  la  forme  d'une  intégrale  n-iiple,  ainsi  : 


=     f      f       ■■    f  f(^i)A^-2)...f(^n) 
^  a    ^  a  '-a 


r    ou  \  ce  \ 


.x% 


ClX  \  CtX^  .  .  •  (XX f^ 


ou  bien 

(3)     A=r     f  ...  f  f{x,)f{x,\..f{xn)x,xlxl. 


.x%   ^  n  dx\  dxi. .  .dx,ii 


n 


x% 


X'.}- 


La  notation  des  variables  étant  indifférente,  on  peut,  dans  l'ex- 
pression (3),  permuter  de  toutes  les  manières  (en  nombre  i  .•2.3...n) 
les  indices  1,2,  ...,  n.  Par  ces  permutations.  Il  ne  change  point, 
ou  change  seulement  de  signe  et,  faisant  la  somme  de  toutes  les 
équations  que  l'on  obtient  par  ces  permutations,  on  aura 


X^Xr, 


donc 

(4) 


.■i.3...n\=  I      I      ...  I    fixi)f{x,)...f{x,,){Uy-dxidx,...dx„, 


ce  qui  fait  bien   voir  que,  dans   notre   supposition  concernant  la 
fonction  f{x),  A  est  positif  et  différent  de  zéro. 

Conclusion.  —  Le  problème  posé  conduit  à  un  polynôme  N(^) 
parfaitement  déterminé  pour  toute  valeur  de  n.  Désignons  ces 
polynômes  pour  /i=  I,  2,  3,  ...  par  N,  (a^),  N2(.r),  N3(ji:),  .  .  . . 
Les  conditions  (i)  qui  ont  servi  à  déterminer  N(^)  font  voir  que 

(5)  f  f{x)^{x)i:„_,{x)dx  =  o, 

T,,_,(^)  étant  un  polynôme  de  degré   n  —  i    au  plus,   d'ailleurs 


IIO  CORRESPON»ANCE    U  HEIIMITE    ET    DE    STIELTJES. 

loul  à  fait  arbitraire.  On  a  donc  aussi 

(6)  f   f(x)N/,{x)?i/{x)da;^o 

lorsque  les  indices  A"  et  /  sont  inégaux. 
Proposition.  —  Les  racines  de  l'équation 

N(^)  =  o 

sont  j'éelles,  inégales,  comprises  entre  a  et  b. 

En  effet,  désignons  par  ^,,  x>,  •  .  - ,  Xk  toutes  les  racines  réelles 

de  cette  équation  qui  sont  comprises  entre  a  el  b.  Nécessaire- 
ment k  est  au  moins  égal  à  i,  parce  que  N(^)  doit  changer  de 
signe  entre  a  et  b  k  cause  de 


/    f{x)  N{x)dx  =  o    , 


Posons 

N  (  rr  )  =  (  X  —  ^1  )  (  ^  —  ^2  )  •  •  •  (  ^  —  -^"A-  )  P  (  ^  )  ; 

P(^)  ne  change  point  de  signe  entre  a  et  b.  Or,  si  P(^)  n'était 
pas  simplement  égal  à  l'unité,  {x  —  Xi)(x  —  Xo)  •  •  -{x  —  x^)  serait 
au  plus  du  degré  n  —  i  et,  d'après  (5),  on  aurait 

I    /{x)'N{x)(x  —  Xi){x  —  x-i).  .  .(x  —  x/,)  dx  =  o, 

ce  qui  est  impossible,  parce  que  la  fonction  sous  le  signe  /  ne 
change  point  de  signe. 

Toutes  les  racines  sont  donc  comprises  entre  a  et  b.  Mais  aussi, 
il  ne  saurait  y  en  avoir  d'égales.  En  effet,  supposons 

N{x)  =  (x  —  xiY  P(x), 
P(.r)  sera  du  degré  n  —  2;  ])ar  conséquent 


/ 


b 

f{x)'N{x)P{x)dx  =  o, 


ce  qui  est  aussi  impossible  (de  nouveau). 

Application  des  résultats  précédents  à  la  quadrature  méca- 
nique. —  Désignons  par  Xt,  x-,,  ■  •  . ,  x,i  les  racines  de  IN  (x)  =  o. 


LETTRE    52.  II  I 

Soil  G(x)  un   polynôme   de   degré   iii  —  i   au   plus,  d'ailleurs 
parfailement  arbitraire.  En  divisant  G(^)  par  N(a')  on  aura 

(7)  G(:r)  =  Q(^)N(ar)  +  R(:r), 

le    quotient    Q(^)    et    le    reste   ^{x)   étant    tous    les    deux    de 
degré  n  —  i  au  plus. 

Nous  aurons  donc,  d'après  (5), 

(8)  f  f{x)G{x)dx=  f  f{x)Rix)dx. 

Maintenant,  R(^)  étant  du  degré  «  —  i,  on  a  identiquement, 
d'après  la  formvde  d'interpolation 

N  ('  X  ) 

^      '  {X  —  Xi)K{Xi) 


{X  —  X.2)N'{X2)  "  {X  —  Xn)N'{Xa) 

En  ]30sant  donc 

\  ■  -^  ,     ,  ,  „  , 


I       r\       N(x)    , 


A/s   ne    dépendant   donc    en    aucune   façon   du   poljnome   G(^), 
l'équation  (8)  devient 


1 


f{x)Q{x)  dx  =  AiR{>i)  -H  A2R(a-2)-i-.  .  .-t- A„R(a'„), 


mais,  d'après  (  -), 

R(ri)  =  G(x,),         ...; 

donc 

r'' 

(lo)         /    /(a7)G(a")û?^=  A,G(^i,)  + A2G(a72)-^...-+-A„G(a7„). 

Je  crois  qu'après  ces  développements  tirés  du  Traité  des  fonc- 
tions sphériques  àeM.  Heine,  ma  lettre  précédente  ne  présentera 
plus  d'obscurité.  M.  Heine  ne  nomme  pas  l'auteur  de  cette  démons- 
tration que  N(.r)==o  a  toutes  ses  racines  réelles,  inégales,  comprises 
entre  a  et  b.  Je  crois  me  rappeler  (un  peu  confusément)  que 
Legendre  est  l'auteur  de  cette  démonstration  extrêmement  ingé- 
nieuse dans  le  cas  /(;»)  =  i,  N(.r)  =  X„.  Mais  j'aurai  soin  de 
m'en  assurer  (de  m'assurer  de  cela). 

J'ajoute   encore   la  remarque  suivante  qui,  certainement,  n'est 


112  CORRESPONDANCE   D  HERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

pas  nouvelle  pour  vous,  seulement  pour  indiquer  la  liaison  de  ces 
recherches  avec   la  Noie   que   vous   avez    bien    voulu    présenter 
à  l'Académie  en  octobre  i883. 
Comme  on  a 


'''  fi^) 


ty  a  '-Il 


dx 


I    r''  I    r* 

—^    I     xf{x)dx-\ /     x-f{x)dx 


les  équations  (2)  expriment  aussi  que,  dans  le  développement  de 


niz)f''J±^dx 

J        Z  X 


suivant  les  puissances  descendantes  de  z,  les  termes  en  -» 
__,  ...,  _  manquent  (').  N(;)  est  donc  le  dénominateur  de  la 
réduite  d'ordre  n  de  la  fraction  continue 


/       z  —  X 


dx  =  


Ko  — 


X., 


X3 


et  l'on  a 

N3=(^  — a2)N2— ÀoNi, 
L'équation 

(a)  Na-m  =(z-a;,)  N/, -  X/, N/,_, 

donne,   en   multipliant  par  Na(^)/(^)  c/:;  et  intégrant  de  a  à  b, 
à  cause  de  (6), 

f  zN,(z)N,.(X)jX^)dz 

'J  a 


(II)  «/.= 


/"na-( 


z)N;,{z)/{z)dz 


(')  A'ote  de  l'auteur.  —  C'est  ainsi  que  M.  Heine  a  posé  le  problème,  Tome  I, 
page  28G,  cL  qu'il  arriva  à  ces  équations  (2). 


LETTRE    52.  I l3 

d'où  l'on  voit  immédiatement  que  a^  est  compris  entre   a  et  h. 
De  même,  en  multipliant  (a)  par  ^k-{{z)f{^)cl^  et  intégrant 
de  a  à  b,  on  trouvera,  à  cause  de  (6)  et  de 

^N/,_i(^)  =  N/i,.(\3)  +  polynôme  du  degré  /i  —  i, 

(12)  X/,         *^" 


'J  a 

Donc  \h  est  positif.  J'avais  démontré  ces  résultats  d'une  autre 
manière  dans  ma  Note  d'octobre  i883.  Du  reste,  la  fonction  y(^) 
étant  donnée,  ces  équations  (i  i)  et  (12)  donnent  un  moyen  régu- 
lier pour  déterminer  de  proche  en  proche  toutes  les  constantes  a,  \ 
de  la  fraction  continue 

Xj 


on  a  d'abord 

>>o-    Ç  A^)dz,         a„=   f   zf{z)dz=    f  f{z)dz. 

u a  •-  a  '-'a 

Ayant  trouvé   ao,    N,  (j:;)    est   connu,   et  les   équations  (11),  (12 
donnent  a,,  X,  qui  font  connaître  N2(^),  ....  , 

La  théorie  de  M.  Heine  n'étant  peut-être  pas  connue  générale- 
ment en  France,  il  sera  bon  probablement  d'en  donner  un  aperçu 
comme  celui  plus  haut,  dans  mon  Travail,  quoique  ce  qui  me  reste 
propre  devienne  (devient)  de  cette  manière  peu  signifiant,  en 
regard  de  ce  que  j'emprunte  à  M.  Heine. 

J'avais  démontré,  dans  ma  Note  d'octobre  i883,  que  la  quadra- 
ture mécanique 

AiG,(ari)  +  A2G2(^2)  -1-.  .  .-H  knQxn(Xn) 

donne  avec  une  approximation  indéfinie 

f{x)Q{x)  dx, 


l 


G[x)  étant  continue  et  présentant  un  nombre  fini  de  maxima  et 
de  minima.  Et  il  est  même  facile  de  voir  que  cette  dernière  res- 
triction est  superflue  et  qu'il  est  suffisant  que  G{x)  soit  continue. 


Il4  CORRESPONDANCE    d'iIERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Pour  cela,  il  suffil  de  remarquer  que  G(^)  étant  continue,  et  s 
une  quantité  donnée  aussi  petite  que  l'on  veut,  il  existe  toujours 
une  fonction  continue  F(:r)  cjui  ne  présente  qu'un  nombre  fini 
de  maxima  et  minima,  et  tel  que  Gfx)  — F(a")  reste  inférieure  à  e. 
[Ce  nombre  fini  de  maxima  ou  minima  de  F  (a')  croît  au  delà  de 

toute  limite  avec  -  lorsque  G(x)  présente  une  infinité  de  maxima 

ou  minima,  mais  cela  est  indifférent  pour  la  question.] 

Ce  résultat  d'octobre  i883,  que  la  quadrature  est  applicable  à 
toute  fonction  continue,  a  été  pour  moi  la  raison  princi])ale  qui  m'a 
lait  croire  [avant  c[ue  j'eusse  (j'avais)  trouvé  luie  démonstration] 
à  la  vérité  de  la  proposition  fondamentale  de  ma  lettre  précédente, 
et  qui  m'a  fait  chercher  avec  un  peu  d'obstination  à  (d'en)  en 
obtenir  une  démonstration. 

Cette  lettre.  Monsieur,  est  devenue  trop  longue  pour  parler 
encore  de  mon  premier  Travail  et  des  (sur  les)  racines  de  l'équa- 
tion F(j')  =  o  et  des  transcendantes  de  Bessel.  .  .. 

Crojez-moi,  avec  les  sentiments  de  profonde  reconnaissance, 
votre  très  dévoué. 

53.  -  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  i5  mai  1884. 
Monsieur, 

Votre  lettre  est  parfaitement  claire  et  explicite;  elle  m'a  rappelé 
bien  des  choses  dont  le  souvenir,  s'il  n'avait  pas  été  en  grande  par- 
tie effacé,  aurait  arrêté  les  demandes  d'explications  cfue  je  vous  ai 
faites.  Vous  trouverez,  dans  les  Exercices  de  Calcul  intégral  de 
Legendre  et  j'ai,  moi-même,  donné  autrefois,  dans  le  cours  de 
seconde  année  de  l'Ecole  Polytechnique,  la  méthode  si  élégante  et 
ingénieuse  par  laquelle  vous  démontrez  que  l'équation  N(j;)  =  o 
a  ses  racines  toutes  réelles  et  inégales.  J'ai  aussi  donné  dans  mes 
leçons  la  théorie  de  Heine  et  de  M.  Tchevicheff  du  développement 

en  traction  continue  de   1  intégrale    /    -7- — -  dx  et,    si  je  ne   me 

trompe,  ces  choses  sont  assez  généralement  connues  pour  que  vous 
puissiez  vous  bornera  rappeler  les  résultats  en  renvoyant  le  lecteur 


LETTRE    53.  I  l5 

au  fJandbuch  deM.  Heine.  Je  vous  renouvelle  l'expression  de  mon 
vif  inlérêt  pour  la  question  que  vous  avez  heureusement  et  habile- 
ment traitée  de  la  quadrature  mécanique,  avec  une  approximation 

indéfinie  de  l'intégrale    /   f{x)G{x)dx,  loi^sque  G(^)  est  con- 

linue,  même  en  admettant  un  nombre  infini  de  maxima  et  de 
minima.  Mais  permettez-moi  de  vous  demander  de  ne  point  laisser 
de  côté  les  résultats  si  intéressants  que  vous  avez  découverts  sur  la 
valeur  approchée  des  racines  et  des  multiplicateurs  dans  la  formule 
de  Gauss.  Je  ne  vois  absolument  pas  par  quelle  voie  vous  êtes 
parvenu  à  établir  une  dépendance  entre  les  racines  de  l'équa- 
tion X„=o  et  celles  de  la  transcendante  de  Bessel,  ni  surtout 
comment  vous  obtenez  la  valeur  approchée  des  racines  de  cette 
transcendante  qui  ont  été  l'objet  des  recherches  deM.  Boussinesq. 
Toutes  ces  découvertes  portent  témoignage  de  la  rare  pénétration 
et  de  l'activité  de  votre  esprit,  et  ce  que  vous  voudrez  bien  en 
donner  pour  être  publié  dans  les  Annales  de  V Ecole  Normale 
sera  accueilli  avec  empressement.  En  attendant  que  vous  reveniez 
à  l'Arithmétique  à  laquelle,  moi  aussi,  je  ne  puis  consacrer  le  temps 
que  je  voudrais,  à  cause  de  mes  devoirs,  je  prends  la  liberté  de 
vous  énoncer  un  petit  résultat  recueilli  comme  d'aventure.  11  con- 
cerne le  nombre  m  des  points  dont  les  coordonnées  sont  des  entiers 
et  qui  sont  contenus  à  l'intérieur  ou  sur  la  circonférence  de  l'el- 
lipse k.x-  +  ^y-  =  M.  En  posant 

j'obtiens  la  formule 

/n  =  I  -i-  ^pq  -f-  4  S  -f-  4Si, 


et  l  on  a  : 


^=/)-4-T,/>-1-2,    ...,    P. 


M  —  Bk2 


S,= ^ 


Il6  CORRESPONDANCE   d'hERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

On  est  ramené,  dans  le  cas  de  A  =  B,  à  un  ihéorème  de  Gaiiss 
dont  j'ai  trouvé  l'énoncé  dans  le  Tome  II  de  ses  œuvres  complètes. 

Avec  la  plus  haute  assurance  de  ma  plus  haute  estime  et  de  mes 
sentiments  bien  dévoués. 

54.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  i6  mai  1884. 
Monsieur, 

Je  suis  complètement  enfoncé,  en  ce  moment,  dans  des  calculs 
numériques  :  déterminations  du  temps,  azimuts  du  soleil,  réduc- 
tions d'observations  j)our  déterminer  la  déclinaison  magnéticpie... 
et,  pour  quelqvies  mois,  il  m'est  défendu  de  m'arracher  à  (de)  ces 
calculs,  et  je  vais  répondre  seulement  à  un  point  nommé  dans 
Notre  lettre.  J'ai  déjà  envoyé  à  M.  Tisserand  un  Mémoire  sur  les 
quadratures  mécaniques;  mais  il  m'aurait  été  bien  difficile  de 
donner  là  mes  premières  recherches  sur  les  valeurs  approchées 
des  A/jetc,  dans  la  quadrature  de  Gauss. 

Voici  le  chemin  bien  simple  que  j'avais  suivi  pour  obtenir  les 
racines  des  transcendantes  de  Bessel, 

,  £  _  _£^     ,     _JJ_ zi  ^  ^  _  r/V  f_) . 

^^^^~'2       '22.4  "^ -22.4^6       2-2.42.62.8  "^■■'  dz     ' 

Hansen  a  donné  les  séries  semi-convergentes 

Jo(-s)=    y -~z^^^ 


sin  I  ^ ^ 


i- 

.32 

-, 

l2. 

32.52. 

-2 

^ 

1 

8. 

iG  " 

8.: 

[G. 24. 

32~ 

") 

I 

.-.- 

i- 

.32 

.52 

-s^ 

.32 
16. 

.52 
24. 

.72 

32 

•9'- 
.40 

\ 

8 

8. 

16 

.24 

.      ...), 

-T 

3.5 

8.1 

.  I 

-2. 

3.5 

8, 

.7.9.1 

, 16.24 

.3. 

.32 

5  _ 

-*  +  ., 

■■) 

-'  — 

3  5. 

■  /  ■ 

1.3 

-.+^ 

.5.; 
8. 

••9 
16. 

.  1 1 

24. 

.  I . 

02. 

3-  J-7    __; 

8.1 

16. 

24    ^ 

,40             ~ 

Soit    t=(k —  y  )  TT   une    valeur    approchée    d'une    racine    de 


LETTRE    5i.  *  I  17 

J„(3)  z=z  o;  alors  j'ai  supposé  cette  racine  développée  ainsi  : 

La  substitution  de  cette  expression  dans  celle  de  Jo(2)  écrite  plus 
haut  donnera,  en  développant  suivant  les  puissances  de  <~',  le 
moyen  de  déterminer  X,,  ).3,  .  .  .;  je  trouve 

donc 

I      ,        3i       ,       i52Qi7 

L'expression  de  M.  Boussinesq 

8^/,=  (4A-  — i)Tr  -H-  \/(4A-  — 1)2 712-1-8 
devient,  par  l'introduction  de 


ou  bi 


k-V)-,         ^ic=-t-\- 


i/r-j 


o  04 


elle  donne  donc  des  valeurs  trop  fortes,  comme  l'a  remarqué  aussi 
M.  Boussinesq. 

On  peut  suivre  la  même  méthode  pour  les  racines  de  J,  (:;)  =  o 

(calculées   par    M.    de  Saint-Venant)   en  posant  t  =:■  ilc  A- -;\  r.\ 
je  trouve  • 

je  n'ai  pas  calculé  le  terme  en  (avec)  t~^. 
L'expression  de  M.  Boussinesq 

8 :;A'  =  (4 -^^  +  i)  -  +  v/(4A--M)2-n:2— 24 
devient,  par  l'introduction  de  l^ 


1(8  CORRESPONDANCE   d'hERMITE    ET    DE   STIELTJES. 

OU  bien 

3  n 

t f-i -t-^, 

8  64 

elle  donne  donc  des  valeurs  trop  faibles. 

Mais  voici  qu'un  ami,  qui  s'intéresse  beaucoup  (de)  à  la  Phy- 
sique mathématique,  vient  de  ra'informer,  un  de  ces  derniers  jours, 
que  ma  méthode  n'est  pas  nouvelle. 

Et,  en  effet,  dans  les  Comptes  rendus  de  V Académie  de  Berlin 
du  26  avril  i883  (p.  Saa),  M.  Kirchhoff  fait  usage  de  l'expression 
suivante  (dans  ma  notation)  : 

,1        o,i5iq82        o,oi53f)q        o, "245835 

(  2  )  Zk  :  TT  =  A-  4- -j h   —r-, '—. -Ti +  •  •  •  , 

^    ^  ^  i  4A-  +  I  i.\k^\Y        K\k  +  \r 

ce  qui  n'est  autre  chose  que  la  formule  (2)  mise  en  nombres  et 
complétée  par  le  terme  en  t~'^ .  M.  Kirchhoff  dit  que  c'est  une  for- 
mule due  à  M.  Stokes,  qu'il  a  empruntée  au  Theory  of  sound  de 
M.  Rayleigh,  vol.  I,  p.  2'^3.  Peut-être  M.  Stokes  ne  Ta  pas  publiée 
ailleurs...;  je  n'ai  point  vu  le  livre  de  M.  Rayleigh. 

Je  vous  remercie  beaucoup,  Monsieur,  pour  votre  jolie  formule 
arithmétique;  mais,  pour  le  moment,  il  m'est  interdit  de  faire  de 
l'Arithmétique. 

C'est  avec  une  profonde  reconnaissance  que  je  suis  toujours 
votre  bien  dévoué. 

P.  S.  —  Dans  le  Tome  LVI  du  Journal  de  BorcJiardl,  M.  Lip- 
schitz  a  donné  une  démonstration  rigoureuse  des  développements 
semi-convergents  de  Hansen. 


55.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  9  juin  li 


Mon  SI 


Je  viens  d'apprendre  que  vous  avez  été  honoré,  par  le  Sénat 
académifjue,  du  titre  de  Docteur  en  Mathématiques  et  en  Astrono- 
mie. J'espère  que  cette  distinction  est  d'un  bon  augure  et  présage 
que,  bientôt,  vous  obtiendrez  une  situation  digne  de  votre  beau 
talent  et  de  vos  travaux.  A  mes  félicitations  je  joins  des  excuses 


LETTRK    56.  1 19 

de  vous  avoir  fait  altendre  ma  réponse  à  votre  dernière  lettre,  et  je 
vous  les  dois  d'autant  plus  que  vos  renseignements  au  sujet  de  là 
fonction  J(x)  de  Bessel  m'ont  rendu  un  grand  service.  Le  Mémoire 
de  M.  Lipschitz,  que  vous  avez  eu  la  bonté  de  m'indiquer  dans 
le  Tome  56  àvx  Journal  de  d'elle,  est  très  important  et  très  beau 
Il  ressemble  à  ce  que  Gauchj  a  fait,  avec  tant  de  succès,  pour  le 
développement  de  logr(;r)  en  série  semi-convergente,  et,  ayant  eu 
l'occasion  d'écrire,  à  propos  d'Arithmétique,  à  l'auteur,  je  me  suis 
donné  le  plaisir  de  lui  en  faire  mes  compliments.  Laissant  l'Arithmé- 
tique, à  laquelle  une  autre  fois  je  reviendrai,  quand  je  serai  dé- 
livré de  leçons  et  d'examens  à  la  Sorbonne,  je  viens  vous  demander 
si  votre  méthode,  qui  m'a  extrêmement  plu,  pour  développer  en 
série  les  racines  de  J(j;)^o,  s'appliquerait  encore  à  l'équa- 
tion X„=:  o  en  partant  de  l'expression  de  Laplace 


X,,  =  4  /  ^T— 7,  COS  (  71  6  H )  ; 


où  :r  =  cosB.  Je  suppose  que  non,  mais  avec  doute;  en  tout  cas, 
je  prends  la  liberté  de  vous  conseiller  de  faire  un  article  où  vous 
développeriez  ce  que  vous  m'avez  écrit  sur  la  détermination  appro- 
chée des  racines  de  cette  équation. 

Avec  mes  félicitations  pour  votre  nouveau  titre,  je  vous  renou- 
velle. Monsieur,  l'expression  de  ma  plus  haute  estime  et  celle  de 
mes  sentiments  bien  dévoués. 


56.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  27  juin  1884. 
Monsieur, 

Veuillez  bien  me  pardonner  d'avoir  ajourné  trop  longtemps  de 
vous  remercier  pour  votre  dernière  lettre,  ce  que  j'aurais  dû  faire 
d'autant  plus  que  je  ne  doute  point  que  c'est  surtout  à  l'intérêt  que 
vous  avez  bien  voulu  montrer  pour  moi  que  je  dois  la  distinction 
que  le  Sénat  académique  m'a  accordée. 

Je  ne  suis  point  en  état  de  vous  donner  une  réponse  satisfaisante, 


I20  CORRESPONDANCE   D  «ERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

concernant  les  racines  de  X«  =  o  en  partant  de 


y    n-K  sinb         L\  ■i/  1 J 

J'avais  seulement  remarqué  que,  dans  la  valeur  approchée  de  la 
racine  qu'elle  donne 

(\k  I)  TT 

37^=  COS h  £  (A-  =  I,    '2,    ...  ,    II), 

4  n  -r-  1 

£  est  de  l'ordre  (de)  ^-  En  tenant  compte  des  termes  en  — jj  on 
obtient  la  valeur  plus  approchée 

r  I  "1        ("4^—1)71 

Xk=      I -;      COS  •  /         ,    , 


4  n 


Dans  cette  expression,  on  a  /?-£'=  o  pour  n  :=co,  en  supposant 

toutefois  que  le  rapport  —  reste  fini  et  différent  de  zéro  ou  de 

V unité.  Mais  je    n'ai  pas   poussé   plus  loin   les    approximations; 
il  semble  que  les  termes  suivants  deviennent  assez  compliqués  ;  ils 

doivent  contenir  sin  — ■>  cos  — Je  crois  entrevoir  que 

4  /î  -t-  2  \ll,  -\-  i  ^ 

tous  ces  termes  deviennent  de  l'ordre  (de)  — ;  en  posant  /i  =  i ,  2,  . . . , 

en  sorte  que  la  formule  générale  serait 

,  r  .    (4/c  — i)TiV'-2 

F:(2/i-f-i)^-     sin-^-i ^  , 

L  4^1  +  2     J 

„   ,                     r          •               -11                   •  >              sin  (  4  A-  —  Oti 
r  étant  une  lonction  rationnelle  et  entière  en        — -• 

COS       4^+2 

Peut-être  je  reviendrai  encore  sur  ce  sujet  et,  s'il  m'arrive  (à) 
d'obtenir  quelque  résultat  net,  j'en  ferai  un  petit  article. 

En  étudiant,  autrefois,  le  Mémoire  de  Lagrange  :  Sur  V usage 
des  fractions  continues  dans  le  Calcul  intégral  [OEuvres, 
t.  IV,  p.  3oi),  j'avais  remarqué  qu'en  appliquant  la  méthode  de 
Lagrange  à  l'équation  non  linéaire 

x{i  —  ^)-f-  +Y^  +  (p  —  a) ^7  -+-  - —       '    x^y-  —  Y  =  *^' 

c'est-à-dire  en  développant  une    solution  particulière  en  fraction 


LETTRE    56.  121 

continue,  on  est  amené  à  la  fraction  continue  que  Gauss  a  donnée 
pour 

cf(a,  P  -+-  1,  Y  +  ',  3-) 
#(a,  [3,  Y,^) 

En  posant  y  =  - . 

^   ^         .f(a,  [3,  Y,  ^) 

^(a,  pH-i,  Y  +  i,  ^) 

est  donc  une  solution  particulière  de 

(i)  x{i  —  x)  ~  — ^(z{i  —  z)  -h  ((x  —  {i)xz  — ; — —X  =  o, 

et  l'on  trouve  encore  facilement  cette  autre  solution 

P(a  — Y)      .'fd  —  a,  I— p,  2  —  Y,  ^) 

"'~   ï(i  — ï)  "^   3^(1 -a,  —  p,   i-Y>  ^) 

En  me  rappelant  celte  remarque,  j'ai  obtenu  maintenant  l'intégrale 
générale. 

Guidé  par  les  résultats  obtenus  par  Lagrange,  j'ai  supposé  que 
l'intégrale  générale  serait 

A.f  (g,  [j,  Y,  37)  +  B^(a  —  y)xuri(i  —  a,  i  —  p,  2  —  y,  -t) 
Ag^(a,  p  -t-i,  Y-i-i,  a?)  -H  By(i—  y)  «■^^(i  — ^»  —  ^7   i  — Y,  ^) 

avec  la  constante  arbitraire  A:B,   en  sorte  qu'on  obtient  :;,  et  ^^ 
en  posant  B  =  o  ou  A  =  o,  u  étant  une  fonction  de  ^  qu'il  faul 
encore  déterminer. 
Or,  en  posant 

p  =  \^{iy.,  p,  Y,  ^)  -H  Bp(a  —  y)x  Ur'f{i  —  a,  i  —  '^,  2  —  y,  x), 

q  =  Â.f(a,  p  +  I,  Y-t-i,  x)  -^  By{i  —  '()  u  §  {y  —  :c,  —  p,  i  —  y,  x), 

j'ai  trouvé  (')  qu'en  déterminant  «  par 

/  .   \   du        , 

c'est-à-dire  en  prenant 


(')  A  l'aide  des  relations  entre  les  formules  contiguës  de  Gauss.  {Note  de  l'au- 
teur.) 


122  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

on  a 

dx        I  —  X  7  1  —  X 

^  =  V         „  _    T-'^-^    ,,  , 

dx       x{i  —  x)  x{i  —  x) 

d'où  l'on  lire 

en  sorte  qu'on  trouve,  pour-  =  c-,  l'équation  (i)  dont  l'intégrale 
générale  est  par  conséquent 

,  Ai(a,  ^,  Y-  a7)  +  Bp(-;t  —  y)  ^'-y(i  —  37)r-^-P  ^(i  —  a,  i  —  .3,  2  —  7,  a:) 

A3^(a,  p  +  i,  Y  +  i,  ^)-+-By(i  — Y):3?-y(i  — iP)T-='-P  J^(i  — «,  —  3,  i  — y,  •^■) 

En  remplaçant  x  par  -  el  prenant  a  ^  00,   on  trouve 

dz  ^  ^  3 

(2)  a?-; Y^([  —  Z)  -i-  X  Z  —   ^X   =   0 

'  dx        '  Y 


avec 


i'i)  z 


\  a  /  a  =  00  \  "J- 


U  ("a,  p  +  I,  Y  +  ''  ^)^_^-^  ^ï^^  -  Y)  ^-^«-"'^(i  -  «.  -  ?'  •  -  Y,  f  )^ 

En  remplaçant  ^   par-^»  en  prenant  a  =  co,  ^  =  00,  on    trouve 

encore 

(3)  ^g-Y^-(i-^-)-^^  =  o, 

avec  l'intégrale 


A3^/a,  j3  +  i,y  +  i,^^+By(i-y)^-^^'^'(i-«, -P,  i-ï,  ^)      ^^""'^'*' 

Enfin,  remplaçons  :r  par  -^  et  prenons  [i  =  co, 

(•2a)  ^-7 yz{\  —  z)  —  xz '-37  =  0, 

dx  Y 

kiL,  p,  Y,  ^)  +B(a-Y)^'-re-''j(i-a,  i  _  p,  2  —  y,  f  ) 

('^«)-'=— 7^^ ^^-^x —/ x\    (^  =  -^- 

AJU,  ^  +  1,  Y+i,-gj  -r  By(i  — Y)^-Te'^-^(^i  — a,  —  P,  '"  T' "pj 


LETTRE    57.  123 

Mais  ces  équations  ne  diffèrent   pas  réellement  de  [2)  et  de  (2') 
comme  on  le  voit  en  changeant  .r  en  — x  et  remarquant  que 

donne 

pour  CT  =  00. 

Veuillez  bien  agréer  de  nouveau,  Monsieur,   l'assurance  de  ma 
reconnaissance  et  de  mes  sentiments  bien  dévoués. 

57.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  28  juin  188:^. 
Monsieur, 

Permettez-moi  de  compléter  encore  l'étude  de  l'équation  diffé- 
rentielle de  ma  lettre  d'hier. 
En  posant 

$  =  §{oi,  p,  Y'  ^). 

^=:  p(a  —  Y)^i-T(t  — ^)ï-='-P^ki  —  a,  I—  j3,  2  —  y,  x), 

t|'i  =  #(a,  p-M,Y-+-i,  ^), 

■^1  =  T(i  -  Y)  -y-TC'  -  ^)ï-«-Pi(i  -  a,  -  [3,  I  -  Y,  X), 

l'équation  différentielle 

(i)  x{i  —  x)-f-  —  Y-^('~^)~'~(^~  P)-^-^  —    — ; —     X  =  o 

admet  l'intégrale  générale 

$  et  ^  sont  deux  intégrales  particulières  de 


tandis  que  (E*(   et  ^1  satisfont  à 


(^  _  ^2)  ^Z  +  [,^  +  1  _  (a -t- p -t- 2)  ^]  ^^  -  a(p -J- i)r  =  o. 


124  CORRESPONDANCE    d'hERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

Les  valeurs  de  ^  et  ^,   peuvent  se  mettre  sous  la  forme 

^  =  P(a-Y)^-i-y#(«-Y-i-i,  p_v-i-i,.2-Y,  X), 
^,  =  Y(i_Y)3-T5^(a-Y,  p  — Y  +  i,  I  — Y,  ^)- 

Posons  maintenant 

a:'(l  —  .r)   dw  r  1  "    ^ 

Z  :=    — —  OU  W  =   e''  -l^U— "<)• 

Y  «^        cix 
L'équation  (i)  se  change  dans  l'équation  linéaire 

(2)  x{i  —  xy--^  ^(i_a7)[i  — Y  +  (a  — p-2)^]^  -  (3(a  — y)«^  =  o 

et  nous  arrivons  à  cette  conclusion  : 

L'intégrale  générale  de  l'équation  linéaire  (a)  est  : 


(3)  ty  =Ge^  r(i-.r)y,,     ^^^^ 

et  cette  intégrale  peut  se  mettre  toujours  sous  la  forme 

(3')  n.=.Orte^"^^^  Aa\  +  B^,, 

Supposons  la  forme  (3),  c'est-à-dire  3  et  (D  connus  et  tâchons 
d'en  déduire  le  rapport  -r^  • 

Soit 


—  Ç^.pJ  ■«•(1— •ïl'J'i  o  —  ri>^^  ■'•(!  — -«■•)  ^1 


En  égalant  le  second  membre  de  (3')  à  ii  -\-  v^  différentiant  et  com- 
binant avec  (3'),  on  trouve  sans  peine 

La  fonction  (qui  figure)  dans  le  second  membre  doit  donc  être 
une  constante,  ce  qui  exprime  une  propriété  des  deux  solutions 
particulières  u  et  v  facile  à  vérifier. 

La  différentielle  logarithmicjue  de  (4)  donne,  en  effet, 

Y         l^l         l\  _  ff',        ^'i 


x{\-x)\t^^        ^i/         ^îx        Ij 


LETTRE    57.  125 

$,    et  ^,  étant  des  solutions  particulières  d'une  même  équation 
linéaire  du  second  ordre,  on  trouve 

f;  :^,—  (E^i^;  =  '[x-^-l{\  —  :r)T-a-p-i  y(i  — t) 

\^OEuK'res  de  Gauss,  t.  III,  p.  222,  formule  (94)]- 
On  devra  donc  avoir  (avoir  donc)  : 

ce  qui  revient  à 

(5)       J(a,  (3,  Y,  x)§{i  —  y.,  —  j3,  i  —  Y'  ^) 


T(i-Y) 


xS'i  X,  j3  -f- 1,  Y  +  i,  ^)  3^(i  ~  oc  I,  —  P,  2  —  Y,  ^)  =  !■ 


C'est  une  relation  qu'on  ne  trouve   point  explicitement  dans  le 
Mémoire  de  Gauss;  mais  la  formule  (99)  (p.  228) 

{\  —  x)S{'x,  p,  Y,  a7).7(i  —  a,  I—  P,  I  — Y'  ^) 

—  *^XllllllZlU^3?(a,  S,  Y  +  i,  x)§{i  —  oi,  1—3,  2  — y,  ^)  =1 
Y(i  —  Y)  ^    '  r'    1  î      /     V  )  1  )     .        |)      / 

donne,  en  transformant  les  quatre  fonctions  ^  à  l'aide  de 

^(a,  p,  Y,  :r)  =  (i-^)-aJ(a,  y  -  p,  Y,  7)>         ^  =  -  7:^  ' 
I  =  #(a,  Y  —  ?,  Y>  r)  '^'(i  -=«,?  —  T,  I  —  Y,  JK) 


T(i  — Y) 

En  changeant  [3  en  y —  P?  JK  en  :r,  on  trouve  la  relation  (5). 

Nous  avons  vérifié  ainsi  l'équivalence  de  ces  deux  formes  (3)  et 
(3')  de  l'intégrale  générale.  Cette  réduction  dépend  de  la  pro- 
priété (4)  [équivalente  à  (5)]  des  deux  solutions  particulières  m  et 
V.  Je  ne  sais  point  si  celte  intégration  de  l'équation  (  2  )  est  connue  ; 
j'ai  vu  seulement,  dans  le  livre  de  M.  Cajlej  sur  les  fonctions  ellip- 
tiques (édition  italienne  de  Brioschi,  p.  228)  que  cet  auteur  a  con- 
sidéré les  équations 


3-H 

{' 

0 

)Q- 

—  Q2-f 

-3(1 

-k'- 

'  dk 

Q^ 

=  — 

3(1- 

kr). 

dz 
'dk' 

3(1- 

-k'- 

'  dk'- 

1 

+  - 

I  —  5  k'- 
k 

'■  dz 
dk 

I 

I 

_/f2 

126  CORRESPONDANCE    d'HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Mais,  aulanl  que  je  puis  le  voir,  il  ne  semble  pas  avoir  rencontré 
la  forme  analytique  que  je  viens  de  trouver  pour  l'intégrale  géné- 
rale. Je  dois  ajouter  que  le  Messenger  of  Mathematics  n'est  pas 
à  ma  disposition. 

Veuillez  bien  accepter  de  nouveau  l'assurance  de  mes  sentiments 
dévoués. 


58.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  3o  juin  1884. 
Monsieur, 

Permettez-moi  de  revenir  encore,  pour  une  dernière  fois,  sur 
le  sujet  de  ma  dernière  lettre,  parce  que  je  viens  de  faire  une 
remarque  qui  éclaircit  une  circonstance  qui  semble  singulière. 

En  elî'et,  j'avais  trouvé  que  l'équation 


admet  deux  intégrales  particulières  a  et  v  telles  cjue  le  rap- 
port  -  :  ;^  est  constant,  ^JE*,  et  :^,  étant  deux  intégrales  particu- 
lières de 

d-  V       ,  r,         -.    t  dv         ,  f.        . 

(2)     x{\—x)  ;^  -+-I-Ï  +  1  — (^+  '         -"^J^  -«(?  + 1)7  =  0. 

La  raison  bien  simple  de  cette  circonstance  est  qu'on  passe  de  (i) 
à  (p.)  par 

on  en  conclut  à  cause  de 

y  —  Jl>J(a,  p  -hi,  Y  -H  1,  X)  -f-  'l)l)2-TcT(a  —  -;,  fi  -t-  i  —  y,  i  —  y,  x), 
w  =  X(\  —  x)  '^-Tcf (a  —  Y,  p  H-i  —  Y,  1  —  Y,  x) 
-l-  llb^rTd  —  ^•)-^-ycF(a,   P  -+-  I,  Y  +  1,  ar) 
ou  bien 

w  =  Ao(i  — ir)-?.f  (1  —  a,  —  [3,  1  —  Y,  X) 

-+-a)l)a7Y(i  — a7)^^-rj(a,  ,3-4-1,  '{  -^i,  ^)- 


LETTRE    58.  127 

La  comparaison  avec  l'autre  forme  de  l'intégrale  ol)lenne  donne  : 

(3)  (i-:r)-p^"(i-a,  —  p,  I  — Y,  ;r)=:ae^-''*'~^'  ^', 

(4)  a:-y(i  — .rj''-Y.'7(a,  p  +  i,  Y  +  I,  57)  =  Ge-^  "''    ''*  ^''•''. 

Les  seules  choses  que  j'aie  obtenues,  à  proprement  dire,  sont  donc 
ces  deux  identités  (3)  et  (4)  faciles  à  vérifier  d'ailleurs  par  différen- 
tiation  logarithmique.  Je  rappelle 

$  ^.f(a,  p,  Y,  0-), 

'^  =  P(a  — y)^^-T(i  — ^)T-='-Pcf  (i  — a,   i  —  !3,  2— y,  ce), 

Ç,  =.f(a,  p  +  i,  Y  +  i,  •^), 

^1=  Y(i-ï)-^-Y(i  — -rK-^-Pcl^Ci-a,   -P,  i-Y,  ^), 

on  relombe  ainsi  sur  deux  relations  identiques  entre  trois  fonc- 
tions rf.  En  considérant  le  cas  particulier  traité  par  M.  Cajlej, 
j'ai  obtenu  cette  relation  : 

sinam'^-— -  — 


Donc 


'^U'~G'  3'^ 


3 

,2K               4 
sin  am2  -—  =  

2.4 


2.1b 


2.16 


A-2 


^•'^/t^ 


a. 28 


I k^ 

2.28 


2.40 


Posant /,-=  ->  l'avais  trouvé  antérieurement 


2 

9K 


G4oi['iG",59, 
logsin  =  9,954  3521,         logsin2  =:  9,908  704*2; 


128  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

la  fraction  conlinue  m'a  donné 

logsin-  =  9,908  7043. 

D'après  les  règles  de  M.  Schwarz,  ■^  (  ,-t  >  ^  '  ^  ?  A"  j  cl  S' (-,  —^,  ^>  k-j 
sont  toutes  les  deux  fonctions  algébriques  de  A\  Leur  rapport  l'est 
donc  aussi,  comme  nous  le  voyons  aussi  par  la  valeur  sin-am  — r- • 
Je  crains  Lien,  Monsieur,  d'avoir  demandé  trop  de  votre  indul- 
ffence,  mais  ce  résultat  —  :  •:r—  =  const.  me  sembla  bien  singulier 
avant  que  j'en  aie  (avais)  aperçu  la  raison  si  simple. 

Voire  très  dévoué. 

P.  S.  —  Voici  une  des  formules  les  plus  remarquables  auxquelles 
(à  laquelle)  j'ai  été  amené  (comme  expression  d'un  théorème 
d'Arithmétique)  : 


q' 

'  +  ^9  + 

=    q' 
~q' 

■Cf 

+  ,^25 

;(i 

^-8.1) 

—  9"  (1  — 2r/-8-') 

-i-981  (1  — 2g-8-i+ ag-s-f^) 

—  9l21(i_  2  9-8-'-F-  2y-8-'0 

^  ^(4«  +  l>2(l_  a^-S-l'-h  2</-8-2'  ...±  2^-8'»') 
_  ^,(V«+3)2(j  2  9-8.1î_i_  2^-8-2'  .  .  .±  iq-'^n'-). 


59.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Flaaville  (Lorraine),    !  juillet  1884. 
Monsieur, 

J'entrevois  bien  des  difficultés  au  sujet  de  l'expression  appro- 
chée des  racines  de  X„  =^  o  par  la  formule  Xk^  cos  -^^-^^ tt;  -|-  s. 

'  4  ^  -+-  2 

Je  n'ai  point  réussi  à  voir  de  quelle  manière  vous  parvenez  à  la 
forme  éléffante  x^^  { \ ; )  cos tt,  et  ie  crains  bien 


lettrp:  59.  129 

maintenant  de  vous  avoir  engagé,  en  vous  proposant  cette 
question,  dans  une  de  ces  voies  où  les  difficultés  sont  trop 
grandes  pour  le  but  à  atteindre.  Vous  aurez  plus  de  profit  à 
suivre  vos  inspirations;  les  recherches  que  vous  me  communiquez 
sur  l'équation 

x{i  —  ^)jk'  -+- Y^  -l-(p  —  ot.)  xy  -\ *— ^  xj^  —  y  =  o 

Y 

sont  très  belles  et  je  viens  vous  demander  de  les  publier  soit  dans 
les  Comptes  rendus,  et,  en  deux  articles,  vos  lettres  du  2-!  et  du 
28  juin  dépasseraient  l'étendue  réglementaire,  soit  dans  les 
Annales  de  l'Ecole  Normale  supérieure.  Peut-être  j  aurait-il 
quelque  avantage  pour  vous  à  paraître  dans  ce  Recueil,  d'un  accès 
beaucoup  moins  facile  que  les  Comptes  rendus,  et  qui  vous  donne 
droit  à  un  tirage  à  part.  M.  Tisserand,  à  qui  vous  ferez  grand 
plaisir  en  lui  envoyant  une  nouvelle  communication,  m'a  appris 
de  vous,  Monsieur,  une  circonstance  qui  m'a  rappelé  de  désolants 
souvenirs  de  mon  temps  d'écolier.  J'ai  eu  aussi  les  examens  en 
horreur,  et  j'ai  passé  une  année,  étant  élève  de  mathématiques 
spéciales,  à  lire  à  la  bibliothèque  Sainte-Geneviève  les  mémoires 
des  collections  académiques,  les  ouvrages  d'Euler,  etc.  au  lieu  de 
me  mettre  en  mesure  de  répondre  sur  les  questions  de  géométrie, 
de  statique,  etc.  M.  X...  m'avait  pris  en  aversion  et  j'ai  expié  par 
un  liLinnliant  échec  mes  fantaisies  d'écolier  savant.  Plus  tard,  je  n'ai 
|ju  prendre  sur  moi  de  subir  les  examens  de  licence  es  sciences 
mathématiques  lorsque  cela  eût  été  bien  nécessaire,  et  ces  examens 
que  je  \  ais  faire  dans  quelques  jours  en  revenant  à  Paris  et  inter- 
rogeant sur  mon  Cours,  je  les  passerais  fort  mal,  car  mes  leçons 
faites,  je  les  oublie.  Je  vous  renouvelle  mes  félicitations  au  sujet 
du  titre  que  vous  avez  reçu  du  Sénat  académique  et  qui  vous  dis- 
pense des  concours  ;  vous  avez  mieux  que  cela  à  faire  ;  au  besoin, 
M.  Tisserand  et  moi,  nous  nous  en  porterions  garants. 

En  attendant.  Monsieur,  un  mot  de  vous  sur  une  carte  postale, 
qui  me  fasse  connaître  vos  intentions  pour  la  publication  de  vos 
deux  dernières  lettres,  je  vous  offre  la  nouvelle  assurance  de  mes 
sentiments  de  haute  estime  et  d'amitié. 

Les  quatre  formules  données  par  Jacobi,  dans  ses  recherches  sur 
la  rotation  pour  les  développements  en  séries  simples  de  sinus  et 

9 


l3o  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELÏJES. 

cosinus  (les  quantités —^rr- — — ->  ...   doivent  être    coniplélées   par 

douze  autres,  dont  une  partie  appartient  à  un  type  anal  vtiijue  diffé- 
rent, que  voiei  : 

2K  H'(o)H(.r-t-a)  -  "       — ^         "  ""     "'"'"' 

^  —  C( 


U(x)H{a) 


cot  ;-^  {a  -h  in  ÎK'  )  ~zi\  e    '^ 


On  suppose  dans  le  second  membre /?  =  o,  ±i,  ±2,  etc.,  et  quant 
à  £,  on  doit  le  prendre  =  -4-  i ,  o,  —  i  suivant  que  n  est  positif,  nul 
ou  négatif.  En  développant  ensuite  suivant  les  puissances  crois- 
santes de  q,  on  trouve 

>\\  W  (o)ll(  T-h  a)  -X  -iza       v^  .    -(  mx  -^  Jia) 

■ n-^ rn =  cot  -p.  -f- cot -—  -+-  >  ^'""sin 

-        W{x)\\{a}  2  k  2  Iv      ^  ^  K 

(/«  =  I,  2,  3,  . . . ,  «  =  I,  2,  3,  . .  .). 

60.  —  STIELTJES  A   IIERMITE. 

3  juillet  1884. 
MoKSiEun, 

Votre  lettre  m'a  fait  bien  heureux,  ci  en  réponse  je  vous  informe 
que  je  me  propose  de  composer  un  article  sur  l'équation  diffé- 
rentielle qui  admet  comme  intégrale  particulière  le  quotient  de 
deux  fonctions  J. 

Grand  merci  pour  votre  nouvelle  formule  elliptique.  J'ai  été 
frappé  surtout  par  le  résultat  élégant  que  vous  avez  obtenu  en 
développant  suivant  les  puissances  de  q. 

Un  de  ces  jours  j'espère  vous  présenter  une  petite  Note  qui 
aura  paru  dans  les  Aslron.  Nachrichten.  A  cette  occasion  je  sens 
encore  le  besoin  de  vous  dire  que  j'ai  beaucoup  profité  par  l'étude 
de  votre  cours  de  la  Sorbonnc,  dont  vous  m'avez  fait  un  présent 
si  précieux. 

Votre  très  dévoué. 


LETTRE    61.  l3l 

61.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

La  Bourboule,  i"  septembre  I88i^. 
Monsieur, 

Un  commencement  de  diabète,  qui  n'a  pas  été  sans  quelque  in- 
fluence sur  mon  travail  depuis  l'année  dernière  et  que  je  soigne  en 
prenant  les  eaux,  ne  me  met  guère  en  disposition  de  faire  de  l'Ana- 
lyse. Cependant  j'ai  pris  le  plus  grand  plaisir  à  votre  théorème  si 
nouveau  sur  les  mineurs  du  déterminant 

I    A-f-a      B-+-6    G-+- 

R  =  I   A'  -4-  a'      

I  y-^a"    


et,  si  j'étais  en  meilleure  santé,  j'essaierais  de  retrouver  votre  démon- 
stration. Permettez-moi,  au  moins,  d'appeler  votre  attention  sur 
une  remarque  très  belle  de  M.  Rosanes,  sur  les  transformations 
en  elles-mêmes  des  formes  quadratiques,  qui  conduit  immédiate- 
ment aux  expressions  des  substitutions  orthogonales  que  j'ai  don- 
nées autrefois.  Considérez  la  substitution  que  j'écris,  dans  le  cas 
de  trois  variables  seulement, 

a.r  -I-  a' y  -+-  a"  z  =  aX  -f-^Y   -:-cZ, 
bx  -r-  h' y  -^  b"  z  =:  a'X  -t-  6'Y  -4-  c'Z, 

ex  -T-  c'y  -+-  c" z  =  a"\  -f-  6"  Y  -i-  c"Z. 

Vous  vérifierez  sur-le-champ  qu'on  en  conclut 

x{ax  -+-  a' y  -H  a!' z)  -^ y{hx  -l-  h' y  -\-  h" z)  -t-  z{cx  -+-  c'y  -H  c"c  ) 

=  X(«X  -t-  a'Y  ^  cc"Z)  +  Y(6X  4-  6'Y  -\-  b"'l)-h  Z(c\  -^  c'Y  -^  c'Z  ), 

cest-à-dire  une  transformation  en  elle-même  de  la  forme 

a  b'  c" 

b" -h  c'       a"-^c      a' -^  b 

En  particulier,  les  relations 

X  —  ^ty  —  [JL s  =  X  -i-  V  Y  —  [ji  Z, 
^ix  -{- y  —  \z  =  — > X  -H-  Y  +  X Z, 
—  \}.x  -t-  \y  -^  z  —  [j.  X  —  À  Y  -H  Z, 

où  1,  'J-,  V  sont  les  indéterminées  d'Olinde  Rodrigues,   résultent. 


l32  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

comme  vous  voyez,  de  la  remarque  de  M.  Rosanes.  Je  ne  sais  si  ces 
expressions,  sous  forme  rationnelle  en  \,  pi,  v,  permettraient  de 
démontrer  votre  proposition  et  surtout  de  la  généraliser,  ce  qui 
serait  extrêmement  important.  En  tout  cas,  permettez-moi  de  pu- 
blier dans  les  Acta  mathématica  ('  )  votre  lettre  que  mon  éloigne- 
ment  de  Paris  m'empéclie  de  donner  aux  Comptes  rendus  et  qui 
intéressera  vivement,  indépendamment  de  son  application  méca- 
nique, et  veuillez,  en  même  temps,  recevoir  la  nouvelle  assurance 
de  mes  sentiments  de  haute  estime  et  de  sincère  amitié. 


62.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Leyde,  6  septembre  1884. 


MoN! 


J'ai  appris  avec  (bien)  beaucoup  de  tristesse  cette  mauvaise 
nouvelle  de  votre  santé,  que  vous  me  donnez  dans  votre  dernière 
lettre.  Veuillez  accepter  mes  vœux  sincères  pour  votre  rétablisse- 
ment !  Je  suis  sûr  que  partout,  dans  le  monde  mathématique,  on 
en  fera  de  même. 

Votre  lettre  m'a  fait  reprendre  l'étude  de  ce  théorème  sur  les 
substitutions  orthogonales  et  j'ai  réussi,  dans  le  cas  de  quatre  va- 
riables, par  un  calcul  qui  ne  laisse  pas  d'être  un  peu  pénible.  Le 
raisonnement  suivant  laisse  à  désirer  sur  un  point,  mais  il  s'applique 
à  un  nombre  quelconque,  pair,  de  variables. 

Soient 

a  -f-  Art       h  ^  \b     (?  -h  Ac       d  -h  \d 


d" 


Art  '      d" -}-  \d' 


les  coefficients   de   deux   substitutions  orthosronales  de    détermi- 


(')  La  lettre  de  Stielljcs  a  été  publiée  (par  extrait)  dans  le  Tome  ^I,  p.  Sig-Sao 
des  Acta  mathématica,  sous  le  litre  :  Un  théorème  d'Algèbre.  —  On  peut  rap- 
procher ce  travail  de  Stieltjes  d'un  travail  antérieur  :  Sur  le  déplacement  d'un 
système  invariaO/e  dont  un  point  est  fixe  {Archives  néerlandaises  des  Sciences 
exactes  et  naturelles,  t.  XIX,  p.  Sya-Sgo;  iS84). 


LETTRE   62. 


i33 


liant  -}-  1 ,  et  de  plus 

■.  +  i  Art     6  +  I  \b 


R 


d"  -+-  l  \d"' 


\a     Aô     Ac      Af/ 

\a"'   .  .      ..      Ul'" 


En  multiplianl,  il  vient 


R  X  D  =  S  = 


(aa)  (ab)     (ac)     (ad) 

(ab)  (bb)     (bc)     (bd) 

(ca)  

(da)  (dd) 


en  posant 


(aa)  =  (a  -h  {  \a)  \a  -h  (a' -+-  {  \a')  Aa'- 

(ab)  =  (a-i-lXa)  \b  h-  ( a'  +  \  \a' )  \b'  - 


en  sorte  qu'on  a 


(aa)  =  (bb)  =  (ce)  —  (dd)  =  o, 
(^ab)  =  —  (ba),         (ac)—  —  (ca). 


c'est-à-dire  le  déterminant  S  est  gauche. 

Supposons  R  =  o,  cela  entraîne  S  =  o.  Mais  S  étant  gauche,  la 
condition  S  =  o  entraîne  que  tous  les  mineurs  de  S  s'évanouissent 
[cette  remarque,  qui  s'applique  à  un  déterminant  gauche  d'un  ordre 
quelconque /?«//"^  n'a  peut-être  pas  encore  été  formulée  expressé- 
ment (peut-être)]. 

En  supposant  maintenant  que  D  n'est  pas  zéro,  on  en  conclut 
aisément  que  tous  les  mineurs  de  R  s'évanouissent  aussi.  En  effet, 
en  nommant  D^,  D^^,  . . .,  les  mineurs  de  D,  on  aura 


R  = 


(art)     (ab) 


(da) 


(ad) 


(dd) 


D 
D 


D 


D 


D 
D 


et  les  mineurs  de  R  s'expriment  linéairement  par  les  mineurs  des 
deux  déterminants  à  gauche,  il  vient,  par  exemple, 

DRa  =  'èiaa)  ^«  +  ^{ab)  ^b  +  S(„,.;  Ac  -h  S, 


'(«<-') 


A(5f. 


Rfl  étant  mineur  de  R,  S^a^),  S,^ad)  étant  des  mineurs  de  S  qui  s'éva- 
nouissent lorsque  S  =  o. 


l34  CORRESPONDANCE    d'iIEKMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Il  reste  à  faire  voir  que,  lorsque  R  =  o,  on  n'a  pas  en  même 
lemps  D  =  (I. 

Dans  le  cas  irun  nombre  pair  de  variables,  ces  deux  dclermi- 
nants  D  et  R  sont  de  même  nature  parce  qu'il  est  alors  permis  de 
changer  de  signe  tous  les  nombres  du  Tableau. 

h      c      d 

\    ly    . 


Dans  le  cas  d'un  nombre  impair  de  variables,  D  est  identique- 
ment zéro,  et  la  démonstration  précédente  ne  peut  s'appliquer  (  '  ). 

J'ai  été  vivement  frappé  par  cette  belle  remarque  de  M.  Rosanes, 

que  vous  avez  portée  à  ma  connaissance.  Que  c'est  simple!  On  en 

1 , 1    •             -Al       c           1          ,     ,     1                  ni n  —  [  )       ,  . 
déduit  aussitôt  les  lormules  générales  avec arbitraires  pour 

la  transformation  d'une  forme  (juadratique  en  elle-même,  qu'on 
vous  doit  (à  vous),  en  même  temps  que  l'expression  rationnelle 
d'une  substitution  orthogonale  due  à  Cajlej  et  qui  a  coûté  tant  de 
peine  à  Euler. 

Si  vous  le  jugez  (cela)  convenable,  je  verrai  avec  plaisir  que  vous 
publiez  ce  que  bon  vous  semblera  (semble)  de  ma  lettre.  Mais  tou- 
tefois, cela  ne  doit  pas  vous  coûter  (causer)  de  la  peine. 

Je  suis  toujours,  Monsieur,  votre  sincèrement  dévoué. 

P .  S .  —  11  j  a  (juelques  jours,  ma  femme  est  accouchée  duii 
hls.  Heureusement  la  mère  et  l'enfant  se  portent  très  bien. 


63.  —  IIERMITE  A  STIELTJES. 

Flanville  par  MeLz  (Lorraine),  9  octobre  1884. 
INIOJVSIEUR, 

Je  suis  bien  touché  et  bien  reconnaissant  de  l'intérêt  que  vous 
avez  eu  la  bonté  de  me  témoigner  au  sujet  de  ma  santé.  Je  viens 

C)  Après  la  publication  de  la  lettre  de  Slieltjes,  M.  Netlo  a  publié  deux  Notes 
dans  les  Acta  mathematica,  t.  IX,  p.  agô-Sco;  1887;  et  t.  XI\,  p.  io5-ii4;  1895, 
Sur  l'extension  des  résultats  de  Stieltjes  au  cas  d'un  nombre  quelconque  de 
variables. 


LETTRE    G3.  l35 

VOUS  remercier  et,  en  même  temps,  vous  informer  que  j'ai  envoyé 
à  M.  Mitlag-Leffler  votre  avant-dernière  lettre,  en  lui  demandant 
de  la  publier  dans  son  journal.  Ce  que  vous  m'avez  ensuite  commu- 
niqué dans  votre  lettre  du  6  septembre  m'a  extrêmement  intéressé 
et  je  vous  fais  mon  sincère  compliment  de  votre  idée  ingénieuse  et 
originale  d'avoir  considéré  le  produit  RD  qui  se  trouve,  sans  que 
rien  ait  pu  le  faire  soupçonner,  un  déterminant  gauche. 

C'est  là  un  résultat  on  ne  peut  plus  curieux,  et  votre  singulier 
théorème  se  trouve  ainsi  démontré  pour  les  déterminants  d'ordre 
pair  avec  beaucoup  de  simplicité  et  d'élégance.  Vous  réussirez  cer- 
tainement à  traiter  aussi  le  cas  de  l'ordre  impair  et  je  me  permettrai 
de  vous  engagera  consacrer  à  cette  question,  qui  intéressera  vive- 
ment les  amis  de  l'Algèbre,  un  article  suffisamment  développé  qu'il 
serait  naturel  de  publier  dans  les  Acla,  après  votre  lettre,  à  laquelle 
il  ferait  suite.  Je  ne  puis  vous  dire  si,  avant  vous,  il  a  été  remarqué 
qu'un  déterminant  gauche  ne  peut  s'évanouir  sans  qu'en  même 
temps  tous  les  mineurs  s'annulent;  mais  peut-être  trouverez-vous 
quelques  données  sur  ces  déterminants  dans  un  Mémoire  de 
M.  Cajlej  dont  je  ne  puis  vous  donner  l'indication  précise,  n'ayant 
pas  ici  le  Journal  de  C relie ,  et  que  je  crois,  cependant,  avoir  été 
publié  vers  i85o,  dans  ce  Journal  (').  Vous  n'aurez  [)as  de  peine, 
je  pense,  à  le  découvrir,  en  consultant  laTable  générale  du  Tome  50, 
[)ar  noms  d'auteurs.  Dans  quelques  semaines,  je  vous  enverrai  un 
[)etit  article  elliptique  (-)  qui  paraîtra  dans  les  Annales  deV  Ecole 
Normale  et  dont  je  m'occupe  en  attendant  que,  à  mon  grand  regret, 
je  sois  forcé  de  revenir  à  Paris  pour  les  examens  de  la  Sorbonne. 
J'espère  aussi  recevoir  bientôt  de  vous  le  Mémoire  sur  les  qua- 
dratures que  vous  avez  donné  à  ce  Recueil  et  que  j'étudierai  avec 
le  plus  grand  plaisir. 

En  vous  renouvelant  mes  félicitations  pour  vos  dernières  re- 
cherches, je  vous  prie.  Monsieur,  de  croire  à  mes  sentiments  de 
haute  estime  et  de  sincère  affection. 


(')  Les  travaux  de  M.  Cayley  sur  les  déterminants  gauches  se  trouvent  dans 
trois  Mémoires  insérés  dans  le  Journal  de  d'elle,  t.  32,  p.  119;  t.  38,  p.  3;  t.  50, 
p.  299. 

(^)  Sur  une  application  delà  théorie  des  fonctions  doublement  périodiques 
de  seconde  espèce  {Annales  de  l'École  Normale  supérieure,  3=  série,  t.  II,  i885). 


l36  CORRESPONDANCE    D'HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 


ÎSIoi 


64.   -  STIELTJES  A  IIERMITE. 

Leyde,  i!\  novembre  1884. 


Veuillez  bien  m'excuser  de  ne  mèlre  (m'avoir)  pas  appliqué 
encore  avec  succès  à  cette  question  sur  les  substitutions  orthogo- 
nales. 

En  réfléchissant  sur  certaines  questions  qui  se  rapportent  à  hi 
théorie  de  la  figure  de  la  Terre,  j'ai  été  frappé  de  (par)  la  puissance 
de  cette  méthode  où  Ton  conclut  Texislencc  d'une  fonction  (jui  doit 
remplir  certaines  conditions  en  faisant  voir  que  cette  fonction  se 
présente  comme  solution  d'iui  certain  problème  de  maximum,  ou 
(de)  minimum.  Si  l'on  peut  reprocher  à  cette  méthode,  dans 
beaucoup  de  cas,  un  manque  de  l'extrême  rigueur  qui  est  toujours 
désirable,  en  (par)  revanche,  il  me  semble  qu'on  peut  aborder 
ainsi,  quelquefois,  des  questions  qui  paraissent  inabordables  par 
d'autres  méthodes. 

Peut-être  la  Note  ci-jointe  en  donne  un  exemple  (').  J'ai  envoyé 
cette  Note  à  M.  Mittag-J^effler  jîour  ses  Acta.  Le  cas  p  =  i  donne 
immédiatement  un  polynôme  hjpergéométrique  de  Jacobi  dont 
toutes  les  racines  sont  réelles. 

Dans  le  courant  de  décembre,  je  compte  me  rendre  à  Paris; 
j'espère  que,  vers  ce  temps,  j'aurai  résolu  la  question  des  substitu- 
tions orthogonales. 

Veuillez  bien  agréer,  Monsieur,  rexj)ression  de  mes  sentiments 
dévoués. 

65.  —  HE B MITE  A  STIELTJES. 

Paris,  27  novembre  1884. 
MONSIKLR, 

Je  viens  vous  remercier  de  la  Communication  extrêmement  inté- 
ressante que  vous  m'avez  faite  de  l'article  que  vous  destinez  aux 
Acta  mathematica,  et  qui  concerne  la  généralisation  des  poly- 

(  ')  Sur  certains  polynômes  qui  vérijient  une  équation  différentielle  linéaire 
du  second  ordre  et  sur  la  théorie  des  fonctions  de  Lamé  {Acta  mathematica, 
t.  VI,  p.  321-326;  i885). 


LETTRE    65.  187 

nomes  de  Lamé,  imaginée  par  M.  Heine.  Votre  analyse  qui  est  si 
originale  est,  en  même  temps,  parfaitement  claire  et  je  ne  crois  pas 
que  jamais  personne  ait  eu  l'idée  de  rattacher,  comme  vous  l'avez 
fait,  à  une  considéi-ation  d'équilibre  la  démonstration  de  la  réalité 
et  des  propriétés  des  racines  d'équations  algébriques.  Permettez- 
moi,  Monsieur,  de  vous  engagera  insister  tout  particulièrement  sur 
le  cas  le  plus  simple  et  qui  est  aussi,  jusqu'à  présent,  le  plus  im- 
portant, celui  des  polynômes  même  de  Lamé.  Si  mes  souvenirs  sont 
fidèles,  il  me  semble  que  M.  Klein  serait  déjà  parvenu  aux  résul- 
tats que  vous  avez  découverts,  dans  un  article  remontant  à  cinq 
ou  six  ans,  que  contiennent  les  MaUiematische  Annalen.  Mais, 
M.  Klein  n'aurait  considéré  que  le  seul  cas  des  polynômes  de  Lamé, 
et  sa  méthode  n'a  rien  de  commun  avec  la  vôtre.  Je  ne  me  suis 
point  mis  sous  le  même  point  de  vue  en  m'occu])ant  de  ces  quan- 
tités; en  prenant  l'équalion  du  second  ordre  sous  la  forme 

—  [(H-  A-2):p  —  ik"' x'^Y-j^  -j-[n(n  -t-i)  /i2^2-4-  Z]7  =  o, 

j'ai  surtout  considéré  les  quatre  polynômes  en  /,  P,  Q,  R,  S  qui 
déterminent,  lorsqu'on  les  égale  à  zéro,  les  valeurs  de  cette 
constante  auxquelles  correspondent  des  solutions  de  l'équation 
différentielle  qui  sont  des  polynômes  entiers  ou  bien  des  produits 
de  polynômes  entiers  multipliés  par  \/i  —  x- ^  \i  \  —  k'-x'-^ 
y/(i  —  x'-)  (i  —  k-x'-).  En  laissant  indéterminée  la  constante  /,  ces 
diverses  expressions  sont  des  solutions  de  l'équation  différentielle, 
avec  un  second  membre  de  la  forme 

P,     Q^/i  — :r2,      R/i  —  A-^x'^,      S\/{i  —  x^-)  {i  —  k'^x'^) 

ou  ces  mêmes  quantités  multipliées  par^,  suivant  les  cas. 

En  second  lieu,  et  considérant  toujours  /  comme  un  paramètre 
arbitraire,  on  a  cette  circonstance  analytique  bien  remarquable 
qu'en  développant  j'  suivant  les  puissances  descendantes  de  x, 
on  a  pour  n  pair  cette  expression 


l38  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

puis,  pour  n  impair, 

^=F,(-)+p(u|;+...). 

où  V[x)  el  F,  [x)  sont  des  polynômes  de  degré  n  et  dans  lesquels 
les  coefficients  a,  a',  .  .  .,  |i,  [3',  .  .  .  des  séries  infinies  sont  fonc- 
tions entières  de  degrés  croissants  o,  1,2,  ...  de  /.  Et  de 
même 

y  =  /T^^  [f,  (a-  )  +  Q  (^  J-  +  I-  +.  .  .  j  j  , 

j-^  /i  — .r2     F3(.r)  +  Q(  |.    +^i-^--- 


En  résumé,  c'est  moins  aux  solutions  algébriques  de  l'équation 
qu'à  ces  polynômes  en  /,  P,  Q,  R,  S  que  je  me  suis  attaché  jus- 
qu'ici. 

Mais  vous  avez  embrassé,  dans  vos  dernières  recherches,  bien 
d'autres  belles  questions,  la  loi  de  la  variation  de  la  densité  de 
l'écorce  terrestre  ('),  et,  en  dernier  lieu,  une  généralisation  pro- 
fonde de  la  théorie  des  quadratures  mécaniques  (-),  dont  je  me 
fais  un  plaisir  de  vous  apprendre  que  mon  cher  confrère  M.  Tisse- 
rand m'a  parlé  avec  les  plus  grands  éloges.  En  vous  exprimant, 
Monsieur,  le  désir  et  l'espérance  qu'à  votre  prochain  voyage  vous 
voudrez  bien  venir  chez  nous,  diner  en  fanulle,  pour  que  nous  ayons 
ainsi  l'occasion  de  causer  de  tout  ce  qui  nous  intéresse,  je  vous 
renouvelle,  avec  l'expression  de  ma  plus  haute  esliuie,  celle  de  mes 
sentiments  de  bien  sincère  afl'ection. 


(  ')  Les  travaux  de  Slielljes  sur  la  loi  de  la  variation  de  la  densité  de  la  Terre 
ont  été  publiés  dans  trois  iNotes  : 

1°  Note  sur  la  densité  de  la  Terre  {Bulletin  astrononi.,  t.  I,  p.  "jlJS;  188^); 

2"  Quelques  remarques  sur  la  variation  delà  densité  dans  l'intérieur  de 
la  Terre  {Arch.  néerland.,  t.  XIX,  p.  435-''|6o;  1884); 

3°  Réimpression  du  travail  précédent  dans  le  Tome  I,  3"  série,  p.  272-297;  i885, 
des  Verslagen  en  Medeelingen  der  koninklijke  Akadeniie  van  Wetensc  happe  n 
te  Amsterdam. 

(-)  Le  travail  auquel  M.  Herniilc  fait  allusion  a  paru  dans  le  Tome  XCIX  des 
Comptes  rendus,  p.  85o,  17  nov.  i88'|,  sous  le  titre  :  Sur  une  généralisation  de 
la  théorie  des  quadratures  mécaniques. 


M0N5 


LETTRE    G6.  189 

66.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  i3  février  i885. 


La  Note  manuscrite  jointe  à  l'exemplaire  publié  dans  les  Acla 
m'intéresse  extrêmement.  Les  résultats  auxquels  vous  êtes  parvenu 
ajoutent,  s'il  est  possible,  à  mon  admiration  ])our  votre  beau  talent 
en  Analyse,  et  je  viens  vous  prier  de  m'autoriser  à  les  publier  dans 
les  Comptes  rendus  avec  la  modification  suivante  qui  est  chose 
bien  légère  et  de  pure  forme,  mais  que  je  dois  vous  soumettre.  Je 
vous  propose  donc  de  dire  que  les  racines x^^  x-^,  .  .  .,  x,i  de  X„  =  o 
font  acquérir  une  valeur  minimum  à  l'expression 

en  faisant 

Et,  de   même,   pour   le   théorème  analogue   concernant   le   polj- 

nome  l],i  =  x" —  x"~--\-.  .  .   qui  ne  m'est  pas  inconnu, 

mais  auquel  je  n'ai  plus  songé  depuis  longtemps.  TNlais  comment 
avez-vous  découvert  ces  propositions  sur  les  minima  ;  comment 
avez-vous  obtenu  les  discriminants  de  X„,  U,i  et  V«  ? 

Pendant  que  vous  vous  livrez  avec  un  si  grand  succès  à  vo^ 
recherches  de  haute  Analyse,  je  fais,  par  suite  des  circonstances, 
des  leçons  à  la  Sorbonne,  et  je  dois  même  dire  que  je  suis  redevenu 
écolier.  Mon  cher  collègue  et  ami,  M.  Bouc[uet,  qui  fait  le  cours  de 
calcul  différentiel  et  de  calcul  intégral  aux  candidats  à  la  licence, 
a  eu  une  attaque  de  goutte,  et  je  l'ai  remplacé  pendant  qu'il  était 
malade,  en  croyant  cjue  ce  ne  serait  que  pour  une  semaine  ou  deux. 
Mais  son  médecin  lui  ayant  ordonné  le  repos,  il  a  renoncé  entière- 
ment à  son  cours;  on  m'a  demandé  de  continuer  à  le  remplacer 
jusqu'au  i5  mars,  c'est-à-dire  jusqu'à  l'époque  où  je  commence 
mes  leçons  pour  mon  propre  compte.  A  ce  moment,  ce  sera,  sans 
doute,  M.  Picard  que  la  Faculté  nommera  suppléant  de  M.  Boucjuet, 
et  M.  Poincaré  qui  fera,  à  sa  place,  le  cours  de  Mécanique  expéri- 
mentale. Il  m'a  ainsi  fallu  rapprendre  des  choses,  comme  les  lignes 
de  courbure  des  surfaces,  les  lignes  asymptotiques  et  bien  d'autres 
du  même  genre,  dont  je  n'avais  plus  aucun  souci,  et  qui  m'étaient 
presque  complètement  sorties  de  l'esprit.  M.  Picard  m'aide  beau- 


t4o  correspondance  d'hermite  et  de  stieltjes. 

(^ou]i  à  me  remémorer  ces  ihcories  de  calcul  différentiel.  Mais  j'ai 
lin  effort  sérieux  à  faire  pour  apprendre  au  jour  le  jour  ce  que  je 
dois  enseigner,  et  plusieurs  recherches  que  j'avais  commencées, 
entre  autres  sur  la  transfoi-niation  des  fonctions  elliptiques,  sont 
forcément  interrompues. 

En  vous  priant,  Monsieur,  d'avoir  la  bonté  de  m'envojer  un  mot 
sur  une  carte  postale,  pour  m'informer  si  vous  consentez  à  la  [)u- 
blication  de  votre  Note  dans  les  Comptes  rendus,  je  saisis  cette 
occasion  pour  vous  renouveler  l'expression  de  ma  plus  haute  estime 
et  celle  de  ma  bien  sincère  affection. 

Vous  convient-il  de  donner  à  votre  Note,  jiour  titre  :  Sur 
quelques  théorèmes  d'Algèbre  {^)? 

67.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Leyde,  20  février  i885. 
Monsieur, 

La  Note  ci-jointe  (-)  formera  peut-être  une  suite  naturelle  à  celle 
(|ue  vous  avez  présentée  dernièrement.  J'avais  calculé,  il  J  a  déjà 
quelqvie  temps,  le  discriminant  de  X  ==  o,  ce  qui  m'avait  montré 
(pie  cette  équation  ne  peut  avoir  d'autres  racines  multiples  que  o 
et  I .  Mais  c'est  seulement  après  votre  flernière  lettre  cpie  je  me  suis 
aperçu  que  le  calcul  des  fonctions  de  Sturm  peut  s'effectuer  sans 
difficulté. 

Je  trouve  : 

o(n,rt,c)  — x':^{n  —  l,r^c)  = — Ao(p(« — i,« —  i,c —  1) 

vi{n  —  i,«,c)  —     cp(rt  —  i,«  —  r,c  —  i)=  —  Bicp(«  —  1,  a  —  i,c  —  a) 

(f  (  «  —  1 ,  rt  —  I ,  c  —  I  )  —  x<d{ii  —  •>. ,  a  —  I ,  c  —  2 )  =  —  A I  o ( /j  —  2.  a  —  •>.,  c  —  3  ) 
<f  (n  —  2,  «  —  I ,  c  —  2)  —  œ(/i  —  2,  a  —  2,  c  —  3)  =  —  Bj  ci>(«  —  3,  a  —  2,  c  —  4  ) 
cp(rt  —  2,  a  —  2,c—  3)  —  xc^{n  —  3,rt  —  2,c  —  4)=  —  ^i'fin  —  3,  «  —  j,c  —  5) 
œ(  rt  —  3,  a  —  2,  c  —  4)  —  o(n  —  3,  a  —  3,  c  —  5)  =  —  B3<p(rt  —  4-  «  "  3,  c  —  6) 
o{n  —  3, a  —  3,c  —  5)  —  a^'f(/i  —  4,«  —  3,c  —  6)=  —  k^oi^n  —  ^,  a  —  \,  c  —  7) 
'f(rt  —  4,«  —  3,c  —  G)  —     cpfn  —  '|,a  —  4,c  —  7)=  —  K4«p(«  —  5)«  —  i^c  —  8) 


(')  C'est  effectivement  le  titre  delà  Note  de  Stieltjes  imprimée  dans  le  Tome  C 
des  Comptes  rendus^  p.  439-44^;  16  février  i885. 

C)  Cette  Note,  qui  est  la  suite  de  la  Note  indiquée  dans  la  dernière  lettre, 
a  paru  dans  le  Tome  C,  p.  620-622,  2  mars  iS85,  des  Comptes  rendus  avec  le 
litre  :  Sur  les  polynômes  de  Jacobi. 


LETTRE    67.  l4l 


OU 


B,=  ^'^-')^ 


B,= 


c{c  —  1) 

{n  —  'i)(b  —  i)^ 
(c  — 2)(c  — 3)' 

(»-3)(6-90 
(c-4)(c  — 5)  ' 


A,= 

A3  = 

(«- 

•  )/c- 

n) 

I)(C- 

0 

(a- 

-3)(c 
3)(c- 

-4) 
/i  — 

2) 

(c 

-5)(c 

-(3) 

d'où 

cp(/2,  a,  c)  —  (37—  Ao)  cp(n  —  I,  a,  c)  =  —  An'Bio(n  —  -2,  a  —  i,  c  —  2), 
o{/i  —  I,  a,  c)  —  (.r  —  Bi  —  Ai)o(/i  —  2,  a  —  i,  c  —  2) 

=  — AiB2cp(Ai  —  3,  a  —  2,  c—  D, 
(f{n  —  2,  a  —  I,  c  —  2)  —  (x  —  B2 —  Ao)  cp(/i  —  3,  a  —  2,  c  —  4) 

=  —  A2B3<p(«  —  4)  Ci  —  3,  c  —  G); 


or 
donc 


X  ==  (f (/t,  «,  c),         Xi—no(n  —  \,a,c), 

X2  =  AoBio(  rt  —  2,  a  —  I,  c  —  2), 
X3=  /i  Al  BoçC/i  —  3,  a  —  2,  c  —  4)) 
X;=  AqBi A2B3cp(rt  —  4>  a.  —  3,  c  —  6), 
X5=  /iAiB2A3B4cp(rt  —  5,  a  —  4,  c  —  8), 


elles  fonctions  de  M.  Sjlvester 

/i2AoBiCf(/i  —  2,  a  —  I,  c  —  2), 
«3(AoBi)2AiB2'f(«  —  3,  «  — 2,  c  —  4), 

nHAoBi)3(AiB2)2A2B3cs(/i  —4,  a  — 3,  c  -6), 
ft5(AoBi)''(AiB,)''(A2B3)2A3BiCp(/i  — 5,  a  — 4,  c  — 8), 


C'est  le  résultat  que  j'ai  indiqué. 

J'espère  ne  pas  vous  importuner  avec  ces  remarques  bien  simples. 
Veuillez  Lien  me  croire  votre  très  dévoué. 


\^2  CORRESPONDANCE    DlIFRMITr.    ET    DE    STIELTJES. 

68.   —  STIELTJES  A  IIERMITE. 

Leyde,  n  mars  i885. 
^lo^SIEL'n, 

Je  me  permets  de  vous  communiquer  le  théorème  suivant  auquel 
je  suis  arrivé  par  un  chemin  bien  détourné.  Si  je  ne  me  trompe, 
il  est  de  nature  à  vous  intéresser.  Je  le  crois  susceptible  d'une 
grande  généralisation. 

Soient  z  et  :;'deux  variables  complexes 

\  §,{z,  z')  =  z'-b-k'b{z,z')' 
Pour  des  modules  suffisamment  petits  de  A  et  k,  les  écjuations 

(2)  rJ{Z,     Z')^0,  riiiZ,     Z')    =    O, 

admettent  une  solution  z  =  u,  z'  =  i',  voisine  de  z  =:  a,  z'  =  b. 
Cela  posé,  je  considère  l'intégrale  double 

(|'(  :;,  z'  )  dzclz' 


(A)  rrjj^^^u!^ 

J  J    J(z,  z')J,(~; 


le  chemin  d'intégration  relatif  à  z  étant  un  contour  fermé  envelop- 
pant ^  =  «,  parcouru  dans  le  sens  direct;  de  même  celui  relatif  à 
z'  un  contour  fermé  enveloppant  z'=^b.  Alors  la  valeur  de  l'inté- 
grale est 

(?(".  '') 


(B)  i-i-cr- 


dz  dz'        dz'   dz 


Il  me  semble  extrémeuient  |)robal)le  qu'il  existe  un  théorème 
analogue  pour  une  forme  moins  parlicub'ère  des  fonctions  S'  et  5i 
et  comprenant  le  cas  oiV(que)  les  chemins  d'intégration  renferment 
plusieurs  solutions  du  système  (2);  mais,  pour  le  moment,  je  ne  me 
hasarderai  point  à  cette  généralisation  c[ui  devra  présenter  encore 
des  circonstances  singulières  dont  je  me  contente  de  signaler  l'ori- 
gine. En  effet,  l'expression  (A)  ne  change  pas  en  permutant  les 
deux  fonctions  rT  et  J^i  tandis  (pic  rcxj)ression  (B)  change  de  signe. 


LETTRE    C8.  143 

Mais  M.  Kronecker,  clans  son  jMémoirc  Ueber  Système  von  Func- 
lionen  niehrer  Variabeln  [Monalsbericlite  de r  Ko nigl .  A kad .  d . 
Wissensch.  1869),  a  déjà  introduit  des  considérations  qui  s'appli- 
queront probablement  avec  certaines  modifications  dans  le  cas 
actuel. 

Voici,   n)aintenant,  comment  je  suis  arrivé  à  ce  théorème. 

On  a 

V      !         /    -   1  \      )         /  0        0 

ou  bien,  d'après  les  formules  de  Cauchj, 

.     ^"V        ''"'  ^"^        d"'+"Ç(a,  b)'f'"(a,  b)'lff"(a,  ù)  _ 


0     0 

.m   \  .1.  .  .11                           da'"  db'^ 

or,  la  série 

0      0 

j-n        d"'+''Ç(a,  b)(f'>'(a,  b)'y'(n.  b) 
\.  ■>....  Il                          da"'db" 

est  égale  à 

d'après  une  généralisation  de  la  série  de  Lagrange  donnée  par 
M.  Darboux  (Co/»/>^<?5  rendus,  t.  LXVIII).  J'ai  envoyé  dernière- 
ment une  démonstration  de  cette  formule  à  JVI.  Tisserand  ('),  en 
la  généralisant  en  même  temps  pour  un  nombre  cjuelconque  de 
variables.  Aussi,  le  théorème  énoncé  peut  être  énoncé  de  cette 
manière. 

L'intérêt  qui  me  semble  s'attachera  cette  généralisation  du  théo- 
rème de  Cauchj  m'a  déterminé  à  vous  la  communiquer.  Certaine- 
ment, si  je  ne  me  suis  pas  trompé,  le  théorème  en  question  doit 
être  démontré  d'une  manière  plus  directe  et  moins  particulière, 
quant  à  la  forme  des  fonctions  §  et  §\ .  Mais  je  suis,  en  ce  moment, 
trop  occupé  pour  songer  sur  cela.  Je  ne  nie  pas,  cependant,  que 
j'aurais  bien  volontiers  votre  opinion  et  celle  de  M.  Picard  (sur 

(■)  Cette  généralisation  de  la  série  de  Lagrange  a  été  publiée  dans  Iq^  Annales 
de  l'École  Normale  supérieure,  Z"  série,  t.  II,  p.  gS-rjS  ;  i885. 


l44  CORRESPONDANCE    d'hERMFTE    ET    DE    STIELTJES. 

cela)  à  ce  sujet.  Ya-t-il,  après  tout,  une  erreur,  dans  le  raisonne- 
ment? je  ne  vois  pas  ('). 

Votre  bien  dévoué. 


69.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Le} de,  i3  mars  i8&5. 


Monsieur, 


Quoique  pressé  par  des  calculs  numériques,  je  n'ai  pu  résister  au 

aies 

Ç){z^  z' )  dz  dz' 


désir  de  songer  sur  les  intégrales 


// 


§{z,z')§i{z,  z') 


excité  surtout  j)ar  le  paradoxe  apparent  dont  j'ai  parlé  dans  ma 
dernière  lettre.  Pour  en  savoir  la  cause,  j'ai  envisagé  directement 
des  contours  infiniment  petits  autour  d'un  système  ii^  t' 

§{u,  v)  =o,         ^i{u,  v)  =  o. 

Soit  :.^zu-\-t,  z'=^^v-\-t',  et  négligeant  des  quantités  d'ordres 
supérieurs, 

^  {u-h  t,  V  -+-  t')  =  at  +  bt\ 
§i{a  ^  t,  i>  -^  f')  =  et  -+-  dt' . 

Dans  les  intégrations,  les  modules  infiniment  petits  de  /  et  /'  i-estent 

constants.  Il  faut  distinguer  quatre  cas  : 

U«H>  !  è^'l     ,,.     ,       ,  ,     ,    .  ,       .  „  ^ff".  <^^ 

iW  \  .         '      1  intégrale  est  esrale  a  (.jr f )^ -'S ; — ' 

^    >  (  |c^  l<If//'l  ad  —  bc 

U  «'  l<  K^''  1    „.     ,      ,         •    ,    -    . 

l\\\  {  1  intégrale  est  égale  a  zéro, 

\\at\>\bt'\     ^,.      ,       ,  ,     ,     .      , 

<\\\\  '  1  intégrale  est  égale  a  zéro, 

{\<-i(\<\bl'\      ^„      ,        ,  ,      ,     .  .  „   Qdi-^v) 

(IVi  <  1  intégrale  est  égale  a  (27ïi)2^£ ■• 

^  \   \cl\>\  dl'  I  ''  °  ^        '   bc-ad 


(')  M.  Poincaré,  clans  son  Mémoire  sur  les  résidus  des  intégrales  doubles 
{Acta  inalhematica,  t.  IX),  a  montré  (§5,  p.  307)  l'origine  de  la  contradiction 
du  résultat  de  Slielljcs. 


LETTRE    G9.  145 

Il  faudra  certainement  trouver  une  interprétation  naturelle  de  la 
différence  qui  existe  entre  I  et  IV.  Je  n'ai  qu'une  idée  imparfaite  de 
la  méthode  qu'il  faudrait  suivre  pour  arriver  à  une  théorie  com- 
plète de  ces  intégrales. 

Naturellement,  pour  que  l'intégrale  ait  un  sens,  les  chemins 
d'intégration  ne  peuvent  être  choisis  tout  à  fait  arbitraires,  comme 
dans  le  cas  d'une  seule  variable. 

Je  remarque  c[ue,  lorsque  la  théorie  de  ces  intégrales  sera  com- 
plète, on  en  déduira  la  formule  de  iM.  Darboux  : 


.^(.,.-):i=y,y, 


^  —  a  —  ho{z,  z')  =  o, 
z'  —  b  —  k  '\i(z^  z')  =  o, 

/i'«  k"        r/'«+"i(a.,  h)  o"'(a.  b)  'V'^a,  b) 


A^^  \..-i.  .  .m   \  .1.  .  .n  da"^ db"^ 

0      0 

précisément  comme  vous  avez  déduit  la  formule  de  Lagrange  du 
théorème  de  Cauchj.  Et  de  même  pour  un  plus  grand  nombre  de 
variables.  Comme  vous  vojez,  j'ai  suivi  un  chemin  inverse,  en  adop- 
tant la  formule  de  M.  Darboux.  J'ai  été  amené,  grâce  à  votre  mé- 
thode de  démonstration  de  la  série  de  Lagrange,  à  la  considération 
de  ces  intégrales  : 


// 


q{z,z'Ulzdz 

1{z,z')É,{z,z') 


Aussi,  si  je  n'avais  eu  connaissance  de  cette  démonstration  si 
simple  exposée  dans  votre  Covirs  professé  à  la  Sorbonne,  sans 
aucun  doute  je  n'aurais  jamais  été  conduit  à  la  considération  de 
ces  intégrales.  Mais  je  dois  borner  ici  mes  recherches.  Initié  à  la 
théorie  de  Cauchj  principalement  par  votre  Cours,  j'en  suis  un 
admirateur  plutôt  qu'un  cultivateur,  et  (je- dois)  restreindre  mes 
efforts  aux  applications  des  mathématiques  aux  phénomènes  na- 
turels. 

Comme  vous  le  voyez,  la  remarque  accidentelle  que  j'ai  faite  l'au- 
rait pu  être  depuis  bien  longtemps. 

Votre  élève  bien  dévoué. 


l46  CORRESPONDANCi:    o'ilERMlTE   ET    DE    STIELTJES. 

70.  —  U ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  i3  mars  i885. 
MoNSIEUl!, 

Nous  avons  lu,    iM.  Picard  et  moi,   avec  le  plus  grand  intérêt, 
votre  i-ésultat  concernant  l'intégrale 

Çl(:;,  z')dzdz' 


II: 


mais  la  circonstance  signalée  par  vous-même  que  l'expression  ob- 
tenue change  de  signe  en  permutant  S  et  S'x  nous  paraît  bien  grave. 
M.  Picard  s'est  demandé  s'il  était  bien  sûr  qu'on  pût  aussi,  comme 
vous  le  supposiez,  obtenir  pour  z  un  contour  d'intégration  conte- 
nant à  son  intérieur  le  point  z  ^=  a^  puis  pour  z'  un  contour  com- 
prenant z'  =^  h  et  tels  que  jamais  le  long  de  ces  chemins  on  n'ait 

^{z,  z')  =  o,        ^i{z,  z')  =  o? 

J'attendrai,  Monsieur,  un  mot  de  vous  avant  de  communiquer  à 
l'Académie  votre  résultat  qui  touche  à  des  questions  du  ])lus  haut 
intérêt  et  qui  ont  certainement  préoccupé  bien  des  analystes. 
M.  Picard  croit  se  rappeler  que  les  Annales  de  V Ecole  Normale, 
dans  les  environs  de  l'année  1869,  contiennent  une  Note  de  Didon 
(mais  je  n'ai  pu  encore  la  rechercher  dans  ce  Recueil)  qui  se  rap- 
porte au  même  sujet  ('). 

Avec  la  nouvelle  assurance  de  ma  plus  haute  estime  et  de  mes 
sentiments  ]:)icn  dévoués. 


71.  —  STIELTJES  A  II ERMITE 

Paris,  18  juin  i385.  120,  avenue  d'Orléans. 
MOWSIEUR, 

Parla  Note  ci-jointe  (-)  vous  verrez  que  je  suis  encore  fidèle  à 
l'Analjse.  Dans  le  cas  où  (que)  cela  ne  vous  paraîtrait  (paraît)  pas 

(  '  )  La  Note  de  Didon,  qui  a  pour  titre  :  Sur  une  formule  de  Calcul  intégral, 
est  insérée  dans  les  Annales  de  l'École  Normale  supérieure,  2°  série,  t.  I, 
p.  3i-48;  1873. 

(')  Sur  une  fonction  uni/orme  {Comptes  rendus,  t.  Cl,  p.  i53-i54,  i3  juillet 
i885). 


LETTRE    72.  1^7 

trop  indigne,  je  vous  serais  très  reconnaissant  si  vous  vouliez  (vou- 
driez) la  présenter  à  l'Académie  afin  d'être  insérée  dans  les  Comptes 
rendus. 

Je  me  propose  de  calculer  les  premiers  coefficients  Co,  Ci,  Go,  ..., 
mais  je  n'ai  fait  le  calcul  jusqu'à  présent  que  pour  C|  seulement, 
la  valeur  de  Go  étant  Lien  connue.  On  a 

Cl  =  — -  0,07281  55iio, . . . 
Donc 

^(^  -I-  I)  =   -  -t-  0,577-21  5G6j  . .  .-h  0,07281  5520. .  .  ^  -H. .  .  . 

Ges  trois  termes  donnent,  pour  ;  =  zt  i , 

^(2)  =  -!-  1 ,65oo3  au  lieu  de  i  ,04493, 
^(o)  =  —  0,49560  au  lieu  de  —  o,5. 

D'après  cela,  il  semble  que  déjà  les  premiers  coefficients  diminuent 
assez  rapidement  et  le  terme  suivant  doit  être,  à  peu  près, 
—  0,0047  ''• 

Quand  je  suis  allé  visiter  M.  Picard,  il  y  a  quelques  semaines, 
j'ai  été  bien  aise  d'obtenir  de  bonnes  nouvelles  de  votre  santé.  J'ai 
voulu  aussi  aller  vous  voir,  mais  j'ai  mal  choisi  mon  temps  et  vous 
étiez  sorti. 

Je  suis  déjà  (depuis)  quelque  temps  à  Paris,  où  je  pense  rester, 
du  moins  en  France,  et  j'ai  déjà  fait  le  premier  pas  pour  me  faire 
naturaliser  français  en  demandant  l'admission  à  domicile,  que  j'es- 
père obtenir  bientôt. 

Veuillez  bien  agréer,  Monsieur,  l'expression  de  profond  respect 
de  votre  très  dévoué  serviteur. 


72.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  19  juin  i8S5. 
Monsieur, 

Permettez-moi,  sauf  avis  de  votre  part,  de  supprimer  après  l'équa- 
tion du  commencement  de  votre  Note, 

^  - -I- I  )  =  - -+- (70  4- «1  :;  4- . . . 


l'jS  COIMJESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

les  mots  «  convergent  dans  tout  le  plan  »,  puisque  vous  avez  soin 
\(nis-mêuic  de  dire  un  peu  plus  loin  que  la  série 

définit  seulement  la  fonction  lorsque  la  partie  réelle  de  z  surpasse 
Tunilé.  Je  regrette  aussi  que  vous  n'ayez  point  rappelé  que  c'est  à 
Dirichlet  qu'est  due  la  valeur  +  i  du  résidu  correspondant  à  ^  =  i  ; 
mais  j'espère  que  vous  développerez  plus  complètement  vos  idées 
sur  ce  sujet  dans  un  travail  suffisamment  étendu  et  que  votre  pré- 
sente Note  est  surtout  pour  prendre  date. 

Nous  nous  félicitons,  M.  Picard  et  moi,  que  les  circonstances 
vous  amènent  à  devenir  notre  concitoyen,  et  c'est  en  vous  expri- 
mant tous  mes  regrets  d'avoir  perdu  l'honneur  de  votre  visite  que 
je  vous  prie,  Alonsieur,  de  recevoir  la  nouvelle  assurance  de  ma 
plus  haute  estime  et  celle  de  mes  sentiments  bien  dévoués. 

73.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  21  juin  i8S5. 
MOJVSIEIJR, 

Vous  avez  mille  fols  raison,  et  j'ai  grandement  fait  erreur  en 
croyant  que  la  partie  entière  dans  votre  équation 


n'était  pas  convergente  dans  tout  le  plan.  C'est  ce  que  j'ai  reconnu 
au  moyen  de  l'expression  dont  Riemann  fait  usage,  à  savoir  : 

Écrivant,  en  efï'ct, 

x^dx  r   x^dx  /**  x^ dr 


/""■  xUlx    _     r   x^dx  r     x^dx 


on  volt  d'abord  que  la  seconde  intégrale,  qui  n'est  plus  infinie  pour 
s  =  o,  détermine  une  fonction  holomorphe  de  cette  variable,  si  l'on 
convient  de  j)rendre  parmi  les  diverses  déteruiinations  de  .r^  ce  que 

~ — ~' 

e-*^       I 


LETTRr:  73. 


I49 


j'observe  qu'en  supposant  mod.i'  <^  2~  el  a  fortiori  .x  <ii,  on  a, 
en  série  convergente, 


d'où 


B,  — -B. — 

1.2  I  .  '2  .  i  .  4 


Jr    x^dx   _   r 
e-^  —  i   ~   s 


B, 


I  .  2  (  s  -t-  2  )  2  ,  3  .  4  (  S  -T-  4  j 


Tl  en  résulte  facilement  que  le  second  membre  représente  une 
fonction  analytique  de  s  dans  toute  l'étendue  du  plan,  fonction 
méromorphe,    admettant    pour   pôles  5  =  0,  — i, — 2,   ....  Mais 

est  la  fonction  holomorphe 


1\5H-I) 


e"n 


(n  =  I,  2,  3,  ...), 


de  sorte  que  le  produit 


r  (  s  -H  I  )  \  5      2  .s  -H  [ 

a  perdu  tous  ses  pôles,  à  l'exce|)tion  du  seul  pôle  5  :=  o  et,  en  même 
temps,  on  voit  que  le  résidu  correspondant  à  ce  pôle  est  bien  égal 
à  l'unité. 

En  m'excusant  de  vous  avoir  fait  un  reproche  si  mal  fondé,  je 
m'en  permettrai  un  nouveau.  Pourquoi,  Monsieur,  dans  votre  beau 
résultat,  et  qui  m'a  on  ne  peut  plus  intéressé, 


(logi)'^'  (logn)'^'        (logn)^+> 

1  '  '  '  n  /i  -I-  I 


(« 


écrivez-vous  le  premier  terme  et  ne  commencez-vous  pas  par  le 

,    (log2)''''o    T  1        7  -1 

seconu  ^ — - — •  L,e  cas  de  A' =  o  ne  sera  pas  exceptionnel,  avec 
cette  minime  précaution. 

En  vous  renouvelant.  Monsieur,  l'expression  de  ma  plus  haute 
estime  et  de  toute  ma  sympathie. 


CORRESPONDANCE    I)  HERMITE    ET    DE   STIELTJES. 

74.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  23  juin  i885. 


M( 


En  m'occiipant,  pendant  la  séance  de  l'Académie,  de  la  relation 
f|iie  vous  avez  obtenue  sous  la  forme  suivante  : 


ou 


Uz-\-\)  =  -  H-Co— Ci^  +  C,^^ .... 

Z  1.2 

y(logn)^-_(Io^n)^         ^^^^ 
Ad        n  A-  -f-  I 

je  rencontre  une  difficulté  que  je  prends  la  liberté  de  vous  soumettre. 
On  trouve,  en  effet,  au  mojen  de  vos  coefficients  C^  que  ^(s  +  i) 
est  la  limite,  pour  n  infini,  de 

II  II 


C'est  certainement  exact  pour  :;  positif,  mais  non  lorsque^  +  i  est 
gatif. 
La  quantité  à  retrancher  de 


négatif. 


I 

I  -î 


pour  obtenir  un  résultat  fini,  lorsqu'on  suppose  n  infini,  étant  beau- 
coup plus  compliquée  que  -^—.' 

Dans  quelques  jours,  je  vous  enverrai  la  rédaction  plus  correcte 


de  ma  démonstration  de  l'égalité 


Veuillez,  en  attendant.  Monsieur,  recevoir  la  nouvelle  expres- 
sion de  mes  sentiments  les  meilleurs  et  les  plus  dévoués. 


LETTRE    75.  l5l 

75.  _  STIELTJES  A  II ERMITE. 

Monsieur, 

Je  ne  crois  pouvoir  mieux  répondre  à  votre  lettre  qu'en  vous 
envoyant  une  démonstration  de  ma  série  — h  C  —  C(5  +.  •  •  qui 
me  semble  à  l'abri  de  toute  objection  (  '  ). 

L'idée  de  considérer  ^(^  +  i)  comme  définie  par 

est  bien  naturellement  indiquée  par  la  forme  des  coefficients  C. 
Toutefois,  ce  n'est  pas  ainsi  que  j'ai  trouvé  d'abord  ces  coefficients. 
Mais  on  peut  aussi,  avec  certaines  précautions,  obtenir  le  dévelop- 
pement de  cette  façon  et  détruire  tous  les  doutes. 
L'équation  dont  je  fais  usage, 

Ç  (  s  -(-  I  )  =  -  -h  — î—    /       (  — -)  x^  e-^  dx 

'        s        X\.{s)J^       Veï^— I        xj 

est  valable  pour  partie  réelle  de  5  >■  —  i ,  et  étend  ainsi  déjà  la  défi- 
nition originelle  (originale). 

Mais  on  a 

e^  I         I         B,  B, 

se '- — :  x^-\- .  . ,, 


e^  —  I        X       1        1 .  '2  1.2.3.4 

et  l'on  peut  écrire  ainsi  : 

Ç(5-i-i)=  i  +  i  +  — !—    /      i~ l^l\xse-^dx  (PR5>— -2), 

5        2        n(5)J|j      Ve*-  —  1        X        2/  ^  ■" 


(:(5-t-i)=-H \-  ■ — (s  +  1) 

s  2  1.2 


TTl—,  -7: x)x-'e-^dx  (PR«>— 4), 

11(5)   /       \e-^— I        X        2        1.2    /  ^  -^      M/, 


^(.S+  I)  =  -   -H-   -f-  — ^(5  +  1) L_(5-f-l)(5  +  2)(5-H3) 

S  1  1.2  1.2.3.4 


n(^)i 


e^  I  _  I        B,  B2 


I       X       2        1.2  2 


~xAx^e-^dx     (PR5>_G 


(')   Voir  à  la  fin  de  cette  lettre. 


IJ2  CORRESPONDANCK    D  IlEHMITE    ET    DE    STIELTJES. 

I  ;  n(i)  étanl  holomorplie  dans  tout  le  plan,  on  reconnaît  aussi,  en 
procédant  ainsi,  le  caractère  analjlique  de  la  fonction  s  (')• 

J'avais  cru,  un  moment,  que  ce  procédé  ne  différerait  j:)as  au  fond 
de  votre  méthode;  mais  cela  ne  me  semble  pas  vrai  et,  tandis  cjue 
votre  méthode  donne  aussitôt  les  valeurs  de  "^{o),  J^( —  i),  Ç( —  :>.)..., 
les  expressions  précédentes  donnent 

C(o)    =--\ 


'                  3            2 

—  2  > 

I  .2 

«-3,=-^.i 

^   ''■     ,    3  '.    .        ^'- 

1.2                            1.2.0.4 

c<-.)=-^i 

/    Bi         ,   „           B.2 
— . [-4.3.2 ^— 

1.2                           I .2.3.4 

«-5,=-l-.l 

.-     ^1       ,      -.     /     o          B2 

1.2                           1.2.3.4 

5.4.3.2.1 


1.2. 3. 4."). 6 


et  ce  n'est  qu'ajîrès  avoir  profité  de  ces  relations 
/Il  B, 

—  -  H 2  =  O, 

3  2  r .  2 

I         i        ..  Bi 

—  -  -\ 3 =  o, 

4  2         1.2 


5        2  1.2  1.2.3.4 

— -  -f-  5.4.  J 


(>        2  1.2  1.2.3.4 


qu'on  trouve  les  valeurs  définitives. 

Ces  relations  (A),  du  reste,  découlent  de 


e*' —  I  /         I  B] 

e-«^  =  1  i  -+-  -x-\ 

2  I .'. 


Cette  fonction  X^  présente  pour  moi  encore  bien  des  difficultés; 
par  exemple,  jusqu'à  présent,  je  ne  vois  aucun  moyen  sûr  d'évaluer 


(')  Dans  CCS  formules,  n(5)  désigne,  suivant  les  notations  de  Gauss,  la  fonc- 
tion culérienne  r(5-hi),  et  PRs  la  partie  réelle  de  la  variable  imaginaire  s. 


LETTRE    75.  l53 

à  peu  près  l'ordre  de  grandeur  de  Ca  lorsque  A"  est  grand.  Je  penche 
un  peu  pour  croire  que  les  Ca  eux-mêmes  (sans  être  divisés  par 
1.2. .  .k)  diminuent  rapidement;  mais  je  ne  vois  pas  clair  et  peux 
me  tromper. 

Je  vous  remercie  encore  d'avance,  Monsieur,  pour  la  rédaction  de 

votre  démonstration  de  ^(;  H-  i)  =  -  +  (j'(:;)  et  sais  avec  le  plus 

profond  respect  votre  serviteur  bien  dévoué. 

Développement  de  (j(.y  +  i). 

Je  pars  de  la  relation 

G'(s  +  I  )  =  --- — •    /      dx, 

J^  '       11(5)  J„      e---i 

que  j'écris  d'abord  sous  la  forme 

ce  qui  met  en  évidence  déjà  que 

Q{s  -\-  i)  ■ =G         (pour  s  =  o), 

G  étant  la  constante  bien  connue  d'Euler. 

En  développant  l'intégrale  suivant  les  puissances  de  s,  11  vient 

(f)        y(*-^- 0  =  -  +  7r7T^(«o-+-«i5M- -^s2 


où 

«„=^      {-l--'-:^y\0^X)ndx. 

Je  vais  calculer  maintenant  la  valeur  de  a„. 
Pour  cela,  je  rappelle  que 

n(5)=    /     xse-'^dx, 
d'où,  en  dilTérentiant  n  fois, 

n(«)(o)=    /      {\ogx)"  e-"^  dx  =  k    l     {\o^x -\-\o^k)n  e-i^^  dx, 
(2)  /     {\o^x -h\ozk)"e-''x  dx  =  j\\"{o)        (/.•>o). 


ID4  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

En  posant,  pour  abréger,  log^  -+-  logA'  =  T,  on  aura 

/     {logx)"e-^-^  dx  =    I     Çï  —  \ogk)"e-'''^  dx, 

•'o  «A 

el  développant  la  formule  du  binôme,  on  trouve,  à  l'aide  de  (2), 


1)      /     {\o^x)"e-''-':  dx 
^0 


=  n"(o)y  —  n"-»(o)— ^^ — 1 — î^ ^n'«-2'(o)-^ — ^—^  +  — 

Al  k  \.i  k 

En  prenant  successivement  ^  :=  1 ,  2,  3,  .  .  . ,  r,  et  faisant  l'addition 


^)    J      i^e-^       {lo^xydx 


X,  s   ;     1  I  I 

n'Ho)(--4--H-3 


"  r.      ,/    X  /'oS2        loi;3  loï/-\ 

1.2  L       2  3  '■      J 

Le  premier  membre  peut  se  mettre  sous  la  forme 

-+-       /  (l0ga?)«(5?^ 

—    /       ( ! )e-('-+"'^(lo£r^)"  f/a7. 

La  première  intégrale  est  précisément  «„,  la  troisième  tend  évidem- 
ment vers  zéro;  quant  à  la  seconde,  en  la  désignant  pary(/'),  il  vient 

/'(/•)=    j      e-'''-+^ix{\o^x)"  dx 
c'est-à-dire,  d'après  (3), 

/V)  =  ;:^n»(o)-2n.-.(o,!2£<^ 

■^''^''-■)nu-.-(o)''°8<'- -*-■>''-..., 


LETTRE    /O. 

donc,/(r)  s'évanouissant  avec  r, 


•2 


1.2  3 

Il  vient  donc 

n  „      ,  ,    ,  Uoga                  logr        i  r .      . 
n"-i(o)    — ^  4-...M 2 [|og(,.  +  ,)]2 

I  (2  /•  ,.  L       o  \  /j 

»("«  — I)  ^^  I(l0g2)2  (log/-)-  f   ri        /  1,1 

1.2  (         ■'-  /'  3  ^    ' 

et,  pour  /•  =  00,  en  posant 

G    =  -  H-.- -f-. .  .H logf/'-t-i)         (r  =  zo). 

12  /• 

^  (log2)^"  (log;-)^'  T       r,       , 

C/,=  ^ — ^-^  +...4-  ^     ^    ^ ^    log(r  +  i)U-+i 

(;-  =  cr.,  /c  =1,  2,  3,  ...), 

a,,  =  n«(o)C-  -n"-i(o)G,+  '^^''~'^n^'-2(o)C. .... 


Celte  valeur  de  «„  montre  bien  que  la  série 


«o-t-  «15  -1 s2  +  .  .  .H : s' 

1.2  I.2..  .  .11 


est  le  produit  des  deux  séries 


et 


TT/  X     n(i)/  N       n^o)  ,  n"(o) 

1.2  l.l.  .  .11 

G_G,5  +  -^52-...±       ^"       — 


1.2  1.2.  .  ./i 


Or  la  première  série  étant  le  développement  de  n(5),  l'équation  (i) 
donne 


l56  CORRESPONDANCE   d'hERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

76.  -  STIELTJES  A  IIERMITE. 

Paris,  28  juin  i885. 
Monsieur, 

En  réfléchissant  sur  cette  question  delà  continuation  analytique 
de  fonctions  définies  par  des  intégrales  définies  dans  une  partie  du 
plan  seulement,  j'ai  fait  cette  observation  bien  simple  que 

1      ^a-1  (  g-x_  ,  _|_a- ±...± )dx, 

^  \  [.■>.  \.i...nj 

tant  que  la  partie  réelle  de  a  reste  comprise  entre  —  /i  et  —  (/i  +  i). 
A  Taicle  de  cette  remarque,  on  trouve  facilement  que  la  conti- 
nuation analytique  de 

^^  (I<PR«) 

est  donnée  par  les  formules 
*(rt)=r   -^"'^^  (;7zr7  ~  i)  "^^  (o<PRrt<i.) 

*«"  =  /'--' (?^-^*î-r^")  (-3<PR„<- 

^(a)  =   r*^«-'  ( — î + ~cc^ |-^^M  ^f^       (— 5<PRa<  — : 

^     '       J  V  e-t — I         X        '1         1.9.  1.2.3.4       / 

Ces  formules  sont  d'un  caractère  bien  diflérent  de  celles  que  je 
vous  ai  d'abord  communiquées. 

Comme  (une)  autre  application,  j'ai  considéré  la  fonction 

définie  d'abord  pour  o  <^  Pila  ■<  i   seulement. 
L'équation 

/(«)  -T{a)  =J    x-^  (^j^  -  e— )  dx 


* 


LETTRE    77.  l57 

donne  déjà  la  continuation  de  f{a)  dans  la  bande  trois  fois  plus 

large 

—  2  <  PRa<+i, 

et  l'on  voit  que,  dans  cette  bande,  fi/i)  a  deux  pôles,  savoir  «  =  o 
et  rt  ^  +  I  avec  les  résidus  -j-  i  et  —  i .  Or,  nous  avons  vu  que 


Donc 
c'est-à-dire 


r(rt)  =   /     x^-He--'<-—\)dx         (— i<PRa<o). 

•A 


/(«)=—/(«  +  •: 


Cette  relation,  démontrée  d'abord  seulement  pour  les  valeurs  de  a 
dont  la  partie  réelle  est  comprise  entre  —  i  et  o,  peut  s'étendre 
ensuite  à  tout  le  plan. 

Ce  raisonneuient  bien  simple,  qui  suppose  toutefois  la  notion  de 
la  fonction  r,  a  donné  ainsi  les  propriétés  les  plus  caractéristiques 
de  la  fonction y(/7)  et  l'on  peut  déjà  conclure  que 

f{a)%ina-         et        f{n) .  "  _ 


sont  liolomorplies  dans  tout  le  plan.  On  sait  bien  que 

/(«)=  ^ 

''  ^    '        sui«- 

J'espère,  Monsieur,  que  vous  voudrez  bien  recevoir  avec  votre 
bienveillance  habituelle  ces  remarques  qui  sont,  je  le  reconnais 
bien,  d'une  simplicité  peut-être  trop  grande. 

Veuillez  bien  agréer,  Monsieur,  l'expression  de  mon  profond 
respect  et  de  mes  sentiments  tout  dévoués. 

77.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Monsieur, 

En  continuant  à  creuser  dans  la  nature  de  la  fonction  ^(j),  je 
vois  enfin  la  route  ouverte  pour  arriver  à  tous  les  résultats  annoncés 
par  Riemann.  Cependant  j'ai  dû  prendre  un  chemin  bien  différent 
que  lui  n'a  indiqué,  et  le  passage  où  il  dit  avoir  obtenu  le  nombre 


l58  CORRESPONDANCE    u'uER.MITE    ET    DE    STIELTJES. 

a[)|)ro(lié  des  racines  de  ç(^)  =  o  à  l'aide  de  rinlégrale  /  <:/log-^(/) 
me  reste  absolument  incompréhensible;  je  ne  vois  aucun  moyen 
pour  évaluer  cette  intégrale.  J'ai  été  pourtant  assez  heureux  (à) 
j)()ur  éviter  cet  écueil  en  démontrant  cette  propriété  annoncée 
(•omme  très  probable  par  Riemann,  que  toutes  les  racines  de  ^(^)  =  o 
sont  réelles.  Par  là,  la  question  est  ramenée  à  la  discussion  d'une 
l'onction  réelle  pour  des  valeurs  réelles  de  la  variable  et  cela  est  fai- 
sable, du  moins,  et  j'ai  fait  assez  dans  cette  direction  pour  être  sûr 
d'atteindre  mon  but. 

Mais  toutes  ces  recherches  demanderont  encore  beaucoup  de 
temps;  je  dois,  en  outre,  vérifier  mes  calculs  des  constantes  d, 
C-2,  .  .  .,  G5  et  je  me  propose  d'y  joindre  les  valeurs  des  coefficients 
D,  D,,  Do,  ...,  D5  : 

D,     .  D,       „  ^        I 


Uz)  =  —  -^  D  —  Di3 


I  r" 

D/.  =  (log2y^-  +  (log3)/^--l-...4-[log(/i-i)]/--+     (log«)/.-  /      (log»/'- 

^  ^1 


d/i 


(A-  =  i,  2,  3,  ...;         D,= --log('2-)  —  I 


Comme  je  ne  puis  pas  pousser,  en  ce  moment,  activement  ce  travail 
à  cause  d'autres  devoirs,  je  me  propose  de  prendre  un  peu  haleine 
et  de  laisser  tout  cela  pendant  quelques  mois.  Mais  il  n'y  aura  pas 
d'inconvénient,  je  l'espère,  à  publier  dans  les  Comptes  rendus  la 
Note  ci-jointe  qui,  ce  me  semble,  doit  intéresser  les  géomètres  qui 
ont  étudié  le  Mémoire  de  Riemann.  La  fonction  s  (^)  est  intimement 
liée  à  bien  des  recherches  arithmétiques  sur  certaines  lois  asymp- 
totiques  relatives  à  la  suite  des  nombres  premiers,  etc.  Par  exemple, 
quoique  je  ne  l'aie  pas  démontrée  encore  d'une  manière  rigoureuse, 
je  n'ai  aucun  doute  sur  l'exactitude  de  cette  proposition  que 
(J)(|^^  —  loglog.2;  converge  pour  x  =  oo  vers  une  limite  finie  dont 
l'expression  est  un    peu   compliquée,   $(:r)  indiquant  la  somme 

1-1 h  -  H —  •  •  •    ielati\ e    à    tous   les    nombres    premiers    infé- 

■2        ■]        5        7 

rieurs  à  .«    .  M.  Halphen,  du  reste,  dans  les  Comptes  rendus  du 

5  mars  i883,  a  iiidl(pié  l'inlerNention  de  la  fonction  Ç(:;)  dans  ces 
(juestions. 

•Je  m'estiiue  heureux  qu'en  vous  demandant  de  me  rendre  le  ser- 


LETTIU-:  78.  iSq 

vice  de  faire  insérer  dans  les  Comptes  rendus  la  Note  ci-jointe  (  '  ), 
je  pourrai  maintenant  moi-même  corriger  les  épreuves,  quoique 
naturellement,  j'accepterai  avec  reconnaissance  les  corrections 
dans  le  langage  qui  [jourraient  vous  sembler  nécessaires  dans  le 
cas  que  vous  parcourrez  ma  ]Note. 

Je  suis  avec  un  profond  respect,  Monsieur,  votre  bien  dévoué. 


78.    -  HERMIFE  A  STIELTJES. 

Paris,  9  juillet  i885. 
Monsieur, 

Votre  belle  découverte  au  sujet  de  la  proposition  de  Riemann 
sur  l'équation  ^(^)  ^=  o  m'intéresse  au  plus  haut  |)oint,  et  pour  la 
grande  importance  du  résultat  d'avoir  mis  hors  de  doute  cette  |jro- 
position  et  aussi  par  la  méthode  que  vous  avez  employée.  Rien  ne 
me  fera  plus  plaisir  que  de  connaître  par  quelle  voie  vous  avez  opéré 

l'extension  analytique  du  produit  n|i^ -\   à  partir  de  ^  >> -; 

cette  voie  est  hors  de  ma  portée  et  je  ne  puis  m'en  faire  aucune 
idée.  Lundi  prochain  votre  Note  sera  présentée  à  la  séance  de  l'Aca- 
démie; je  n'ai  rien  trouvé  à  changer  à  votre  rédaction  qui  est  extrê- 
mement claire  et  correcte,  si  ce  n'est  que  d'écrire  ç(5)  au  lieu  de 
'C,{z)  afin  d'employer  la  notation  dont  Riemann  s'est  servi  dans  son 
travail.  Si  vous  voulez,  je  tiens  à  votre  disposition  pour  y  être  inter- 
calée, dans  le  cas  où  ce  serait  encore  à  votre  convenance,  la  démon- 
stration de  la  formule  ^(g)  =  ^^— h  (j'(^))  ^n  allant  corriger  les 

épreuves  mercredi,  à  Timprimerie  Gauthier-Villars,  vous  l'ajoute- 
riez à  votre  texte  (-). 

Avec  mes  l^ien  sincères  et  bien  vives  félicitations,  je  vous  renou- 
velle. Monsieur,  l'assurance  de  ma  plus  haute  estime  et  celle  de  mes 
sentiments  dévoués. 


(')  Voir  Comptes  rendus,  Sur  une  fonction  uni/orme,  l.  CI,  i3  juillet  i885, 
p.  i53. 
(^)  Voir,  Comptes  rendus,  la  Note  de  M.  Hcrmitc,  t.  CI,  i3  juillet  i885,  p.  112. 


l60  CORRESPONDANCE    d'HERMITH    ET    DK    STIELTJES. 

79.  —  SrilJLTJES  A  HERMITE. 

Paris,   1 1  juillet  i885. 
MoNSiEur, , 

Recevez  mes  remercîments  sincères  pour  la  rédaction  définitive 
de  votre  démonstration  de  s(^)  =  :: '^  {)i^-)j  cette  marque  de 

votre  bienveillance  m'est  bien  chère.  Mais  permettez-moi,  main- 
tenant, de  remarquer  que  dans  ma  Note  je  me  suis  tout  à  fait 
conformé  à  la  notation  de  Riemann. 

Riemann  pose  ^^(5)=  ^  — *  Après  avoir  trouvé  que 


n 


Kis) 


ne  change  ]ias  en  remplaçant  s  par  1  —  s,  il  considère  la  fonction 
obtenue  en  multipliant  par  -  s(s  —  i), 


n( 


(5-0-  2^(5), 


<pii  aiu-a  la  même  propriété.  Ce  qui  revient  à  dire,  qu'en  posant 


5  =  ; — [-  ti, 


n 


'     '(5-1)71      ^-US) 


sera  une  fonction  j)aire  de  t  qu'il  désigne  par  ^{t). 

L'expression  (ju'il  Irouve  directement  pour  l{t),  qui  fait  voir  en 
effet  que  cette  fonction  est  paire,  fournit  donc  une  seconde  démon- 
stration de  la  relation  entre  'Ç{s)  et  ^(i — s)  obtenue  d'abord. 
Quant  à  la  fonction  ^(t),  vous  voyez  qu'elle  a  perdu  le  j)ôle  5  =  1 
et  les  zéros  5  =  —  2,   — /\,  — •  (3,  ....  Or,  la  relation 


•:a^)=IX(>- 


/>.- 


montre  (pie   ç(.s)   n'a   j)oint  de   zéro   dans    la    partie    du    j)ian    où 
partie  réelle  5  >>  1 .  La  relation  entre  ^{s)  et  ^(i  —  s)  montre  en- 


I.I'TTIIE   79.  i6i 

suite  que,  dans  la  partie  du  plan  où  la  partie  réelle  de  s  est  néga- 
tive, s^^  — -2.,  —  4'  —  tJ,  ...  sont  des  zéros,  et  les  seuls  zéros. 

La  fonction  ^[t)  ne  peut  donc  avoir  de  zéros  que  dans  la  bande 
où  la  partie  réelle  de  s  est  comprise  entre  o  et  i,  ou,  ce  qui  revient 

au  même,  si  l'on  a  ^(a  +  bi)  =  o,  6  doit  être  comprise  entre 

et  H Riemann  dit,  maintenant,  qu'il  est  très  probable  que  tous 

les  zéros  de  la  fonction  ^(f)  sont  réels  (b^:=o).  Or,   ayant  posé 

I  •        1  -,    1-  ,  .... 

s  =  — h  ti,  cela  revient  a  dire  que  toutes  les  racines  imaginaires 

de  ^(5)   sont  de  la   forme  -  +  ai,  a  réel.  C'est  sous  cette  forme, 

légèrement  différente,  que  j'ai  exprimé  la  proposition  de  Riemann, 
n'ayant  pas  voulu  introduire  la  fonction  \{^t)  qui  n'esl  pas  l'objet 
principal  de  la  recherclie  et  s'introduit  plutôt  comme  auxiliaire 
dans  l'étude  de  la  fonction  s('^)-  C'est,  du  moins,  ainsi  que  j'ai 
envisagé  la  chose.  11  est  vrai  que  cette  fonction  ^(/)  réunit  en  soi 
toutes  les  difficultés  si  l'on  tâche  d'obtenir  la  décomposition  en 
facteurs  primaires  de 

s 

{s  —  0^(5)  ===  --  7- -  Ç(  t  I. 


n 

En  considérant  l'expression  obtenue  par  Riemann  pour  ^(<),  on 
trouve  bien  qu'elle  a  des  racines  réelles;  mais  j'ai  inutilement 
cherché  à  déduire  de  cette  expression,  par  intégrale  définie,  qu'elle 
a  toutes  ses  racines  réelles,  et  j'avais  désespéré  de  démontrer  cette 
proposition  encore  un  peu  douteuse,  lorsque  j'ai  aperçu  qu'on  ob- 
tient cette  proposition  en  modifiant  légèrement  le  raisonnement 
de  Riemann  pour  obtenir  les  zéros  de  ^(5)  en  dehors  de  cette 
bande  mystérieuse  où  la  partie   réelle  de  s  est  comprise  entre  o 

et  I.  En   effet,   si,  au  lieu  de   1  :  ^(5)  =  j  j  (  i ^j,  je    consi- 


dère   I  I  ^{s^  =  1  —    -         ,  ^      , 

■  ^  -1^  o"'  V         G 


cette  différence  capitale,  entre  le  produit  infini  et  la  série,  que  la 
dernière  est  convergente  pour  5  >>  -  >  tandis  que,  dans  le  produit, 
il  faut  supposer  5^1.  Voici  comment  je  le  démontre  :  La  fonc- 
tion /(«)  est  égale  à  zéro  lorsque  n  est  divisible  par  un  carré  et 


l62  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

|)Our  les  aiilres  valeurs  de  n,  égale  à  ( —  i)*,  k  étant  le  nombre  des 
facteurs  premiers  de  n.  Or.  je  trouve  que  dans  la  somme 

^(«)=/(i,)-f-/(2)-f-...-/(n;, 


m; 


les  termes  ±  i  se  compensent  assez  bien  pour  que  ^         reste  lou- 

jours  comprise  entre  deux  limites  fixes,  quelque  grand  que  soit  n 
(probablement  on  peut  prendre  pour  ces  limites  +  i  et  —  i).  De 

là  il  suit,  s  étant  >■  -5 
2 


et  de  même  la  série  ^  '  '^  ^'^j    est  convergente,  \g{n)  \  désignant 
la  valeur  absolue  de  g(n). 

n-\-m 

Ce  qu'il  faut  démontrer,  c'est  qu'on  peut  rendre  N  •= — j— aussi 

n 

petit  qu'on   veut  par  un  choix  convenable  de   n.  Mais,   à  l'aide 
àef{n)  =  g{n)  —  g{n  —  i).  cette  expression  devient  égale  à 


'Cn  H-  m  I        ^(n  —  1  ) 


(  n  -+-  m  y  n^ 


Mais  on  a 


Donc 


*('"  1  j;  -  (Tri— .  J 

r.-J ^U... 

L  (  /«  -4-  I  )*  (^  n  -r-  2  )*'  I 

r      I  I    1 

ffin  ~  7)1  —  I  ) 

"  I  (n -H /H  —  i)""        (^n-^-/?^)•'J 


'- — = ^ r  (o<e<i). 


V"  /(  n  )  ^  gjn-^  ni)  _  g(n  —  \) 
^     n^     ^    {n-\-  m  f  n^ 

n 

sg{n)  sg(n-i-i)  sg(n-^r7i  —  r) 


(n-i-0)*+>        (> -H  I -H  0' )----^-»       ■■■      (n-f-m— 1  + e)-'-»-' 
=  R. 
Or,  la  série  ^^  ^     \_^,     étant  convergente,  un  peut  rendre 

\gin)\  _^  \_ginj^)_\  ^       ^  \g(n-i-m  —  i)\ 


LETTRK    79.  lG3 

aussi  petit  ([uuii   \eut  :  la   même   ehose  a  donc  lieu  pour  11   en 
posant 

H  -I-  m 

2  fin)  _  ,.y(/i-l-  m  )  _  g{n  —  i) 
n«     ~    (n-r-  m  y  n^        "^ 

n 

r»        1  1        »  ,^( n  -h  777)        i'(  n  —  n 

Ue  plus,  les  termes —  et convergent  vers  zéro 

^  •  {   n  -h  771  y  71-^  ^ 

r 

et  peuvent  être  rendus  aussi  petits  qu'on  veut.  Donc  la  série  \  • 

est  convergente  pour  5  >>  7*  Je  crois  qu'elle  converge  encore  pour 

la  valeur  réelle  s  z=i  ^  ,  mais  je  n'ai  pu  le  démontrer.  Ce  qui  est  cer- 

lain,  c'est  qu'elle  ne  peut  converger  lorsque  s  <C  -  et,  s  étant  ■<  -? 

•1       .1  •  -Il  /"(r  ) -H  /i  9.  I -f-. .  .-^  /'(n) 

il  est  donc  impossible  que ^ ■— —  reste  comprise 

entre  deux  limites  fixes     car  on  en  conclurail,  comme  plus  haut. 

la  convergence  de    7  ' i)our  des  >aleurs  de  s  inférieures  à  -> 

^  .^     71^     '  2 

ce  qui  est  impossible    .  Cela  montre  plus  clairement  la  nature  de 
cette  proposition  sur  laquelle  je  me  suis  appuyé,  que 

Y  71 

reste  comprise  entre  deux  limites  fixes. 

Vous  voyez  que  tout  dépend  d'une  recherche  arithmétique  sur 
cette  somme /fi)  H-/(  2)  -h  .  . .  +f{n).  Ma  démonstration  est  bien 
pénible;  je  tâcherai,  lorsque  je  reprendrai  ces  recherches,  de  la 
simplifier  encore. 

Mais  on  peut  déjà  se  faire  une  idée  de  la  lenteur  avec  laquelle 
croît  g[n)  (ou  plutôt  avec  laquelle  croit  l'amplitude  de  ses  oscilla- 
tions) par  la  relation  A'=  E(  \/ n  ), 


la  fonction  h{x)  étant  égale  à  i  ou  à  o,  selon  que  E(j7)  est  impair 
ou  pair.  Comme  g{k)  est  naturellement  < /r  en  valeur  absolue, 


l64  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIEETJES. 

VOUS  voyez  cjiie 


■<«)-.  (f  )-..... ..(fj 


csl  inférieur  à  ik  +  i  en  valeur  absolue,  et  nuhne  à  A  -h  »  lorsque  A" 
est.  pair. 

Vous  voyez  bien,  maintenant,  comment  celte  étude  de  "Cis)  m'a 
amené  à  des  spéculations  arilbméliques.  Mais  excusez-moi  d'avoir 
parlé,  dans  ma  lettre  précédente,  de  celle  proposition 

^  -  —  loglog/i  =  A        (/i=oo) 

qui  a  été  démontrée  déjà  par  ^I.  Mertens  {Crelle,  I.  78)  qui  a 
donné  aussi  la  détermination  de  A,  après  avoir  été,  antérieurement, 
considérée  aussi  par  M.  Teliebjchef  (  Joi^r/î.  de  Liouville,  i  ""^  série, 
l.  XV II).  Legendre,  déjà,  doit  l'avoir  obtenue  par  induction. 

J'espère,  monsieur,  que  celle  lettre  n'est  pas  trop  longue;  je 
tiens  surtout  à  vous  avoirconvaincu  que  je  ne  me  suis  pas  éloigné  de 
la  notation  deRiemann  :  c'est,  ce  me  semble,  un  léger  malentendu. 

Je  suis,  avec  un  probnid  l'espect,  monsieur,  votre  bien  dévoué. 


80.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  12  juillet  i885.  (;') 
Monsieur, 

Vous  avez  toujours  raison  et  j'ai  toujours  Lorl;  j'avais  cru  lire 
dans  le  texte  de  votre  Note  z( z),  mais  c'est  bien  Ç(3)  que  vous 
avez  écrit,  conformément  à  la  notation  de  lliemann.  En  vous 
remerciant  maintenant  de  votre  dernière  lettre  que  j'ai  dévorée, 
je  dois  vous  faire  part  d'une  inquiétude  extrême  que  j'éprouve  au 
sujet  de  ma  démonstration  de  la  relation 

On  en  conclurait  en  effet,  d'après  le  théorème  de  Riemann, 

F  (  5  )  -i-  G  (  5  )    _    1'^  (  I  5  )  "-  G  (  I  5  ) 


LETTRE    81.  l65 

ce  qui  est  mille  fois  impossible  et  absurde,  les  pôles  du  premier 
membre,  sauf  s  =  o,  s=i,  étant  tous  différents  de  ceux  du 
second  membre. 

Mes  devoirs  à  la  Sorbonne  m  empêchent  tout  autre  travail  et  il 
in'est  impossible  de  découvrir  où  je  me  suis  trompé,  mais  je  ne 
puis  non  plus  un  seul  instant  supposer  que  le  théorème  démontré 
de  deux  manières  différentes  par  Riemann  ne  soit  tout  ce  qu'il  y 
a  au  monde  de  mieux  établi.  Ne  croyez-vous  donc  pas  qu'il  serait 
mieux  de  ne  ])oinl  publier  ma  démonstration  qui  est  nécessaire- 
ment fautive,  bien  qu'il  ne  semble  j)as  facile  de  voir  en  quoi? 

En  vous  renouvelant,  Monsieur,  l'expression  de  mes  meilleurs 
sentiments. 

81.  —  If  ERMITE  A  STIELTJES. 

l^aris,  29  juillet  i885. 
Monsieur, 

Permettez-moi  de  vous  informer  que  M.  Lipschitz  m'écrit  s'être 
vivement  intéressé  à  ce  que  vous  avez  publié,  dans  les  Comptes 
rendus,  sur  la  fonction  'C{s)  de  Riemann.  L'éminent  géomètre 
ajoute  que,  lui-même  s'est,  à  plusieurs  reprises,  occupé  de  cette 
fonction  et  que,  dans  son  Mémoire  du  Tome  XCVI,  page  16  du 
journal  de  Rerlin,  intitulé  :  Beitrage  zu  de/-  Kenntniss  der  Ber- 
nouillschen  Zalilen,  il  a  déduit  de  la  formule  générale  de  Riemann 

la  relation  (!^( — 2/?-(-i)= >  dont  il  a  fait  ensuite  plu- 
sieurs applications.  Peut-être,  Monsieur,  penserez-vous  devoir 
citer  ce  travail  de  M.  Lipschitz  quand  vous  en  aurez  l'occasion 
en  publiant  plus  tard,  dans  les  Comptes  rendus,  la  suite  de 
vos  découvertes  sur  ce  sujet. 

Permettez-moi  aussi  de  vous  faire  part  d'une  intention  que  nous 
avons  eue,  M.  Darboux  et  moi,  en  vous  demandant  s'il  vous  con- 
viendrait d'obtenir  le  titre  de  Docteur  de  la  Faculté  des  Sciences 
de  Paris,  qui  vous  ouvrirait  l'accès  dans  notre  enseignement  supé- 
rieur, et  vous  conduirait  certainement,  si  toutefois  une  telle  situa 
tion  vous  paraissait  acceptable,  à  devenir  professeur  dans  une 
Faculté  des  Sciences  de  province,  en  attendant  que  nous  puissions 
vous  ménager  une  position  digne  de  vous  à  Paris. 


l66  COKRESPONDAXCE    d'hERMITK    ET    DE    STIEI.TJES. 

Nous  a\()ns  loiil  lieu  de  peiiseï' que  nos  colièj^ucs  de  la  Sorbonne 
accneilleroal  fa\orablenienl  la  demande  qui  leur  serait  faite  en 
notre  nom  de  déclarer  au  Ministre  de  rinstruclion  publique  qu'en 
raison  de  rimportance  et  de  l'éclat  de  vos  travaux  analytiques,  il 
V  a  lieu  de  vous  accorder  la  dispense  du  titre  de  licencié,  et  de 
vous  autoriser  à  présenter  et  soutenir  votre  thèse,  sans  avoir  à  jus- 
tifier d'aucun  grade  universitaire. 

M.  Darboux  doit  quitter  Paris  dans  le  courant  de  la  semaine 
prochaine;  mais  peut-être  pourriez-vous  le  voir  avant  son  dépari, 
et  lui  faire  connaître  si  le  projet,  dont  nous  avons  eu  l'idée,  aurait 
\otre  agrément.  Vous  auriez  de  lui,  en  même  temps,  sur  la  ques- 
tion, tous  les  renseignements  que  vous  pourriez  désirer  :  quant  à 
moi,  c'est  demain  déjà  que  je  pars  pour  les  eaux  de  la  Bourboule, 
où  m'envoie  mon  médecin.  Je  pense,  Monsieur,  que  vous  voudrez 
bien  voir,  dans  cette  ouverture,  un  témoignage  de  la  haute  estime 
que  vous  avez  inspirée  aux  géomètres  français,  et  c'est  dans  cet 
espoir  que  je  vous  renouvelle,  avec  mes  vœux  pour  le  succès  de  vos 
Iravaux,  l'assurance  de  mon  entier  dévoùment. 


82.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Paris,  28  aoiU  i885. 
jNIONSIEUr. , 

Vous  aurez  appris  par  M.  Darboux  que  j'ai  accepté  de  tout  mon 
cœur  la  proposition  cpie  vous  deux  m'avez  faite.  Je  ne  peux  m'em- 
pêcher  de  vous  dire  comment  cette  marque  de  votre  extrême  bien- 
veillance ma  louf'bé  et  j'espère  présenter  ma  thèse  en  quelqu<'s 
mois. 

Permettez-moi,  maintenant,  de  nous  coniinnMKpiei"  quebpifs 
résultats  que  j'ai  ol)tenus  en  continuant  mes  lYjllexions  sur  la  fonc- 
tion X^.  J'ai  (III  (| Il  ils  pourraient  vous  intéresser  parce  qu'ils 
semblent  se  ratlaclier  à  la  théorie  des  fonctions  elliptiques. 

Les  développements 


{/  ^'^^'(~-)    =2  '{/(/  —  6  v/78   -  ro  'i/q^^ ■ 


LETTRE   82.  167 

conduisent  à  cette  conséquence,  qu'en  posant 

TC.r  97tJ-  25  7r.>- 

on  a  ces  deux  relations 

Voici,  maintenant,  deux  relations  du  même  genre,  _mais  qui  ne 
me  semblent  pas  se  déduire  aussi  facilement  de  la  théorie  des  fonc- 
tions elliptiques. 

En  posant 

Tt.r  4  71.1-  IBIT.r  I^TZX 

c'est-à-dire,  en  introduisant  le  symbole  de  Legendre. 

et 

avec  la  convention   ordinaire  que  |  -  j  =:  o   loi'sque  n    est  divi- 
sible par  3  et  de  même  pour  /  — )     on  a 


le      ^ 


(3)  A[^)=-T\M^), 

(4)  A(i)=^'fA^}- 


J'indique,  eu  quelques  mots,  comment  l'étude  de  la  fonction  ^ 
m'a  conduit  à  ces  relations. 

Riemann  a  démontré,  à  l'aide  de  la  relation  (i),  que 


T.  ^r(-)ç(5) 


l68  CORRESPONDANCE    u'iIERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

ne  change  pas  en  rem  plaçant  s  par  i  —  s.  Or,  en  posant 


CiU-)  =  i  -  t;  ^-  T-  — 


les  relations  (2),   (3),   (  ^  )  permettent  de  démontrer  de  la  même 

manière  que 

.1 


(l)  'H^) 


(T        >  U-         '^"■'>- 


ne  changent  pas  en  remplaçant  5  par  i  —  s.  J'avais  démontré 
d'abord  ces  propriétés  de  C),  s^,  ss  d'une  autre  manière,  en  me 
servant  d'intégrales  définies  analogues  à  celle-ci  : 


En  tâchant  d'obtenir  ensuite  (après)  une  autre  démonstration, 
en  suivant  le  chemin  indiqué  par  Riemann,  je  n'ai  pas  tardé  à 
obtenir  les  résultats  indiqués. 

Les  fonctions  ^,,  "Ç^^  "Çz  présentent  beaucoup  d'analogie  avecÇ(5). 
Elles  sont  holomorphes  dans  tout  le  plan.  Dans  l'étude  de  la  fonc- 
tion J^i  (5),  les  (coefficients  de  la  série 

G.     .,  .         C, 


1.2  1.2.3.4 

s'introduisent  de  la  même  manière  que  les  nombres  de  Bernoulli 
dans  le  cas  de  l:i  (onciion  'C(s). 

Ces  quebpies  résultats  me  portent  à  penser  qu'on  rencontrera 
des  résultats  intéressants  en  étudiant  les  séries  de  Dirichlet 


m)i' 


LETTRK    83.  169 

Peut-être  pourra-l-011  arriver  ainsi  à  la  vraie  généralisation  de 
ces  relations  singulières  (i),  (4)- 

Mais,  ayant  découvert  par  une  sorte  de  hasard  ces  relations  (3) 
et  (4),  je  ne  vous  cache  pas  que  je  ne  sais  pas  si  elles  ouvrent  un 
nouveau  point  de  vue,  ou  si  elles  rentrent  dans  d'autres  résultats 
déjà  accpiis  à  la  théorie  des  fonctions  elliptiques.  Vous  qui  avez 
approfondi,  dans  toutes  les  directions,  cette  théorie,  vous  pourrez 
en  juger  heaucoup  mieux. 

Je  suis,  avec  les  sentiments  les  plus  respectueux.  Monsieur, 
votre  très  dévoué  et  reconnaissant. 


83.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Paris,  29  août  i88.i). 
MoJNSlEUll, 

Permettez-moi  de  compléter,  en  quelques  points,  ma  dernière 
lettre.  D'abord,  j'ai  omis  une  relation  de  la  même  nature  que 
(i).  .  .(4)  et  qui  découle  encore  de  la  théorie  des  fonctions  ellip- 
tiques. En  effet,  j'avais  écrit 

fi{.r)  =  e     *    — 3e      *    -f-5e       ^     — ...; 
./"i  (  -z)  =-^\/'ii-^): 


mais,  en  vertu  de  la  belle  relation  bien  connue 
on  aura,  en  posant 

■K.f  y-TiJ-  7-u.>-  ir-7ir 


•^^'"^=2Q 


(a) 
et 

(5)  A(^)=^V4(^). 

n  parcourant  dans  («)  les  nombres  impairs  non  divisibles  par  3. 


ITO  CORRESPONDANCE    D  I1ERMH  E    ET    DE    STIEI.TJES. 

En  j)(>saiil 

J",  (\s  )  —   >    (  —  1    —  ^  Il  itunair  cnmiue  tout  à  l'heure  ), 

^  ^\n  J    n'  ' 

cetlc  rclalioii  (5)  penncLdc  déiiioiilrer  tacllemeul  qiir 


t;)"^^^- 


ne  change  pas  en  remplaçant  s  par  i  —  s. 

Dans  le  choix  des  fondions  sif'^)-  ^2(*)-  •••  •'  éliidier,  je  me 
suis  laissé  conduire  ])ar  celle  analogie  avec  ^(s)  que  les  /'ec/- 
proques  dc'Çti  s),  ^^{s)^  ■■■  peuvent  s'exprimer  par  àe^  produits 
infinis  où  entrent  seulement  des  nomhres  premiers  et  qui  con- 
vergent certainement  dès  cjue  5  p>  i . 

En  effet,  cela  fait  voir  que  ces  fonctions  n'admettent  point  de 
zéros  tant  que  la  partie  réelle  de  s  est  supérieure  à  un,  et  la  rela- 
tion entre  Ci  (•^)  et  Si  (i  —  ■^)  f'i't  trouver  dès  lors  toutes  les  racines 
dont  la  partie  réelle  est  négative  et  qui  sont  pour  C,  [s) 

—    I,      —   3,      --3,      •  .  ■ , 

et  de  même  pour  les  autres  fonctions!!^. 

L'introduction  du  symbole  de  Legeadre  dans  les  séries  !^,  c'est- 
à-dire  la  considération  de  séries  de  Dirichlet,  était  donc  tout  indi- 
c{uée.  Mais,  comme  je  l'ai  déjà  dit,  j'ai  trouvé  d'abord  ces  rela- 
tions entre  Ci  (5)  et  Ci(i  — s),    ...    tout   à   fait   indépendamment 

des  relations  (2),  (3) Et  comme,  par  exemple  dans  le  cas  de 

la  fonction 


y;,x)::--2(j  )"' 


on  f)btient  une  série  analogue  en  dillérentiaiit 

0  1  —^ —  I  =1  —  iq  cos  iar  -!-  j.q*  cos  ]  x  —  iq^'  cosb./-.  . . , 


par  rapjiort  à  x .,  et  posant  ensuite  x  ^=  '^^  j'ai  commencé  à  douter 

si  l'introduction  du  symbole  de  Legendi-e  dans  ces  séries  f.,[x), 
f^{x)  était  bien  naturelle;  il  ne  serait  pas  impossible,  en  effet,  que 
ces  séries  dussent  être  regardées  plutôt  comme  des  fonctions  qui 


LETTIIK    84.  171 

naissent  de  la  division  de  l'argiiinenl  dans  les  fonetions  (-).  Mais 
je  viens  de  tronver  nn  nonvel  exemple  :  en  posant 

OU    a 

(6)  J\  {'-)  ^^  x\f-Jx\ 

et  il  ne  me  semble  maintenant  plus  possible  de  douter  que  lintro- 
duction  du  symbole  de  Legendre  dans  les  séries  0  ne  conduise  à 
des  fonetions  jouissant  de  propriétés  remarquables  et  dignes  d  être 
étudu'es. 

Mais  j'ajoute  aussitôt  ([ue  je  n'ai  pas  déiuontré  cette  relation  (6). 
En  effet,  d'après  la  méthode  bien  imparfaite  que  j'avais  suivie 
dans  les  cas  plus  simples,  cela  m'aurait  entraîné  dans  des  calculs  si 
compliqués  qu'on  n'en  voit  pas  la  fin.  Je  me  suis  donc  contenti- 
de  vérifier  numériquement  pour  quelques  valeurs  de  x  cette  re- 
lation et  cette  autre  qui  s'ensuit  : 

Mais,  ayant  trou\é  un  accord  parfait  en  faisant  le  calcul  avec  sept 
décimales,  il  ne  me  reste  point  de  doute  sur  l'exactitude  de  cette 
relation. 

Mais,  pour  le  moment,  ce  sont  ces  fonctions  "C,  (|ui  uf  oceupeni 
encore  toujours,  et  ce  n'est  qu'incidemment  que  jai  fait  cette 
excursion  dans  une  autre  partie  de  l'Analyse. 

Je  suis,  avec  les  sentiments  les  plus  respectueux,  Monsieur, 
votre  bien  dévoué  et  reconnaissant. 


84.    -  STIELTJES  A  HERMITE. 

Paris,  septembre  i885. 


M( 


Je  suis  parvenu  à  étendre  aux  séries  de  Dirichlet  la  relation 
donnée  par  Riemann  entre  ^(.9)  et  v(i — s).  Je  compte  donnei- 
dans  ma  thèse  l'exposé  complet  de  ces  recherches  avec  les  dc^ve- 
loppements  qu'elles  comportent.  L'intérêt  que  vous  avez  bien  voulu 


1^2  CORRESPONDANCE    D  HKlOIlTi:    l'T    DE    STIELTJES. 

montrer  à  ces  recherches  me  fait  espérer  que  vous  ne  serez  pas 
mécontent  d'en  voir  ici  un  échantillon. 

Soilyo  un  nombre  imjiair  sans  facteur  carr('; 

/(.,  =2  (^)  -. 

(-]   étant  le  symbole  généralisé  de  Legendre:  n  parcourant  les 

nombres  entiers  inférieurs  et  premiers  à  p.  Je  désigne  encore  par 
0(5)  la  série  infinie 


P 
Je  dé\elop])e  suivant   la  puissance  de  x  l'expression 


1  —  e-J'-^' 


J'obtiens  ce  développement  en  décomposant  en  fractions  simples 

f{  .T  )  •  •  .  • 

;  en  écrivant  ensuite  e~^  au  lieu  de  x,  développant  ensuite 

en  fractions  les   expressions  de  la  forme  ^ et   développant 

enfin  suivant  les  puissances  de  x.  Je  trouve  ainsi  ces  formules 

(    f(e-^)         s/ p  \    ,      px  p^x^  „.  p'^x'^  ^^    p'x"^        1 

(l)  •'     \—e-l>^  7i      L  2  71  '23  71^  •  '   ■1^T.'>  '  '   <)?  tO  \ 

-  (/>  ;es  I,  mocLî), 

(p  ^=  3,  niod4  I. 


Dans  ces  formules,  ^p  doit  être  ])ris  positivement .  D'autre  part,  il 
est  évident  (|ue  les  coefficients  doivent  être  des  nombres  ration- 
nels. En  égalant  les  valeurs  indiquées  ci-dessus  avec  ces  valeurs 
rationnelles,  on  obtient  des  formules  cjui  me  semblent  devoir  être 
mises  à  côté  de  celles-ci,  connues  depuis  si  longtemps. 


t:^                   I 

I 

"6    ""^  ^ 

-^31-^ 

71                           I 

1 
^5    - 

7:3                  , 

I 

3^1  ^  '"~  33 

"^  5^  ~ 

I.ETTUE    Sik.  173 

fît  qui  découlent  de  développements  analogues,  mais  élémentaires. 
Ces  coefficients  ont  d'ailleurs  un  caractère  arithmétique  prononcé, 

dans  la  formule  (2)  par  exemple.  —  cp  (i)  a  un  rapport  très  simple 

avec  le  nombre  des  classes  de  déterminant  —  p. 

Ces  formules  (i)  et  (2)  conduisent  aussitôt  aux  valeurs  des  inté- 
grales définies  suivantes  : 

(3)  /      sin^^—  -^^^ l-dx=-^^ f  (^  =  i,mod4, 

/•°°        ptx     fie-^^     ,  ^     fie-')  ,  ,,  .,, 

•0  '  -< 

En  effet,  on  n'a  qu'à  développer  suivant  les  puissances  de  t  et 
intégrer  alors  à  l'aide  de  la  formule 

Vis)        r"" 
ciu'on  trouve  aussitôt  à  l'aide  de  — ^ — ==^  /     x^"^  e'-^' dx . 

De  cette  manière,  les  formules  (3)  et  (4)  sont  démontrées  en 

supposant  mod^<C  — >  mais  on  voit  facilement,  ensuite,  qu'elles 

restent  vraies  pour  t  =  a  -h  bi  à  la  seule  condition  que  la  valeur 

absolue  de  b  reste  inférieure  à  ^^• 

P 

En  multipliant,  maintenant,  ces  formules  (3)  et  (4)  par 

t^-uit      (o<s<r), 

intégrant  de   o  à  00,  renversant  dans  le  premier  membre  l'ordre 
des  intégrations,  et  faisant  usage  de  ces  formules 


s: 


^'•■-l  sin  nix  ax  =  sui 


■2 


,.    ,  ,  r(5}         sn 

^'-'  coèinx  ax  =  COS : 

m^  -2. 


on  obtient  la  relation  entre  'f  (s  )  et^(]  —  5),  qu'on  peut  exprimer 


174  CORRESPONDANCi;    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

en  (lisant  que 


r  I  -  J   ^(s)  I  lorsque /j  ;es  I ,  mod 4  ); 

(  -  )        r  (  '■ )  o{s)  (        ))        /?  =  3,  inofl/l  I 

ne  change  pas  en  remplaçant  s  par  i  —  s. 

En  suivant  la  voie  cpie  vous  avez  indiquée  pour  la  fonction  ^(5), 
la  formule  (5)  permet  de  reconnaître  que  '-^[s)  est  une  fonction 
holomorphe  dans  tout  le  plan,  et  l'on  peut  alors  étendre  à  tout  le 
plan  cette  relation  qui  lie  'f  (5)  à  0(1  —  s).  Cette  propriété  de  '^(5) 
donne  lieu  à  la  remarque  suivante  : 

Comme  on  a 

(  -  \ =   I      x^  e        I'     d.r, 

(  —  — =   l      .1:    -     ne        P     tir. 

\P)  "■'  J, 

il  vient,  en  posant 

i,f(a7)=N(-)     e        r  ( /?  =  I,  inod  4  ). 

'  ,  \  H- 71.»' 

/   Ç|\.r  )  —^   \  -  \  ne        /'  (  />  ^  3.  mod  4  1. 


(«) 


5 

(  -  j     "  r  (  -  1  cp  (.s-  1  =   /      x^        d-  (x)  dx, 
'PI  -  /  «^(1 

ri  \        -    Y  ('^^  )  -^(s)  =.   /      x7^  G^^x)  d.r. 

Les  intégrales  qui  figurent  aux  seconds  membres  ne  doivent  donc 
pas  changer  en  remplaçant  s  par  i  —  s. 

L'analogie  avec  quelques  autres  formules  du  même  genre  donne 
le  plus  haut  degré  de  probabilité  à  ce  tpie  cette  propriété  se  mani- 
festera analvtiquement  par  les  relations 

l    $   (   -  )   =  X'  ^  (X), 

(7)  \        .'  [  3 


LETTRE    80.  175 

En  admettant  ces  relations,  on  tronve 


l—s 


n^-      _  \  p  ^  i      '1  1 \  SH  X  ) 

I      j-'-       ^  (x  ]  da;  —   I       \  .r-      -h  X   -    )       - — ^—  dx, 
t-  0  •  1 

/      x~^~  Ç{x)dx=,  I      {  X    ^--^x       2    jQ(x)dx, 


ce  qui  montre  bien  linvariabilité  pour  le  changement  (Je  s  en  1  —  s. 

Mais  la  démonstration  de  ces  relations  singulières  (^)  doit  dé- 
pendre certainement  d'autres  considérations.  D'après  ce  qui  pré- 
cède, cette  démonstration  foui'nirait  une  seconde  méthode  pour 
établir  la  relation  entre  '^(5)  et  cp(i  —  s). 

J'ajoute  qu'il  ne  me  reste  plus  le  moindre  doute  sur  rexactitude 
de  ces  relations  (^  );  numériquement,  je  les  ai  trouvées  exactes 
poury?  =  3,  5,  -,  11  et  i3;  mais  pour />  =  3,  5,  j'ai  une  démon- 
stration. 

Mais  je  n'ai  pas  encore  abordé  le  problème  de  démontrer  ces 
relations  pour  une  valeur  quelconque  de  p.  C'est  une  étude  qu'il 
me  reste  à  faire.  J'ai  supposé,  dans  ce  qui  précède,  p  impair,  sans 
facteur  carré,  mais  il  j  a  des  formules  analogues  dans  les  autres 
cas.  Je  dois  i-éunir  tout  cela  dans  ma  thèse.  Je  désirerais  vivement 
de  pouvoir  j  insérer  la  démonstration  de  ^j),  mais  je  ne  sais  si  je 
serai  assez  heureux. 

Ce  sont  là  les  choses  dont  j'ai  cru  pouvoir  vous  parler  sans  vous 
ennuyer.  Ces  formules  (i)  et  (2)  m'ont  donné  quelque  plaisir, 
parce  que  leur  établissement  a  levé  les  dernières  difficultés  (juime 
barraient  le  chemin. 

Je  suis,  avec  les  sentiments  les  plus  respectueux,  Monsieur, 
votre  très  dévoilé  et  reconnaissant. 


85.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Flanville  par  Noiscvillc  (Lorraine).  11  septembre  i885. 
Monsieur, 
L'extension  que  vous  avez  découverte  du  théorème  de  Rieinann 
à  la  fonction  'f  (.^  )  =5j  (  ~  )  "^^  ^^^  extrêmement  belle  et  je  vous 


1-6  CORUESPONDANCR    d'iIKRMITR    ET    DE    SIIELTJES. 

félicite  bien  sincèremenl  de  cette  nouvelle  découverte.  Je  trouve 
aussi  bien  remarquables  et  intéressantes  les  relations  que  vous 
tirez  du  développement,   suivant  les  puissances  croissantes  de  x. 

de  la  fonction  -^ —  et  ie  n'ai  i)as  besoin  de  vous  dire  que  vos 

ihéorèmes  non  encore  d<''montrés,  mais  qui  me  paraissent  hors  de 
doute,  sur  les  quantités 

/       ^  ^  ri'-n.r 

(j'f.r  I  =  ^  I  —  )  «e       P     , 

ont  attiré  toute  mon  attention.  11  ne  m'a  ])as  été  possible,  n'ajani 
pas  mes  livres  ici,  de  sviivre  l'idée,  qui  a  dû  aussi,  d'ailleurs,  se  pré- 
senter à  votre  esprit,  de  les  conclure  des  théorèmes  fondamentaux 
de  Riemann  concernant  les  fonctions  6(^),  en  remplaçant  le  sym- 

|,ole  |_|  par   les   formules   de  Gauss,  en  sinus  et   cosinus;    mais 

peut-être  aurez-vous  déjà  suivi  cette  voie  et  serez-vous  parvenu  au 
résultat.  Permettez-moi  aussi  d'appeler  votre  attention,  au  sujet 
de  la  même  question,  sur  un  article  des  Anciens  E xercices  deCau- 
(;hy  dans  lequel  le  grand  géomètre  obtient  précisément  le  théo- 

rème  concernant  4  /  comme  conséquence  d  une  relation  exti'e- 

mement  générale  entre  les  fonctions  auxquelles  il  donne  la 
dénomination  de  réciproques.  Mais  il  vaudra  mieux  qu'à  mon 
retour  à  Paris  je  puisse  causer  avec  vous  de  toutes  ces  choses 
dont  vous  allez  faire  une  des  meilleures  thèses  qui  aient  jamais  été 
présentées  à  la  Faculté  des  Sciences.  Vous  n'ignorez  pas,  sans 
doute,  qu'en  outre  de  la  thèse  imprimée,  on  demande  une  thèse 
orale,  c'est-à-dire  une  sorte  de  leçon  de  moins  d'une  heure  sur  un 
sujet  élevé  d'Analyse,  de  Mécanique  ou  d'Astronomie,  qui  sera 
laissée  entièrement  à  votre  (  hoix  :  })eut-être  que  l'exposition  des 
i-echerches  récentes,  dans  lesquelles  vous  avez  eu  une  si  belle  et  im- 
portante part,  sur  la  variation  de  la  densité  à  l'intérieur  de  la 
Terre,  pourrait  faire  le  sujet  de  cette  thèse  orale.  M.  Darboux 
et  moi  nous  ferions  naturellement  partie  de  la  Commission  d'exa- 
men, et  M.  Tisserand,  j'en  suis  sûr,  se  joindra  bien  volontiers  à 
nous  si  vous  faites  choix,  pour  seconde  thèse,   de  cette  question 


LETTRE    80.  177 

dont  il  s'est  occupé.  Mais,  je  vous  le  répète,  vous  avez  pleine  et 
entière  liberté,  et  nous  acceplei'ons  toute  autre  question  (pii  auia 
votre  préférence. 

En  vous  renouvelant,  Monsieur,  mes  félicitations  pour  le  succès 
de  votre  Travail,  et  vous  priant  de  recevoir  l'assurance  de  ma  plus 
haute  estime  et  celle  de  mes  sentiments  bien  dévoués. 

86.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Paris,  i5  septembre  i885. 
MojvsiEun, 

Je  dois  vous  remercier  beaucoup  de  votre  dernière  lettre  et  je 
ne  vous  cache  pas  que  je  verrais  avec  plaisir  que  la  Faculté  choisît 
pour  sujet  de  ma  thèse  orale  l'exposition  des  récentes  recherches 
sur  la  théorie  de  la  figure  de  la  Terre,  auxquelles  M.  Tisserand  a 
donné  l'impulsion.  Un  autre  sujet  auquel  j'a\ais  pensé,  c'était 
l'exposition  de  la  démonstration,  due  à  M.  Poincaré,  de  l'exis- 
tence d'une  figure  annulaire  d'équilibre  d'une  masse  fluide  en 
rotation  uniforme,  énoncé  par  MM.  Thomson  et  Tait.  Mais  je  crois 
j  devoir  renoncer.  Je  suis  trop  accablé  en  ce  moment  et  cela  me 
donnerait  encore  trop  de  travail. 

Quant  à  ces  propriétés  de  3{x)  et  Ç{x),  j'avais  reconnu  tle  mon 
coté  qu'elles  découlent  presque  immédiatement  des  propriétés  fon- 
damentales delà  fonction  0  et  des  formules  de  Gauss,  en  sorte  que 
votre  [)révision  est  réalisée  complètement.  En  effet,  sous  la  con- 
dition ((b  =  7:,  on  a 

(I)  \/a  (I  -h  >,(?-"■  (io?,>.ax  -+-  ■i.e~'"^'  cos  ^^ax  -\-  .  .  .) 
et  pour  5  =  1,  :i,  .  .  .,  p  — ^  i 

Soit/»  ^  I,  mod4,  posons  dans  la  formule  (i) 

s-  sb 


Ij8  CORRESPONDANCE    u'hERMITE    ET    DE    STIELTJIS. 


el  multiplions  par  (  -  )•  En  sommant  sur  les  valeurs  5=1,  'x 

p —  I.  le  ])ieniier  membre  devient,  à  cause  de  ('^), 

Quant  au  second  membre,   le  terme  e~''  donne    naissance  aux 
termes 

s  b'-  /      ^  '*b'-  ,  (p-U'b- 


et  le  terme  e" '"'''''  aux  termes 

'2\       -— ^  ^P~l\.-P. 


à  cause  de  (  -  j  ^  i- )>  ce  sont  les  mêmes  termes  cpii  figurent 

dans  (a)  :  l'ordre  seulement  est  renversé.  Il  en  est  de  même  des 
termes  qui  proviennent  de 

g— (i  +  .fl-  g^       p— (26— J)- 

(.— [1  h\+'x)'       g(_       (.  —  [■ib  —  x)° 


en  sorte  que  le  second  mend^re  devient 


■i.\/0    >    (  -  )  r     ~P  . 


et,  par  conséquent, 

ou,  en  posant 

~x 

P 

d'où 

=^  ,  L_  —  ^2 


aussi  que,  sous  la  condition  ah  = 


On  peut  dire  aussi  que,  sous  la  condition  au  =1  —,  on  a 


I.ETTRK   87.  IJ9 

La  relation  qui  lie  {](^)  à  Ç{(-  j ,  c'esl-à-dire 

sous  la  condition 

ab  ^=  —  ,  o  ^=  3         (  mod  4  ), 

P 

s'obtient  de  la  même  manière  en  partant  de  la  formule  obtenue  en 
prenant  la  dérivée  de  (i)  par  rapport  à  :r  et  mettant  à  profit  la 
formule  (3).  Tout  cela  suppose  yo  >>  o  sans  facteur  carré. 
Les  séries 


II 


D\   -^  v./r>,       ,,. 


et 


/          I-,  \  n^Tl.»'  


D\ 


7ie 


■2  1) 


jouissent   de    propriétés    analogues,    ai    parcourant    les    nombres 
entiers  positifs  qui  sont  premiers  à  aD. 

Ces  fonctions  ^{ûc),  Ç{x)  jouissent-elles  de  propriétés  ana- 
logues aux  fonctions  modulaires?  C'est  là  une  question  qvii  se 
présente  naturellement,  mais  dont  je  n'ai  pu  encore  m'occuper. 

Veuillez  bien  agréer.  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de  mes 
sentiments  de  profond  respect  et  de  reconnaissance. 


87.  —  II ERMITE  A  STIELTJES. 

i3  féviier  i886. 
Monsieur, 

Permettez-moi  de  vous  engager  à  vous  présenter  à  M.  Lucien 
Lévy,  Directeur  des  Etudes  à  l'Ecole  préparatoire  de  Sainte- 
Barbe,  de  la  part  de  M.  Désiré  André,  Professeur  de  Mathéma- 
tiques spéciales  à  cette  école,  à  qui  j'ai  donné  commission  de  vous 
trouver  des  leçons,  conformément  au  désir  que  vous  m'avez 
exprimé.  M.  Désiré  André  a  réussi  dans  ses  démarches  et  m'écrit 
que  M.  Lucien  Lévj  vous  recevra  à  son  bureau,  rue  Valette,  n"  4, 


l8o  CORRESPONDANCE    DHERMITE   ET    I)E    STfELTJES. 

à  5''  de  l'après-midi,  et  que  le  plus  tôt  (|ue  vous  pourrez  venir  sera 
le  mieux.  Peut-être,  Monsieur,  ferez-vous  bien  également  de  rendre 
visite  à  M.  André,  aa,  rue  Gay-Lussac,  qui  est  un  de  mes  élèves 
et  mathématicien  distingué  ayant  publié  dans  les  Comptes  rendus 
plusieurs  Notes  très  intéressantes  sur  la  règle  des  signes  de  Des- 
cartes; je  crois  pouvoir  vous  assurer  d'un  bon  et  cordial  accueil 
de  sa  part. 

Je  prends  à  cette  occasion  la  liberté  d'appeler  votre  attention, 
pensant  que  vous  travaillez  à  votre  thèse,  sur  un  Mémoire  de 
M.  Léopold  Gegenbauer,  publié  dans  les  Sitziingsberichte  de 
l'Académie  des  Sciences  de  Vienne,  LXXXIX  Band,  en  i884, 
p.  3'-',  et  qui  roule  principalement  sur  la  fonction  "Ci^s)  de  Rie- 
mann.  Vous  y  trouverez  une  foule  de  résultats  qui  me  semblent 
très  intéressants,  mais  vous  serez  meilleur  juge  que  moi  de  leur 
valeur.  Je  puis,  si  vous  le  désirez,  mettre  le  volume  à  votre  dispo- 
sition . 

En  vous  renouvelant,  Monsieur,  l'assurance  de  ma  plus  haute 
estime  et  celle  de  mes  sentiments  l)ien  dévoués. 


88.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Paris,  i3  lévrier  i88(i. 
MONSIETJU, 

Je  viens  de  recevoir  votre  lettre,  et  je  dois  vous  remercier  de 
tout  mon  cœur,  quel  que  soit,  du  reste,  le  résultat  de  la  visite  à 
M.  Lucien  Levy  que  je  ne  tarderai  pas  à  faire.  Je  ferai  aussi  avec 
un  grand  plaisir  la  connaissance  de  M.  D.  André,  dont  je  me 
rappelle  bien  les  Notes  dans  les  Comptes  rendus.  L'ingénieuse 
définition  de  certains  nombres  entiers  (pii  donnent  aussitôt  les 
coefficients  dans  les  développements  de  tangjc,  sécx,  comme 
nombres  de  permutations,  jouissant  de  certaines  propriétés,  s'est 
gravée  dans  mon  esprit. 

Je  travaille  à  ma  Thèse  Élude  de  quelques  séries  semi-com'er- 
gentes,  en  deux  mois  j'espère  l'avoir  finie.  Vous  voyez,  par  là, 
que  j'ai  abandonné  ma  première  idée.  En  elfel,  d'un  côté,  j'étais 
peu  content   de   certaines   parties  et,   de  plus,  j'avais   vu  que  le 


LETTRE    88.  iSl 

sujet  comporte  encore  de  grands  développements  que  j'entrevois 
un  peu,  mais  qui  demandent  encore  beaucoup  de  travail.  En 
m'indiquant,  l'an  dernier,  un  Mémoire  de  Cauclij  sur  les  fonc- 
tions réciproques,  vous  m'avez  mis  sur  la  voie  des  questions 
nouvelles  qui  se  sont  [)résentées  à  moi.  Vous  voyez,  par  là,  que  je 
dois  encore  remettre  à  quelques  mois  l'étude  du  Mémoire  de 
M.  Gegenbauer  que  vous  venez  de  m'indiquer,  malgré  l'intérêt 
qu'elle  m'inspire. 

Ma  Thèse  contiendra  beaucoup  de  choses  (pii  vous  intéresse- 
ront bien  peu.  Ce  qui  vous  plaira  peut-être  le  mieux,  c'est  que 
j'ai  l'idée  d'une  série  semi-convergente  pour  Tiai)  a  réel  très 
grand  ou  plutôt  de  \o§T(ai). 

La  définition  de  Gauss 

g  '/'  lu.'  " 

r(ai)  =  ■ — : ; —  in  =  oc  ) 

ail  I  -I-  a/  )  I  I  H -)•••( 


n  J 


montre  de  suite  qu'en  posant 

r{ai)  =  R(  COS0  -I-  i'sinO  ), 


on  a 

R 

c'est-à-dire 
et 


«-  )  I  -^  —  n — 

W  \         9 


V.) 


6  =  a  Iog«  qz lire  tang«  —  arc  tang .  .  . —  arc  tang  in  =  x), 

OÙ  l'on  doit  prendre  le  signe  supérieur  ou  inférieur,  selon  que 
a  est  positif  ou  négatif  et  les  arc  tang  compris  dans  les  limites  dz  -• 

Vous  voyez  que 

logTi  ai  )  =  logR  -h  ië 

et  la  série  semi-convergente  est  celle  de  Stirling  appliquée  à  des 
valeurs  imaginaires.  Quoique  celle  idée  de  considérer,  dans  la 
série  de  Stirling,  des  valeurs  imaginaires  est  bien  simple  et  que  je 
lai  eue  depuis  longtemps,  sans  la  développer  pourtant  suffisam- 
ment, je  n'ai  pas  vu  qu'on  l'ait  eue  déjà.  Pourtant,  il  m'est 
difficile  de  croire  qu'elle  soil  nouvelle.  Je  me  rappelle  aussi  que 


i8i  correspondan(;f.  d'iiermite  et  de  stieltjks. 

Gauss  a  calculé  (je  crois)  (  ')  la  valeur  de  n(f)  =  r(n-  i)  en  la 
déduisanl  de  n(io  +  f),  celte  dernière  quanlité  étant  obtenue  à 
l'aide  de  la  série  de  Slirling. 
L'observation  que 


mod  V(ai  )  = 


r 


et  la  formule  de  Binct 

logr(a)  =.(«  —  -]  loga~«  +  Iogv/-2--+-  -   j      e<^^ ^^ 


dx 

(p.    io4    de   voire  Cours,    second    tirage)    donnent   lieu   à    cette 
conséquence 

ce  qu'on  trouve  aussi  facilement  à  l'aide  de 

1 
(p.  loi  de  votre  Cours)  et 

/       -:; T%  dx  =  —r  e-"*         (  6  >  o,  a  ^  o  ). 

Tout  cela  est  si  simple  que  j'ai  peine  à  croire  que  c'est  quelque 
chose  de  nouveau. 

Veuillez  accepter,  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de  mes  senti- 
ments de  reconnaissance  et  de  profond  respect. 


(')  Note  des  éditeurs.  —   Gauss  {Werke,  l.   III,   p.   280)   a  donné,   dans  un 
allier  de  ÎNJotes,  la  formule 

Ili  =^-H  Oj^gSoiôC)  —  <i,  ij'i94'j*J  '• 


LETTRE    90.  l83 

89.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  i4  lévrier  i88^. 
MoNSIEUl!, 

Voire  expression  de  logr(«f)  est  exlrêmemenl  élégante  et 
m'intéresse  beaucoup.  Si  vous  vouliez  bien  prendre  la  peine  de 
rédiger  pour  moi  la  démonstration  de  la  formule 

Q  =  a  \osji  d= arc  tan<r«  — .  .  .—  arc  tan<2  -  > 

je  l'ajouterais  à  ma  Leçon  sur  les  intégrales  eulériennes,  dans  la 
troisième  édition  de  mon  Covirs  à  laquelle  je  travaille  et  j'aurais 
grand  plaisir  à  vous  associer  à  mon  œuvre  et  à  faire  connaître 
votre  nom  à  mes  élèves.  A  celle  occasion,  permettez-moi  de  vous 
informer  que  M.  Lipsichtz  a  donné,  en  iSSiy,  dans  le  Journal  de 
Borchardt,  l'équation 

T'(a-^  ib  ^  \)        ,       ,           .,           1         1 
log'(rt  -T-  ib)  -\ 


r  I  a  -h  f6  -+-  I  )  ^  %  a  -^  ib 

i— i)"'B.2,„  I 


im         (  a -h  ?6  i'^'«        lin -^  ■>.     a'^'« 
OÙ  £  et  s'  sont  <  i . 

En  vous  écrivant  hier,  j'avais  mis  sur  l'adresse  de  ma  lettre 
le  n"  125,  j'ai  eu  crainte,  en  me  rappelant  après  que  vous  étiez 
au  n°  120,  qu'elle  ne  vous  parvînt  pas,  et  j'ai  écrit  une  seconde 
lois;  peut-être  que  vous  aurez  eu  les  deux  letti"es  qui  contenaient 
absolument  la  même  chose.  En  vous  souhaitant  bon  courage  pour 
votre  étude  des  séries  semi-convergentes,  je  vous  renouvelle, 
Monsieur,  l'expression  de  mes  meilleurs  sentiments. 


90.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Paris,  i4  février  i886. 
MoKsiEur. , 

En  recevant  ce  matin  une  lettre  conforme  à  celle  que  j'avais 
reçue  hier,  j'ai  tout  de  suite  expliqué  ce  fait  comme  vous  venez 
de  le  faire,  quoique  je  n'avais  pas  remarqué  l'erreur  dans  l'adresse 


iS/J  CORRESPONDANCE    d'hERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

de  voire  [)remièi'e  lettre.  Mais  vous  m'avez  rendu  un  très  grand 
service  en  m'indiquanl  le  travail  déjà  ancien  de  M.  f^ipsichlz  qui 
m'était  inconnu  et  dont  je  dois  prendre  connaissance. 

Je  suis  bien  convaincu  que  jM.  Lipsiclilz  a,  pour  la  première 
fois,  étendu  à  des  valeurs  complexes,  sinon  la  série  de  Stirlin-g, 
du  moins  sa  dérivée.  Vous  trouverez  plus  loin  encore  une 
remarque  sur  la  formule  de  M.  Lipsichtz. 

Vous  me  demandez  une  démonstration  de  la  formule 

la  =  a  logrt  rp  -  —  arc  tang«  — .  .  . —  arc  laiig—  i  n  =  ao ), 

mais  il  me  semble  (ja'elle  exige  à  peine  une  démonstration  spé- 
ciale, car,  en  considérant  l'expression 

T(ai}  =  - 


il  suffit  de  se  rappeler  que  l'argument  d'un  [troduit  est  égal  à  la 
somme  des  arguments  des  facteurs. 

Je  développe  un  peu  ce  que  j'avais  ])eut-être  indiqué  troj) 
confusément  dans  ma  lettre.  D'abord,  rien  n'empêche  d'attribuer, 
dans  la  formule  de  Binet, 

(i)     \ogVia)  =  (a )  'og«  —  «  H- log  Z^- -J —    /       '    '.,    e-"''  dx 

à  la  variable  a  une  valeur  imaginaire,  à  condition  seulement  que 
la  partie  réelle  soit  positive.  [La  fonction  oi^x')  a  le  même  sens 
que  dans  voti<'  Cours;  si  j'ai  remplacé  x  par  —  x  dans  l'intégrale, 
c'est  parce  que  cela  me  semble  faciliter  un  peu  quelques  dévelop- 
pements ci-après.]  Je  remar(|ue  cpie  les  expressions  logT(a) 
et  loga  ont  luic  détcrmlnalioii  uiii(|ue  par  la  condition  même  que 
la  variable  ne  doit  jamais  traverser  l'axe  des^.  Mais  il  est  pei'mis 
encore,  dans  cette  formule,  de  remplacer  a  par  ai  parce  que  : 
i"  L'intégrale 

r"^-  o{x)       .,         r"  o(x)  .  .  , 

/      - — -— e-"'^  dx  =    I (cosax -i- i  smax  )  dx 

a  un  sens.  On  sen  assure,  d'aiJiès  une  méthode  bien  connue,  en 


LF.TTKE   00.  l85 

changeant  les  intégrales  en  séries  dont  les  termes  sont  alternative- 
ment -t-  et  — ,  tandis  qu'ils  diminuent  indéfiniment. 
Et  ■>("  Parce  que 

/       -i e-a'-^  dx 

'K     •^■- 

est  réellement  la  limite  vers  laquelle  tend  l'expression 

cp  (  .r  ) 

I ^.~hxQ-aix  dx 


£ 


lorsque  la  quantité  positive  b  tend  vers  zéro.  Mais,  comme  peut- 
être  la  démonstration  de  cela  vous  semblera  à  peine  nécessaire, 
je  la  rejette  à  la  fin  de  cette  lettre. 

En  remplaçant  donc,  maintenant,  a  par  ai,  il  vient,  en  suppo- 
sant or  >>  o, 

/    .       •  ',  / .             ^  '•  \  •      i       / — 

\ogT(ai  )  =  [ai j  (  loga  H j  —  «j  -i-  log  v/'-^~ 

I     r°°  9(37)  .    .  , 

H /       -^ ^(cosaa" — ismaxax), 

•J. .  r  cr-     ' 


d'où 

(2) 

logR- 

log/âïr  — 

(3. 
T   ;, 

0  = 

a  loga ; 

1 

1     f  o(.r;) 

I     /•  °=  o  (  .r  )  , 

loga-! —    / -cosaxdx, 

-    /       ' smax  I 

J.  .  /  X- 


dx. 


sinaxdx,  qui  ligure  dans  la  valeur  de  0, 

converge  vers  zéro  poiir  a  ^  cc^  et  c'est  celle  qui  donne  la  série 

semi-convergente     en  peut  obtenir  celte  série  semi-convergente 

de  beaucoup  de  manières.  Une  des  plus  simples  me  semble  celle 
qui  consiste  à  appliquer  une  intégration  par  parties  à  l'intégrale 

1     /•"  ci(.r)    .  ,1 

-   /      — — -smax  dx  \,  en  sorte  que 

77  B,  B.,  B3 

(4)  0  =  «logf/ 7 -~ '■' 


.  x .  a 


mais  la  discussion  du  reste  est  beaucoup  plus  difficile  que  dans 
le  cas  de  la  formule  de  Stirling.  De  fait,  on  peut  continuer  la 
série  jusqu'au   plus   petit    terme  et  l'eiTeur  est   alors   du  même 


l86  CORRESPONDANCE    d'iIERMITE    ET    DE    STIELÏJES. 

ordre  que  ce  terme;  en  sorte  que  la  série  est  tout  aussi  prali(|U(' 
que  celle  de  Stirling. 

A  cet  égard,  je  remarquerai  que,  dans  la  formule  de  M.  Lipsichtz 
((ue  vous  m'avez  communiquée 

Via -^  ib -i-ï)       .                 .,                      B,„+i     z^z'i 
—  log(a-4-  ih\^  .  .  .-^ ^^-^ ^ — , 


r(a-^  ib 

le    terme    complémentaire    devient    infini    pour  cr  =  o,    en   sorte 

,•1  ^       j      .  1  •  î  •  ,      ,        r'(/è-f-n 

fin  il  reste   douteux,   du  moins,   qu  on  puisse   calculer  -r^n 

'  'Il  i\ib-+-\) 

ou  T^-^T—  i)0ur  de  grandes  valeurs  de  6,  par  une  série  semi-conver- 

gente. 

Or,  comme  je  viens  de  le  dire  plus  haut  à  l'égard  de  T(iO),  cela 
est  effectivement  le  cas.  Je  crois  donc  que  mon  travail  ne  sera 
pas  inutile. 

\ous  voyez  par  la  valeur  de  0  et  par  R  =  4  / '-^ que, 

lorsque  le  point  z  parcourt  la  partie  positive  de  l'axe  des  y,  en 
s'éloignant  de  l'origine,  le  point  dont  laffixe  est  r(5)  finit  par 
décrire,  dans  le  sens  positif,  une  s])irale,  en  se  rapprochant 
rapidement  de  l'origine,  la  vitesse  angulaire  croissant  aussi  indé- 
liniment  et,  de  là,  on  voit  comment  se  comporte  la  fonction  holo- 

morphCj^. 

Considérons  encore  les  intégrales  <[ui  figurent  dans  les  for- 
mules (2)  et  (3),  ou  ])lu[ôt  celle-ci  : 


I    r   9  (  .1 
^i    "^ 

qui  les  réunit. 

Au  lieu  d'intégrer  le  long  de  l'axe  des  x^  de  o  vers  A,  il  est 
permis  d'intégrer  le  long  de  l'axe  des  j",  de  o  vers  B,  en  évitant 
les  pôles  de  ©(j^)  par  de  petits  demi-cercles  de  rayon  infiniment 
])etit  £,  puis  d'aller  de  B  vers  A  par  un  quart  de  cercle. 

L'intégrale,  le  long  de  BCA,  s'évanouit  à  la  limite  pour  n  =^  ce, 
il  ne  reste  donc  que  l'intégrale  de  o  vers  B.  En  posant  x  =  it.  on 
obtient,  pour  la  partie  rectiligne, 


I    r o(it)      , .  - 

-    /    ^- — -e-a'idl, 
1.1        t^ 


LETTRE    90. 

et   rintégralion    doit    s'étendre    de    o    À     iTz 


-,    de    2  7:  H-  £    à 


(2n*2)n,i 

B 

2mzi 

r"""^^ 

\^C 

kTtV 

) 

\ 

2T.Ù 

) 

\ 

oc 

0 

A 

47rH-£,  ...;  comme  'f(«/)   est  réelle,   celle   partie  est  purement 
imaginaire. 

Quant  aux  petits  demi-cercles,  ce  sont  évidemment  des  moitiés 
de  résidus,  et  à  cause  de 


I   «p  (  ;r  ) 


y-^-( — - — ^ 


X  -^  IIIT^I , 


on  voit  que  le  pôle  imzi  donne  le  terme 


g—2amz^ 


Ces  demi-cercles  donnent,  par  conséquent,  la  partie  réelle  de 
l'intégrale  et 

I     /*  '^  co  (  j- 1  ,  V^     '         ,  '  j       /  '  \ 

mettant  cette  valeur  dans  (a),  je  retrouve  la  valeur 
lo"R=-lo" 


■JL         aie' 


(jue  j'avais  conclue  d'abord,  en  envisageant  directement  la  valeur 
de  r(ai)  d'après  la  définition  de  Gauss. 

Mais  la  nouvelle  forme  de  la  partie  imaginaire 

I     /•*  cD(a-)    .  ,  I     r  o(it)        ,    , 

-    / ■?,\aaxdx= /    - — ; — e~"-^  dt 

%J  x-^  X  J       V- 

(V  de  o  à  -i  TT  —  £.,  •).  t:  -+-  £  à  !\r^  —z) 
se  prête  difficilement  à  des  développements  ultérieurs  en  vue  de 


i88  nonRESPONDANCE  d'hermite  et  de  stieltjes. 

la   .série  scmi-convergenlr.    On   obliont    une   forme    plus  iilile   en 

écrivanl 

\     C^  oix)  ,         "V     r°°     '>.e"-i^  dx 

-       /  J— —  e«'-ï-  dx   rrr    >         /  — __-  , 

2Jq  X"-  ^^J^         372-^4/1^7:^ 

et  en  Irailanl    /      -— ^ — ; — — -,  de  la  même  manière.  La  partie  ima- 

,/  .7-2 -f-  4  «--2  i 

ginaire  peul  s'exprimer  alors  parle  logarillime  intégral. 

J'ajoute    maintenant    nue    démonstration    de    ce    lait    que    les 
intégrales 

r  *  ç  t  -^  ) 

OFl  =    /       - — —  (  I  —  e-^^  )  cos  a  x  dx, 
•  0  ^' 

I (  I  —  e-"-^  )  SI  11  «a?  dx 

0 

convergent  réellement  vers  zéro  en  même  tem})s  que  b.  J'écris 


sll 


On  a 

1  Olo,  I  < 


I         ^— —  (  I  —  <'-*•'"  )  dx  <,{i  —  e-'>  1     /         -^ — —  dx, 
I  X-  .L  x^ 


y'I 


1  OK^  1  <    f      ^  (  I  -  e-b^' )  dx  <  (  I  -  e-v'^)  r    "  '^  dx 

On    voit    ])ar   là    que    DU,    et    ;)rco   convergent    vers   zéro,    car 

-^ — -^  reste  lime. 

Pour  faire  voir  rigoureusement  que  liinOlla^o,  j'applique  le 
second  théorème  de  la  moyenne 

/     u{x)v(x)dx  =  u{a)   I     v{x)  dx  -h  m  b)  j     v(x)dx. 

Cela  supj)ose  que  u{a))  varie  toujours  dans  le  même  sens. 
M.  Dini  [Fundanienti,  etc.,  j).  3Go  )  a  étendu  cette  formule  au  cas 
où  l'une  ou  l'autre  des  limiles  (ou  même  toutes  les  deux)  sont 


I.KTTRE    90.  189 

infinies.  Dans  notre  cas,  u\x  )  =  (i  —  e~*'  ),  il  vient 
011,=   /       -^ -i\  ~  e-'''^)co?,ax  dx 

Or,  comme  l'intégrale    /      - — ^cosa^c/x  a  un  sens,  on  a 

lim   / cos«a"«.r  =  o,         liin  /       - — —  cosaa?  aj' =  o, 

)    -     x'-  '  J,  X'- 

donc 

lim  0113  =  o 
et,  finalement, 

liiuniL  =  o. 

La  même  démonstration  s'applique  à  l'intégrale  n. 
(Note.  —  Il  parait  hieu  à  peu  près  évident  que 


lim  DR: 


um  / (  I  — -  e-"^  )  cosaa?  dx  =  o. 


4 


mais,  si  l'on  exige  une  démonstration  rigoureuse,  je  n'en  vois  pas 
de  plus  simple)  ('  )• 

J'espère,  Monsieur,  que  vous  voudrez  bien  excuser  la  longueur 
de  cette  lettre  et  me  conserver  la  bienveillante  affection  dont  vous 
m'avez  donné  tant  de  preuves. 

Votre  très  reconnaissant  et  dévoiu'-. 


(  '  )  iXote  des  éditeurs.  —  Le  Mémoire  où  Slielljes  a  exposé  les  résultats  contenus 
dans  cette  lettre  est  inséré  au  Tome  V  de   la  4'  série  du  Journal  de  LiouvUle, 

1889,  p.  425-444- 


igO  COnUESPONDANCE    I)  HERMITE    ET    DE    STIELTJIS. 

91.  —  STIELTJES  A  HE R MITE . 

Pi. ris,  nj  mars  iSS^). 
Monsieur, 

Je  viens  de  déposer  ma  Thèse  au  Secrétariat  de  la  Facilité  des 
Sciences.  Comme  seconde  Thèse,  je  voudrais  bien  exposer  la 
démonstration  due  à  M.  Poincaré  de  la  possibilité  d'une  figure 
annulaire  d'une  uiasse  fluide  en  rotation.  C'est  un  sujet  qui  m'in- 
téresse beaucoup  et  j'ai  encore  rpielques  mois  de  temps,  certaine- 
ment, avant  que  ma  Thèse  ne  soit  imprimée. 

En  travaillant  à  ma  Thèse,  j'ai  reconnu  que  la  formule 


r(a) 


1-1  J 


'  dz, 


donnée  par  M.  Heine  dans  le  Journal  de  Boichardt,  est  due  à 
M.  Hankel,  élève  de  Riemann,  et  qu'une  mort  prématurée  a 
enlevé  à  la  Science.  Dans  un  Mémoire  paru  dans  le  Journal  de 
M.  Schôlmilch  (t.  IX,  p.  i,  i864),  il  donne  cette  formule 


V{~  X) 


I      i—  f)^e-'  df. 


Ce  Mémoire,  écrit  visiblement  sous  l'influence  des  idées  ilr 
Riemann,  contient  beaucoiq^  de  choses  intéressantes.  Le  sujel 
n'ayant  pas  un  i-apport  direct  avec  les  développements  de  ma 
Thèse,  je  n'ai  pu  mentionner  cette  remarque  dans  ma  Thèse. 

Je  n'ai  |)u  retrouver  dans  aucun  ^Mémoire  publié  la  spirale  qur 

décrit  le  point ->  mais  d'aiirès  i\n  |>assa2re  du  Mémoire  Ueber 

^  \  \  ai )  '  I  o 

die  Anzahl  PrinzaJilen,  etc.,  je  suis  convaincu  que  Riemann 
avait  déjà  reconnu  la  manière;  dont  se  comporte  — ^^  lorsque 
z  décrit  l'axe  des  y. 

Veuillez  bien  agréer.  Monsieur,  l'expression  de  mes  sentiments 
de  respect  et  de  reconnaissance.  \  otre  dévoué. 


LETTRE    93.  191 


92.  —  STIELTJES  A  HERMITE . 

(  Extraits.  1 

Paris,   î  avril  1886. 

. . .  Note  concernanl  la  Thèse  Recherches  sur  quelciues  séries 
semi-convergentes. 

L'exactitude  des  nombres  donnés  dans  ce  Travail  est  assurée 
par  un  calcul  l'ail  en  double.  Seul,  le  calcul  de  //(loooooooooo  ) 
n'était  pas  contrôlé.  En  revoyant  ce  calcul,  on  a  découvert  une 
faute  d'écriture,  par  suite  de  laquelle  les  nombres  donnés  dans  le 
manuscrit  sont  inexacts.  On  prendra  soin  de  faire  les  changements 
nécessaires  en  corrigeant  les  épreuves. 

Nombres  exacts  à  substituer  à  ceux  donnés  dans  le  manuscrit 

de  ma  Thèse  : 

e'i'  rrz  10  000  000  000, 

a  =  ii , o>. j 85o 9 .  . . , 

N  =  22,691  66, 

n  =22, 

\  =  o ,  6g  I  66 , 

li(^e"-)  =  455o556i  1 ,222()7 -f- o,  524  57).. 

(A  )  li{e<^  )  —  455  0)5  6 14,  585  4, 

En  prenant  n  =^  2.3,  -^  =  +  o,02585o().  . .  et  en  calculant  Roj 
par  la  formule  (^),  on  trouve,  avec  une  erreur  inférieure 
à  o , 000  o I , 

(B)  liie'^'-)  =  455  o55  6 14,50662. 


93.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Paris,  3  avril  188G. 


M( 


J'ai  de  nouveau  recours  à  votre  bienveillance  pour  vous 
demander  de  vouh)ir  bien  présenter  à  l'Académie  des  Sciences  la 
Note  ci-jointe  ('  ),  où  j'apjjelle  l'attention  sur  un  article  intéres- 

(  '  )  Note  des  éditeurs.  — ■  La  Note  citée  a  paru  clans  les  Comptes  rendus,  t.  Cil, 
p.  2o5,  5  avril  1886,  sous  le  titre  :  Sur  le  nombre  des  pôles  à  la  surface  d'un 
corps  magnétique. 


19^  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    El    DE    STIELTJES. 

saiiL  de  M.  Reech.  La  solulion  de  la  question  traitée  par  M.  Betti 
s'y  trouvait  d'avance  et  le  résultat  de  M.  Reech  est  même  plus 
complet. 

Dans  le  second  tirage  de  votre  Cours,  vous  citez  (p.  loo)  le 
i^''  Cahier  du  Journal  de  V École  Polytechnique,  en  parlant  de 
l'expression  logT(«j  découverte  par  Binet.  C'est  le  27"  Cahier  qui 
contient  le  grand  Mémoire  de  Binet. 

Je  suis,  avec  le  plus  profond  respect,  Monsieur,  votre  très 
reconnaissant  et  hien  dévoué. 


94.  —  lïERMlTE  A  STIELTJES  C). 

(  Dimanclie)  Paris.  4  avril  1886. 
Monsieur, 

Votre  Note  fera  grand  plaisir  aux  amis  de  M.  Reech  qui  aurait 
mérité  d'appartenir  à  l'Académie  des  Sciences,  et,  comme  vous, 
j'avais  été  très  fraj^pé  de  l'article  dont  vous  avez  tiré  une  consé- 
quence physique  importante.  Mais  de  physicjue  je  ne  m'occupe 
guère,  je  fais  une  troisième  édition  de  mes  Leçons,  dans  laquelle 
je  corrige  bien  d'autres  inadvertances  que  celle  que  vous  me 
signalez  pour  la  citation  du  Mémoire  de  Binet  sur  les  intégrales 
eulériennes.  Sur  la  question  de  la  fonction  de  Riemann 

je  viens  de  remarquer  que  (j'(^)  pour  s  positif  est  toujours  entre 
les  limites  ^  et  i  ;  on  a  d'ailleurs  ^'(5)  =  i  pour  s  infiniment  grand 
positif.  Vous  vous  souvenez  que  je  vous  ai  cherché  querelle,  l'an 
<l(;rnier,  sur  cette  fonction  (j'(i)  qui  me  semble  bien  mystérieuse, 
la  remarque  concernanl  sa  limitalion  me  jette  dans  un  abîme  de 
perplexité. 

A  vous,  Monsieur,  bien  alTectueusement. 


(  '  ;  Noie  des  éditeurs.  —  Celle  lellre  ne  porle  pas  de  date.  Nous  l'avons  placét 
immédialcincnt  après  celle  du  3  avril   188G  qui  csl  un  samedi. 


LETTRE    96.  198 

95.  —  STIELTJES  A   HERMITE. 

Paris,  II  juin  iSSG. 
Monsieur, 

Ma  thèse  étant  imprimée,  je  viens  vous  demander  de  vouloir 
bien  fixer,  en  accord  avec  MM.  Darboux  et  Tisserand,  la  date  et 
l'heure  de  l'examen  public. 

En  même  temps,  j'espère  que  vous  ne  me  refuserez  pas  l'auto- 
risation de  mettre  votre  nom  à  la  première  page  de  mon  travail  en 
vous  le  dédiant. 

Veuillez  bien  agréer,  Monsieur,  l'assurance  de  ina  profonde 
reconnaissance  et  de  mon  entier  dévoùment. 

96.  —  HE  RM  [TE  A  STIELTJES. 

Paiis,    ri  juin  188I. 
MONSIEUII, 

Je  vous  remercie  de  tout  cœur,  et  je  saisis  l'occasion  de  vous 
renouveler  l'assurance  des  sentiments,  que  vous  me  connaissez 
depuis  longtemps,  de  la  plus  haute  estime  et  de  vive  sympathie. 

Permettez-moi  de  vous  apprendre  que,  au  moment  où  vous 
devenez  Finançais,  je  deviens  quelque  peu  Hollandais,  ajantétéélu 
membre  étranger  de  la  Société  des  Sciences  de  Harlem.  Pourriez- 
vous,  si  vous  le  jugez  convenable  et  que  vous  en  ayez  l'occasion, 
dire  que  je  vous  ai  personnellement  exprimé,  que  j'ai  été  extrê- 
mement touché  et  que  je  suis  profondément  reconnaissant  de 
l'honneur  de  cette  élection.  Je  crois  être  le  seul  mathématicien, 
parmi  les  membres  de  l'Tnstitut,  qui  soit  membre  étranger  de  cette 
Société. 

En  vous  priant,  Monsieur,  d'accepter  quelques  opuscules  qui 
vous  parviendront  prochainement,  entre  autres  la  première  Partie 
de  la  nouvelle  édition  de  mes  Leçons  de  la  Sorbonne,  et  vous 
renouvelant  l'assurance  de  ma  bien  sincère  et  toute  cordiale 
affection. 

i3 


194  CORRESPONDANCE   D'uKRMITE    ET    DE    STIEl.TJES. 

97.  —  HERMITE  A   STIELTJES. 

3o  juin  1886. 
MONSIEUIS, 

Après  avoir  demandé  au  Minisire  de  l'Inslruclion  pul)lique,  au 
nom  de  la  Facullé,  de  vous  appeler  à  remplir  une  position  dans 
l'enseignement  supérieur,  je  viens  vous  prier  de  vouloir  bien  me 
faire  connaître  si  la  Faculté  des  Sciences  de  Toulouse  serait  à 
^olre  convenance,  ou  bien  si  vous  donneriez  la  préférence  à  Lille, 
où  vine  place  de  maître  de  conférences  pourrait  également  vous 
être  ofî'erte.  Le  dojen  de  la  Faculté  de  Toulouse,  qui  est  un  de 
mes  élèves,  est  aussi  directeur  de  TObservaloire;  je  suis  bien  sûr 
que  vous  auriez  avec  lui  les  meilleurs  rapports;  en  même  temps, 
je  dois  vous  dii^e  qu'à  Lille,  où  la  vie  est  plus  chère,  il  y  a  aussi  la 
possibilité  d'être  appelé  à  enseigner  dans  l'Institut  industriel,  et 
M.  Boussinesq  y  a  été  longtemps  professeur.  En  attendant  votre 
réponse,  je  vous  prie,  Monsieur,  de  me  permettre  de  me  débar- 
rasser d'une  inquiétude;  vous  avez  encore  à  attendre  votre  nomi- 
nation, et  je  ne  puis  m'empêcber  de  craindre  pour  vous  des 
difficultés  c|ue  je  désirerais  extrêmement  vous  éviter.  Excusez 
donc  mon  indiscrétion  et  ne  l'attribuez  qu'à  mes  sentiments  de 
sympathie  et  de  bien  haute  estime  que  je  vous  renouvelle  en  aous 
félicitant,  en  mon  particulier,  pour  votre  Thèse  encore  plus  vive- 
ment et  mieux  que  je  ne  l'ai  fait  en  public. 

Votre  bien  sincèrement  dévoué. 


98.  —  STIELTJES  A   HERMITE. 

Paris,  27  octobre  1886. 
MONSIEUK, 

Je  viens  d'apprendre  hier  cjue  je  suis  chargé  d'un  cours  de 
mathématiqvies  à  la  Faculté  de  Toulouse.  En  apprenant  cette 
nouvelle,  je  dois  vous  renouveler  l'assurance  de  ma  profonde  gra- 
titude   pour    tant  de    bienveillance  et  d'amitié  que   vous  m'avez 


LETTRE  99.  igS 

voulu  montrer.  Mais,  Monsieur,  je  suis  incapable  d'exprimer  en 
paroles  le  sentiment  que  m'a  inspiré  votre  conduite  envers  moil 
Je  ne  peux  qu'exprimer  tous  mes  vœux  pour  votre  bonheur  et 
celui  de  tous  les  vôtres. 

Votre  sincèrement  dévoué. 


99.   —  STIELTJES  A  HERMITE. 

(48,  rue  Alsace-Lorraine)  Toulouse,  i5  décembi'e  i886. 

Monsieur, 

Depuis  longtemps,  j'ai  voulu  vous  écrire  pour  vous  dire  que  je 
me  trouve  très  bien  ici  et  que  je  suis  tout  à  fait  content.  Je  donne 
un  Cours  (deux  leçons  par  semaine)  à  quelques  boursiers  d'agré- 
gation (théorie  des  fonctions  d'une  variable  imaginaire)  qui  sont 
de  bons  travailleurs,  et  ensuite  une  Conférence  pour  ceux  qui  se 
préparent  à  la  licence  et  qui  sont  assez  nombreux. 

J'ai  fait  aussi  avec  beaucoup  de  plaisir  la  connaissance  de 
M.  Baillaud,  qui  vous  accorde  volontiers  tout  le  crédit  de  temps 
que  vous  voudrez  pour  l'article  que  vous  lui  avez  promis.  Seule- 
ment il  y  tient  beaucoup  et  il  espère  ainsi  que  vous  ne  l'oublierez 
pas.  Mes  autres  collègues,  ici,  m'ont  fait  aussi  un  très  bon  accueil. 

J'avais  déjà  l'intention  de  reprendre  mes  recherches  sur  la 
fonction  S/i^'^et  sur  les  lois  asjmptotiques  pour  les  rédiger  conve- 
nablement, lorsque  j'ai  vu  la  Note  de  M.  Kronecker  où  il  en 
fait  mention.  Mais  il  me  reste  beaucoup  à  faire  et  je  veux  par- 
courir maintenant  attentivement  tout  ce  champ  de  recherches  où 
il  reste  encore  tant  à  faire. 

En  attendant,  je  vous  offre  une  Note  pour  les  Comptes  i-endus  (  '  ) 
que  j'ai  pensé  à  rédiger  en  lisant  l'article  de  M.  Kronecker.  Je  ne 
crois   pas    inutile    d'appeler  l'attention    des    géomètres    sur   celte 

question  très  délicate 

lim/''(a-)  =/'('i)? 


(')  Note  des  éditeurs.  —  La  Note  citée  a  été  présentée  à  l'Académie  le  20  dé- 
cembre 1886,  et  est  insérée  aux  Comptes  rendus,  t.  CIII,  p.  1243-1216,  sous  le 
titre  :  Sur  les  séries  qui  procèdent  suivant  les  puissances  d'une  variable. 


196  CORRESPO>DANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Je  n'en  sais  rien;  pour  le  moment,  je  penche  à  croire  que  cela 
n'est  pas  vrai  généralement. 

Veuillez  bien  agréer,  cher  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de 
mes  sentiments  de  profonde  reconnaissance  et  de  respect. 

100.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  17  décembre  1886. 
MojVSIKTJr. , 

Votre  Communication,  qui  sera  présentée  lundi  à  l'Académie, 
est  extrêmement  intéressante  et  je  vous  en  fais  mon  sincère  com- 
pliment. En  voyant  avec  quel  succès  vous  traitez  ces  questions  si 
délicates  de  limites  de  valeurs  des  fonctions,  dans  le  voisinage  de 
leurs  discontinuités,  la  pensée  m'est  venue  d'appeler  votre  atten- 
tion sur  un  point  de  la  théorie  des  ionctiuns  qui  me  semble  digne 
d'intérêt.  Rien  n'est,  en  général,  plus  facile  (piand  on  donne,  sous 
forme  rationnelle  et  entière,  une  relation  entre  des  fonctions 
n'ayant  que  des  discontinuités  polaires,  que  de  voir  comment 
disparaissent  les  pôles  dans  cette  relation. 

Mais,  lorsque  au  lieu  de  points  isolés  on  a  des  lignes  entières  de 
discontinuités,  il  n'en  est  j)lus  de  même.  Considérez,  par  exemple, 
la  fonction  y/A"  = 'j  (  10 ) ,  qu'on  obtient  en  |)osant  ^  =  e''^"  dans 
l'expression 

et  qui  a  l'axe  des  abscisses  pour  cou|)ure.  La  transformation  du 
troisième  ordre  vous  donne  la  relation 

y(  w  )  =  <p'*(3w  )  —  'icpf  3  w)  o(  w  )  [i       ç»-(  3io  I  'f-(co)]  =  o. 

11  faut  donc  que  la  coupure  ait  disparu  dans  f{^),  mais  de 
quelle  manière?  Vous  savez,  n'est-ce  pas,  que  Riemann,  d'abord, 
puis  M.  Dedekind,  par  une  analyse  beaucoup  plus  facile  et  plus 
claire,  ont  obtenu  ce  résultat  important  que  pour  M  =  a-rit, 
t  étant  infiniment  petit  et  positif,  'f  (oj)  est  indéterminé  loi\sqiic  la 
partie  réelle  a  est  une  quantité  incommensurable  et  qu'en  suj)po- 

sant  <7  :=  —}   où   m  et  /i  sont  entiers,  oUoi)  est  zéro  ou  lunité. 


LETTRE    101.  197 

suivant  que  in  ou  n  sont  pairs  ou  impairs.  Je  désirerais,  mon  cher 
Monsieur,  que,  dans  la  même  voie,  vous  fissiez  un  nouveau  pas; 
il  me  semble  qu'on  doit  pouvoir  établir  quey*(to)  est  continu  dans 
le  voisinage  de  la  coupure,  en  allant  plus  avant  dans  l'étude 
de  '.p(«  +  î£);  je  voudrais  vous  inspirer  l'ambition  de  pénétrer 
dans  le  mystère  de  l'indétermination  des  quantités  '-p(«)  et  fp(3«) 
lorsque  a  est  incommensurable,  qui  étant  indéterminées  l'une  et 
l'autre,  doivent  avoir  une  dépendance  telle  qucy(«)  ne  possède 
plus  aucune  indétermination.  De  nouvelles  lumières  sur  ce  point 
de  vue  se  trouveraient  amenées  sur  la  théorie  des  fonctions  analy- 
tiques et  aussi  sur  les  équations  modulaires  de  la  théorie  des 
fonctions  elliptiques.  Vous  verrez  facilement  et  peut-être  avez- 
vous  déjà  remarqué  que  l'existence  de  la  coujîure  dans  'f  (w)  rend 
possibles  certaines  relations  qui  jamais  n'existeraient  à  l'égard  de 
fonctions  uniformes  n'ayant  que  des  discontinuités  isolées.  On  ne 
peut  donc  se  refuser  à  chercher  dans  l'élude  de  ces  relations  des 
données  sur  un  nouveau  mode  d'existence  des  fonctions,  et  celte 
étude  demande  tout  d'abord  qu'on  éclaircisse  ce  point,  ])Our  moi 
si  obscur,  de  la  disparition  d'une  covipure,  dans  une  combinaison 
dont  la  fonction /(  co)  donne  l'exemple. 

Ce  m'a  été  une  grande  satisfaction  d'apprendre  que  vous  vous 
trouviez  bien  à  Toulouse,  et  que  vos  collègues  vous  avaient  fait 
l'accueil  auquel  vous  aviez  droit;  permettez-moi  de  vous  jirier  de 
me  rappeler  au  bon  souvenir  de  votre  doyen,  M.  Baillaud,  en 
l'assui^anl  que  je  n'oublie  point  l'engagement  qu'il  m'a  fait 
prendre  et  veuillez,  mon  cher  Monsieur,  recevoir,  avec  l'assu- 
rance de  ma  plus  haute  estime,  celle  de  mes  sentiments  affectueux 
et  tout  dévoués. 


101.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  3o  décembre  i886. 
Monsieur, 

Je  dois  vous  remercier  a ivemenl  pour  le  précieux  cadeau  que 
vous  venez  de  me  donner  en  m'envoyant  la  troisième  édition  de 
votre  Cours  de  la  Sorbonne,  précieuse,  surtout,  parce  que  c'est 
une  marque  de  votre  amitié.  Je  l'ai,  comme  vous  pouvez  le  croire. 


10)8  COnRKSPONDANf.F    d'iIERMITR    ET    T)E    STIELTJES. 

déjà  parcouru  cl  j  ai  vu  qu  il  j  a  de  jiouNcau  beaucoup  de  choses 
dont  je  dois  profiter. 

Je  connaissais  bien  le  Mémoire  de  M.  Dedekind  Schreiben  an 
flerrn  Borchardt  ûher  die  Elliptischen  Modulfunclionen, 
mais  je  n'avais  jamais  pensé  à  vérifier,  comme  vous  me  le  pro- 
posez, l'équalion  modulaire  dans  le  voisinage  de  la  ligne  des 
(lisconlinuilés.  Je  vais  faire  de  sérieux  efforts,  mais  je  ne  sais  si 
je  pourrai  trouver  quelques  résultats  qui  valent  la  peine;  en  tout 
cas,  je  ferai  de  mon  mieux. 

J'ai  cherché,  pour  mon  Cours,  si  l'on  ne  pourrait  pas  donner 
un  exemple  un  peu  simple  d'une  fonction  qui  n'existe  que  dans 
une  certaine  partie  du  plan,  et  j'ai  rédigé  une  Note  de  ce  que  j'ai 
trouvé.  M.  Darboux  la  fera  insérer  dans  son  bulletin  (').  Je  crois 
pouvoir  indiquer,  en  quelques  mots,  ce  que  c'est.  Je  pose 

<7,,  r/o;  •  •  •  "n^  ■  ■  ■  sont  des  quantités  dont  le  module  est  =  i .  On 
peut  développer 


et  1  on  voit  que 


iodc„<y-i; 


supposons  maintenant  que  z  s'approche  de  «/,  par  le  rayon  vec- 
teur, c'est-à-dire  posons 

u  étant  réel  et  tendant  vers  i .  Alors  le  A'"""  terme  de  la  série 


k^  Uk—  z        l<i   I 


est  réel  positif  et  croît  au  delà  de  toute  iiniile. 

Maintenant,  on   yieut   choisir  les  «,,   c/o,    ...,   <?«,    ....   <le  lellr 


(■)  Note  des  éditeurs.  —  \n\v  lliillctin  bibliographique  des  Sciences  mathé- 
matiques, t.  XI,  2'  série,  p.  4''-5i;  1887. 


LETTRE    101.  199 

manière  que,  après  rexclusion  de  ce  ternie  7:^  _  ,>  la  série  reste 
convergente  pour  z  ^=0/^11,  même  pour  11  =  i^  en  sorte  qu'on  a 

lim    f(a/,u  )  —  —  —  =  A, 

A'^   I  —  a  ]  ,i=\ 

A  étant  une  constante.  Vous  vojez  donc  que,  dans  ce  cas,  la 
partie  réelle  de  /(^)  croit  au  delà  de  toute  limite,  tandis  que  la 
partie  imaginaire  tend  vers  une  limite  fixe.  Mais  il  y  a  un  nombre 


infini  de  points  a/(  snr  un  arc  quelconque  du  cercle  de  conver- 
gence C  dont  le  rayon  =  i . 

Voici  comment  on  peut  prendre  «),  a-i,  .  • .,  ««,  ...  : 

rti,  a-,  divisent  G  en  deux  parties  égales; 

«1,  rtoj  <^h,  <^(',  divisent  G  en  qnalre  parties  égales; 

a,,  a-2^  «3,  .  • .,  «8  divisent  G  en  8  parties  égales; 

a^,  ....  rt,c  sont  les  sommets  d'un  polygone  régulier  de  seize 
côtés,  etc. 

La  conséquence  de  cette  distribution  des  quantités  a^  est  que 

,       DU 
mod  (cir  —  « î  )  >  ' 

r 

011  étant  une  constante,  /•  le  plus  grand  des  deux  indices  /•  et  s. 

Ainsi,  il  y  a  bien  des  points  qui  s'approchent  beaucoup  de  a^, 
mais  pour  que  mod(a/i —  a„)  tombe  au-dessous  de  s,  le  nombre  n 

1     ■  A  ■  COnSt.  1        r       .  Il  1  '    ■ 

doit  croître  au  moins  comme ,  et  le  iacteur  —>  dans  la  série 

-^^^ —  ]i   assure  alors  la   convergence.   Du  reste,   la  même 


série    >  — ( donne    aussi    1  exemi>le    dune    fonction    qui 

1 
n'existe  qu'à  l'extérieur  du  cercle  G. 


•J.OO  CORRESPONDANCE    I)  UERMITE    K T    DE    STIELTJES. 

On  peul  dislribuer  les  points  «,,  a-, a,,,  .  .  .  snr  une  ellipse, 

lin  triangle,  etc.,  et  Ton  a  alors   une  lonclion  qui  n'existe  qu'à 
rinlcrieur  (ou  l'extérieur)  d'une  ellipse,  d'un  triangle. 

Mes  meilleurs  souhaits  pour  le  nouvel  an,  voire  très  respectueux 
et  dévoué. 

102.  —  STIELTJES  A  UERMITE. 

Toulouse,  2  janvier  1887. 
MOKSIEUR, 

La  rédaction  d'un  article  me  donne  toujours  beaucoup  de  mal 
et  je  ne  réussis  guère  à  la  faire  du  premier  coup.  Je  retrouve 
encore  par  hasard  un  des  premiers  projets  de  mon  article  pour  le 
Bulletin  et  j'espère  que  vous  ne  me  trouverez  pas  inopportun  de 
vous  l'offrir,  car  je  n'ai  pas  été  sulTisammenl  explicite  dans  ma 
dernière  lettre. 

J'ai  considéré  exclusivement  la  fonction 


à  Vintérieur  du  cercle  C.  Cette  fonction  ne  peut  se  continuer  en 
dehors  du  cercle. 

Mais  la  même  série  représente  aussi  pour  mods  >>  i  une  fonc- 
tion qui  n'existe  qu'à  l'extérieur  du  cercle  C  et  cjui  ne  peut  se 
continuer  à  l'intéricm'  du  cercle. 

Vous  observerez  que  je  n'ai  étudié  la  manière  dont  se  comporte 
f{z)  lorsque  z-  s'approche  de  la  circonférence  C,  que  dans  le  cas 
très  particulier  où  le  rajon  vecteur  aboutit  à  un  des  points  ajc 
,1e  ne  sais  rien,  j)ar  exemple,  de  ce  qui  arrive  lorsque  c  se  meut 
sur  un  rayon  vecteur  qui  aboutit  à  un  ])oint  de  C  qui  ne  coïncide 
pas  avec  un  des  points  Uh. 

Mais  comme  il  y  a  une  infinité  de  points  a  h  sur  un  arc  quel- 
conque de  C,  il  était  suffisant  pour  mon  but  de  considérer  seule- 
ment ce  cas  particulier. 

Je  vous  remercie  d'avance,  Monsieur,  pour  Verrata  de  votre 
Cours  que  vous  me  promettez,  mais  je  dois  avouer  (|ue  je  n'ai 
guère  encore  rencontré  des  inadvertances  qui  changent  essentiel- 


LETTRE    103.  20 I 

lemenL  le  sens  d'un  passage  ou  qui  causent  une  ditticulté  réelle 
et,  dès  lors,  cela  n'a  pas  une  bien  grande  importance. 

Veuillez  bien  me  permettre.  Monsieur,  de  vous  nommer  mon 
cher  Maître,  et  de  vous  présenter  l'expression  de  mes  sentiments 
dévoués. 

103.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Pai'is,  7  janvier  1SS7. 
MONSIEUU, 

Votre  Note  est  excellente,  et  après  avoir  lu  la  rédaction  déve- 
loppée que  vous  m'avez  adressée,  je  n'ai  que  des  compliments  à 
vous  faire.  Elle  est  rédigée  avec  une  parfaite  clarté,  et  sous  ce 
point  de  vue,  qui  a  son  importance,  puisqu'on  peut  dire  C[ue  vous 
êtes  étranger,  j'en  suis  absolument  satisfait.  A  l'avenir,  si  vous  le 
permettez,  je  passerai  la  ])ierre  ponce  sur  les  articles  que  vous 
donnerez  aux  Comptes  rendus,  mais  les  fautes  que  j'ai  pu 
remarquer  jusqu'ici  sont  vraiment  insignifiantes.  Vous  m'excu- 
serez d'avoir  attendu  toute  une  semaine  pour  vous  rendre  la 
justice  à  laquelle  vous  aviez  tous  les  droits,  mais  ici,  à  Paris,  cette 
semaine  est  la  proie  des  visites  et  des  obligations  du  jour  de  l'an 
qui  ne  laissent  guère  de  liberté.  Permellez-moi,  |)uisque  la  pro- 
vince vous  donne  plus  de  loisir  pour  le  travail,  de  vous  prier  de 
penser  aux  coupures,  ou  plutôt  à  la  seule  et  unique  coupure  que 
peut  offrir  le  premier  membre  des  équations  modulaires,  envisagé 

comme  fonction  de  la  variable  (o=-— -,    afin   de  reconnaître  de 

K 

quelle  manière  il  arrive  qu'elle  disparaît  dans  la  fonction  consi- 
dérée. Si  vous  réussissez  à  voir  clair  dans  la  question,  magiius 
inihi  eris  Apollo. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  monsieur  Stieltjes,  l'assurance 
de  mon  affection  bien  sincère  et  bien  dévouée. 


202  COKKF.SI'ONDANCK    I)  IIKIIMITK    ET    DE    STIELTJES. 

104.  —  STIELTJES  A  HE R MITE. 

Toulouse,  25  janvier  1887. 
Monsieur, 

Je  viens  de  voir  que  vous  ail  ri  huez  à  M.  Markofl  le  théorème 
suivant  : 
Soient 

a"l  >  a?2  >  .^3  >  •  .  •  >  ^n 

les  racines  de  X„=  o,  alors  on  a 

.  (■}.L  —  I  )7r  2  i-K 

(  A  )  cos ~—  >  Xi  >  cos • 

"3.11  -\-  \  m  -\^  i 

jNlais  ce  résultat  a  déjà  été  ohlenu  par  M.  Bruns  daus  \c  Journal 
de  Borchardl,  t.  90,  p.  32'-. 

De  mon  côté,  j  avais,  d'un  théorème  inséré  au  commencemeut 
de  i885  dans  les  Comptes  renias,  non  seulement  ces  inéga- 
lités (A),  mais  encore  la  limitation  suivante  qui  est  plus  étroite  : 

(•>. i  —  ij-  „  /■- 

(B)  cos —^^Xicco?,- • 

2/1  M  -H  I 

Pour  /<  =  10,  par  exemple,  on  a 

D'après  (A)  D'après  (B) 

limiles.  limites. 

\  o,98S8:i   )         „  \  0,98769  ] 

oci ',       •  ..^     >  o,o332()  '^/''      0,02820 

(  o,ÎP357  \  {  0,959,19  \ 

\  0,90097  )  ,   .,  i  0,89101    )  ,     „ 

5"2 ';^   •';    0,07473  ';    -    0,04970 

(  0,82624  \  (0,84 I2J  \ 

\   o,733o")  /  t  0,70711  )       . 

a"3 r.   .w  i'  0,10936        \     ''  '  ,,   o,o522:» 

/  0,62349  1  (  0,63486  \      ' 

\   o,5oooo  /    ,,„^        \   0,45399  ) 

^k '      (  o,i3466  '   -/  (  o,oJ837 

(  o, 36^34  1  (  0,41342  \ 

\   0,22252  )    ,  l  o,  i5643  ) 

^■i ',     -,   0,14779  .0    o, 01412 

/    0,07473    \  (    o,  \'\-l6\    \ 

Mais  j'avais  négligé  de  rédiger  complèlemeul  ma  démoiislra- 
lion,   ce  que  je   vi<'ns   de   faire  uiainlcnaiii .    .l'envoie  cet  arlicle  à 


LETTRE    10^1 .  203 

M.  Millag-Leider,  car  c'est  une  suite  naturelle  à  un  article  qui  a 
paru  autrefois  dans  les  Acla  ('  ). 

Je  regrette  bien  de  ne  connaître  point  la  démonstration  de 
M.  Markoft,  mais  aucun  fascicule  du  tome  XXVII  des  Mathema- 
tische  Annalen  n'est  encore  parvenu  à  la  bibliothèque  de  la 
Faculté.  Dans  ma  démonstration,  je  me  fonde  sur  une  proposition 
d'algèbre  très  simple  d'où  découle  cette  conséquence  : 

Soit 

m       m 

X  =  ^  ^  aikXjXu 
1      1 

une  forme  définie  positive,  dont  les  coefficients  aihi^i^k)  sont 
négatifs,  alors,  dans  la  forme  adjointe 

m       m 

tous  les  Kik  sonl positifs. 

Comme  l'adjointe  de  l'adjointe  reproduit  la  forme  primitive  à 
un  facteur  constant  positif  près,  on  pourrait  croire  que  récipro- 
quement pour 

«/•yt>o, 
on  aurait 

A//,<o         (i§k), 

mais  cela  n'est  pas  exact. 

En  reprenant  cette  question  c]ue  j'avais  un  peu  perdu  de  vue,  je 
me  suis  aperçu  que  cette  proposition  d'Algèbre  est  liée  intime- 
ment à  une  question  de  physique  (distribution  d'électricité  sur 
un  système  de  conducteurs).  Ce  rapprochement  m'a  conduit 
encore  naturellement  à  compléter  cette  px'oposition  d'Algèbre 
sous  un  autre  rapj)ort.  J'ai  exjjosé  tout  cela  dans  mon  article  pour 
les  Acta. 

Je  pense  beaucoup  à  l'équation  modulaire,  et  la  ligne  de 
discontinuité,  mais  je  commence  seulement  à  me  rendre  un  peu 
compte  des  difficultés  qu'il  faudra  vaincre. 

En  vous  renvoyant  mes  meilleurs  souhaits,  je  vous  pi'ie,  Mon- 


(')  Noie  des  éditeurs. —  Sur  les  racines  des  équalions  X„  =  o  {Acla  Matlie- 
malica,  t.  IX,  p.  385 -4oo:  1887). 


204  CORUESPONDANCE    D  HEUMITE    ET    I)E    STIELTJES. 

sieur,   de  vouloir  bien  accepter  Fassurance  de  mon   dévoûmeiil 
respeclueux. 

105.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  27  janvier  1887. 
Cher  monsieur   Stieltjes, 

Mille  remerciements  pour  les  remarques  que  vous  me  commu- 
niquez et  pour  les  belles  recherches  que  vous  m'annoncez  devoir 
paraître  dans  les  Acla.  Il  est  bien  difficile  d'avoir  loul  ce  qui  se 
publie  à  notre  époque  si  féconde,  présent  à  l'esprit,  et  celte  diffi- 
culté s'augmente  pour  moi  de  mon  ignorance  de  l'allemand,  ce 
qui  vous  explique  pourquoi  j'ai  attribué  à  M.  Markoff,  qui  a  écrit 
son  article  en  français,  ce  qu'avait  déjà  fait  M.  M.  Bruns  dans  le 
Journal  de  BorcJiardl.  Mais  ce  me  sera  un  plaisir  quand  je  ferai 
pour  l'impression  une  rédaction  plus  correcte  de  mon  Cours  litho- 
graphie d'j  donner  place  à  votre  Travail  qui  excite  extrêmement 
ma  curiosité  d'après  le  peu  que  vous  m'en  dites.  Qu'il  y  ait  une 
étroite  connexion  entre  la  théorie  des  équations  algébriques  et 
celle  des  formes  quadratiques  définies,  c'est  ce  que  j'ai  remarqué 
depuis  longtemps,  mais  ce  qui  me  surprend,  c'est  qu'au  moyen 
de  cette  dépendance,  vous  ayez  i^éiissi  à  obtenir  les  limitations 
si  étroites 


cos 


<  -^i  < 


Permetlez-moi  de  vous  envoyer  le  numéro  des  Matheiiialische 
Annalen  qui  contient  l'article  de  ]M.  IMarkoflet  que  vous  pourrez 
garder  autant  qu'il  vous  conviendra,  n'en  ayant  aucunement 
besoin. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  monsieur  Stieltjes,  mes  félicita- 
tions les  plus  vives  pour  ce  nouveau  fruit  de  votre  beau  talent, 
ainsi  que  l'assurance  de  mes  sentiments  dafTection  bien  sincère  et 
bien  dévouée. 


LETTRE    lOG.  205 

106.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  3  février  1887. 
Monsieur. 

Vous  avez  poussé  vraiment  Irop  loin  votre  bonté  en  m'envojanl 
le  fascicule  des  Mathematische  Annaleii  qui  contient  l'article  de 
AI.  MarkofT,  et,  en  vous  le  renvoyant,  je  ne  saurais  tro[)  vous 
remercier. 

J'ai  vu  c[ue  M.  Markoff  établit  aussi  et  pour  la  première  fois, 
dans  son  article,  la  limitation  plus  étroite  des  racines  X„=  o  que 
je  vous  avais  communiquée. 

Mais  la  démonsti'ation  que  j'ai  développée  pour  les  ActaMatlie- 
matica  est  différente  de  celle  de  M.  Markofi". 

Il  me  semble  que  la  fonction 


où  a  est  une    constante    réelle,    fournit  un    bon    exemple    pour 
l'application  du  théorème  de  M.  Mittag-Leffler.  Je  trouve 


(^^  ^^^  =  ^--2- x^-^i,^^ --'j(^^ 


La  fonction  entière  (j'(x)  change  brusquement  de  valeur  avec  a  : 

ainsi 

I 


a  =  o,         ^{^ 


1 


0  <  a  <  I,         Cj'(a7  )  =       o, 

a  —  V,         Q(^^  =-^ —  } 
2 

1  <  a  <  2,         Ç(x)=       e(«-i'^', 


si  l'on  développe  le  second  membre  de  (A)  suivant  les  puissances 
croissantes  de  x  (en  supposant  o  <;a<<i)  et  qu'on  compare  le 
résultat  obtenu  avec  la  formule 


e 


=  a  -ir  '-Oiiajx  -^^  o^{a)x^ 


2o6  COIIRESPOXDANCK    d'hEKMITE    ET    DE    STIELTJES. 

qui  sert  de  définition  anx  polynômes  de  Bernoulli  cp,  (  «),  '-^-lici). 
{Jordan,  t.  H,  p.  102),  on  obtient 

(?2/Aa)  =  (—  I  )'''+i   >   —7 -7—7 


cp.2/,_,(a)  =  (— 1)^ 


■1^ 


1 


ce  sont  les  développements  des  poljnomes  o  en  séries  de  Fourier 
qu'on  trouve  dans  le  Tome  II  du  7/aité  de  Schloniilcli. 

On  peut  considérer  (A)  aussi  sous  le  point  de  vue  d'une  série 
de  Fourier,  mais  cela  suppose  x  réel  et  ne  donne  pas  le  vrai 
caractère  de  cette  formule.  Mais  de  cette  manière  ces  disconti- 
nuités pour  «  =  o,  a  =  i  rentrent  bien  dans  le  type  de  celles 
qu'on  rencontre  à  chaque  instant  dans  la  théorie  des  séries  trigo- 
nomé  triques. 

A  côté  de  la  fomnule  (A)  on  peut  mettre  les  suivantes  qui 
donnent  lieu  à  des  remarques  analogues  : 

rosi.r         r        v^  ( — aV'-'^'îx  cos  on-  ,     . 

—. =  -  +  7. -^r-^ -, (—  I  =  o  ^  4- 1), 

sin.r         X       ^^  n---  —  x- 

1 

—■ =  >   T—^ — —^ (— I<6<+1), 

sin.r  ^ad  n-T.- — x- 

1 

cosbx  V7  (  —  iV'~'i''>,/t  —  T)TCo?f«  —  ^)h-  , 

=  > r^ = I  — ^  I  <^  O  <  -T-  1  ), 

cosa:  .L^  i  „  _  '  )2  7^2  _  ^2 

sin^;.r  -^  (' — iV'-i  2  3?  sin  (  «  —  i)^-  ^    ,  , 

=  >  -^ 7-. = <  — I  =  ^  -  -v- 1); 

COS.r  Xd  (^/j  _1)2^2_^2 

1 

si  la  constante  réelle  b  ne  se  trouve  pas  dans  l'intervalle  indiqué, 
il  faut  ajouter  à  droite  une  fonction  entière  dont  on  trouve  la 
foruK;  immédiatement. 

INIais,  à  vrai  dire,  ces  quatre  formules  peuvent  se  déduire  toutes 
de  la  Jbrmule  (A)  qu'on  peut  regarder  comme  la  principale. 

Mais  en  voilà  bien  assez  sur  un  sujet  élémentaire. 

En  vous  [renouvelant,  Monsieur,  mes  remerciements  pour 
toutes  vos  bontés,  vous  voudrez  bien  me  croire  votre  tout  dévoué. 


LETTRE    107.  207 

107     —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  18  février  1887. 
Cher   monsieur   Stieltjes, 

J'ai  été  bien  empêché  de  Lravailler  pendant  ces  dernières 
semaines  et  je  viens  bien  tardivement  vous  dire  que  vos  applica- 
tions du  théorème  de  M.  Mittag-Leffler  m'ont  beaucoup  intéressé, 

surtout    la    première    concernant   la   fonction    — Les    autres 

,                     .    ,      cos^.r      s\nb.x 
concernant   les    quantités   —. ?    —. :.    •••    sont  certainement 

importantes,  mais  Legendre  les  a  déjà  données,  avec  la  détermi- 
nation de  la  partie  entière,  dans  les  Exercices  de  calcul  intc- 
gral,  page  169  et  170  (5^  partie,  §  II).  Si  ce  n'est  pas  abuser  de 
votre  complaisance,  je  vous  serais  bien  reconnaissant  de  me 
donner  la   matière   d'une   leçon    à   la    Sorbonne,    en    m'indiquant 

l'analyse  que  vous  appliquez  au    premier  cas  de  — ^ De|)uis 

longtemps,  j'avais  remarqué  que,  en  considérant — ,  il  semble 

absolument  impossible  de  parvenir  à  la  détermination  de  la  partie 
entière,  ce  qui  doit  faire  mettre  d'autant  plus  de  prix  au  cas  où, 
comme  dans  le  vôtre,  elle  s'obtient  facilement. 

Cette  année,  je  me  propose  d'insister  sur  la  détermination  des 
intégrales  au  moyen  des  coupures,  en  utilisant  les  exemples 
faciles  qui  se  trouvent  par  d'autres  méthodes,  par  exem|)le 

•  / .T  —  .-  \  r  r'i"X 

dx. 


I        e'"^x  cot  ( dx,       I        -. — 


-  ) 


Une  petite  remarque    à    ce    sujet    :    Supposez   l'entier   ni 
et  z  un  [)oint  situé  au-dessus  de  l'axe  des  abscisses,  on  aura 


f 


2  Tt 

gmix  col  ^ 1  dx  =  4  i-e""' 


et,  pour  /li  =  o, 
tandis  que 


f 


f" 


cot dx 


cot  (  — — ^  ]  dx  =  o 


208  CORRESPONDANCE    D'HEUMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Cela  étant,  j'envisage  la  formule  de  Fourier  écrite  ainsi  : 


ou 


'^{x)=  iAo-H^^A-,,,*--'" 


(  /«  =  1  ,  2 ,  3 ,    ... 

\  ous  voyez  que  Ton  a 


f  .T  Z  I 

f(x)col dx  =■  —-^oiz) 


|)oiir  tout  le  demi-plan  au-dessus  de  l'axe  des  abscisses.  Au-des- 
sous, on  trouverait  pareillement 


,  271 


En  vous  renouvelant,  mon  cher  monsieur  Stieltjes,  l'assurance 
de  mes  sentiments  affectueux  et  bien  dévoués. 


108.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  19  février  1887. 
MoNsiEur. , 

Vous  trouverez  ci-joint  l'analyse  cjue  j'ai  suivie  pour  obtenir  la 

décomposiliou  de  — et  je  m'estime  heureux  si  je  peux  vous 

être  agréable  de  cette  manière. 


Comme  vous  verrez  que  je  n'ai  rien  fait  que  suivre  votre 
Douzième  Leçon  (p.  92  et  suiv.). 

11  m'avait  frappé  que,  pour  obtenir  la  décomposition  de 
cot.r,  vous  ne  considérez  pas  directement 


dz 

col  G 

X 

mais 

cot-:      dz 


f 

rcolz      dz 


LETTRE    108.  209 

C'est  évidemment  afin  de  démontrer  plus  facilement 

r cnt  z      dz 
iim  /    =  o, 

J        z      z  —  X 

ce  qui  réussit  maintenant  à  l'aide  de  la  formule  de  M.  Darboux. 
Ce  qui  est  un  peu  artificiel  dans  mon  analyse,  c'est  cette  suppo- 
sition 

hm  -  =  o, 

mais,  sans  cela,  on  ne  trouverait  pas  si  facilement  que 

lim^'^iiC—  lim5DA=  o 
et  aussi  dans  le  cas  a  =  1  ou  «  =  o 

...            I             I 
\\m-S  = -1 ou • 

Du  reste,  j'ai  peine  à  croire  que  la  formule  obtenue  soit  nou- 
velle, mais  peut-être  n'a-t-on  pas  insisté  sur  son  vrai  caractère. 
Les  formules 


■2  e\ii — e-Xn  2X  [2+ X-  2^-1- ).2 

•71  gXx —  e-).x  [  v.\\\x         2  sin  2.r        3  sin3^ 


I  —  TZ  <C  X  'Ci'K) 


jATt  _  e-Xn        1 2  -f-  X 2         22  _j^\-i         32  ^  )_ 2 


(p.  142,  143  du  tome  II  de  M.  Schlomilcli)  qui  se  trouvent,  je 
crois,  dans  Euler,  reviennent  au  fond  à  la  même  chose,  mais 
M.  Schomileli  les  obtient  comme  application  de  la  série  de 
Fourier;  x  est  la  variable  principale  et  k  une  constante  réelle. 

Mais  je  troiive  très  remarquable  que  Legendre,  en  donnant  les 
formules  pour  , 


cos , 
.    bx 


cos 
sin  " 


(— 1<6 


ait  déjà  songé  à  voir  comment  il  fallait  modifier  ces  formules  dans 
le  cas  que  b  n'est  plus  compris  entre  nri,  et  je  dois  vous  bien 
remercier  de  m'avoir  indiqué  ce  passage  des  Exercices. 

Votre  détermination  des  deux  parties  <^{x)  et  '^{x)  d'une  fotie- 

14 


2  10  COIIRESPONDANCE    D  IIKRMITE    ET    DE    STIELTJES. 

tiony(^)  à  laide  de  l'intégrale 


/(>)col(  ^^^^ ^  )  dz 


me  semble  très  singulière.  En  efl'et,  une  fonction  réelle  /"(^j  étani 
donnée  arbitrairement  entre  o  et  27:,  il  n'est  pas  possible,  en 
général,  de  l'étendre  ])Our  des  valeurs  imaginaires  de  la  variable. 
Mais  votre  formule  montre  que  les  parties  es  et  'h  existent  chacune 
dans  la  moitié  du  plan!  C'est  un  résultat  dont  je  dois  chercher  à 
me  rendre  compte. 

Je  crois  me  rappeler  vaguement  que  M.  Poincaré  a  annoncé 
quelque  part  un  résultat  qui  doit  avoir  un  ra])|ioit  intime  avec 
cela. 

A  -roccasion  de  cette  détermination  d'intégrales  au  moyen  des 
coupures,  permettez-moi.  Monsieur,  de  vous  signaler  une  petite 
difficulté  que  j'ai  rencontrée  dans  votre  Cours.  Vous  considérez, 
page  143,  l'intégrale 

*  (  s  )  =     /     fyl—z)dt 

et  vous  trouvez 

*fN)  — *(N')  =  -  liT.K. 

Mais  la  démonstration  suppose  essentiellement  tpie  a  et  |j  sont 
finis,  car,  sans  cela,  les  intégrales 

page  142  n'ont  pas  de  sens. 

Lapplication  (p.  i44)  à  un  cas  où  a^  —  co,  ^  =  +  oc  est  donc 
sujette  à  une  petite  difficulté.  En  étudiant  votre  Cours,  je  n'avais 
j)as  fait  cette  remarque,  mais,  au  moment  où  j'exposais  cela  dans 
mon  Cours,  je  m'en  suis  aperçu  et  cela  ma  brouillé  un  peu. 

J'espère  sincèrement  que  la  démarche  faite  auprès  des  autorités 
suédoises  aura  le  résultat  désiré. 

\euillez  bien  agréer.  Monsieur,  l'assurance  de  mes  sentiments 
res])eclueux  et  dévoués. 


LETTUE    110.  21  î 

109.  —  SriELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  21  février  1887. 


Mon  S 


Permettez-moi  d'ajouter  quelques  mots  à  ma  lettre  cl'avant-hier. 
En  parlant  d'un  résultat  annoncé  par  M.  Poincaré  que  je  croîs 
avoir  un  certain  rapport  avec  votre  intégrale 

r'^  fx  —  z.\ 

<!>(';)=    /       f(x)col{  — ; ^  d.r. 

'■'0  ^ 

*(5  -f-  27:)   =   *(2), 

qui  admet  pour  coupure  l'axe  réel  et 

lim[*(N)  — <Ï>(N')]  =  T-^/(a7), 

je  ne  pouvais  pas  vous  donner  une  indication  plus  précise,  parce 
qu'il  me  faudrait  consulter  pour  cela  notre  bibliothèque  qui  est 
fermée  pendant  ces  jours  de  fête. 

Mais,  naturellement,  je  me  fais  un  devoir  de  chercher  le  plus 
tôt  possible  l'article  de  M.  Poincaré  dès  cjue  cela  me  sera  possible. 
Si  mes  souvenirs  sont  si  vagues  sur  ce  point,  c'est  que  je  ne 
connais  cet  article  seulement  par  un  extrait  dans  la  dernière  Partie 
du  Bulletin  des  Sciences  inathémaliques  de  M.  Darboux  (dans 
une  des  années  avant  1880?)  et  intitulé  Sur  les  coupures  des 
inlégvales,  je  crois.  Mais  je  vous  donnerai  bientôt  l'indication 
précise. 

Respectueusement  votre  tout  dévoué. 


110.  —  HERMITE  A   STIELTJES. 

23  février  1887. 
Cher   monsieur   Stieltjes, 

Mille   remerciements    pour    l'excellente    démonstration    de    la 

formule  concernant   la   fonction  ;    ie  ne  fais  point   comme 

gu,-  —  I     •'  i 


212  CORRESPONDANCE    I)  IIERMITE    ET    DK    STIELTJES. 

VOUS    grise    mine    à    la    condition    lim-^  =  o,   je   raccueille   Ijien 

volontiers  comme  condition  caractéristique  du  genre  de  concours 
auquel  il  est  nécessaire  de  recourir,  sans  lui  faire  le  reproche 
d'être  artificielle.  Permettez-moi  une  remarque  qui  m'est  venue  à 
l'esprit  à  propos  de  cette  application  du  théorème  de  M.  Mittag- 
Leffler.  En  supposant  la  suite 

A,        ,        A.2        ,  ,        A„        , 


convergente,  avec  les  conditions 

mod  ai  <  inod  (72  <  modas  •  ;  .  .  . , 
j'envisage  la  fonction  suivante 

où  G(^)  est  une  transcendante  holomorphe,  et  je  me  propose  de 
la  mettre  sous  la  forme  analytique  de  ce  théorème.  Soit,  à  cet 
edet,  Si,  t-2 î«  des  constantes  telles  que  l'expression 


repx'ésente  une  fonction  uniforme.  En  faisant 

G[x)  =  G(a„)  -, \-. .  .-. —  Rv, 

I  I  .  -2  ...  V 

il  est  possible  de  déterminer  l'entier  v,  de  manière  à  remplir  la 
condition  Rv-<Sv  pour  les  valeurs  de  la  variable  dont  le  module 
est  moindre  cjue  ««.  On  obtient  ainsi 


2s,i  A„ 
X  —  a,,' 


(cc  —  a„)y-i  G^'^Ua,,) 


cl,  puisque  la  seconde  somme  définit  une  fonction,  il  en  est  de 
même  de  la  première  et  l'on  en  conclut  immédiatement  le  résultat 
cherché 


LETTRE    110.  2l3 

Peut-être  ne  serait-il  pas  trop  difficile  de  faire  une  application 

de  ce  procédé  à  la  quantité  -^ ;  il  suffirait  d'avoir  iine  limite 

supérieure  de  D".[e'' ). 

Mon  inadvertance  de  supposer   les  limites    infinies  dans  Tin- 
té errai  e 

'   a 

est  bien  regrettable,  et  je  vous  sais  bien  gré  de  me  l'avoir  signalée. 
En  attendant  que  j'aie  pu  suffisamment  rétlécbir,  voici  peut-être  un 
moyen  d'éviter  la  difficulté.  Soit  d'abord 

je  remarque  que  la  relation 

<ï>(N)-  *(iN'j  =—>,/- 
subsiste  si  l'on  prend 

<i>(z)=    I       \F(t  +  z)-i ^-^. :\dl 


f  [t'''^')^, _„!,,_,] 


sous  la  condition  que  F(^  +  r)  soit  finie  le  long  de  la  coiqnire.  En 
admettant  que  cette  fonction  soit  telle  que  la  nouvelle  intégrale 
ait  un  sens  pour  ^  =  +  a,  y.  =  — ce,  il  me  semble  que  rien  ne 
s'oppose  à  ce  qu'on  admette,  dans  ce  cas,  la  relation 

<ï>(N)  — *(N')  =  —  '2iiz. 

M.  Picard  vient  de  m(.'  dire  qu'au  mojen  d'un  cliangement  de 
variable,  l'aire  d'un  cercle  peut  devenir  le  demi-plan,  d'où  résulte 
que  de  la  formule  de  Gauchj 

,.,  I     rf(z)dz 

•'  ■J.IT.J        Z  —X 

OÙ  l'on  suppose  z  =  e'^,  on  peut,  dans  tout  le  demi-plan,  conclure 
les  valeurs  de  /(x),  de  celles  qui  correspondent  aux  valeurs 
réelles  de  /  =^  o  à  ^  =  271:.  Cette  considération  d'un  changement 
de  variable  ne  me  satisfait  pas  absolument  et  je  profiterai  de  la 
première  occasion  que  je  pourrai  avoir  de  parler  à  M.  Poincaré 
de  l'extension  des  fonctions  <p(^)  et  'h{^)- 


2l4  CORRESPOM)ANCE    1)  IIEKMIÏE    ET    DE    STIELTJES. 

Je  VOUS  renouvelle  tous  mes  remerciements  pour  votre  bonté 
cl  la  peine  que  vous  avez  prise  de  me  rédiger  si  clairement  votre 

méthode  concernant  la  fonction  — 1  tjue  j  ai  pu  ainsi  m  assi- 
miler sans  l'ombre  d'un  effort. 

Crojez-nioi  toujours,  mou  cher  monsieur  et  ami,  votre  bien  sin- 
cèrement et  affectueusement  dévoué. 

111.  ^  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  i"  mars  1887 


INI 


ONSTEVR. 


J'espère  que  vous  voudrez  bien  m'excuser  si  j'ai  ajourné  à 
quelques  jours  la  réponse  à  votre  dernière  lettre  c[ui  m'a  fait  tant 
de  plaisir. 

D'abord,  je  dois  faire  amende  honorable,  après  avoir  consulté 
l'article  de  M.  Poincaré  {Comptes  rendus,  t.  XCVI,  p.  1 134),  je 
vois  qu'il  n'a  pas  le  rappoil  si  immédiat  que  je  crojais  avec  la 
question  qui  se  présenta  à  propos  de  votre  intégrale 


/ 


271 

f{x)  cot dx. 


0 
Le  théorème  de  JM.  l^oincaré  est  le  suivant  : 


Soient  fi^x)  une  fonction  existant  seulement  dans  la  moitié 
supérieure  du  plan,  f\(.r)  une  fonction  existant  dans  la 
moitié  inférieure  du  plan,  alors  on  pourra  toujours  trouver 


0  X 

deux  fonctions  '■p(-i"),  ^(-3:^)  existant  dans  tout  le  plan,  telles 
que 

o i x)  -T-  <h {x )  =^  f{x)  ou  fi{x) 

selon  le  cas.  o{x)  admettra  pour  coupure  la  partie  de  Vaxe 
de  —  1  à  -h  I ,  '|(.r)  les  deux  coupures  de  —  x  à  —  \  et  de  ~  \ 

à  -f-  00. 


LETTRE    111.  2l5 

Dans  sa   démonslralion,   M.    Poincaré   applique  la   formule  de 
Fouiner 

el  il  sappuie  aussi  sur  cette  remarque  que  l'expression 


2 


A.,,,.e 


nnx 


définit  une  fonction  dans  la  moitié  supérieure  du  plan  et 


une  fonction  dans  la  moitié  inférieure.  Dans  l'article  cité,  M.  Poin- 
caré introduit  la  dénomination  de  coupure  arlificielle  qui  me 
semble  heureusement  choisie  et  qui  répond  à  un  besoin  que  j'ai 
ressenti  quelquefois. 

L'observation  de  M.  Picard  à  l'égard  de  la  formule  de  Cauchj 


j\x  )  =  ~\-    f  - 


f{z)dz 


ne  répond  pas  précisément  à  la  question  telle  que  je  l'avais 
envisagée.  En  effet,  elle  montre  qu'on  peut  calculer  f{x)  lorsque 
les  valeurs  de  f{z-)  (sur  la  courbe  C)  sont  données.  Mais  on  ne 
peut  pas  donner  arbitrairement  les  valeurs  de  y(;)  sur  la  courbe. 
Au  contraire,  on  sait  (Riemann,  Dissertation  inaugurale)  qu'en 
donnant  simplement  sur  la  courbe  C  \d, partie  réelle  u  de 

f{x)  =  u-\-  iv, 

la  partie  imaginaire  v  est  déjà  déterminée,  par  là,  à  une  constante 
additive  près:  en  effet, 

Dans  la   question   telle  que  je  l'ai  envisagée,   il  faudrait  donc 
démontrer  que  v  s'annule  sur  l'axe  des  quantités  réelles. 
Riemann  {^OEuvres,  p.  ayo)  a  énoncé  ce  théorème  : 

Etant  donnée  une  Jonction  périodicjue  J(x )  de  la  variable 


2l6  CORRESPONDANCE    DHERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

réelle  x^  alors  il  existe  loujouis  une  fonction  'f(x  +  iy^)  finie 
pour  y  ^  o  et  qui  se  réduit  à  f[x)  pour  y  =  o. 

Il  renvoie  à  sa  disserlallon  poui-  la  démonslralioii.  Mais 
M.  Schwarz  [Journal  de  Borchardt,  t.  7i)  a  déjà  appelé  l'atten- 
tion sur  celle  assertion  qu'il  semble  dilficile  de  justifier. 

Pour  ma  part,  je  crois  pouvoir  démontrer  sans  réplique  ce  qui 
suit  : 

Si  la  fonction  y(^)  a  lïne  discontinuité  dans  sa  dérivée,  alors 
l'assertion  de  Riemann  ne  peut  être  exacte. 

Si,  dans  ce  cas,  il  est  possible  de  continuer  la  fonction  f[x) 
dans  une  moitié  du  plan,  la  partie  imaginaire  v  ne  peut  pas  se 


Keprésentalion  de  f{x]. 

réduire  à  zéro  sur  l'axe  des  quantités  réelles.  Mais,  quoique  mon 
raisonnement  n'est  pas  bien  compliqué,  je  ne  crois  pourtant  pas 
devoir  le  développer  ici. 

Je  viens  de  voir  que  la  formule  de  décomposition  de a  été 

donnée  par  M.  Kronecker.  C'est,  en  effet,  la  formule  (-),  page  85  i . 
des  Comptes  rendus  de  l'Académie  de  Berlin  de  i885.  M.  Kro- 
necker donne  une  démonstration  très  curieuse  qui  lui  fournit  une 
formule  plus  générale  (i  a)  où  il  suffit  de  faire  ù  =  i  pour  retrouver 
la  formule  {'j). 

M.  Kronecker  dit  aussi  l'avoir  donnée  déjà  dans  les  Comptes 
rendus  de  i883,  page  4991  ^''^^^is,  en  cet  endroit,  il  s'est  borné 
simplement  à  dire  que  la  formule  revient  au  développement  de 
Fourier  de  cos«.r,  sina.^.  J'ajoute  que  dans  le  Mémoire  cité 
[Comptes  rendus  de  i885),  M.  Kroneckera  remarqué  aussi  qu'on 
déduit  aussitôt  de  cette  formule  le  développement  en  série  de 
Fourier  des  polynômes  de  Bernoulli. 

Votre  très  respectueusement  dévoué. 


r.ETTKE    112.  9.1- 

112       -  IIERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  S  mars  1H87. 
Gheu  Monsieur. 

J'ai  bien  de  la  peine,  à  cause  de  l'allemand  et  de  la  complicalion 
des  calculs,  de  tirer  parti  du  Mémoire  de  M.  Kronecker,  qui  me 
paraît  cependant  d'une  gi\ande  importance,  et  je  ne  suis  guère 
plus  heurexix  avec  le  beau  travail  de  M.  Poincaré  sur  les  fonctions 
à  espaces  lacunaires.  Comment  donc  arrive  l'expression 

e  ^-  e  .' 

Rebuté,  comme  vous  voyez,  par  l'Analyse,  je  me  suis  occupé 
d'une  formule  que  Gauss  donne  dans  l'article  :  De  nexii  inter 
multitudinem  classiitni,  etc.  {Œuvres,  t.  II,  p.  ■270),  pour 
exprimer  le  nombi'e  des  points  contenus  dans  le  cercle  x--\-y-  =^  A 
et  sur  le  contour,  dont  les  coordonnées  sont  des  nombres  entiers 
et  j'ai  remarqué  qu'elle  s'étend  au  cas  de  l'ellipse  A^x^  -h  ^y-  =  N. 

Faites 


puis 


le  nombre  des  points  contenus  à  l'intérieur  et  sur  la  circonférence 
de  l'ellipse  est 

On  doit  à  Dirichlet  une  formule  d'une  grande  importance  dans 
les  questions  de  ce  genre  et  que  j'ai  employée  récemment  dans  un 
article  du  Journal  de  Crelle  :  Remarques  arithmétiques  sur 
quelques  formules,  etc.,  t.  100,  p.  55. 

En  voici  une  démonstration  facile  : 


2l8 


CORRESPONDANCE    D  HER.MITE    ET    DE    STIELTJES. 


Soily=/{jc)  la  courbe  lîgurée  par  A'B'  depuis  x  =  0A=  ; 
jusqu'à  X  =  OB  =  p,  et  dont  on  suppose  l'ordonnée  décroissante 
entre  ces  limites.    En   désignant  par  A"  la   projection   de  A'  sur 


y 

A" 

^^^A* 

B" 

^^ 

■^-^^ 

i 

-~ 

0 

A 

B 

JC 

l'axe  Oy,  je  chercherai  le  nombre  des  points  ayant  pour  ordonnées 
des  entiers,  qui  sont  contenus  dans  Taire  OBB'A'A'O  avec  ceux 
qui  se  trouvent  sur  la  courbe  et  sur  les  axes  de  coordonnées  OA" 
et  OB.  L'aire  en  question  se  compose  du  rectangle  OAA'A"0  et 
du  segment  ABB' A  A. 

Dans  le  rectangle,  avec  la  condition  admise,  le  nombre  des 
points  est  ç.P][/(^)],  et  dans  le  segment  c'est  la  somme 

E\/{'r  +  n|  +  E[/(  ^  H-  '.i  )]  -H. .  .^  E\/(p  )]. 

Cela  étant,  je  fais  la  même  énumération  d'une  autre  manière,  en 
projetant  le  point  B'  sur  l'axe  des  ordonnées  en  B",  ce  cjui  me 
donne,  de  nouveau,  un  rectangle  OBB'B"0  et  un  segment 

B"B'A'A"B". 
Or  le  rectangle  me  donne,  si  je  pose  x  =  g' {y)-) 


et  le  segment  conduit  à  la  somme 


K  !,.-(/' 


E[g{p-^:>.A 


E[*°-(-^-'J 


et  faisant  yj  =  E  [/(i)]-  On  trouve,  en  égalant  les  deux  expressions, 
la  formule  même  de  Dirichlet,  dont  les  applications  sont  nom- 
breuses et  intéressantes,  par  exemple  en  faisant  j- ^=  .r"'.  Pour 
m  =  2,  on  trouve  ainsi  un  résultat  (ju'a  donné  M.  Bougaïeff,  dans 
un  article  très  remarquable  pul)li(''  diius  les  Comptes  rendus  ('). 


(')  Note  des  éditeurs.  —  Voir  Comptes  rendus,  t.  C,  p.  nSg. 


LETTRE    113.  "^'ig 

Je  reviens  aux  fondions  pour  vous  remercier  des  indications 
précieuses  que  contient  votre  dernière  Lettre  et  vous  dire  que,  sur 
ces  questions  difficiles  autant  qu'importantes,  je  ne  suis  qu'un 
écolier,  n'ajant  pu,  à  cause  de  l'allemand,  étudier  Riemann  dont 
je  n'ai  qu'une  idée  absolument  superficielle.  Mais  je  sens  tout 
l'intérêt  de  la  pro[)osition  du  grand  géomètre  à  laquelle  vous  faites 
des  objections  qui  portent  sur  la  discontinuité  possible  de  la 
dérivée.  En  précisant  les  conditions  restrictives  qu'elle  couq^orte, 
vous  ferez  une  chose  extrêmement  utile,  et  ce  me  sera  un  grand 
plaisir  d'étudier  votre  travail  sur  ce  sujet  et  de  me  faire  voire 
élève.  M.  Mittag-Leffler  m'a  informé  que  la  lettre  écrite  par  les 
membres  de  la  Section  de  Géométrie  dans  l'intérêt  des  Acta  a 
reçu  du  Ministre  de  l'Instruction  [)ublique  de  Suède  un  accueil  on 
ne  peut  plus  favorable,  et  que,  maintenant,  il  ne  doute  pas  que  le 
Stortbing  n'accorde  les  subventions  nécessaires  à  son  Journal. 

Avec  la  nouvelle  assurance  de  mon  affection  bien  dévouée. 


113.  —  SriEl.TJES  A  HE  H  MITE. 

Toulouse,  10  mars  1887. 
Monsieur, 

J'ai  lu  avec  beuuc(jiq)  d'intérêt  votre  démonstration  de  la  for- 
mule de  Dirichlel  et  j'en  ai  fait  l'application  au  cas  j- =  x-  que 
vous  avez  indiqué. 

Quant  à  l'article  de  M.  Poincaré,  il  m'a  donné  aussi  du  fil  à 
tordre;  par  inadvertance,  il  y  a  aussi  sans  doute  une  confusion 
entre  les  fonctions  a  et  'j/.  Mais  je  crois  avoir  réussi  à  en  saisir  le 
sens  et,  si  cela  vous  intéresse,  je  crois  que  la  Note  ci-jointe  n'offrira 
plus  de  difficultés. 

J'espère  pouvoir  parler  une  autre  fois  plus  amplement  sur  cette 
assertion  de  Piiemann  sur  laquelle  M.  Schwarz  a  déjà  appelé 
l'attention.  Pour  moi,  si  je  comprends  bien  le  sens  des  mots,  je 
serai  porté  à  croire  que  c'est  là  un  lapsus,  et  que  les  cas  où  l'en 
peut  continuer  de  cette  manière  nue  fonction  réelle  sont  excep- 
lionneh. 

Mais  je  voudrais  bien  que  quelque  mathématicien  plus  autorisé 


220  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Irailàl  ce  poliil.  M.  Sachse,  dans  V Essai  historique  sur  La  repré- 
sentation d' une  fonction  arbitraire  par  une  série  trigonomé- 
trique  {Bulletin  de  Darhoux,  année  1880)  a  glissé  sur  ce  point. 

Je  considère  toujours  comme  mon  travad  principal  la  ligne  de 
singularité  des  fonctions  modulaires,  mais  je  ne  fais  que  préparer 
mes  eflorts  et  j'attends  les  vacances  pour  pouvoir  travailler  plus 
sérieusement. 

...  II  me  semble  que  les  événements  politiques  des  dernières 
trente  années,  en  excitante  un  si  haut  degré  l'esprit  de  nationalité, 
nous  ont  fait  rétrograder  sous  bien  des  rapports.  Il  y  a  un  demi- 
siècle  les  partisans  des  idées  libérales  qui  prêchaient  une  entente 
amicale  entre  les  peuples  n'étaient  pas  rares.  Aujourd'hui,  dans  la 
Httératnre,  personne  ne  semble  penser  à  cela.  Peut-èti'e  faudrait-il 
excepter  ici  les  partis  extrêmes,  anarchistes,  socialistes...  mais 
cela  n'est  pas  bien  fait  pour  nous  consoler.  Mais  l'histoire  continue 
sa  marche  et  qui  peut  l'arrêter  ou  prévoir  son  développement? 

J'ai  appris  avec  beaucoup  de  satisfaction  l'eflet  heureux  qu'a  eu 
la  démarche  faite  en  faveur  du  maintien  des  Acla  nialhematica, 
et  certainement  vous  n'en  êtes  pas  moins  content.  Je  sais  comment 
votre  temps  est  précieux  et  je  crains  quelquefois  que  ma  corres- 
pondance ne  vous  pèse.  J'espère  donc  très  sincèrement  que  vous 
ne  consacrerez  pas  trop  d'attention  à  mes  lettres,  si  elles  vous 
arrivent  à  un  moment  inopportun. 

Votre  respectueusement  dévoué. 


114.  —  LIER. MITE  A  STIELTJES. 

Paris,  1 1  mars  1S87. 
Chek    -NIoAsiEur,. 

Vous  avez  éclairé  de  la  plus  vive  lumière  le  théorème  de 
Poincaré  qui  m'avait  paru  si  obscur  avant  d'avoir  votre  Note  que 
j'ai  lue  avec  admiration,  je  vous  le  dis  en  tonte  sincérité.  Mais  je 
ne  dois  point  garder  jiour  moi  seul  votre  beau  travail,  et  je  viens 
vous  prier  d'en  faire  le  sujet  d'un  article  étendu  pour  un  de  nos 
recueils,  le  Journal  de  M.  Jordan  ou  les  Annales  de  L'Ecole 
normale.  Je  suis  extrêmement  frappé  de  la  possibilité  que  vous 
avez  si  bien  établie  des  développements  en  séries  de  '3[x)^{x), 


LF.TTKI'     114.  221 

suivant  les  puissances  desccndanles  et  de  'b(x)  Q(x),  suivant  les 
puissances  croissantes  de  la  variable,  et  je  ne  puis  douter  que  tous 
les  géomètres  n'attachent  le  plus  grand  prix  à  votre  analyse. 

Il  me  semble  même  que  je  pourrais  donner  votre  méthode  dans 
une  de  mes  Leçons,  à  moins  que  vous  ne  désiriez  vous  réserver 
d'approfondir  encore  davantage  le  sujet,  qui  en  vaut  la  peine  par 
son  importance.  Vous  pensez  bien  que  je  me  suis  demandé  si  l'on 
peut  prendre  comme  exemple 


4 
au-dessus  de  l'axe  des  x^ 

1     r''^'  t  —  x  , 

•^  4'-./,,  2 

au-dessous,  de  manière  à  associer  à  la  formule  de  Fourier 

<pii  peut  n'exister  que  pour  des  valeurs  réelles,  la  fonction  F{x) 
qui  existe  dans  tout  le  plan,  sauf  sur  l'axe  des  abscisses.  Mais  il 
m'est  vraiment  superflu  de  vous  donner  aucune  indication  et, 
mieux  que  moi,  vous  saisissez,  dans  toute  leur  étendue,  le  rôle  de 
ces  considérations  nouvelles  et  profondes,  sur  une  question  capi- 
tale d'Analjse. 

Vous  me  faites  grand  plaisir  en  m'apprenant  que  vous  songez  à 
la  coupure  des  équations  modulaires,  coupure  qui  n'est  pas  artifi- 
cielle, comme  celles  de  Riemann  ou  celles  des  intégrales  définies. 
Si  vos  efforts  sont  couronnés  de  succès,  comme  je  l'espère, 
permettez-moi  de  vous  engager  à  en  faire  le  sujet  d'un  Mémoire 
présenté  à  l'Académie  des  Sciences  et  sur  lequel  M.  Darboux, 
M.  Poincaré  et  moi  nous  ferions  un  Rapport  qui  nous  donnerait 
occasion  de  dire  publiquement  ce  qvie  nous  savons  tous  de  votre 
beau  talent. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  monsieur  Stieltjes,  l'expression 
de  mes  sentiments  affectueux  et  bien  dévoués. 


222  COnUESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

115.    -  HERMITE  A   STIELTJES. 

12  mars  1887. 
Cher  Monsieur, 

J'ai  bien  crainle  de  vous  prendre  indiscrèlement  voire  temps  el 
d'abuser  de  votre  complaisance,  aussi  ne  vous  pressez  point,  je 
vous  le  demande  instamment,  pour  me  dire  si  je  comprends  bien, 
comme  je  le  crois,  la  proposition  de  Poincaré  en  admettant  que 
la  fonction  F(x),  telle  qu'il  la  détermine  ainsi  que  vous  me  l'avez 
si  bien  expliqué,  a  dans  tout  le  plan,  nono])slant  la  coupure,  une 
seule  el  unique  expression  analytique. 

Dans  ce  cas,  on  aurait  un  exemple  d  une  extrême  généralité,  du 
fait  analytique  déjà  signalé  par  Weierstrass  et  que  met  en  évi- 
dence la  série  de  Tannerj 


(jui  existe  dans  tout  le  plan,  étant  -j- i  ou  — i,  suivant  que 
moda^'  <  I  ou  mod^r  >  i .  Mais  je  ne  me  trompe  point  sans  doute, 
en  regardant  que  celte  expression  unique  n'est  point  donnée 
au    moyen     de    vos    développements    cp(:r)  0(a- )  ^\  <7,,,r~"     el 

'!/(.r)  0(^)  =^^"-^  "5  p^'i^qiie  le  premier  suppose  mod,r>>i  el 
le  second  mod  j:  <C  '  •  Faul-il  par  conséquent  se  résigner  à  l'expres- 
sion 

■iiT.  o{x)Q{x)  =  /   dz- 

'  J         z  —  X 

suivant  votre  [premier  contour  et  à 

■21- A) (x)  0(',r) 

suivant  le  second?  J'ai  tout  lieu  de  le  penser;  préoccu])é  d'autres 
choses,  j'ai  recours  à  vous  poui-  dissiper  ces  nuages,  sous  les  plus 
expresses  réserves  de  votre  convenance,  et  en  vous  priant  de  ne 
vous  presser  aucunement  pour  me  sortir  d'embarras. 

Avec  la  nouvelle  assurance  de  mes  sentiments  bien  afleclueux. 


I.KTTRK    116.  2  23 

P .  S.  —  A  olre  expression 

F(.r)  &{x)  =  V«„.rn-)-\^6„^" 

supj)Ose  eomme  vous  le  menlionnez  moAx  =  i,  mais   pourquoi? 

116.  —  n ERMITE  A  STIELTJES  ('). 

17  mars  1887. 
Cher  Monsikuiî, 

Voire  expression  de  ^[x)o{x)  clans  tout  le  plan,  |)ar  la  frac- 
lion  continne 


me  paraît  extrêmemenl  remarquable;  elle  me  rappelle  que  M.  Hal- 
phen, dans  les  Comptes  rendus  d'il  y  a  deux  ans,  a  déjà  signalé, 
au  poiul  de  vue  de  la  convergence,  les  circonstances  singulières 
que  présentent  les  développements  de  cetle  forme,  et  je  suppose 
que  le  travail  de  l'émineiil  géomètre  aura  attiré  votre  attention. 
Pendant  que  vous  songez  à  la  cinématique,  aux  déj^ens  de  recher- 
ches d'une  nature  plus  élevée,  je  dois  aussi  m'occuper  de  mon 
enseignement,  et  j'ai  charge  de  fournir  des  exemples  d'intégrales 
définies  qu'on  détermine  au  moyen  de  résidus.  Peut-être  dans  vos 
conférences  serez-vous  aussi  conduit  à  ce  sujet;  c'est  ce  qui  m'en- 
gage à  vous  indiquer  la  remarque  suivante  qui  fera  le  sujet  d'une 
de  mes  leçons. 

Soil 

¥{z)  =  {z-a)"'iz  —  by...{z-  ly. 

Je  me  propose  d'obtenir  l'intégrale 

re--«dz 

prise   le    long  d'un    contour   fermé   comprenant   à  son   intérieur 


(')  Notes  des  éditeurs.   —   Kiilre   le    12  et   le    17  mars,    il   y  a   eu    sûrement 
quelque  lettre  de  Stieltjes  que  nous  ne  possédons  pas. 


224  CORRESPONDANCE    DllERMITE    ET    UE    STIELTJES. 

rt,  b,   ...,/.  Si  l'on  désigne  par  ijl  le  degré  de  F(-:;)  de  sorle  que 
jjl  =  7?i  -I-  /»  -f- . . .  -H  .s-, 

il  résulle  d'abord  de  l'expression  même  de  l'intégrale  que.  pour 
^  =  G,  on  aura 

et  par  conséquent  le  développement  suivant  les  puissances  crois- 
santes de  X 

J  =  A.rP--i+  BxV-r-  Cx^+^-^ 

Telle  est  donc  aussi  la  somme  des  résidus  de  la  fonction 


F(^ 


pour  les  divers  pôles  a,  b,  .  .  .,  /. 

Or  le  résidu  correspondant  à  l'un  d'eux,  z-  r=  «.  par  exemple, 

est  de  la  forme 

e«^-n,„_i(a7), 

n„i_,  [x)  étant  un  polynôme  en  x,  du  degré  m  —  i .  On  aura  donc 
la  relation 

=  A,r!i->-f-  BxV-^  CxV--+-^-^ 

Cela  étant,  je  remarque  que  le  système  des  polynômes  Ilw_i, 
n„_,,  ...  donne  le  degré  d'approximation  le  plus  grand  possible 
de  la  fonction 

Effectivement,  le  nombre  des  constantes  arbitraires  contenues 
dans  P,«_i,  P//_i,  ...,  Pi_i  est  /?i -|- /i +. .  .-4- 5  =  [Ji,  et  comme 
elles  entrent  sous  forme  homogène  dans  les  coefficients  des  diffé- 
rentes puissances  delà  variable,  on  pourra  égaler  à  zéro  les  [j.  —  1 
premiers  termes.  Elles  se  trouvent  en  conséquence  délerminées, 
sauf  lin  facteur  commun,  par  la  condition  que  le  développement 
de  la  fonction  linéaire  des  diverses  exponentielles  commence  au 
lermc  en  xV-~^^  et  c'est  cette  détermination  qui  se  trouve  réalisée 
par  les  expressions 


LETTRE    117.  225 

Je  confie  maintenant  à  votre  cœur  arithmétique  ce  dont  je  ne 
dirai  rien  aux  élèves  qui  ne  s'en  soucieraient  guère;  je  me  pro- 
pose de  donner  un  système  de  formules  récurrentes,  pour  obtenir 
de  proche  en  prociie,  pour  toutes  les  valeurs  de  l'entier  m,  le 
système  des  polynômes  qui  se  rapportent  au  cas  de 


J    [(^-« 


e--^  d.T 


)(z-~ù)...{z-l)\' 


Mais  pour  cela,  j'ai  besoin  d'un  peu  de  temps,   et  je  ne  sais  pas 
trop  quand  il  me  sera  possible  d'en  venir  à  bout. 

Dans  l'espérance  qu'un  beau  travail  résultera  de  votre  idée 
excellente  et  si  originale  sur  le  mode  d'expression  des  fonctions 
t)(:r)  cp(^),  Q(x)<i^(a;),  et  en  vous  félicitant  vivement  de  cette 
nouvelle  conception,  je  vous  renouvelle  l'assurance  de  mes  senti- 
ments bien  affectueux  et  bien  dévoués. 


117.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  29  mars  1887. 
CuEa  Monsieur, 

M.  Mittag-Leffler  a  pris  pour  sujet  de  ses  leçons  à  l'Université 
de  Stockholm,  le  Mémoire  de  Riemann  sur  les  nombres  premiers 
qui  a  été  l'objet  des  excellentes  recherches  dont  vous  avez  donné 
les  résultats  dans  les  Comptes  rendus  de  i885.  Le  théorème  mer- 
veilleux que  le  nombre  des  racines  de  l'équation  ^(;)  =  o,  dont  la 
partie  réelle  est  comprise  entre  les  limites  o  et  T,  est 

T  ,       T         T 

—  log j 

271  271  271 

a  naturellement  appelé  son  attention  et  il  m'écrit  qu'il  lui  a  été 
impossible  de  le  démontrer,  en  faisant  appel  à  mes  lumières.  Vous 
ne  serez  pas  surpris  que  j'y  ai  répondu  par  le  conseil  de  recourir 
aux  vôtres,  qu'il  a  suivi  avec  empressement.  M.  Mittag-Leffler  se 
trouve  cependant  arrêté  à  un  point,  il  ne  peut  voir  comment  vous 
établissez  que  la  série 

1         I         I         I         I 

^  ~  2I  ~  3^  ~~  5^  "*"  6^  "~  ^  "^  ■  ■  ■ 


220  CORRESPONDANCE    d'iIERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

est  convergente  tant  que  la  partie  réelle  de  s  surpasse  -  >  et  c'est  en 

son  nom  que  je  viens  vous  prier  de  vouloir  bien  lui  écrire  pour  le 
tirer  d'embari-as.  Vous  lui  ferez  grand  bien  en  lui  donnant  les 
éclaircissements  qu'il  attend,  me  dit-il,  avec  impatience. 

Permettez-moi  une  remarque  élémentaire  et  pédagogique  sur  les 
facteurs  primaires  à  laquelle  m'a  fait  penser  le  passage  de  l'expres- 
sion 


sina:  =  :r  I   |  |  i 

/tTI 


n 

à  celle-ci 

cosa?  =  I  I  (  I—  -^  J  e'"'^ 

(w,  =  ±  I,  ±  3,  ±  5,  . .  •). 

On  y  parvient  immédiatement,  au  moyen  de  l'équation 
sin2a7  =  2sina7  cosa? 

qui  donne   cos^r  ^ -^^ — -. —  ?   mais  on  peut  désirer  d'y  parvenir  en 
changeant  :r  en [-  x.  Considérez  plus  généralement  la  formule 


F(.)=.n('-f,) '='•■'"' 


où  les  polynômes  P«(cr)  sont  de  degré  quelconque.  En  changeante: 
en  .r  +  ç,  l'identité 


permet  d'abord  d'écrire 

on  obtient  ensuite,  en  divisant  membre  à  membre  avec 
l'expression 


LETTRE    118.  227 

que  je  vais  appliquer  au  cas  de  sinx.  On  trouve  alors 

qui  ne  donne  point  pour  ^  ==  -  la  même  formule  que  tout  à  l'heure. 

La  réponse  à  cette  difficulté  est  dans  l'expression  plus  générale 
que  voici,  où  a  désigne  une  constante  quelconque,  à  savoir 


sin(a^-+-n 

. i Z±   ;^  g  — .i-col 


''n[(^-;r^)^"^H- 


Faites,  en  effet,  en  particulier  «= '-■,  avec  ^=  -,   et  vous 

avez  bien  le  résultat  cherché.  Enfin  isolez  le  facteur  qui  correspond 
à  «  =  o,  vous  avez  la  quantité 


e'' 


et  comme  cotrt s'annule  pour  a  =  o,  vous  parvenez  à  l'autre 

formule . 

Et  tels  sont  les  pauvres  fruits  de  mes  leçons. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  monsieur  Stieltjes,  l'assurance 
de  mon  amitié  bien  dévouée. 


118.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  3o  mars  1887. 


Moi 


J'avais  déjà  reçu  une  lettre  de  M.  Mittag-Leffler  concernant 
celte  proposition  du  nombre  des  racines  de  l'équation  ^(^)  =  o, 
et  je  lui  ai  déjà  répondu  de  mon  mieux.  Je  crois  que  j'ai  réussi  à 
retrouver  à  peu  près  la  méthode  que  Riemann  a  suivie,  en  calcu- 


lant l'intégrale 


/ 


d\o^l{x). 


Votre  lettre  me  rappelle  que  j'ai  voulu  appliquer   dans   mes 
leçons  la  formule  de  M.  Weierstrass  à  la  fonction  e^  —  C.  Pour 


228  CORRESPONDANCE   d'qERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

plus  de  simplicilé,  je  mets  la  constante  C  sous  la  forme  e^  et 

(I  e"'      \ 

à  l'aide  de  la  décomposition  de    ^_^ _    —    ^_   ^^  j 

ex — e^  =  (i  —  e^)e    ''"-'  1  I 


a  -{-  iii-i 


tii  -i-'lnUi 


Pour  rt  =  o,  il  y  a  un  léger  changement  de  forme  analytique  et 
l'on  a  une  formule  cpii  ne  diffère  pas  essentiellement  de  la  for- 
mule qui  donne  la  décomposition  de  sin^. 

Si  vous  savez  que  je  suis  dans  les  examens  pour  le  baccalauréat, 
vous  voudrez  bien  excuser,  Monsieur,  cette  lettre  écrite  un  peu 
précipitamment. 

Votre  respectueusement  dévoué. 


119.  _  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

i8  mars  i8S8. 


120.   —  STIELTJES  A  IIERMITE. 

Toulouse,  23  mai  i888. 


M( 


J'espère  que  vous  n'aurez  pas  expliqué  trop  à  mon  désavantage 
le  long  silence  que  j'ai  gardé  après  votre  lettre  si  pleine  de  bonté 
et  pour  laquelle  je  dois  vous  remercier  encore  de  tout  mon  cœur. 
Mais  nous  avons  été  si  abattus  par  le  coup  cruel  qui  nous  a  fait 
perdre  notre  aîné,  après  une  semaine  de  cette  terrible  maladie 
(diphtérie),  que  je  n'étais  guère  capable  de  parler  de  notre 
Science.  Vous  savez  ce  que  Lagrange  disait  de  la  nécessité  de  ne 
jamais  cesser  de  travailler,  d'être  toujours  sur  la  brèche  pour  ne 
pas  laisser  s'endormir  l'esprit  et  le  tenir  en  haleine  et  je  sens  que 
ce  n'est  que  trop  vrai. 

Veuillez  donc  m'excuser  celte  fois  si  j'ose  vous  parler  d'une 


LETTRE    120. 


question  que  je  n'ai  pas  encore  approfondie,  mais  à  laquelle  je 
pense  depuis  quelque  temps. 

Soient 

X  =  a^x'* -\-  ^aix^ -+-  GaoX^ -h- .  .  .-\-  a^, 


je   pose    d'abord    celle  question.   Dans  quels   cas    est-il   possible 
d'établir  la  relation 

dx  dy 


(0 


à  l'aide  d'une  substitution  linéaire 

(2)  p  -\-  q  X  -^  ry  -[-  sxy  =  o  ? 

La  réponse  est  immédiate  :  il  faut  et  il  suffit  l'égalité  des  inva- 
riants 

S  =  «û^i —  («^«i^a-H  3a|  =  b^b^  —  4  ^1  ^3+  3  6|. 

bo     bi      h.. 


(3) 


«0 

ai 

«2 

«1 

a^ 

«3 

= 

«2 

«3 

«4 

^1      b.      bs 
b,     b,     b. 


(Je  fais  absti^iction  des  cas  particuliers  où  X  =  o,  Y=  o  auraient 
des  racines  multiples.) 

Ces  conditions  (3)  étant  supposées  satisfaites,  je  me  propose 
d'approfondir,  au  point  de  vue  algébrique,  la  détermination  des 
coefficients  p,  q,  /•,  s. 

Soient 

Xlj         X-^j        X^j         Xr^j 

les  racines  de  X  =  o,  Y=  o.  Leurs  rapports  anharmoniques  sont 
égaux  et  si  l'on  suppose,  par  exemple, 

(a?i,  X.2,  X3,  x^)  =  rapp.  anharm., 
{xi,  x.,,x3,x!,)  =  iyi,y2,  .73,7'.), 

alors  les  substitutions  (2)  font  correspondre 

xi,     x.2,     X3,     xr,  à  yi,    y2,    73,     JKi, 

ou    à  JK2,       JKl,      Ji,      73, 

ou  à       ys,   yk,    yi,    yi, 

ou  à        j'i,    y-i,    y.,     yi- 


23o  COKRESPONDANCE    d'iIERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Ainsi,  il  J  a  loujours  quatre  subslitulions  de  la  forme  (2)  el  le 
problème  doit  dépendre  d'une  équation  du  quatrième  degré. 

11  est  vrai  qu'on  peut  écrire  directement  ces  substitutions  si 
l'on  connaît  ;r,,  ^o,  ...,  ^4,  jKi?  JK27  •••;  J'k-,  mais  cela  exige  la 
solution  des  deux  équations 

X  =  o,        Y  =  o. 

Il  est  bien  vrai  que,  à  cause  de  l'égalité  des  invariants,  cela  ne 
doit  pas  compter  pour  la  solution  de  deux  équations  indépendantes 
du  quatrième  degré,  mais  toujours  cela  exige  un  peu  plus  (le 
calcul  de  deux  racines  carrées)  que  la  solution  d'une  seule  équa- 
tion du  quatrième  degré.  Or,  la  vraie  solution  du  problème  doit 
dépendre  ai  une  seule  équation  du  quatrième  degré  que  je  me  suis 
proposé  d'établir. 

Dans  un  cas  particulier,  la  solution  est  facile,  et  je  veux  l'indi- 
quer parce  que  cela  montre  aussi  comment  j'espère  parvenir  au 
but  dans  le  cas  général. 

Supposons 

«/=  ht         (t  =  o,  I,  2,  3,  4), 

alors  il  est  clair  qu'une  des  substitutions  demandées  est 

la  détermination  des  trois  autres   doit  dépendre  d'une  équation 
cubique. 

Je  considère  l'intégrale  générale  de  l'équation  diflerentielle  (i) 
que  j'emprunte  au  Traité  de  IM.  Cajlej-Brioscbi  Sur  les  fonctions 
elliptiques,  page  3 18, 

n  -\-  •}A\  X  -\-  <^x-  -\-  "iyi  h  -\-  -ih  X  -h  f  .r^  )  -h  y-{g  -h  ■2ÎX  -\-  cx^)  =  o. 
Je  conserve  les  notations  de  M.  Cajlej  qui  a  pris 

X  :^  a -h  bx -+- cx--i- dx^-h  ex^         (p.  3i8), 
Y  =  a-h  by  -+-  cy--\-  df^-\-  cy'*, 

les   coefficients   a,  b,  c,   f,  g,    h  sont  des  polynômes  du  second 
degré  en  C,  la  constante  arbitraire,  el  si  Ton  écrit  l'équation  sous 

la  forme 

A  -4-2Bj('-i-Cjk2_o 
ou 

Aj-f-  aBiA'  H-  C^x-  =  o, 


LETTHE    121.  23l 

on  a 

B2_AG     =0X, 

Bf  — AiCi=  0Y, 

0  étant  du  troisième  degré  en  G.  Or,  si  l'on  détermine  maintenant 

C  par  la  condition 

0  ==  o, 

on  s'aperçoit  aisément  que  l'intégrale  générale  peut  s'écrire 

{{xy-\-gx-+-  g7-i-h)2=o; 
donc 

farK  +  g.r  +  gjK  +  h  =  o. 

Ce  sont  les  trois  substitutions  linéaires  qu'il  fallait  obtenir  et  qui 
dépendent  de  l'équation  cubique 

0  =  o, 

qui  peut  se  transformer  directement  en 

4  ?<^ —  Su  — T  =  o. 

Mais  il  me  reste  à  établir  l'équation  du  quatrième  degré  qui 
doit  se  présenter  dans  le  cas  général.  Pour  le  moment,  j'entrevois 
une  méthode  qui  doit  me  la  faire  connaître,  mais  elle  exigera 
d'effrayants  calculs  j  avant  de  les  entreprendre,  je  veux  chercher 
s'il  n'y  a  pas  un  moyen  plus  facile  d'y  arriver.  J'ai  supposé  que  le 
problème  n'avait  pas  encore  été  traité  sous  ce  point  de  vue,  peut- 
être  pourriez-vous  me  dire  si  cela  est. 

Respectueusement  votre  tout  dévoué. 

121.  —  STIELTJES  A  HERMITE . 

Toulouse,  i3 juin  i888. 
Monsieur, 

J'espère  que  vous  me  pardonnerez   si  je  continue  à  parler  du 
problème  que  j'ai  mentionné  dans  ma  lettre  précédente. 
Posant 

X  =  aoar'*+  4«i^*  +  •  •  •+  «V) 


232  CORRESPONDANCE   d'hERMITE    ET    DE   STIELTJES. 

OÙ  les  Gi,  bi  vérifient  les  deux  relalions 

S  =  «o«i —  4^1  '^:i+  3a|  =  bob;, —  4  (^i  ^3  -t-  3  6|, 


«0 

«1 

*72 

«1 

a-i 

'/.•i 

= 

a-i 

«3 

«4 

h. 

bi 

b-i 

hy 

b-i 

b. 

b. 

bz 

b'. 

Il  s'agit  de  la  détermination  des  qviatre  intégrales  particulières 
de  la  forme 

(i)  p  ^  qx  +  ry -\- sxy  =.  o 

de  réf[ualion  différenlielle 

(2) 


dx'^  _  dy'- 


Je  viens  d'abord  d'obtenir  l'équation  du  quatrième  degré  dont 
dépend  la  solution,  mais  elle  serait  trop  longue  à  écinre,  aussi 
n'ai-je  pas  fait  le  calcul  de  certaines  vérifications.  Mais  voici  un 
autre  résultat  de  mes  recherches  qui  pourra  vous  intéresser. 

Soit 

\\^  =  ( «0 «a  —  a\)x'* -\- .  .  , 

le  Hessien  de  X;  de  même 

\\y={b,b.^-b\)y*  +  ... 
le  Hessien  de  Y. 

Alors  vous  avez  donné  ce  résultat  remarquable  que,  en  posant 


on  obtient 


de  même,  en  posant 


on  aura 


2  dx 


H.. 

du 


v/X         v/4«^— Sii  — T' 


2  dy 


dv 


Il  est  clair  par  là  que  la  relation 


LETTRE    122.  233 

OU 
(3)  XH^  — YH^=n 

est  une  inlégrale  particulière  de  (;>.). 
Or,  je  trouve  maintenant  que 

XHj  — YH.^ 

est  égal  au  produit  de  quatre  expressions  de  la  forme 
p-k-qx^ry-^s  xy 

et,  en  égalant  à  zéro  ces  quatre  expressions,  on  a  précisément  les 
intégrales  particulières  cherchées  de  l'éc[uation  différentielle. 

Il  est  facile  de  vérifier  ce  résultat  dans  le  cas  a/=  6/,  l'un  des 
facteurs  de  XHj  —  YH^  est  précisément  x — y.  Mais  je  n'ai  pas 
encore  effectué  complètement  les  calculs  prolixes,  nécessaires 
pour  la  vérification  dans  le  cas  général. 

Veuillez  bien  agréer,  Monsieur,  l'expression  de  la  plus  sincère 
reconnaissance  de  votre  dévoué  et  respectueux  serviteur. 

P .  S.  —  J'espère  pouvoir  bientôt  publier  dans  les  Annales  de 
notre  Faculté  ces  recherches  sur  l'équation  différentielle 

dx^  _  dy^     , 

~X    ^    Y    ^   ^* 

122.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

(4,  rue  de  Fleurancc-AIonplaisii')  Toulouse,  i5  juin  i8S8. 

Monsieur, 

Voulez-vous  bien  me  permettre  de  i-evenir  encore  sur  ce  pro- 
blème des  substitutions  linéaires 

p  -\-  qx  -^  ry  -h  s  xy  =  o 


(')  JYote  des  éditeurs.  —  Le  Mémoire  de  Stieltjes  sur  ce  sujet  est  inséré  dans 

le  Tome  II  des  Annales  de  la  Faculté  des  Sciences  de  Toulouse,  p.   K.i,  i888 

et  a  poui'  titre  ;  Sur  la  transformation  linéaire  de   la   différentielle  ellip- 

dx 
tique  — =• 


234  CORRESPONDANCE    d'uERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

([ui  donncnl 

dx'^  _  dy^- 

je  vous  promets  expressément  que  ce  sera  la  dernière  fois. 

Vous  savez  que  j'ai  considéré  d'abord  le  cas  cn^bi,  alors 
p,  q,  /•,  s  s'expriment  rationnellement  au  mojen  de  «/,  racine  de 

l\u^  —  '&U  — T=  o. 

J'ai  tâché  alors  de  traiter  le  cas  général  de  la  même  manière  en 
établissant  dabord  l'intégrale  générale  de  l'équation  différentielle 

sous  la  forme 

a  +  2  a'  ar  -1-  a"  a?^ 

(i)  -H  2(P  +  23'ir -t- P"a;2)j 

-+-   ( Y  -}-  2 y'^  +  y"^- )y-  =  o> 

OÙ  les  a,  |j.  Y,  . . .  sont  des  polynômes  du  second  degré  en  C  (la 
constante  arbitraire). 

Mais  il  m'a  coûté  beaucoup  de  peine  pour  trouver  cette  for- 
mule (i)  et  elle  est  très  compliquée.  Mais,  une  fois  cette  formule 
obtenue,  la  solution  du  problème  n'offre  phis  de  difficulté  et  l'on 
trouve  directement  l'équation  du  quatrième  degré  en  C.  Si 
G  satisfait  à  cette  équation,  le  premier  membre  de  (i)  est  un 
carré  parfait  et  l'on  obtient  ainsi  les  suljstitutions  linéaires 

Pi  +  qiX  -\-  i-jY  -f-  5,:.rj  =  o         (  t  =  i ,  2,  3,  4  )• 

Mais  le  théorème  que  je  vous  al  communiqué, 

YH_r —  XHy  =  const.n  (/?/-t-  qix  -\-  riy  H-  sixy), 

permet   de    résoudre    la  question    d'une    manière  beaucoup  plus 
facile. 

En  effet,  il  est  clair  qu'on  n'a  qu'à  donner  à  y  une  valeur  par- 
ticulière (par  exemple  o  ou  ce)  et  à  résoudre  alors  une  équation 

du  (piatrième  degré 

all^ —  j3X  =  o. 

Il  y  a  même  avantage  à  considérer  directement  l'équation 

YH.,.— XH^=o, 

en  y  regardant  y  comme  constant.   Or  il  est  bien  connu   qu'on 


LETTRE    122.  235 

peut    faire    dépendre    la    solution    de    cette    équation    encore    de 

l'équation  résolvante 

4  ;<^ —  Su  —  T  =  o. 

En  poursuivant  cette  voie,  je  trouve  que  la  détermination  de 
ces  substitutions  linéaires  s'obtient  aisément  à  l'aide  de  ces  fonc- 
tions di,  .  .  . 

^2  ^,6  (^-  +  63/), 

que  vous  avez  rencontrées  dans  votre  premier  Mémoire  Sur  la 
théorie  des  fonctions  homogènes  à  deux  indéterminées  [Journal 
de  Crelle,  t.  52,  p.  i5).  Il  faut  considérer  en  même  temps  celles 
qui  appartiennent  à  X  et  à  Y. 

En  somme,  on  reconnaît  que,  pour  avoir  les  p,^  qi^  ...,  il  faut 
calculer  d'abord  les  racines  W|,  «25  '^3  de  l'équation  en  u.  Ensuite 
il  j  a  à  calculer  les  racines  carrées 


/??,  =  \/[a\  —  rto«2 —  aoUi){ùi  —  0^)0., —  ^u"i  j, 
/??,  =  \/(a'i  —  «o«2 —  «o"2)  (^î  —  ^0^2  —  ^0"2), 

'«3  =  v/(«'l  —  «0«2 «0«3)  (^1  1*0  l>2 bo^s), 

mais  à  cause  de 

nii  in^ni^^  7  («0  ^3 —  3ao«i  «2+  2«f  )  (6^  63 —  S^o^i  ^2+  26f  ), 

on  a  à  calculer  réellement  seulement  deux  racines  carrées. 

Les  Pi,  cji,  .  . .,  s'expriment  alors  rationnellement. 

Pour  avoir  séparément  les  racines   de  X  =  o   et   de  Y  = 
faudrait  calculer 


\a\  —  «o"2 — «uWi,  \/ 1>\  —  ^0^2 —  ^u  «1) 
\/a\  —  «o"2 —  «u  Uii  V^^i  —  bob 2. —  ^0  "2, 
\/a\  —  a»a.i —  rtu«3,     \/b\  —  b^b^—  boih, 

ce  qui  constitue,  en  réalité,  quatre  racines  carrées  à  calculer.  En 
somme,  je  me  suis  donné  bien  du  mal  pour  éviter  le  calcul  de 
deux  racines  carrées;  on  pourra  penser  que  c'est  bien  peu  de 
chose. 

On  voit  aussi  maintenant  comment  il  arrive  que,   dans  le  cas 
a,-=  bi,  il  suffit  de  connaître  «,,  u-j,  u^. 


236  CORUESPONDANCE    d'hEKMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Je  crois  que  ces  résultais  éclairciront  aussi  la  nature  de 
l'équation  en  C  dont  j'ai  parlé  ])lus  haut.  En  effet,  si  je  considère 
Téqualion  en  D  dont  les  racines  sont 

«ii-t-  m -2—  /na, 
mi  —  7}i-> —  m  3, 

■ —  /»i  —  m.,-\-  nis, 

il  me  semble  qu'il  doit  exister  une  relation  simple  entre  C  et  D, 
et  je  ne  pense  pas  me  tromper  en  soupçonnant  que  cette  relation 
sera 


T 


D 


en  sorte  qu'on  pourrait  même  avoir  simplement  C  =  D  en  chan- 
geant convenablement  la  constante  arbitraire  C  qui  figure  dans  la 
formule  (i). 

Quant  au  théorème 

YII^—  XII_j.  =  U{pi  -+-  qtx  +  Vif  -t-  Sixy), 

VOUS  aurez  remarqué  sans  doute  que,  à  cause  des  propriétés  inva- 
riantes, il  suffit  de  l'établir  dans  le  cas 

X  =  (.-:r2)(i-A-2:r2), 

et  il  vient  alors 

YH.,.  —  XHy  =  conî-t. (372  —  j2)  (i  _  W-x^-y'^ ). 

Mais  cette  remarque  si  simple  que  le  problème  proposé  revient 
à  décomposer  YHj. —  XHj  ne  s'est  pas  présentée  tout  d'abord. 

Veuillez   bien    me   croire,   Monsieur,    votre    respectueusement 
dévoué. 

123.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  17  juin  1888. 
jNIon   cher  ami. 

C'est  à  moi  de  m'excuser  du  retard  que  j'ai  mis  à  répondre  à  vos 
deux  dernières  lettres  et  surtout  à  vous  exprimer  combien  je  suis 


LETTKE    1*23.  287 

heureux  que  vous  ayez  réussi  à  surmonter  votre  chagrin  en  vous 
remettant  au  travail.  La  question  que  vous  avez  traitée  est  d'un 
grand  intérêt  et  ce  me  serait  un  plaisir  de  m'y  engager  avec  vous, 
ainsi  que  vous  m'avez  vu  faire  autrefois,  quand  vous  vous  en  pre- 
niez à  l'Arithmétique,  si  je  n'étais  à  bout  de  mes  forces  et  ayant 
quelque  peine  à  cause  de  la  fatigue  que  j'éprouve  à  en  finir  avec 
mes  leçons  à  la  Faculté.  Au  moins  permettez-moi,  puisque  vous 
vous  proposez  de  publier  vos  recherches  dans  les  Annales  de 
Toulouse,  d'appeler  votre  attention  sur  un  excellent  travail  de 
M.  Halphen  sur  le  sujet  que  vous  avez  traité,  qui  a  paru  à  l'étranger 
dans  les  Rendiconti  du  Cercle  math'nnatique  de  l'Université 
de  Palerme.  Je  vous  envoie  le  numéro  de  ce  Recueil  que  vous  ne 
recevez  sans  doute  pas,  pensant  qu'il  devra  vous  intéresser.  Il  me 
semble  qu'il  y  a  quelque  analogie  entre  ce  que  fait  M.  Halphen  et 
votre  méthode  extrêmement  ingénieuse  de  conclure  une  solution 

particulière  de  1  équation  -^  =  -~  de  1  égalité  ^  :=  -y^-  Je  crois 

bien  aussi  avoir  rencontré  autrefois  comme  conséquence  de  la 
relation  qui  lie  une  forme  biquadratique  avec  ses  invariants  du 
sixième  et  du  quatrième  ordre  une  substitution  qui  ramène  l'inté- 
grale elliptique  générale  à  la  forme  que  vous  considérez 


/ 


du 


y/4  "*  —  Sa  — ^  T 


et  peut-être  y  aurait-il  utilité  à  la  rapprocher  de  celle  dont  vous 
faites  usage  u  = ^-  Je  la  rechercherai  dans  mes  anciens  arti- 
cles sur  la  théorie  des  formes  du  Journal  de  Crelle,  mais  elle 
m'échappe  en  ce  moment;  permettez-moi,  avant  que  je  la  retrouve 
et  si  paresseux  que  je  sois,  de  vous  indiquer  une  conséquence 
arithmétique  de  l'équation 

Hi(o)  =  2t/^"AP2, 
où  l'on  a 

A  =  (r  — 7'-)(i-5'')...         et         V  =  {i  ^  q''-){\  ^  q'^). .  . . 

Si  l'on  désigne  par/(/i)  le  nombre  des  solutions  en  nombres 
entiers  et  positifs,  sans  exclure  zéro,  de  l'équation 

(1)  a-i-h  Zxi-^  5:^3  +  . .  .4-  {■?.•)  —  r)^v=  «, 


238  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

OÙ  je  suppose 

V    =    11, 


je  trouve  d'abord  que  Ton  a 

P=V/(,i)^2«  («    =0,    1,2,    ...)• 

Cela  étant,  la  fonction  numérique /(/?)  s'obtient  de  proche  en 
proche,  par  celte  formule  de  récurrence 

/(n)=  f  {n  —  1)  —  fi  n  ~  lo)  ^  f{n  —  %\)  — ..  . 
+  /(«  — 4)— /(«  — i4  )-+-/( /i  —  3o)—... 
+ +  (-!)'-/(«  -  3 7-2  +  /•) 

+  (-0'-'/('i-3/-^-/-) 

-f- 1. 

Le  terme  s  est  égal  à  l'unité  ou  à  zéro,  suivant  c[ue  n  est  ou  n'est 
pas  de  la  torme • 

^  2 

La  même  équation  donne  la  relation  suivante,  à  l'égard  de  la 
fonction  plus  complicpiée 

F(n)  =2('^i  +  0(-2'2  +  i)---(-^v-M), 

où  le  signe   /,  se  rapporte  à  tous  les  systèmes  a^i,  X'^,^  .  . .,  ^v  fis 
solutions  de  la  même  équation  (i).   On  a  alors 

au  lieu  de 

fin)  =^i-  0'-'  [/(«  -  3r2+  ,■)  +/(n  -  3/-2-  ,-)]  +  s 

(/■  =  I,  2,  3,   ...), 

la  sommation  s'élendant  à  toutes  les  valeurs  de  r  telles  que  l'on 

ait,  soit 

3  /-^  ±  r 
Il  —  (3/'-±  /')  ^  o         ou  bien         n  —  ^o. 


L'équation 

0(o)  =  (i-^î)(l-ryi)...[(l-<7)(i-73)(i_5,5)...]2 

donne  lieu  à  des  conséc[uences  analogues  sur  d'autres  fonctions  cpii 


LETTRR    123.  289 

se  rapportent  à  réqualioli  ^,  +  2^0+ 3^3 +. . .+ «jfrt  = /i,  mais 
ce  ne  sont  là  que  des  remarques  bien  faciles  et  qui  ne  me  semblent 
avoir  (jue  peu  d'intérêt. 

Dans  le  même  genre,  et  sans  faire  plus  d'efforts,  j'ai  complété  nn 
article  de  M.  Hejmann  (')  dans  le  dernier  cahier  de  Crelle,  en 
présentant  comme  il  suit  la  réduction  à  la  forme  P  +  iQ  de  l'inté- 
grale elliptique 

J    \/\{x  —  a  —  ib)' 

où  X  est  un  polynôme  du  deuxième  ou  du  troisième  degré  à  coef- 
ficients réels.  Le  modvile  y/(x  —  a)--\-b'-^  se  transforme  en  une 
expression  rationnelle,  en  posant 

b{t^--^) 

X  =^  a  -\ ; 

it 

or  on  trouve  ainsi 

b{t — i)-  .  dx  /b  (t  +  i)dt 

X  —  a  —  ib  =■  —- —  nuis  =  —  4  /  -  ^ ;£: — . 

2^  s/x  —  a~ib  V    2         t^t 

T  T  . 

Désignant  par  —  ou  —  >   suivant  que  X  est  du  deuxième  ou  du 

troisième  degré,  la  transformée  de  X  par  la  substitution  considérée, 
j'obtiens 

f)  dt 


ou  bien 

i)dt 


C'est  le  résultat  bien  connu  de  Jacobi  qui  se  trouve  ainsi  fort 
simplement. 

En  vous  priant,  mon  cher  ami,  de  vouloir  bien  faire  parvenir  à 
M.  Baillaud  mes  remercîments  pour  l'envoi  qu'il  m'a  fait  d'excel- 
lents Mémoires,  où  j'ai  vu  avec  grand  plaisir  le  concours  analy- 
tique que  lui  a  prêté  M.  Tannery,  et  en  vous  renouvelant  l'expres- 
sion de  mes  sentiments  de  Ijien  sincère  affection. 


(')  Note  des  éditeurs.  —  L'article  de  M.  Heymann  est  inséré  au  Tome  103  du 
Journal  de  Crelle,  p.  87-88  (1888). 


24o  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET   DE    STIELTJES. 

124.   -  STIELTJES  A  HERMITE 

Toulouse,  le  17  juin  1888. 
Monsieur, 

Je  suis  extrêmement  heureux  d'avoir  reçu  votre  lettre  qui  me 
montre  de  nouveau  votre  amitié  qui  m'est  si  précieuse.  Mais, 
monsieur,  il  y  a  dans  votre  lettre  un  passage  qui  m'a  vivement  ému 
et  que  je  ne  peux  pas  laisser  sans  réponse.  Vous  dites  :  «  Je  crois 
bien  aussi  avoir  rencontré  autrefois  comme  conséquence  de  la 
relation  qui  lie  nne  forme  biquadratique  avec  ses  covariants  du 
sixième  et  du  quatrième  ordre  une  substitution  qui  ramène  l'inté- 
grale elliptique  générale  à  la  forme  cjue  vous  considérez 

du 


f 


v/4  U^ S  H 


et  peut-être  y  aurait-il  utilité  à  la  rapprocher  de  celle  dont  vous 
faites  usage 

u  = ^  » . 

Or,   Monsieur,  je  suis   sûr  d'avoir  dit  expressément  dans   ma 

lettre  que  j'ai  emprunté  à  vous  cette  substitution  11= —•  Mais, 

Monsieur,  c'est  un  résultat  classique,  aujourd'hui,  comme  du  reste 
tout  ce  qui  se  trouve  dans  ces  beaux  Mémoires  du  Tome  52  du 
Journal  de  d'elle.  Et  je  crois  que  si  mon  travail  a  quelque 
intérêt  ce    sera  surtout  à  cause   de  ce  qu'il  éclaircira  un  peu  la 

nature  de  cette  substitution  u  ^= ;^« 

Je  me  propose  de  faire  un  exposé  un  peu  complet  de  mes 
recherches  et  comme  nos  Annales  sont  aussi  destinées  à  des  lec- 
teurs qui  ne  peuvent  pas  se  procurer  facilement  tout  ce  qui  se 
publie  en  France  et  à  l'étranger,  je  donnerai  quelques  développe- 
ments, sans  crainte  de  répéter  des  choses  qui  sont,  il  est  vrai,  bien 
connues,  mais  qui  me  sont  nécessaires. 

Le  seul  travail  sur  lequel  j'avirai  à  m'appuyer  seront  vos 
Mémoires  sur  les  fonctions  homogènes  à  deux  indéterminées.  La 
raison  en  est  que  je  ne  peux  m'empêcher  de  regretter  que  si  cer- 


LETTRE    124.  2^1 

tains  résultats  de  ces  Mémoires  classiques  sont  répandus  mainte- 
nant dans  les  livres  élémentaires,  comme  celui  de  M.  Salmon,  on 
a  en  général  peu  reproduit  vos  démonstrations  et  enfin  les  idées 
qui  s'y  trouvent.  Ainsi,  par  exemple,  la  démonstration  de  la  rela- 
tion 

est  souvent  donnée  simplement  par  une  vérification  opérée  sur  la 
forme  canonique  de  y.  Je  trouve  aussi  dans  vos  Mémoires,  déjà,  la 
notion  des  invariants  et  des  covariants  irrationnels,  comme,  par 
exemple,  les  racines  0  de  l'équation  résolvante 

40^  —  j6  -+-y  =  o. 

Dans  ces  dernières  années,  un  jeune  géomètre  allemand, 
M.  Hilbert,  de  Konigsberg,  a  repris  cette  idée  des  invariants  et 
covariants  irrationnels,  et  il  y  a  consacré  un  Mémoire  étendu  dans 
le  Tome  XXVIII  des  Math.  Annalen.  Je  pense  que  M.  Hilbert 
ne  vous  est  pas  inconnu;  j'ai  aussi  fait  sa  connaissance  à  Paris 
en  1886. 

Naturellement,  comme  professeur,  j'ai  dû  étudier  aussi  un  peu 
les  travaux  d'Algèbre  de  Glebsch,  Gordan  et  de  leurs  disciples, 
pour  en  avoir  au  moins  une  idée  sommaire.  Mais  s'il  est  incontes- 
table que,  par  exemple,  le  théorème  de  Gordan  est  tout  à  fait  fon- 
damental, je  ne  peux  m'empêcher  de  croire  que  ces  théories-là 
n'ont  pas  encore  reçu  leur  forme  définitive,  —  il  me  semble  que  le 
formalisme  (oppressant  pour  moi)  a  bien  besoin  d'être  vivifié  par 
des  idées. 

Vous  m'annoncez  l'envoi  d'un  fascicule  des  Rendiconti  de 
Païenne  et  je  dois  vous  en  bien  remercier,  mais  prol)ablement 
pour  m'engager  à  y  souscrire,  on  m'a  envoyé  justement  deux 
fascicules  de  ce  Recueil  où  l'on  trouve  l'article  de  M.  Halphen. 
C'est  même  un  peu  par  cetarticle  que  j'ai  été  conduit  à  me  poser 
la  question  d'une  autre  manière. 

Il  est  évident  par  là  que  mon  travail  n'est  pas  la  reproduction  de 
celui  de  M.  Halphen.  On  pourrait  le  considérer  comme  une  conti- 
nuation et  une  généralisation  de  ce  dernier. 

Votre  très  dévoué  et  respectueux. 


242  CORRESPO^'DA^CE   D  HERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

125.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  19  juin  1888. 
Mon  cher  ami, 

Je  mérite  grandement  les  reproches  que  vous  me  faites;  je  me 
les  suis  adressés  moi-même  après  vous  avoir  écrit  lorsque  peu  à  peu 
be  sont  réveillés  les  souvenirs  de  mes  recherches  d'Algèbre  qui 
remontent  à  plus  de  trente  ans.  Mais  vos  reproches  ont  si  peu 
d'amertume  qne  je  ne  m'engage  nullement  à  ne  pas  bien  d'autres 
fois  les  encourir,  en  écrivant  rapidement,  sans  beaucoup  réfléchir. 
Lorsque  j'ai  abandonné  mes  études  sur  les  formes  pour  m'occiiper 
de  la  transformation  des  fonctions  abéliennes  du  premier  ordre, 
l'avais  entrevu  quelque  possibilité  d'étendre  aux  formes  à  trois 
indéterminées,  la  méthode  qui  m'avait  conduit  aux  lois  de  récipro- 
cité pour  les  formes  binaires.  C'est  dans  la  dernière  ou  Tavant- 
dernière  année  du  Journal  de  Cambridge  et  Dublin  que  j'ai 
exposé  mon  procédé  et  dans  l'espérance  que  vous  ferez  ce  que  je 
n'ai  pu  faire,  que  vous  entrerez  en  pleine  et  complète  possession 
de  ce  que  j'ai  seulement  entrevu  de  loin,  je  viens  vous  prier  de 
jeter  les  yeux  sur  cet  ancien  travail,  le  plus  étendu  de  ceux  que 
j'ai  publiés  sur  la  théorie  algébrique  des  formes.  Vous  connaissez 
certainement  et  vous  admirez  comme  moi  le  Mémoire  de  M.  Sal- 
mon  sur  les  formes  cubiques  à  4  indéterminées.  Vous  aurez 
remarqué  le  complet  parallélisme  entre  les  covariants  et  les  con- 
travariants  de  la  forme  considérée  qui  m'a  extrêmement  frappé; 
j'en  lirais  l'induction  qu'il  doit  y  avoir  une  liaison  analyti(}ue  qui 
associe  nécessairement  à  tout  covariant  un  contravariant  de  même 
ordre,  et  en  me  bornant  aux  formes  ternaires,  c'était  cette  liaison 
ciue  je  voulais  d'abord  découvrir.  Il  me  semblait  qu'en  étendant 
aux  formes  ternaires  les  transformations  en  symboles  dont  j'avais 
fait  usage  pour  les  formes  binaires,  le  lien  cherché  apparaîtrait,  de 
sorte  qu'à  la  fois  on  aurait  une  loi  spéciale  de  réciprocité  interne 
entre  les  covariants  et  les  contravariants  et  la  généralisation  de  la 
loi  de  réciprocité  que  j'ai  obtenue  entre  les  covariants  et  les  inva- 
riants des  formes  binaires.  Vous  me  dédomuiageriez,  mon  cher  ami, 
et  vous  me  feriez  oublier  le  regret  de  n'avoir  point  jiersévéré  dans 


LETTRE    125.  243 

cette  voie  de  recherches,  si  vous  vouliez  bien  avec  votre  don  d'in- 
vention, ingeniam  divlno  dono  aureuni^  vous  j  engager  et  la 
suivre. 

En  attendant  que  vous  vous  décidiez  à  entreprendre  la  conquête 
des  lois  de  réciprocité  interne  et  externe,  je  vous  fais  mes  compli- 
ments, parmi  bien  des  choses  intéressantes  que  vous  m'avez  com- 
muniquées, en  particulier  pour  l'équation 

Y II i  —  X Hj,  =  cm p  -^  qx  -\-  xf  -^  sry) 

qui  me  semble  extrêmement  originale.  Et  je  ne  saurais  trop  vous 
encourager  à  écrire  pour  les  Annales  de  Toulouse  un  Mémoire  où 
la  concision  ne  nuise  pas  à  la  clarté  et  qui  n'exige  point  pour  être 
compris  cette  attention  fatigante  qu'exigent  les  notations  par  trop 
condensées  de  Clebsch,  dont  l'usage  est  malheureusement  si  géné- 
ral. Je  ne  reno'nce  pas  à  peut-être  ajouter  quelques  remarques  à 
vos  recherches,  ajant  fait  l'année  dernière  pendant  les  vacances 
quelques  petites  choses  dans  un  domaine  voisin.  Mais,  en  ce 
moment,  il  me  faut  envoyer  un  article  à  V American  Journal^  et  je 
ne  suis  occupé  que  des  développements  en  série,  suivant  les  puis- 
sances de  <7,  des  quantités  ^//i,  s/ k'  et  {/kk' .  A  l'égard  de  cette 
dernière,  j'ai  remarqué  qu'ayant 

ou  bien 

on  en  conclut  l'expression 

o\x  f[n)  est  le  nombre  des  solutions  de  l'équation  dont  je  vous  ai 

parlé 

Cj  +  3  C2  H-  5  C3  -1- .  .  .  4-  (  -2  V  —  \)c^—  n. 

On  a  pareillement 

où  /,  [n)  est  le  nombre  des  solutions  de 

Cl -1-  3C2-4-.  . .+  (2v  —  i)Cv-t-  2[ci  -h  3c2 -h.  .  .4-  (av  —  i)c'^]  —  rt, 


244  CORRESPONDANCE    d'hERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

Vous  savez  que  ce  dernier  développement  joue  un  grand  rôle 
dans  le  beau  Mémoire  de  Sonhke  (')  sur  les  équations  modulaires 
que  je  recommande  à  votre  souvenir.  De  vous  je  dirai  ta  magnus 
eris  ApoLlo,  lorsque  vous  aurez  pénétré  le  mécanisme  caché,  mys- 
térieux de  la  disparition  des  coupures,  dans  leur  premier  membre, 
et  j'ai  confiance  que  vous  réaliserez  mon  espoir. 

Avec  tous  mes  vœux,  mon  clier  ami,  pour  le  succès  de  vos  efforts 
et  de  vos  travaux,  et  en  vous  renouvelant  l'assurance  de  ma  bien 
sincère  et  cordiale  affection. 

P.  S .  —  Ne  vous  pressez  pas  de  me  renvoyer  le  rendiconto  cjue 
j'ai  eu  tort  de  vous  adresser,  je  n^en  ai  aucunement  besoin  main- 
tenant. 

126.  —  HERMITE  A   STIELTJES. 

7  août  i888. 
Monsieur, 


127.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

8  août  i888. 


Monsieur, 


128.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  10  octobre  i886 


MONÎ 


Vous  devez  avoir  quitté  Barèges  depuis  quelque  temps  et 
j'espère  que  la  cure  vous  aura  fait  tout  le  bien  possible.  Mainte- 

(')  Note  des  éditeurs.  —  Les  travaux  de  Sonhke  sur  les  équations  modulaires 
sont  contenus  dans  deux  Mémoires  publiés  dans  le  Journal  de  Crelle,  Tome  12, 
page  178  et  Tome  16,  pages  97-100. 


LETTRE    128.  245 

nant,  je  vous  prie  sincèrement  de  ne  pas  négliger  les  conseils 
des  médecins  et  de  ne  pas  faire  attention  à  ce  qui  suit  si  le  tra- 
vail vous  est  encore  défendu. 

Vous  connaissez  la  formule  de  M.  Prym 

r(a)= î + ' :r^ --v-...-T-Q(a), 

^  a        i.a-t-i         i.2.a-i-2        i.2.3.a-+-3 

OÙ 


Q{a)=  i    x^-^e-''  dx 


est  une  fonction  holomorphe  dans  tout  le  plan.  Voici  une  formule 
analogue  que  j'ai  obtenue 

II  I  I  >     > 

(a)     r(a)  cosTia  =  -  H 1 i -1-...— Ci  («;. 

a       i.a-Hi        i.2.«-i-2       i.2.3.a-+-3 

On  reconnaît,  d'après  le  théorème  de  Mittag-Leffler,  que  (]'(«) 
est  une  fonction  holomorphe  dans  tout  le  plan. 

Mais  tandis  que  dans  le  cas  de  la  fonction  Q(rt)  de  M.  Pryrn  ce 

caractère  résulte  aussi  directement  de  l'expression  j     x'^~^  e~^  dx, 

les  choses  se  passent  un  peu  moins  simplement  dans  le  cas  actuel. 
Voici  l'expression  de  ()'(«) 

(P)  ()'(«)=  jT^Y^i:^  valeur  princip.J      -—-— dx 

(valeur  princip.  d'après  Cauchy  =  lim    /  h-  /         j. 

£  =  oJo  Ji  +  eJ 

Cette  formule  (^)  n'est  valable  que  lorsque 

partie  réelle  de  a  <+i. 

Cependant  il  n'est  pas  difficile  de  reconnaître,  d'après  la  for- 
mule ([3)  elle-même,  que  {}{cf)  est  holomorj)hc  dans  tout  le  plan. 
En  effet,  à  l'aide  de  l'identité 


X 

IH 


il  vient 

(Y)  Ç(a)  =  e-{a-i)gia-i). 


246  CORRESPONDANCE   d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Celte  relation  permettant  de  déduire  {){o.)  de  (^{a  —  i)  peut 
servir  à  continuer  la  fonction  (j(«)  dans  tout  le  plan. 

La  formule  (a)  n'est  qu'un  cas  particulier  de  la  suivante  où 
t  est  réel  et  positif 

fa  fri-hl  (a+ï  ^<ï+3 

(o)     r(a)  cosTia  = 


a     '     i.a-i-i         1.2.  «-(-2        i.2.3.a-i-3 

—  — valeur  princip.  /      dx. 

Y(i  —  a)  ^         '  J^  I  — X 

J'indique  la  démonstration.  Soil  '^{t)  le  second  membre  de  (o), 
alors 

do(t)  ,    ,  I  d       ,  .     .       r*a7-«e"i-^'    , 

— —, —  =  t^-^ e' — —r  valeur  pnncip.  /      ■ dx 

dt  TU  —  a)dt  '  ^   J^  i  —  x 

—  ta-ie'—- — î /      x-^'e'^^-^^  dx  =  t"-^e'— t''-ie'=o, 

r(i  — «)  J„ 

en  sorte   que  ^{l)  est   indépendant   de    t.  Alors,    en    supposant 
o  -<  rt  <  I ,  on  obtient,  en  posant  <  ^  o, 

I  .     .      r"  x~"- 

o(0  =  ç(o)= valeur  princip.  /      • dx. 

'  ^  1  (I  — «)  '  ^  Jo      ^  — -^ 

Or  on  a 

valeur  princijj.   /      dx  =  —  TrcotTra. 

'h       '       ^ 

C'est  ce  qui  résulte  facilement  des  formules  que  vous  donnez 
dans  votre  Cours;  on  trouve  aussi  cette  formule  dans  Briot  et 
Bouquet,  Fonctions  elliptiques,  page  i43-  H  en  résulte 

,     .  .      ^  T  COtTTCf  _,  ,      ^ 

ç(f)  =  tp(o)  =  — =r(a)cos7ra.         c.q.f.d. 

1(1     •  (i  ) 

Naturellement,  il  faut  justifier  la  différentiation  sous  le  signe  / 

et  aussi  montrer  qu'on  peut  faire  légitimement  i  =  o.  Aussi,  on 
établit,  de  cette  façon,  la  formule  d'abord  seulement  pour 

o<P.R.a<i  (>), 

mais  ensuite  on  voit  quelle  ne  peut  cesser  de  i^ester  vraie  sans 
celte  condition. 

(')  Note  des  éditeurs.  —  La  notation  P.R.a  s\%n\ûe  partie  réelle  de  a. 


LETTRE    129.  247 

Je  vous  renouvelle,  Monsieur,  mes  vœux  pour  le  rétablissement 
de  votre  santé  dont  j'espère  recevoir  de  meilleures  nouvelles  que 
la  dernière  fois.  C'est  là,  je  vous  Tavouerai,  un  peu  la  raison  de 
cette  lettre  et  vous  pouvez  considérer  la  fonction  F  simplement 
comme  un  prétexte  de  vous  écrire  une  lettre  peut-être  déjà  trop 
longue. 

Veuillez  bien  me  croire  votre  très  dévoué. 

129.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  12  octobre  1888. 
Mon  cher  ami, 

Je  viens  vous  remercier  et  vous  dire  que  votre  théorème 

V(a)  cosira  = 1 ■  h ^ h. .  . —  Qia) 

a         1 .  (  a  -f-  I  )         i .  u  (  a  -H  2  )  ')       ' 

m'a  fait  grand  plaisir;  permettez-moi,  en  même  temps,  de  vous 
prier  de  publier  votre  lettre  dans  le  Bulletin  de  M.  Darboux 
afin  que  d'autres  que  moi  en  profitent.  Les  valeurs  principales 
des  intégrales  définies  dont  Cauchy,  qui  en  a  donné  le  premier 
la  notion,  a  été  seul  jusqu'ici  à  employer,  méritent,  comme  vous 
le  faites  bien  voir,  la  plus  grande  attention,  et  je  pense  que,  à 
cet  égard  tout  particulièrement,  la  publication  de  votre  lettre 
rendrait  grand  service. 

Permettez-moi  de  rapprocher  votre  expression 

C,{a)  = V.  p.    /       • 

d'un  résultat  que  m'a  communiqué  M.  Lerch. 
Soit 

Q(«)  =   i     x'^-^e-^  clx 

la  fonction  holomorphe  de  M.  Prym,  on  a 

e^  Q(«)  =  —^ /  '^    dx. 

Ces  fonctions  (/(w),  Q(«)  sont  d'une  nature  très  mystérieuse, 


2^8  CORRESPONDANCE   d'hERMITE   ET   DE   STIELTJES. 

bien  qii'liolomorphes,  et,  quelque  mal  que  je  me  sois  donné  pour 
y  parvenir,  je  n'ai  pas,  à  mon  gré,  réussi  à  trouver  une  expres- 
sion suffisamment  explicite  pour  Q(«).  H  y  a  quelques  mois,  en 
avant  sous  les  yeux  le  simple  développement  en  série 

Q(a)  =  >  Cna'^         ou         c„  =  / —  dx, 

A^  1.1.  .  .n  J^  X 

ridée  m'est  venue  de  chercher,  en  appliquant  la  méthode  de 
Laplace,  la  valeur  asymptotique  de  :^,;.  Voici  ce  que  j'ai  trouvé; 
écrivant  d'abord,  au  moyen  d'une  intégration  par  parties, 


— '- — r 


e-^  \o","x  dx. 


Je   désigne   par  a:  =  ^  la   racine   de  l'équation   a:logJc  =  /«   et 
j'obtiens 


M.  Bourguet  a  eu  la  bonté  d'appliquer  cette  formule  en  supposant 
Ai^iS,  afin  de  voir  l'approximation.  On  trouve  alors 

?  =  8,4G... 
et 

Cl 7==  0,0000  OOOO  OOOO  12.  .  ., 

et  l'une  de  ses  Tables  donne 

Ci7  =  0,0000  OOOO  OOOO  18. . . , 

ce  qui  est  un  accord  plus  grand  que  je  ne  pouvais  l'espérer.  Mais 
mon  expression  avec  la  quantité  ^  ne  fait  que  me  confirmer  dans 
mon  sentiment  de  la  nature  analytique  profondément  cachée  et 
abstruse  de  la  transcendante.  Comme  ^  est  évidemment  moindre 
que  /?,  on  reconnaît  que  la  limite  j)our  n  infini  de 

n-\/ 

est  inférieure  à  l'unité,  ce  qui  est  d'un  mince  intérêt. 

J'espère  que  vous  ne  vous  refuserez  pas  à  la  publication  de 
votre  lettre  dans  le  Bulletin  de  M.  Darboux,  à  qui  je  la  donnerai. 


LETTRE    130.  2^9 

à  moins  d'avis  contraire  de  votre  part.  Pensez-vous  aiix  coupures 
des  équations  modulaires?  Permettez-moi  d'espérer  que  vous  ne 
les  oubliez  pas,  et  veuillez  agréer,  mon  cher  ami,  la  nouvelle 
assurance  de  ma  bien  sincère  et  cordiale  affection. 

J'ai  écrit  avant  les  vacances  à  M.  Bosscha  qui  avait  eu  la  bonté 
de  me  demander  si  j'avais  reçu  le  premier  volume  des  OE livres  de 
Christian  Huygens,  pour  l'informer  qu'il  ne  m'était  pas  parvenu. 
Pourriez-vous,  si  vous  en  aviez  l'occasion,  faire  savoir  que  la 
maison  de  librairie  qui  doit  me  le  remettre  ne  l'a  point  encore 
fait. 

130.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  i3  octobre  i888. 
Cher  Monsieur, 

Je  vous  remercie  bien  vivement  de  votre  lettre  c[ui  me  fait  savoir 
que  vous  vous  portez  bien,  et  quoi  que  vous  voudriez  dire,  je  suis 
certain  que  vous  continuerez  encore  à  exeixerune  grande  inlluence 
sur  les  progrès  des  Mathématiques.  Ce  que  j'ai  surtout  appris  de 
vous,  c'est  cette  conviction  que  la  véritable  nature  des  formules 
que  nous  employons  nous  échappe  encore  bien  souvent  et  que  rien 
n'est  plus  digne  d'intérêt  que  de  réfléchir  sur  leur  véritable  nature. 
Et  que  j'ai  encore  beaucoup  à  apprendre  sous  ce  rapport;  ma 
formule 

Via)  cos ir a  = 1 +  .  .  .  —  Qia) 

en  fait  foi.  En  effet,  je  la  connaissais  depuis  2  ou  3  ans,  mais  je 
l'écrivais  ainsi 


Jf     x^-'^  e'^  clx  ^^V(a)  co'iiza -\-  —-, v.  p.    / 


^-agUl-x)  ^jc 


Je  l'avais  obtenue  en  cherchant  des  formules   qui  permettent 
d'évaluer,  avec  une  grande  approximation,  par  une   série  semi- 


convergente  la  transcendante 


dans  le  cas  où  t  est  très  grand.  C'est  un  travail  que  j'ai  eu  même 


aSb  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

rinlention  un  moment  d'insérer  dans  ma  thèse.  Mais  c'est  seule- 
ment dernièrement,  lorsque  ce  travail  incomplet  m'est  passé  sous 
les  yeux,  que  j'ai  reconnu  la  nature  véritable  du  résultat  que  j'avais 
obtenu.  11  y  a,  Monsieur,  un  léger  inconvénient  à  insérer  ma 
lettre  dans  le  Bulletin;  c'est  qu'il  doit  y  paraître  prochainement 
un  autre  article  de  moi,  cjui  est  déjà  dans  les  mains  de  M.  Darboux. 

Mais  j\ii  repris  mon  travail  sur    /    x'^" '  e^^' dx ,  et  je  pense  en  faire 

un  article  pour  nos  Annales. 

Dans  l'article  du  Bulletin  ('),  dont  je  viens  de  parler,  je  fais 
voir  que  l'intégrale  générale  de  l'équation  d'Euler 


X  =  a»x'*-i-  ^a^x^ 


dx         ,    dv 

=  ±  — —  > 

v/X  s/Y 


est 


-y 


•i. 

xy 

(^ 

a  2 —  2C 

«2-1-  C 

«3 

xy 


«2- 


«4 


(c  =  const.  arbil 


Votre  expression  approchée  du  coefficient  c«  dans  le  développe- 
ment Q(a)^Sc«a"  m'intéresse  beaucoup.  Vous  savez  que,  du 
temps  où  j'étais  astronome,  j'ai  gardé  le  goût  des  calculs  numé- 
riques et  des  formules  qui  peuvent  servir  utilement  dans  la  pra- 
tique. Je  dois  étudier  un  peu  cette  expression 


--^r" 


Cn-l 


^l 


Je  ne  suis  point  du  tout  étonné  de  l'approximation  avec  laquelle 
vous  avez  représenté  ainsi  c,?...,  au  contraire,  j'incline  à  penser 
qu'on  doita\oir  ainsi  une  approximation  bien  plus  notable  encore. 

J'ai  vu  que  M.  Hilbert  vous  a  écrit  une  lettre  (-)  où  il  donne 


(')  Note  des  éditeurs.  —  Sur  l'équation  d'Euler  {Bulletin  des  Sciences 
mathématiques,  i'  série,  t.  XII;  p.  222-227;  1888). 

(2)  Note  des  éditeurs.  —  Journal  de  Liouville,  4°  série,  t.  IV;  1888.  Extrait 
d'une  lettre  de  M.  D.  Hilbert  à  i\I.  Hermite. 


LETTRE    131.  201 

une  idée  sommaire  de  ses  belles  recherches  algébriques  dans  les 
Mathematische  Annalen.  Ces  recherches  m'intéressent  beaucoup 
et  présentent  quelques  points  de  contact  avec  un  travail  que  j'ai  à 
peine  commencé,  mais  dont  le  but  final  est  de  représenter,  sous 
une  forme  élégante,  les  intégrales  générales  du  système  d'équa- 
tions différentielles  hjperelliptiques.  Il  est  surtout  important  de 
voir  clairement  comment  les  constantes  arbitraires  entrent  dans 
les  formules.  Le  résultat  de  Jacobi  l^OE livres,  t.  II,  p.  i3^  et  suiv.) 
laisse  beaucoup  à  désirer  sous  ce  point  de  vue.  Le  résultat  pour 
l'équation  d'Euler  est  un  premier  pas  dans  cette  direction.  La 
formule  de  M.  Lerch 


Q(a)  = 1 f 


g-u>ocx-a  dj^ 


m'était  bien   connue,   elle  se  trouve  sous   une  forme  légèrement 
différente  dans  le  Traité  de  M.  Schlomilch  (t.  II,  3*^  édit.,  p.  '^6^) 

/      —e-^ch=^——-z /      e-t  cit. 

Mais  il  ne  fait  point  de  doute  que  M.  Schlomilch  n'avait  point 
envisagé  cette  formule  sous  le  même  point  de  vue  que  M.  Lerch. 

Veuillez  bien  agréer,  cher  Monsieur,  l'expression  des  sentiments 
respectueux  de  votre  ti^ès  dévoué. 


131.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  le  \!\  octobre  \i 
Cher  Monsieur, ^ 

Il  m'a  semblé  qu'on  devait  obtenir  la  valeur  de 


I  .  2, .  .  .  /i      /,  ^        ^      ' 


dx 


avec  une  plus  grande  approximation,  en  suivant  votre  idée,  que  le 
calcul  numérique  ne  le  faisait  voir.  En  reprenant  les  calculs,  je 
trouve  des  formules  et  des  nombres  un  peu   différents.   Je  peux 


2D2  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

garanlir  rcxactitudc  du  résultat  suivant  : 


asynipto  tique  ment 


Pour 

n  =  t8,         $  =  8,439  243  . . ., 

l'expression  approchée  donne 

0,000000000000170  I, 
tandis  que 

0,0000000000001814 

est  la  valeur  donnée  par  M.  Bourguet,  mais  les  derniers  chiffres  i4 
ne  sont  pas  sûrs. 

J'étais  sûr  d'avance  cjue  l'approximation  devait  être  plus  grande 
que  vos  nombres  ne  l'indiquaient,  car  le  rapport 

Ca-i  '■  Expr.  approchée 
doit  tendre  vers  l'unité  pour  n  =  ce  el  il  serait  surprenant  s'il  était 

,  18  Q 

encore  i  r,=  —  pour  n  =  }o. 

12  *- 

J'ai  écrit  un  mot  à  M.  Bosscha  que  je  connais  très  bien,  il  était 
professeur  de  Physique  à  l'Ecole  Polytechnique  lorsque  j'y  faisais 
mes  études  (?)  ;  plus  tard,  tandis  qu'il  était  directeur  de  l'école,  j'y 
ai  remplacé  pendant  quelques  mois  un  professeur  malade. 

Veuillez  bien  agréer,  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de  mon 
entier  dévouement. 


132.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  le  lO  octobre  1888. 
Mon  cher  aaii, 

Votre  dernière  lettre  du  i4  m'arrive  bien  à  propos  et  j'espère 
qu'une  nouvelle  demande  de  publication  que  je  viens  vous  faire  ne 
souffrira  pas  de  difficulté  comme  la  précédente.  A  la  séance  d'hier 
de  l'Académie,  M.  Camille  Jordan  est  venu  me  demander  un  article 


LETTRE    132.  253 

pour  son  journal  en  y  mettant  tant  d'instances  qu'il  ne  m'a  pas  été 
possible  de  refuser;  mais,  pour  tenir  l'engagement  qu'il  m'a  fallu 
prendre,  permettez-moi  d'invoquer  votre  assistance.  La  modifica- 
tion que  vous  avez  introduite  dans  l'expression  de  €„_,,  dont  l'ori- 
gine et  la  raison  m'échappent  entièrement,  me  semble  extrêmement 
intéressante  à  cause  de  l'approximation  inattendue,  inespérée 
qu'elle  permet  d'obtenir.  Aussi  j'ai  pensé  ne  pouvoir  mieux 
répondre  au  désir  de  M.  Camille  Jordan,  comptant  sur  vous,  mon 
cher  ami,  ([u'en  vous  adressant,  si  vous  le  voulez  bien,  une  lettre 
qui  contiendrait  le  calcul  fort  simple,  de  l'application  à 


,«c„_i  =   / 


e-^  los;"a7  da; 


de  la  méthode  de  Laplace  et  la  faisant  suivre  de  votre  réponse  con- 
tenant votre  beau  résultat,  avec  des  applications  numériques  qui  en 
font  ressortir  la  valeur.  Si,  comme  je  le  désire  beaucoup,  ma  pro- 
position vous  agrée,  j'en  informerai  sans  tarder  M.  Camille  Jordan 
qui  en  sera  enchanté,  et  je  rédigerai  sur-le-champ,  en  détail  et 
longuement  mes  calculs.  Je  dois  aussi  envoyer  une  ]\ote  au  Journal 
Américain;  en  voici  l'objet,  et  si  ce  n'était  pas  abuser  de  votre 
complaisance,  je  serais  extrêmement  content  de  l'accompagner  de 
remarques  de  vous,  s'il  arrivait  que  la  question  vous  intéressât 
(piehpie  peu.  Vous  savez  que  la  quantité 

mi  m  —  I ) .  .  . (  /«  —  n  -I-  1  ) 

(m)„=  

\ .1. . .n 

est  un  entier  divisible  par  m  quand  m  est  un  nombre  premier;  j'ai 
fait  la  remarque  qu'il  en  arrive  ainsi  lorsque  ni  est  premier  avec  n. 

lit  plus  généralement  (/?«)«  est  toujours  divisible  par  -^- >   o  dési- 
gnant le  plus  grand  commun  diviseur  des  deux  nombres  ni  et  n. 
Soit  encore  s  le  plus  grand  commun  diviseur  de  (/«  -|-  i)  et  /?, 

(/??),j  contient  en  facteur  ; 

En  vous  remerciant  bien  de  la  peine  que  vous  avez  prise  d'écrire 
à  M.  Bosscha,  et  en  vous  priant  de  me  faire  don  de  votre  article  des 

Annales  de  Toulouse  sur  la  différentielle  -— u  que  ie  veux  ran- 
procher  de  cpiehpie  chose  que  j'ai  fait  sur  le  même  sujet,  je  vous 


254  CORRESPONDAXCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

renouvelle,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mon  affeclion  bien  sincère 
et  bien  dévouée. 

133.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  le  17  octobre  1888. 
Cher  Monsieur, 

Votre  lettre  me  cause  un  peu  d'embarras,  voici  pourquoi. 
Comme  le  résultat  du  calcul  de  M.  Bourguet  ne  me  semblait  pas 
satisfaisant,  j'ai  l'cpris  ce  calcul,  en  calculant  aussi  de  nouveau 
l'expression  approchée  de  c«_.i.  Mais  mon  résultat 

C/<-i= i =  U)        X 

ne  diffère  pas  du  vôtre 


ç/i  +  log| 


Ca-\  = 


e- 


s/  n 


car,  à  cause  de  n  ^\  l*^»?'  ^^  ^  e"=  ç^.  Je  me  suis  donc  trompé  en 
disant  que  j'avais  obtenu  une  autre  formule. . .,  le  résultat  de  mon 
calcul  numérique  différant  assez  sensiblement  de  celui  de  M.  Bour- 
guet, j'ai  cru  à  tort  qu'il  devait  j  avoir  quelque  erreur  dans  votre 
formule;  l'erreur  était  dans  le  calcul  de  M.  Bourguet.  Comme  cela 
doit  être,  on  a. .  . 

lim  -^  =0         et         ...  (1) 

C,i-\ 

limite  zéro. 

J'ai  fait  encore  le  calcul  pour  /i  =  1 1  et  1^  : 

n  :=  1 1,         î  =  0,089  1 13  9 
Valeur  approchée.  .     0,00000018993   ) 
Table  B 0,0000  0019  agi  \ 

Il  —  i~,         ^  =  8,118  073  7 
Valeur  approchée  .  .     0,000000000001  417' 
Table  B 0,0000  0000  0001  4^47 


<^16  • 


Du  reste. . .  je  vais  faire  le  calcul  pour  les  huit  valeurs 

n  =  1 1 ,  12,  . . . , 1 S . 

(')  Un  coin  de  la  IcUre  de  Sticltjes  est  dcchiré. 


LETTRE    133.  255 

11  se  pourrait  bien  que  la  valeur  approchée  calculée  pour  /i  =  i8 
soit  plus  exacte  que  celle  qui  figure  dans  la  table  de  M.  Bourguet, 
quoique  j'ai  beaucoup  de  peine  à  admettre  que  les  nombres  de 
M.  Bourguet  puissent  être  en  erreur  de  loo  unités  —  cela  ne  doit 
pas  être. 

Maintenant,  Monsieur,  je  me  sens  un  peu  coupable  de  vous  avoir 
donné  l'espoir  de  pouvoir  vous  être  utile  dans  cette  occasion.  Vous 
vojez  qu'il  n'en  est  rien.  J'espère  que  vous  voudrez  bien  m'ab- 
soudre,  si  je  m'engage  à  vous  envojer,  dans  quelques  jours,  un 
Mémoire  sur  le  développement  de  l'expression  (  '  ) 

[i  —  2/-(cos  II  cos II'  cosx  -+-  sin  a  sin  ii'  cosj')  -+-  /•-]-'K 

Je  n'ai  jamais  rien  publié  sur  cela  que  la  courte  Note  dans  les 
Comptes  rendus  (1882).  Ce  travail  me  reste  cher  toujours,  parce 
qu'il  a  été  pour  moi  l'occasion  d'entrer  en  relation  avec  vous  et  avec 
M.  Tisserand.  J'en  ai  remanié  au  moins  vingt  fois  la  rédaction,  en 
y  ajoutant  des  tables  assez  étendues.  Mais  j'ai  (ini  peut-être  par 
donner  plus  d'étendue  à  ces  calculs  numériques  que  cela  n'est 
raisonnable  et  la  suite  en  est  que  ce  travail  reste  toujours  inachevé. 
Mais  je  veux  faire  maintenant  simplement  un  article  théorique.  Je 
pourrai  donner  plus  tard  mes  tables  dans  les  Annales  de  V Obser- 
vatoire de  Toulouse  avec  une  courte  explication;  elles  seront  là 
aussi  mieux  à  leur  place.  Vous  voudrez  bien,  n'est-ce  pas,  recom- 
mander ce  travail  à  la  Ijienveillance  de  M.  Jordan. 

Je  vous  enverrai  en  même  temps  le  résultat  de  mes  calculs  pour 
w  =  1 1,  12,  . .  .,  18  dont  vous  pourrez  faire  l'usage  que  vous  vou- 
drez. 

Je  vous  renouvelle,  Monsieur,  l'assurance  de  mes  sentiments 
très  dévoués. 

P.  S.  —  Je  vous  envoie  en  même  temps  ce  que  j'ai  écrit  sur  -— -. 

v/x 

J'avais  déjà  rédigé  la  seconde  partie,  mais  je  crois  qu'il  sera  pos- 
sible de  donner  à  mon  résultat  une  forme  beaucoup  plus  élégante 
(analogue  à  l'intégration  de  l'équation  d'Euler).   Je  me  propose 


(')  Note   des   éditeurs.    —   I^e   Mémoire  dont  parle  Stielljes  a   paru  dans    le 
Tome  V  de  la  4°  série,  p.  55-65,  du  Journal  de  Liouville  (1S89). 


256 


CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 


donc  de  trouver  cela  d'abord  et  cette  seconde  partie  se  fera  attendre 
encore  un  peu  pour  cette  raison.  En  ce  moment  je  n'ai  pas  pu 
rc'flécliir  sur  votre  théorème  concernant  (/«)«. 


134.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  lo  18  octobre  1888. 
Cher  Monsieur, 

Le  calcul  numérique  de  votre  expression  approchée  m'a  conduit 
à  un  résultat  surprenant  : 

Soit  (ca)  \otre  valeur  approchée  de  ca;  voici  alors  le  résultat  : 


Cq 


C3  = 
C4  = 
C5  = 

Ce  = 

Ci    = 

C9  = 

Cio  =^ 

Cll  = 
C,2  = 
Cl3  = 
Ci4  = 


D'après  les  \aleurs  donnée 


Cl5  = 
ClC  = 


mais  cela  indique  sans  aiicu 
dans  le  calcul  à  partir  de  Cfs, 


Cq)  X I ,038-, 
Ci)  XI  jOS'iS, 
C2)  X  i,o3r2, 
c-i)  X  1,0277, 
cv)  XI  ,0249, 
C5)  XI  ,0226, 
Cg)  X  I ,0^08, 
C',)  XI  ,0192, 
cg)  X 1,0179, 
C9)  XI  ,oiG8, 
c,o)  X  i,or")8, 
Cil)  X  1,01  Jo, 
C12)  XI  ,01  l'i, 
C13)  X  I  ,oi36, 
C14)  X  1 ,0128. 

par  M.  Bourguet,  on  aurait 

C15)  X  I  ,Ol32, 

Cie)  X  i,oo)4, 
C17)  XI  ,o6Gj, 


doute  qu'il  s'est  glissé  une  erreur 
...  Je  vais  iej)reiidre  le  calcul  de  C|  3, 
c,c,  c,7,  ...  d'après  les  données  de  ]M.  Bourguel  dans  son  Mémoire. 
Si  vous  jugiez  opportun  de  Tavertir,  il  pounail  pcul-ètrc  faire  ce 
calcul  ((pii  est  \ilc  terminé)  mieux  (pie  moi.  .  .,  car  il  a  \raisembla- 


LETTRE    i?>0. 


hlcmeiil  faille  calcul  avec  un  ou  deux  chiffres  de  plus  qu'il  n'en  a 
donné. 

Voilà  certainement  un  curieux  résultat,  que  votre  formule 
approchée  indique  clairement  une  erreur  clans  les  tables!  ! 

Je  travaille  à  mon  Mémoire. 

Votre  tout  dévoué. 

Je  crois  qu'il  sera  bon  de  reprendre  aussi  le  calcul  de  C13  et  Ci  -, . . ., 
cjuoiqu'une  erreur  ne  soit  pas  clairement  indicpiée  ;  C| /,  parait  un 
peu  suspect. 


135. 


STŒLTJES  A  IIERMITE. 


Toulouse,  le  19  octobre  188S. 
Cher  Moinsieuh, 

Je  viens  de  refaire  le  calcul  des  Cq,  . . .,  C|-,  mais  en  supposant 
que  les  valeurs  des  Bj 

r(.r  +  ^)  =  l-H  Bj.r  +  B,^?^-!-.  .  ., 

données  page  29 1  soient  exactes.  Voici  les  corrections  dont  ont 
besoin,  dans  cette  supposition,  les  valeurs  des  c<  : 


Cq.. 

0 

Cl  .. 

-  24 

Co  .  . 

+  125 

Ci.. 

— 134 

Ci  .  . 

+  134 

Ci  . 

-i34 

'  Cg.. 

+  i33 

C7 . . 

— 133 

Ci.- 

+  i34 

C9. . 

-i34 

Après  ces  correct 

fo  = 

(co)  X  I 

o387 

("1  = 

(Ci)  XI 

o355 

C-i  = 

(C2)  X  I 

o3i2 

Cî  = 

(C3)XI 

0277 

Ci  = 

(Ci)X  T 

0249 

C5  = 

(  Co  )  X  1 

0226 

^6  = 

(C6)XI 

0208 

^7  = 

(C7)XI 

0192 

c&  = 

(Cg)  X 

1 

0179 

C)0  .  . 

+  128 

Cl,  .. 

—  128 

C12 . . 

+  128 

Cl3-- 

—  129 

Cii  .. 

-^129 

Cl6-- 

—  i3o 

ClO.- 

+  i3() 

Cl-  . 

—  129 

unîtes 
dernière  décimale. 


Co  =  (C'j)  X  1  ,0168 
Cio=  (cio)  X  i,oij8 
Cil  =  (<'ii)  X  (  ,oi5o 

Ci2= (C12) X  1,0142 
Cl:i=  (C13)  X  I,Ol36 

C\k  =  (cii)  X  I  ,oi3o 

Clo=  (Cis)  X   [1,0121] 

Ci6=  (cie)  X  [1,0145] 
Cl-  =  (cn)  X  [1  —  0,0095] 


Ancicn- 
nemenl. 

I ,0128 

I ,Ol32 

1 ,oi54 
1 ,oGG3 


Valcii  I  s 
qui 
semblent 
exijjéos 
par  la 
marche 

(le  lu 
foiiclion. 

I  ,0125 
1  ,0-I20 
1,011  () 


2j8  COIIUESPONDANCE    D  IIKRMITK    ET    DE    STIELTJES. 

]1  y  a  une  amclioralion,  mais  la  ^al('Llr  pour  c,^. ..  reste  légère- 
nicnl  erronée...  et  la  même  chose,  à  plus  forte  raison,  pour  Ck, 
et  c,7. 

En  adoptant  pour  Cf-  le  facteur  i,oi  i6  il  vient 

<^17  =^  <),0I)00  OOOO  ()()()(>  I72I  f(  fi7  )  =  .  .  .  1  701], 

a\ec  une  erreur  certainement  inférieure  à  i  unité  (car  le  facteur  ne 
peut  pas  être  en  erreur  de  0,0006,  j'estime). 
La  valeur  de  M.  Bourguet  est 

c,7  =  o,. . .  i(Si /j         Valeur  exacte  :  1721         Erreur  :  93. 

Après  ma  correction  de  —  129 

Ci7  =",•••  iOSj  ^aIeur  exacte  :   lyn  Erreur  :  3G. 

Inapplication  de  ma  correction  a  donc  diminué  Terreur,  mais 
toujours  la  différence  de  36  est  un  peu  forte.  Du  reste,  je  me  suLs 
convaincu  encore  d'autre  manière  [en  posant  ^  =1 — i  dans  la 
série 

0 

et  en  comparant  avec  la  valeur  exacte  de  Q( —  i)]  qu'il  existe  même 
après  mes  corrections,  des  erreurs  assez  considérables.  Je  crois 
qu'il  reste  encore  des  erreurs  d'une  centaine  d'unités.  La  cause  de 
cela  doit  être  que  les  coefficients  B  sont  entachés  d'erreurs  de  cet 
ordre.  Vous  voyez  que  déjà  pour  /i  =  18. . .  ce  n'est  pas  la  table 
qui  peut  juger  de  Tapproximation  de  AOtre  formule,  mais  récipro- 
([uement  cette  formule  donne  la  valeur  exacte  et  met  en  évidence 
l'erreur  de  la  table. 

Mais  ce  qui  vous  fera  plaisir  (comme  moi),  c'est  de  voir  avec 
quelle  fidélité  votre  formule  représente  les  Cn  à  partir  de  Cq  même! 
Pour  n  =  i,  2,  ^  est  plus  petit  que  n;  évidemment  cela  reste  vrai 
tant  que  n  <<  e.  IMur  «  =  2,  ^=  n  =  e.  Une  autre  fois,  lorsque 
j'aurai  le  loisir,  je  me  {ii^opose  d'interpoler  et  de  prendre,   par 

exemple,  n  =  3^^;  c„   ,  =  =-7 — r    /     (\oi2;x)" e~^' dx.  Je  ne  doute 

^    '  -  '  r(/i  -i-ij  J^    ^    ^     ^ 

])as  que  le  facteur  ne  tombe  entre 

1  ,o3ri         et         I  ,o>>-7. 


LETTRE    136.  269 

Si,  pour  la  comparaison  de  votre  formule  approchée,  vous  dési- 
riez les  valeurs  numéricpies  des  (c„),  elles  sont  à  votre  disposition. 
Mais,  à  proprement  parler,  il  me  semble  que  le  rapport  c,i  \  (c,j)  met 
mieux  en  évidence  la  marche  de  l'approximation. 

Votre  sincèrement  dévoué. 


136.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  u)  octol)re  if 


MoK 


CHER     AMI. 


Je  viens  vous  remercier  de  votre  Mémoire  sur  la  transformation 
linéaire  de  --=:;  j'aurais  le  plus  grand  intérêt  à  le  rapprocher  d'un 

travail  que  j'ai  fait  l'année  dernière  pendant  les  vacances  sur  la 
réduction  de  la  même  quantité  à  la  forme  canonique,  mais  d'autres 
(dioses  plus  pressées  m'en  empêchent  et  j'attendrai  d'avoir  un  peu 
plus  de  liberté  pour  bien  étudier  votre  analyse  et  vos  résultats. 
Recevez  surtout  mes  remerciements  pour  les  calculs  numériques 
(pie  vous  voulez  bien  mettre  à  ma  disposition  et  qui  me  sont  singu- 
lièrement utiles  pour  justifier  ma  formule  asymptotique  de  c„_(, 
n'ayant  pas  réussi  à  ma  honte,  à  mon  grand  dommage,  dans  mes 
tentatives  pour  conclure,  de  la  méthode  de  Laplace,  une  limite  de 
l'approximation  obtenue.  Je  ne  puis  cependant  m'empêcher  de 
croire  qu'il  y  ait  moyen  d'y  parvenir;  voici  un  cas,  par  exemple, 
extrêmement  simple  et  facile  qui,  bien  certainement,  ne  doit  pas 
être  unique.  Considérez  l'intégrale 


-r 


dl 


et  faites 


\ous  aurez 


(H-/^)"+i  ■i.\...-in 

dt 


x{e^'" —  \) 


et,  par  conséquent,  cette  transformée 

.00  1 


26o  CORUESPONDANCK    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Il  suflil  maintenant  de  remarquer  que  l'on  a 
puis 
où  8  est  compris  entre  zéro  et  riinité,  ce  qui  permet  d'écrire 


e 


ch 


Aux  deux  limites  B  =  o  et  B  =  i ,  nous  avons  donc 

V.  y    II.  -^Y   11  -^  l 

L'intégrale  proposée  est  évidemment  eom])rise  entre  ces  deux 
quantités  et  l'on  peut  écrire 

1 . 3 .  5 . . .  -2  /i  —  1  1 


■î./i.Cy...in  ^/^(,j_,_£| 

la  quantité  £  étant  inférieure  à  -•    Que  je  serais  content  si  cette 

formule  pouvait  vous  allécher  et  vous  donner  la  tentation  d'en 
trouver  une  semblable  pour  c„_,  ! 

J'ai  immédiatement  écrit  à  M.  Jordan  pour  lui  demander  de 
publier  dans  son  Journal  votre  Mémoire  sur  le  développement  de 

_i 
[i  —  2/-(cos«<  cos«'  cosa?  -f-  sin  ?^  «in  it  sinjK)  -t-  /"-]    ^, 

et  je  lui  ai  assuré  cjue  rien  au  monde  ne  pourra  lui  être  plus  agréable 
que  d'avoir  à  sa  disposition  un  travail  important  de  votre  part. 
Votre  méthode  pour  parvenir  aux  résultats  de  M.  Tisserand  est  un 
vrai  bijou;  en  m'écrivant  pour  la  première  fois  lorsque  vous  me 
l'avez  adressée,  vous  m'exprimiez  une  sympathie  qvii  a  été  bientôt 
partagée,  qui  n'a  fait  qu'augmenter  et  que  je  garderai  toujours.  Je 
n'attends  pas  la  réponse  de  M.  Camille  Jordan,  pour  vous  dire  sans 
tarder  que  je  vous  suis  bien  reconnaissant  de  la  peine  que  \ous 
allez  prendre  de  calculer  pour  /i  =  i  i ,  12,  . . .,  18  la  formule  qui 
donne  Cn-{-  Ne  vous  préoccupez  point  de  {m),,;  c'est  peu  de  chose 
comme  vous  allez  voir.  En  désignant  le  plus  grand  commun  divi- 


LETTRE    137.  261 

seur  de  m  et  n  par  0,  on  peut  faire  0  =  /?? .  A.  +  «  .  B,  A  et  B  étant 
entiers;  multi[)liez  maintenant  les  deux  membres  par 

{m  —  1 U m  —  2 ) . . . ( /;î  —  /i  -T-  I  ) 


vous  en  conclurez  immédiatement  l'égalité 

^ ^ ^ L  0  =  ^  m  )„ .  .\  -h  (  m  —  I  )„_i .  B, 

1 . 2 . . .  n 

dont  le  second  membre  est  un  entier  E.  On  a  donc,  en  multipliant 
par  ni 

(/»)„.  0  =  m  .  L         ou         (  m  )„  =  -^-  L 

et  de  même  l'autre  théorème. 

Je  vais  maintenant  corriger  des  compositions  de  baccalauréat. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mon  afiec- 
tion  bien  dévouée. 

137.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  dimanclie  (21  octobre  1888)  ('). 
Mon  cher  ami, 

Je  vous  apporte  ma  contrd^ntion  à  la  question  en  me  proposant 
d'ajouter  un  second  terme  à  l'expression  asympto tique  de  Cn^\- 
Voici  d'abord  une  remarque  algébrique  à  laquelle  conduit  la  mé- 
thode de  Laplace  dont  je  vais  faire  usage.  Soit 


=r/ 


(  .r  )  dx 


l'intégrale  proposée  en  supposant  que  la  fonction  f{x)  sannule 
aux  deux  limites  a  et  b  et  n'ait,  dans  l'intervalle,  qu'un  seul  maxi- 
mum correspondant  à  la  valeur  x  ^\.  En  posanty(a;)  =y(^).e~'', 
puis  .r  =  ^  4-  ^,  le  développement  en  série  suivant  les  puissances 

(')  Note  des  éditeurs.  —  Nous  avons  cru  devoir  fixer  la  date  de  celte  lettre 
au  21  octobre  1888  qui  correspond  au  dimanche  compris  entre  le  19  et  le 
22  octobre. 


202  <;ORm;Sl'ONDANCE    d'hEUMITK    KT    IW.    STIELTJES. 

de  z^  et  l  donne,  à  cause  de/'(;)  =  <», 

ou  bien 
On  en  tire 

et  la  remarque  algébrique  consiste  en  ce  que,  si  l'on  remplace  / 
par/",  le  coefficient  de  t"^  se  reproduit  divisé  par  \J n"K  L'applica- 
tion au  cas  de 

conduit  à  un  calcul  prolixe  et  fatigant  auquel  j'ai  renoncé;  j'ai 
préféré  employer  les  coefficients  indéterminés  en  posant 

ce  qui  donne 

.1  —  6'--<;  log"  :,\i  -AiM  -^ 

ou  plutôt 


J  —  e'-''^-  log"  ;  \/t.  .  oj  (  i 


)  tu 
■1  (O 


Maintenant,  j'obtiens  ces  valeurs 

').n\  3co"        ■i/i^+ ()/i^ç  +  i6n-ç--f- G/iç^-t-  i^'' 


w= 


Ayant  ensuite 

1  1 

/  —        n  +  -     —  n  A 

1 .  2.  .  .  «  =  V'. t:.  «       -e  '^", 

en  négligeant  dans  l'exponentielle  les  termes  en  —  >  on  en  conclut 
la  formule  cherchée 

?         I 

ou  bien 


I  o  «''  -H  9  n^  ;  H-  I  (')  /^'^ ^^  -4-  6  n ^^  -f-  'j  ;''  1 


LETÏIJE     138.  203 

Celte  expression  se  simplifie  et  une  réduction  facile  donne 

C'est  ici  que  je  viens  implorer  toute  votre  charité,  pour  savoir 
si  la  fjuantité  à  laquelle  j'arrive 

ou  sensiblement,  pour  de  grandes  valeurs  de  ;, 


se  trouve  confirmée  ou  démentie  par  vos  calculs. 

M.  Jordan  a  dû  vous  écrire  pour  vous  téuioigner  sa  satisfaction 
de  pouvoir  publier  le  INIémoire  dont  vous  m'aviez  chargé  de  lui 
demander  l'insertion  dans  son  journal.  En  attendant  votre  réponse 
et  vous  priant  de  m'autoriser  à  publier  tous  vos  nombres,  dans  ma 
prochaine  Note,  je  vovis  renouvelle,  mon  cher  ami,  l'assurance  de 
mes  meilleurs  sentiments. 


138.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  ri  octobre  i888. 
Cher  mowsielu, 

J'avais  considéré  aussi  les  termes  suivants  de  l'expression  asjmp- 
totique  de  c„_f,  votre  résultat  et  le  mien 

sont  parfaitement  en  accord,  car 

(il  semble  qu'il  j  a  une  erreur  dans  la  dernière  rédaction  de  votre 
lettre). 


9.64  CORRESPONDANCIi    d'hERMITK    ET    DE    STIELTJES. 

\  oici  maintenant  la  comparaison 

/?  (2/1-4-7  »?-t-lO;-) 


«(2  7?^+7«?- 


I . . 

3.. 

4.. 

5. . 

/  •  • 

8.  . 

'J-- 

:(c„_,)- 

24ç(rt  +  '^)a 

0387 

1 ,o5o9 

0  jjj 

I  ,oîi  5 

o3i2 

i,o34S 

0277 

I ,o3oo 

0249 

I ,0266 

0-22G 

I ,0239 

0208 

1,0218 

0192 

1,0200 

0179 

i,oi8G 

n. 

c„-^ 

:(^„-. 

10.  . 

,0168 

II.. 

,01  58 

12.  . 

,orjo 

i3.. 

,Of42 

14.. 

,oi36 

i5. , 

oi3o 

16.. 

? 

17.  . 

? 

18.. 

? 

■A%{n+-ir 

0174 

oi63 

oi54 

oi4(J 

0139 

01 32 

0127 

I 

oi2r 

01 16") 

On  ne  peut  pas  exiger  une  concordance  plus  parfaite. 
J  ai  simplement  applicpié  la  formule  (d),  page  112  de  la  TJiéorie 
analytique^ 

1.2     clx'^  la         f  ■ 

h  étant  la  valeur  maximum  de  j^  pour  x  =  a 


^ydx  =  h^TJ\^,)a-v\ 


^f— ^^"l    -...1, 
2  \  1.2.3.4      dx'*   la  J 


v/log6-  logj 
Or,  posant  .r  =  rt  +  /i,  je  trouve 


|„n^,_logJ: 


/iî 


■}.a        ort- 


4  a-^        j  a'' 


2  a    \        2  rt    '    3  a-       \  a-* 


2/i 
h'* 


3  /t- 


4rt-^\        2  a       3  a'-       4«' 
]ogZ>  —  Iog^'=  Ao/i- —  Ai/(2-î-  Ao/** —  A3// 

I 
2 
I 


Ai=  ^a2_(-la^    +  '  P2 
o  2  J 


ou 


A2  /t3    \:' 


2«       ja-       4^' 


4  2  24    '^        /,  "^  ' 


I  _    I 


li:ïtre  1;J8.  265 

donc 

_i 

(.'  =  (Aq—  Aih-v-  A^,h-—  xVs/i^-h. . .  >    '• 

11  ne  reste  qu'à  calculer  les  eoeflîcienls  do  h-,  /t\  ...  dans  les 
développements  de  ç^,  t^^,  . ..  respectivement,  et  à  substituer  dans 
la  formule  de  Laplace.  Le  résultat  définitif  est  de  cette  forme 


-  \/n 


r   ,      l'i      ,      l'i      ,      P.3  "I 


P( ,  P2,  P3,  .  . .  étant  des  polynômes  homogènes  en  a  et  [i,  P^  étant 

du  degré  4/*"- 

P 
Je  crois  que,  avec  le  second  terme % — ,  on  obtiendra  c,,,  à 

|)artir  de  n  =  iS  avec  cinq  décimales  exactes,  etc.  Je  n'ai  pas 
terminé  encore  le  calcul  de  ce  terme  avec  Pc  que  je  me  suis  proposé 
comme  moyen  de  contrôle  du  calcul  exact  des  c,i  que  je  vais  entre- 
prendre. Mais  cela  |)rendra  du  temps. 

Je  vous  prie,  Monsieur,  de  vouloir  bien  considérer  qu'en  de- 
mandant si  M.  Bourguet  ne  voudrait  pas  revoir  ses  calculs,  je 
croyais  encore  que  cette  révision  ne  portait  que  sur  les  c„,  non 
sur  les  B,^.  Maintenant  que  je  vois  qu'il  faudrait  aussi  revoiries  B/,, 
cela  deviendrait  un  travail  bien  plus  considérable,  et  comme  toul 
porte  en  somme  sur  des  quantités  bien  minimes,  je  n'oserais  pas  le 
demander  à  M.  Bourguet  dont  le  travail  ne  perd  rien  de  sa  valeur 
par  ces  petites  incertitudes,  et  du  reste  il  n'a,  en  aucun  endroit, 
donné  une  limite  exacte  de  l'approximation  de  ses  nombres.  Dans 
ces  conditions,  ne  serait-il  pas  suffisant,  si  j'entreprenais  moi- 
même  cet  liiver  le  calcul  de  ces  coefficients.  Je  demanderais  alors 
à  M.  Bourguet  la  permission  de  lui  envoyer  mes  calculs  pour  les 
comparer  avec  les  siens.  Les  petites  erreurs  aussi  bien  de  mon 
calcul  que  du  sien  seraient  alors  faciles  à  découvrir  et  à  corriger. 

J'envoie,  en  ce  moment,  mon  Mémoire  à  M.  Jordan  dont  j'ai 
reçu  la  lettre.  Veuillez  bien  me  croire  votre  sincèrement  dévoué. 

Vous  pourrez  faire  l'usage  que  vous  voudrez  de  mes  nombres. 


206  (;OHIt£SI'0.\DA>CK    d'iiKKMITK    li  1    DE    STIEI.ÏJKS. 

139.  -  IIERMITE  A  STIELTJES. 

24  octobre  188S. 
Mon  cher  ami. 

Vous  avez  parfaitement  raison,  j'ai  commis  une  inadvertance 
en  remplaçant  in--\- 'j n\-\- \o^-  par  (/i  +  ^)  (2/1  +  5^),  c'est 
un  service  que  vous  m'avez  rendu  de  m'avoir  fait  reconnaître 
mon  erreur,  et  je  viens  vous  en  remercier  ainsi  que  des  applica- 
tions numériques  que  vous  avez  bien  voulu  faire  et  dont  je  vais 
me  servir,  dans  un  petit  article  destiné  au  Journal  de  M.  Jordan. 
Vos  calculs  en  feront  le  principal  intérêt,  et  j'espère,  grâce  à 
vous,  qu'on  ne  verra  pas  sans  quelque  plaisir  comment  la  formule 
de  Laplace  donne,  dans  la  circonstance,  une  approximation  qu'on 
ne  pouvait  vraiment  pas  attendre.  Conformément  à  vos  intentions, 
j'ai  fait  part  à  M.  Bourguet  de  votre  désir  de  lui  communiquer 
les  calculs  que  vous  vous  proposez  d'entreprendre  pour  la  revision 
des  dernières  décimales  des  coefficients  B/^,  afin  qu'il  les  compare 
à  ses  opérations,  ce  qui  donnera  le  meilleur  moyen  de  remonter  à 
la  source  des  minimes  erreurs  de  ses  Tables. 

Lundi  dernier,  M.  Bertrand  m'a  communiqué  une  lettre  de 
M.  Bosscha,  qui  a  eu  également  la  bonté  de  m'écrire,  au  sujet  de 
l'envoi  du  premier  volume  des  Œuvres  de  Christian  Hujgens. 
Je  n'ai  point  à  regretter,  mon  cher  ami,  d'avoir  eu  recours  à  votre 
bonne  obligeance,  et  vous  aurez  rendu  service  à  d'autres  encore 
qu'à  moi. 

Encore  un  mot  sur  l'application  à  la  fonction  Çl{x)  d'une  belle 
méthode  de  Laplace.  Peut-être  avez-vous  vu,  dans  le  Tome  90  de 
Crelle,  une  lettre  de  moi  à  M.  Schwarz,  où  je  donne  une  expres- 
sion analytique  de  cette  fonction  dans  laquelle  figure  la  quan- 
tité B(^).  M.  Hjalmar  Mellin  (•),  dans  le  Tome  II  des  Acta,  a 
obtenu,  en  suivant  la  même  marche,  Tine  expression  plus  simple,  à 

(  '  )  Note  des  éditeurs.  —  Ueber  die  transcendante  Function 
Q(^)  =  T{x)  —  P(:r), 
von  Hjalmar  Mellin  {Acta  matheniatica,  t.  II,  p.  23i). 


LETTKK     139.  267 

savoir  : 

Q(a:-)  =  >  (—  ijAA), ~ ^ W(x  —  [  —  A) 

(À  =  0,1,  2,...), 
OÙ  l'on  a 

I  I  T 


Ax       =   /     x^e'^' clx 


•iJC  la:  I.. 


X  +  I  I  .  (  X  H-  '2  j  I  .  2  .  (  X  H-  3  ) 


J'ai  remarqué  que  l'analyse  employée  parLaplace,  pour  retrouver 
la  limite  supérieure  de  l'excentricité  qui  assure  la  convergence  de 
la  série  déduite  de  l'équation  de  Kepler 


Il  ^^  lit  -ir-  e  sin  u. 


s'applique  très  facilement  à  la  suite  R(x)  et  donne  un  résultat 
simple;  je  me  propose  de  vous  en  écrire  aussitôt  que  j'en  aurai 
fini  avec  les  trente  compositions  de  baccalauréat  dont  j'ai  aujour- 


d'hui la  charge. 


Votre  bien  dévoué. 

Pensez-vous  poursuivre  l'étude  de  la  nouvelle  transcendante 


/      e-^ 1 o " " X  dx  ? 

Yia).}. 


En  revenant  à  c„_i,  ou  plutôt  à  l'intégrale 

e--'^  lo"";r  dx. 


r 


je  ne  puis  m'empècher  de  vous  confier  tout  le  chagrin  que  me 
cause  la  substitution  e~-^=  t;  elle  donne  pour  transformée 


r 


'\dr, 
t 


011  la  quantité  sous  le  signe  somme  croit  de  zéro  à  l'infini,  sans 
maximum  ni  minimum.  Que  devient  donc  la  méthode  de  Laplace? 
De  même  encore,  dans  un  cas  plus  simple 


V{a)=  I     log«-M  -  )c/,r. 


208  CORRESI'OXDANCE    u'niiUMITE    ET    l)F,    STIELTJES. 

je  ne  puis  absolument  comprendre  comment  cette  méthode  se 
trouve  à  la  merci  d'une  subslilution  ;  en  même  temps,  je  me 
demande  s'il  est  possible,  par  une  substitution,  de  changer  l'inté- 
grale 


f 


F(:r)  d.r, 


où  la  fonction  F(^)  est  croissante  de  a  à  b,  en  une  auli^c  où  la 
nouvelle  fonction  aurait  un  maximum  entre  les  limites? 


140.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  27  octobre  1888. 
Cher  IMonsieut, , 

Ne  connaissant  pas  l'adresse  de  ^I.  Bourguet  (lindicalion  de  la 
table  des  matières  des  Acta,  professeur  de  Mathématitpies  à  Paris, 
me  paraissant  insuffisante),  c'est  à  vous  que  je  suis  dans  la  néces- 
sité d'adresser  la  lettre  ci-jointe  qui  lui  est  destinée.  J'accepte 
avec  empressement  son  offre  si  gracieuse  de  m'abréger  le  travail 
en  m'envoyanl  une  partie  de  ses  calculs.  Nous  avons  eu  ici  seule- 
ment les  Ijacheliers  qui  aspirent  au  volontariat,  le  nombre  est 
restreint  —  cinquante  pour  les  sciences  et  les  lettres  ensemble. 
Mais  c'est  la  semaine  prochaine  seulement  que  commence  la  session 
ordinaire  de  novembre  (c'est  là  une  affaire  bien  plus  considérable). 
De  vendredi,  2  novembre,  au  mercredi  suivant,  je  serai  à  Aucli 
pour  l'examen  écrit.  Ensuite,  vient  la  correction  des  compositions 
(j'en  a\ais  cent  \ingt  cet  été,  ah  !  l'agréable  besogne!)  et  l'oral. 

Veuillez  bien  me  croire  toujours  votre  très  dévoué  et  respec- 
I  lieux. 

141.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  mercredi  (2(^  octobre  188S)  (  '  ). 
^loiN     CHER     AMI, 

J'ai  réfléchi  qu'il  n'j  a   pas  lieu  de  penser  à  ^érifier  par  une 

(')  Note  des  éditeurs.  —  Cette  lettre  n'csl  pas  datée;  le  jour  où  elle  a  été 
écrite  et  le  sujet  paraissent  en  indiquer  sûrement  la  date  et  la  fixer  au  29  oc- 
tobre 1888 


LETTRE    l'il.  269 

application  numérique  le  résiillal  qui  ni'a  assez  surpris  (|uc  la 
valeur  asjmptolique  de  R(.r)  coïneide  avec  celle  de  1.2.  ..^;  on 
ne  peut,  en  effet,  espérer  obtenir  un  accord  pour  une  valeur 
médiocrement  grande  de  x  et,  en  supposant  seulement  x  =  20,  par 
exemple,  les  nombres  deviennent  si  grands  que  c'est  à  j  renoncer. 
Permettez-moi  de  vous  indiquer  mon  calcul  en  vous  exprimant 
mon  admiration  pour  la  méthode  de  Laplace  qui  est  vraiment  mer- 
veilleuse. Au  fond,  elle  ressemble  à  celle  qu'il  emploie  pour  les 
intégrales  définies,  il  faut  chercher,  en  effet,  dans  la  série 


dont  les   termes  commencent  par  croître,  le  terme    maximum  à 
partir  duquel  ils  diminuent,  en  posant  la  condition 


n^        in  —  r)-^ 
d'où  1  on  tire 


Il  ~ 


Prenant  n  =  x,  ce  terme  maximum  est 

p  —  x^'  e—-^  ; 

celui  qui  en  est  éloigné,  de  rang  t,  est  ensuite 


i-r^l  )■'■  ^  ^ 


et  1  on  a 
d'où 


logT  =  x  \o<^(x  -t-  /  )  —  X    -  I, 


)i:T—  loi:»  =  X  loi;  (  1  H )  —  /  = 

''  '  X  I  iX 


et,  par  conséquent. 

Cette  valeur  est  la  même  pour  le  terme  de  rang  t  qui  précède  le 
maximum,  de  sorte  que  la  valeur  approchée  de  la  série  sera  donnée 
par  l'intégrale 


± 


e    -■'  dl  = />  \/'-ijzx  =  \/-i~: 


270  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

11  ne  me  semble  pas  que  la  méthode  permetle  d'essayer  d'obtenir 
une  approximation  plus  grande;  aussi,  je  m'en  tiens  à  ce  résultat 
(lue  je  vous  soumets,  en  vous  demandant  si  vous  croyez  c[ue  l'on 
puisse  s'y  confier.  Je  l'espère,  mais  en  conservant  cpielques  doutes, 
ayant  reconnu  des  cas  dans  lesquels  la  méthode  de  Laplace,  appli- 
<[uée  de  la  même  manière,  donne  une  conclusion  manifestement 
fausse,  sans  que  j'aie  pu  voir  à  quoi  tient  que  tantôt  elle  réussisse, 
tandis  que,  dans  d'autres  circonstances,  elle  induit  en  eiTCur. 

Voici  Tun  de  ces  cas  :  il  suffit  de  chercher  l'expression  asymp- 
lolique  du  coefficient  de  x"^  pour  n  très  grand,  dans  la  fonction  de 
.lacobi 

^  1 1  K,r\  ,  , 


Au  contraire,  le  calcul  marche  admirablement,  lorsqu'on  traite 

la  même  ciuestion  à  l'éffard  des  fonctions    sn  - — —  et  en '-  7  •  •  • , 

et  le  résultat  cpi'on  en  tire  se  vérifie  complètement  et  facilement  en 
revenant  aux  expressions  de  ces  quantités  par  une  série  infinie  de 
fractions  simples. 

Je  vais  rédiger  ma  Note  concernant  C/,_,  pour  M.  Jordan. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mes  meilleurs 
sentiments. 

142.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  3c  octobre  1888. 
Chek     MoNSrELR, 

Je  vous  suis  très  obligé  d'avoir  bien  voulu  adressera  M.  Bour- 
guet  la  lettre  qui  lui  était  destinée,  pourriez-vous,  peut-être,  si 
l'occasion  s'en  présente,  me  donner  son  adresse. 

Voici  maintenant  comment  j'ai  cherché  à  me  rendre  compte 
numériquement  de  l'approximation  de  votre  expression 

I 

/  —    .f  + 
(a)  y/'ir.r      ^^-.i.- 


(3) 


3-^ 

n 

--  -1-. 

.  .4- 

C'' 

e' 

LETTRE    l'i'i.  271 

Mais,  pour  faciliter  le  calcul,  je  n'ai  pas  direclemcnL  comparé 
(7.)  à  (^),  mais  d'autres  expressions  qui  en  diffèrent  peu. 
Je  remarque  que  (a)  est  la  valeur  asymptotique  de 

r(.r  -f-  1  )  =    /       if'('-"  du 

ou  de 

Q(.7-  -h  1  )  rrz    /      ii'e-"  du. 

•  1 

La  différence  Y{x-\-\)  —  0(.r  +  i)   est  inférieure  à  ^7-^.   ce 
([ui  est  tout  à  fait  insignifiant  ici. 

D'autre  part,  je   trouxe  un   peu   plus  commode   d'ajouter  à  la 

1  ■'  r 

série  (^)  le  premier  terme  —  =z  -  z=  a  =  0,8678  7944-  •  •• 

Il  s'agit  donc  de  comparer 

à 

Q(.r  H-  1)  =    /      ii'e-"  du. 

ou,  en  posant  J\ii)  =  u-^'c~", 

à 

/      J\  Il  )  du. 

'-  1 

Je  pose  successi\ement 

ir  =  1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  •  •  • 

cl,  à  l'aide  de 

Q(ar-i-i)  =  a  +  xQ(x). 

j'obtiens 

Q{i)  =  a,         Q(2)  =  2«, 

Q(3)  =  5a, 
Q(4)=i6«, 
Q(5)  =  65a, 
Q(6)  =  326a, 
Q(7)=i957rt, 
Q(8)  =  I3  7oo<•^ 


272  CORRESPO.N'DAM :i:    0  IliaiMITK    KT    l)K    STIELTJKS. 

D'à  11  Ire  part,  on  a 

R(i)  =  a:(,-«)^ 

R(2)  =  (a-^a-^):{f  —  a)\ 

R(3)  =  (a  +  4a2^_rt3);(,_rt)v^ 

R (  4  )  =  (  a  -H  1 1  a2  -1-  1 1  a^  -i-  a'*  )  :  (  i  —  a  )s, 

R  (  5  )  =  ('  a  -+-  26 a2  -f-  66 «3  •+•  26 «''  -+-  a'-'>  )  :  (  1  —  «)•■', 

R(6)  =  (a  +  57 a- H-  3o2a3-t-  3o2a'*-4-  àjr/^H-  c/'' j:(i  —  «;'', 

R(/0=a|^[lU/.-Ml 

l'vidciiiment. 

J'obtiens  ainsi 

lU  I  ):Q(2)  =  i,25i  j, 

R(2):Q(3)  =  i,o83i, 

R(3):Q(4)  =  i,o2ol. 

R(4):Q(5)  =  i,oo38, 

R(5):Q(6)  =  i,ooo;J76, 

R  (  6  )  :  Q  (  7  )  =  1 ,  000  079  1  1  I . 

J'ai    remarqué   que,   en    posant    a  =  — i  dans    les   expressions 

(  '  )  La  convergence  si  exlrèmcnicnt  rapide  vers  zéro  de 
R(i)-Q(2) 


Q(2) 

R(2)-Q(3) 
Q(3) 

R(3)-Q(4) 

Q(4) 
R(4)-Q(5) 

Q(5) 
R(5)-Q(6) 

Q(6) 
«(6)  zL9il) 

0(7) 


=  0,20J  .), 

=  o,o83  I , 
=  0,020 5, 
=  o,oo.'i8, 
=  o  ,oo()r)-(j, 

=  0,000()J(J 


i>nne  lieu  à  considérer  piiilôl  la  (lidVrencc 

U(.r)  — Q(a7  +  i). 
En    mulliplianl    par    Q(2),    Q(3),    ....    qui    sont    approxiinalivemenl    égaux 


deR(i),  Rh) on  a 

Ri  2n)         =0, 


2-"  —  I 


Bi  =  - ,  B,  r=  -r-5  Bi  =    -  >  •  •     cLanl  les  nombres  de  Bernoulli. 
J'aurais  plusieurs  remarques  à  faire  sur  vos  dernières   lettres, 


.'•  r(2),  r(3), 


K(i)-Q(2)  =  o,2,5....x  ^ 


R('3)  —  Q(3)  r^  o,iG6...  X 


r(o) 


R(3)-Q(4)=o,i23...x  ^jV[|y. 

R(,3)-0(6)  =  o,o69...x  5_||1, 
R(6)-Q(7)  =  o,o57...x  ^l^-j, 


où,  par  exemple, 

Q(7)  _.       P(7)  _.  « 


(o<0<i). 
Il  semble  donc  que   ï\{x)  —  Q(.r  +  i)  décroît  à  peu  près  comme — ^!   Une 


r(7)  r(7)  1.2.3.4.5.6.7 

donc  que   R(J7) — Q(.r  +  i) 
helle  formule  à  trouver  qui  explique  cela. 

D'autre  part,  T{x  ~{- 1)  —  0{x  +  1)  étant  aussi  de  l'ordre  ^ — >  il  semble  plus 

naturel  de  considérer  R(^) — r(a;  +  i) 

R(i)-r(2)  =-0,0798, 
R(2)--r(3)  =-0,0077, 

R(3)  —  r(4)  =+0,0065, 
R(4)  —  r(5)  =-f-o,oo33, 
R(5)-r(6)=      ? 

Sans  continuer  ce  calcul  qu'il  faudrait  reprendre  avec  plus  de  soin,  il  semijle 

([ue  les  fonctions 

R(^)  =   i  -H  i!  +  —  j-..., 
e        e-       c 

et  r(a7  +  i)  croissant  avec  une  extrême  rapidité   sont  telles  que  leur  difïérence 
décroît  ou  reste  très  petite. 

Je  ne   poux   m'empêclier  de  rappeler  ici   ce  résultat  déduit  de  la  théorie  des 

18 


274  CORRKSPONUANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

mais  je  préfère  réfléchir  encore  un  peu,  peut-être  que  je  trouve 
alors  fpielque  chose  de  plus  intéressant.  Avez-vous  considéré  déjà 
la  (juestion  des  zéros  de  la  fonction  entière  Q(:c)? 

Je  vous  renouvelle,  Monsieur,   l'expression  de  mes  sentiments 
hien  dé\oués  et  respectueux. 

143.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  !"■  novembre  1888. 
Cher  Mo^sielr, 

Hier  soir,  en  réfléchissant  encore  sur  vos  formules,  j'ai  trouvé 
l'explication  de  l'approximalion 

,  .yX  3.r  f..v 

T{x-^i)  =  R(:r)=  -  ^  —  -^-        ^  ±- ^ .  .  . . 
e         e~         e^         e* 

En  effet,  en  supposant  .r  ^  o,  j'obtiens  la  formule 

I        i.^       3''        4^ 
e        e^        e'-^        e'* 

„,          A          cosR^ -1-1)  arctanearl          cosfCr-i-i)  arctani!  îr] 
=  r(a7-M)  h  +  2 ^ -^ ^  +2 !— ,^;       ^ 

(•osr(.r-Hi)  arctan<;67:l  cosr(a:-i-i  )  arc  tan<r8-l  ) 

+  -^-^ ^^T *+'^— ^- T^T— '+•••' 

(36-2+1;   ^  (64-2-- 1)   2  ' 

en  sorte  qu'on  a  en  première  approximation 

,^  ,     .     ,,  2  cosT*  .r -J- I)  arc  tan<ï9,7îl 

i\(  x):i  [X  ^  \)  —  ]  -, ' — ^,_^^  "^ — -  ■ 

(471^  +  1)^" 

fonctions  elliptiques 

I      e^"^^dx=f    f{x)dx=-^i/-, 

^/(o)+/(i)-H/(2)-h...=  i^^(i+2e~^+2e"~-,---J- 

Veuillez  bien  excuser  la  précipitation  avec  laquelle  j'écris  ceci,  je  voudrais  vous 
lépondre  avant  mon  départ  pour  Aucli  et,  demain,  je  suis  pris  aussi  par  une 
alVaire. 

Dès  que  je  le  pourrai  faire,  je  reprcndiai  le  calcul  de  lî(.r)  — T {x -t- \)  aver 
plus  de  soin  pour  a;  =  i,  2,  3,  .... 


LETTRE    144.  275 

Le  cosinus,  dans  celle  formule,  explique  bien  les  varialions  de 
signe  qui  se  montraienl  en  considérant  R(;r)  —  r(a:  +  i). 
J'obtiens  celle  formule  à  l'aide  d'un  résultat  dû  à  Dirichlet 

A„  =  —    /     f(t)cosntdt, 

-  Ao M-  Al  +  A2  -f-  A3  -t-  .  .  .  =/(o)  -H  -ifiliz)  -\-  9./( 4 tt)  -+-  2/(6:1)  -i- ... . 
Il  n'j  a  qu'à  prendre 

_2    r(.r -^  I  )  cnsff.î; -I- I)  arc  lani;(  9. /«- )| 


"'+4Î^ 


Après  quelques  réductions,  vous  trouverez  le  résultat  que  je 
viens  d'écrire.  Voilà  un  résultat  qui  vous  fera  plaisir  peut-être  et 
qui  me  dispense  des  calculs  à  faire. 

J'ai  voulu  vous  communiquer  ceci  encore.  Comme  cliez  vous, 
ma  première  impression  a  été  que  l'approximation  entre  R(^) 
cl  r(:c-l-  i)  ne  commencerait  à  se  montrer  que  pour  de  grandes 
valeurs  de  x^  ensuite  que  le  calcul  numérique  serait  très  fastidieux. 
Heureusement,  je  ne  me  suis  pas  contenté  de  cette  première 
impression. 

A  olre  bien  dévoué. 


144.  -  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  2  novembre  1S88. 
MoiV    CHER    AMI, 

Je  désire  que  vous  trouviez,  au  retour  de  votre  voyage  à  Auch, 
l'expression  de  l'étonnement  infini  que  vos  calculs  m'ont  causé,  de 
la  joie  que  j'ai  eue  et  aussi  de  mon  humiliation  profonde  d'avoir 
accordé  si  peu  de  confiance  à  la  valeur  asymptotique  de  R(^). 
C'est  dans  un  article  du  Journal  de  Borchardt,  tome  90,  page  33 1 , 
que  vous  trouverez  l'origine  de  celte  fonction,  qui  est  définie  ainsi  : 

R(x)  — 'r-  ■ — : — ■  -f-.  .  .- h- 


276  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

par  conséquent,  comme  vous  le  faites  clans  le  cas  de  «  =  1 ,  et  qui 
donne  régalitc 

J  a 


{x  —  \)(x  —  i')...(x  —  n)  .^ 

— y.  (  n  )  li  (  .r  —  n) 


ou  j  ai  pose 


J'ai  eu  le  tort  de  n'a>  oir  point  vu  et  de  n'avoir  pas  dit  cjue  cette 
relation  a  lieu  pour  a  =  1  ;  voici  ce  cjui  m'a  arrêté  bien  inutile- 
ment. Ayant  fait 

l      ^-^-1  e-l  d\  =  \     l  ^-^-i  e-?  d\         (  «  =  i ,  2,  3,  .  .  .  ), 

|)uis 

en  posant  dans  le  second  membre  ^  =  /?«  +  (i^,  j'ai  eu  crainte  cjue, 
dans    le    cas    de    «  =  i ,    pour    le    premier    terme   correspondant 


à  /i  irz  I ,  où  entre  l'intégrale 


ç 


(\-\-X,Y-^e<dl, 


il  n'ait  pas  été  permis  d'emplojer,  sous  le  signe  d'intégration,  le 
dévelop|)ement  de  la  puissance  (i  +  J^)-^"',  parce  que  développe- 
ment, à  la  limite  ^  =  1,  est  divergent  quand  x  —  i  est  négatif. 
Mais  ma  crainte  n'avait  pas  de  fondement,  car  le  développement  en 
cjuestion  conduit  à  la  valeur  suivante  : 


P(3) 


ou 


P(«)  =  -' 


Il        n  -T-  I         I .  -2 .  (  /t  -h  2  ) 

Or  le  second  membre  est  une  série  toujours  convergente;  rem- 
placez, en  eflet,  r*(/3)  par  la  quantité  j)lus  grande  —  et  envisagez  la 


LETTRE    lis.  277 

nouvelle  série,  dont  le  terme  général  est 

(X  —  l)(.2"  'î)...(x 7l)     I 

Un  = -  ' 

i.i. .  .n  11 

vous  aurez 

ii„+i  _  (^  —  n  —  i).n 

et  la  règle  de  Gauss  montre  immédiatement  la  convergence  de  la 
série  Hua- 

Il  est  donc  parfaitement  permis  de  supposer  «  =  1;  mais, 
l'expression  ainsi  obtenue 

Q(^)  =  PiR(:ï-  — i)  +  ^-:zip2R(^_.2)4_... 

ne  m'apprend  rien  sur  la  diflerence  Q(^)  —  R(^  —  i). 

Vous  seul,  cher  ami,  par  la  puissance  du  calcul  numérique,  vous 
avez  eu  l'intuition  du  mode  d'existence  de  cette  c[uantité;  égale- 
ment, je  vous  fais  mon  compliment  d'avoir  rattaché  la  question  à 
la  comparaison  entre  l'intégrale 

/     f{u)du 

et  la  somme 

/(.)+/('i)+/(3)+..., 

mais  que  d'efTorts  à  faire  avant  d'atteindre  ce  but. 
Mes  sentiments  affectueux  et  bien  dévoués. 

M.  Bourguet,  professeur  à  l'Institut  catholique,  demeure  rue  de 
Rome,  55. 

145.  —  HE B MITE  A  STIELTJES. 

Paris,  3  novemlire  1888. 
Mon  cher  ami. 

Le  résidtat  auquel  vous  êtes  parvenu  est  magnifique,  j'en  suis 
enchanté  et  je  vous  en  félicite  vivement.  Permettez-moi  de  vous 
demander  d'en  faire  le  sujet  d'une  Communication  à  l'Académie, 
en  vous  engageant  à  donner  les  détails  du  calcul  concernant  la 
détermination  de  l'intégrale  définie  A„  qui  est  loin  d'être  immé- 
diate et  me  paraît  mériter  d'être  développée  avec  soin.  Vous  aurez 


9-S  CORRESPONDANCE    d'iIERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

fait,  après  DirichleL,  l'application  la  plus  belle  et  la  plus  imporlante 
de  la  relation  célèbre  qu'il  a  donnée  dans  sa  démonstration  de  la 
l'orinide  de  Foiirier  et,  en  même  temps,  vous  avez  enrichi  la  théorie 
des  intégrales  eulériennes  d'une  relation  d'un  genre  tout  nouveau 
qui  ne  manquera  pas  d'appeler  l'attention  de  tous  les  analjstes.  Si 
vous  avez  du  temps  de  reste,  je  vous  demanderais  de  refaire  vos 

al 

calculs,  en  supposant /(/)  =  l-^e  -'^,  dans  le  but  d'introduire,  au 
lieu  de  R(-3^)=^-77'  l'expression 

Siix)    :=     ■ 1 ; \ '-..., 

qui  est  aussi,  pour  a  ^  o,  une  fonction  holomorphe  de  la  variable. 
Je  communicjuerai  à  M.  Bourguet  votre  découverte  cjui,  j'en 
suis  sûr,  lui  fera  grand  plaisir.  En  attendant  de  vous  faire  part 
de  ce  c[u'il  m'aura  dit,  je  vous  renouvelle,  mon  cher  ami,  l'assu- 
rance de  ma  bien  sincère  affection. 


146.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Tuiilouse,  Il  novembre  1888. 
Cher   jMoasieiu, 

En  rentiant  à  Toulouse,  j'ai  trouvé  vos  lettres  qui  m'ont  fait 
beaucoup  de  plaisir  en  m'apprenant  l'intérêt  c|ue  vous  prenez  à 
cette  formule  R(^)  =:  r(a;  +  i)  (i  +. . .). 

D'après  votre  désir,  j'ai  rédigé  un  petit  article  sur  ce  sujet, 
j'espère  que  la  nouvelle  démonstration  vous  semblera  satisfaisante. 
Mais  j'ai  l'impérieux  devoir  de  vous  soumettre  ce  travail  en  vous 
demandant  si  vous  croyez  opportun  d'insérer  dans  le  n°  1  votre 
démonstration  de  la  convergence  pour  «  =  i ,  et  dans  le  n°  5,  à  la 
fin,  la  manière  dont  vous  avez  obtenu  d'abord  la  valeur  asympto- 
tique  de  r(a7  +  i). 

L'étendue  de  cette  Note  dépasse  celle  des  trois  pages  des 
Comptes  rendus,  croyez-vous  qu'elle  soit  de  nature  à  intéresser 
les  lecteurs  du  Journal  de  M.  Jordan? 

Je  vous  demande  pardon  de  vous  demander  tout  cela,  mais  je 
ne  pouvais  pas  emprunter  directement  à   vos  lettres  ce  que  je 


LETTRE    147.  279 

flemande  et,  du  moment  qu'il  fallait  changer  si  peu  que  ce  soit, 
j'ai  cru  qu'il  faudrait  mieux  vous  soumettre  la  question. 

Naturellement,  vous  pouvez  changer  tout  ce  qui  vous  semblera 
nécessaire  dans  mon  article  ou  me  le  renvoyer  en  m'indiquant 
les  points  à  changer. 

La  transformation  dont  je  fais  usage  est  tout  à  fait  analogue  à  la 
méthode  par  laquelle  Riemann  a  trouvé  d'abord  la  relation  entre 
Ç(5)  et  Ç(i  —  5),  mais  j'ai  cru  devoir  ajouter  quelques  développe- 
ments pour  montrer  que  la  méthode  est  parfaitement  rigoureuse. 

Veuillez  bien  toujours  me  croire,  cher  Monsieur,  votre  sincère- 
ment dévoué. 

P.  S.  —  Je  n'ai  pu  donner,  dans  le  n^'  2,  l'endroit  exact  où 
Hankel  a  obtenu  la  formule  en  question.  Notre  bibliothèque  ne 
possède  pas  le  Zeitschrift  de  M.  Schlomilch.  J'espère  que  vous 
serez  plus  heureux  que  moi  ;  les  examens  de  licence  et  du  bacca- 
lauréat m'occujDeront  encore  la  semaine  prochaine. 


147.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 


Toulouse,  lundi  soir,  12  novembre  1888. 
Monsieur, 

Je  viens  de  constater  à  notre  bibliothèque  que  le  Tome  XI  des 
Acta  matheinatica  contient  un  article  de  M.  Lerch  sur  la  fonc- 

tion  K(i'(',  x^  s)  =  ^      ,   ,    /■  w; •  Le  résultat  de  M.  Lerch  comprend 

mon  résultat  sur  votre  fonction  R(j;)  et  il  n'y  a  aussi  que  de  lé- 
gères différences  quant  à  l'exposition  de  la  méthode  qui  est  la 
même.  En  tout  cas,  si  mon  article  vaut  encore  la  peine  d'être 
publié,  il  faudrait  ajouter  quelques  mots  sur  ce  qu'a  fait  M.  Lerch. 
Peut-être  mon  article  fait  mieux  ressortir  que  tout  cela  dépend  de 
la  formule  fondamentale  de  Hankel 


r(:r)=  -— .    fe-z-'dr. 

'i.TZtJ 

Votre  bien  dévoué. 


280  CORRESPONDANCE    d'iIFRMITE    ET    DE    STIELTJES. 

148.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  i4  novembre  1888. 
Mon  cher  ami, 

La  circonstance  que  vous  avez  été  prévenu  par  M.  Lcrch,  et 
que  vos  résultats  se  trouvent  dans  son  Mémoire  sur  la  fonction 
K((Vj  X,  s),  ne  peut  en  quoi  que  ce  soit  changer  mon  sentiment  sui- 
te mérite  de  vos  dernières  recherches.  Je  viens  vous  demander 
instamment  de  publier  dans  le  Journal  de  M.  Jordan  Tarticle 
que  vous  m'avez  adressé,  étant  assuré  qu'il  sera  lu  sous  la  forme 
que  vous  lui  avez  donnée  avec  le  plus  grand  intérêt.  En  citant 
M.  Lerch,  comme  vous  vous  le  proposez,  vous  lui  rendrez  service 
et  vous  lui  ferez  plaisir;  je  suis  en  correspondance  avec  le  jeune 
géomètre  et  je  sais  combien  il  sera  sensible  à  voir  son  Mémoire 
mentionné  dans  un  recueil  français.  Ce  Mémoire,  je  dois  l'avouer, 
m'a  passé  sous  les  yeux,  mais  sans  fixer  suffisamment  mon  atten- 
tion, faute  d'un  certain  relief  dans  la  rédaction,  et  puis  parce  que 
j'avais,  en  le  paixourant,  des  préoccupations  qui  ne  m'ont  pas 
permis  d'j  donner  une  suffisante  attention.  Mais  il  j  a  autre  chose, 
je  dois  vous  apprendre  que  M.  Lerch  lui-même  a  été  devancé,  il  y 
a  quarante  années,  par  M.  Lipschitz,  et  que  j'ai  été  chargé  par 
l'éminent  analyste  de  lui  faire  savoir  qu'il  a  traité  le  même  sujet  et 
trouvé  les  mêmes  résultats.  M.  Lipschitz  ^icnt  de  m'envojer  son 
Mémoire  qui  a  paru  dans  le  tome  54,  18;")^  de  Crelle  sous  le  titre  : 
Untersachung  einer  ans  vier  Elcmenten  Reilie  et,  connaissant 
maintenant  ce  que  vous  avez  fait,  je  puis  à  peu  près  le  comprendre 
malgré  l'allemand.  Vous  aurez  donc  aussi  à  lire  ces  recherches, 
afin  de  les  mentionner.  M.  Lipsciiitz,  d'ailleurs,  a  agi  avec  grande 
bienveillance  envers  M.  Lerch,  il  uTa  ('cril  cpiil  se  bornerait  à 
rappeler  son  ancien  Mémoire  et,  sans  faire  aucune  observation, 
dans  un  article  sur  le  même  sujet  destiné  au  Journal  de  M .  hro- 
necker. 

On  m'assure  que  le  Journal  de  M.  Schlômilch  est  à  la  biblio- 
thèque de  l'École  Normale,  j'aurai  donc  le  moyen  de  rechercher 
l'article  de  Hankcl  que  vous  voulez  citer;  permettez-moi,  pour 
diriger  mes  recherches,  de  vous  demander  si   vous  connaissez  le 


LETTRE    14^9.  281 

litre  de  son  Ménioii^c,  ou  à  pou  |)rès  l'époque  à  laquelle  vous  pré- 
sumez qu'il  a  été  puMié. 

En  saisissant  celte  occasion  pour  vous  donner  la  certitude  que 
de  Paris  on  veille  sur  vos  intérêts  et,  dans  l'espérance  que  \  ous 
n'êtes  point  par  trop  chagrin  d'avoir  été  devancé  par  M.  Lipscbilz, 
qui  n'a  pas  d'ailleurs  dégagé  une  corrélation  concernant  la  fonc- 
tion r(^),  je  vous  renouvelle,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mon 
aflfection  bien  sincère  et  bien  dévouée. 

Dois-je  vous  envoyer  le  texte  de  votre  article? 


149.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  i\  novemln-e  1888. 
Cheb   Monsieur, 

Voici  l'exacte  vérité  concernant  l'article  de  M.  Lerch  dans  les 
Acta.  Le  fascicule  des  Acta  où  se  trouve  ce  travail,  je  l'ai  entre  les 
mains,  il  j  a  je  ne  sais  combien  de  mois.  Je  n'y  ai  jeté  alors  qu'un 
coup  d'œil  et  sans  l'étudier  à  fond,  les  formules  paraissant  assez. 
compliquées.  Aussi,  dans  mon  esprit,  il  n'en  restait  que  ce  sou- 
venir un  peu  vague  qu'il  s'agissait  d'une  généralisation  de  la  fonc- 
tion 'C{s)  de  Riemann.  Mais,  lorsque  j'ai  réfléchi  à  l'expression 
asjnq)totique  de  votre  fonction  R(.27),  Vidée  ne  ni'esL  pas  venue 
un  instant  qu'il  pourrait  y  avoir  quelque  rapport  avec  le  travail 
de  M.  Lerch.  Ce  n'est  qu'après  avoir  terminé  mon  travail  et  avoir 
remarqué  l'analogie  de  la  transformation  dont  je  fais  usage  avec 
celle  indiquée  par  Riemann  pour  obtenir  la  relation  entre  "^{5) 
et^(i  —  5),  que  l'idée  m'est  venue  d'examiner  plus  attentivement 
le  travail  de  M.  Lerch.  C'est  ce  que  j'ai  fait  lundi  soir,  après  les 
examens  de  la  licence.  Et  j'ai  \u  alors  immédiatement  que  mon 
résultai  doit  être  compris  dans  celui  de  M.  Lerch,  quoique  je  n'ai 
pas  encore  fait  les  calculs  nécessaires  pour  le  constater  effecti- 
vement. 

La  généralisation  de  M.  Lerch  revient,  en  somme,  à  ceci  qu'il 
considère  au  lieu  de 

a^-        (  a  -1-  I  j-^'        (  a  -i-  1  )-^ 


a82  CORRESPONDANCE    D'ilEiniITE    ET    DE    STIEI.TJES. 

série  proccdanl  suivant  les  puissances  de  -,  une  série  procédant 

suivant  les  puissances  d'un  nombre  quelconque  de  module  infé- 
rieur à  l'unilé  et  qu'il  écrit  sous  la  forme  e'^  en  supposant 

37  =  a  -1-  /[>,  fi  >  o. 

Peut-être,  si  au  lieu  de  poser 
on  avait  posé 

«'  (t  •-   Il  «^  rt  -H  /' 

qu'on  serait  amené  à  introduire 

«r        (a-^bY        (a^-:>.b)->- 
l\  .r)=  —  -i — T ■-  ■ --7 i-  •  •  • , 


ce  qui  réalise  ce  qu'il  y  a  de  plus  essentiel  dans  la  généralisation 
de  M.  Lerch.  Mais  le  temps  me  manque  en  ce  moment  pour  vérifier 
ceci. 

La  comparaison  de 


(a  ->-  h)"'        (  a  -'-  ■).b}'^ 


f 


lixç-i,  (lu 


n    ■  11  •  1      •       A  1  r(j7-f-  l) 

me  lait  su})poser  que  la  valeur  asjmptotique  doit  être  alors , 

Si   CCS   prévisions   sont   exactes,    ne    vaudrait-il    pas   mieux   alors 
refaire  mon  article  en  considérant 


\{(x)  = h — 7^ 


Je  crois  que  oui,  mais  je  ne  pourrai  rédiger  mon  travail  que 
dans  quelques  jours.  Je  vous  le  soumettrai  alors  pour  j  changer, 
si  cela  vous  paraît  nécessaire,  quelques  mots  dans  l'extrait  de  vos 
lettres  qui  y  figurera. 

J'ai  examiné,  à  Auch,  un  peu  ce  que  vous  m'avez  dit  de  l'appli- 
cation de  la  méthode  de  Laplace  à  certains  cas  où  cette  méthode 


LETTRK    14-9.  283 

donnerait    des   résultats  inexacts.   Je   voiis    avoue   que  j'éprouve 
quelque  difficulté  à  l'admettre,  dans  le  cas 

6  I  I  =1  —  Cl  (7  cos  "2 a?  -I-  '2  7  '  cos  4  -Z"  —  •  •  • , 


le  coefficient  de  x"^  se  met  sous  la  forme 

A—  B, 

et  il  me  semble  qu'il  faut  appliquer  la  méthode  de  Laplace  aux 
expressions  A  et  B  séparément.  Si  l'on  trouve  alors,  pour  A  et  B, 
la  même  expression  asjmptotique  (ce  qui  me  paraît  très  probable), 
on  ne  peut  rien  conclure,  ou  plutôt  on  peut  dire  alors  seulement 
que  la  valeur  du  coefficient  devient  très  petite  par  rapport  à  A  et 
à  B.  Mais,  dans  le  cas 

\  -\-  iq  cos  ■}.  X  -I-  '4  (/  ''  r os  4  •^'  H-  •  •  . , 

le  coefficient  de  x"  est 

A  -+-  B, 

et  il  me  semble  que  la  méthode  de  Laplace  doit  alors  donner  un 
résultat  exact. 

J'ai  remarqué  que  votre  élégante  démonstration  de 

r\ 

0<£<    - 


1 .  3 .  5 . . .  (  9,  /?,  —  1  ) 

1 

•2 . 4  . 6 . . .  2  /i 

v/-iT(«  H-  e.  ) 

s'applique  aussi  à 

T{a)V{n)  _    f        .r<^-i 

rlr  —     C 

-  —  v«-ie    'ly  dy 

T{a-^n)       ,1^      {i-h.r)"  +  "  J„      \      J       / 

{i^  X  =  ey). 
En  posant  avec  vous 

'  ~  ^'^   =  e-Qj  (o<0<i), 

y 

il  vient,  après  réductions, 

T {  n  -h  a)  —  [n  -h  (a  —  \)e]"  V (n). 

Votre  très  sincèrement  dévoué. 


Mon 


CORUESPONDANCE    1)  HEUMITE    ET    DE    STIELTJES. 

150.  -  HERMITE  A  STIELTJES. 

Pnris,  iG  novembre  1888. 


CHER  AMI, 


La   détermination,   par   la   méthode   de   Laplace,    de  la  valeur 
asymptolique  de  la  série 

\{{x)  =  >    ,  — , 

lorsqu'on  suppose  x  très  grand,  s'obtient  facilement  comme  vous 
allez  voir.  Observant  que  les  termes  vont  d'abord  en  croissant  pour 
diminuer  ensuite  indéfiniment,  on  détermine  le  ran"  n  du  terme 
maximum  en  posant  la  condition 

{a-\-  nb  y  _  \a  -^-  (n  —  1)6  Y 
On  en  tire  en  simplifiant 


et,  par  conséquent. 


a  -t-  nb  -  I)  b- 


rt  -I-  (  /i  —  \)b  '    X         2 x- 


b         -.b-^ 
■4(/«  —  {)b  =  X : 

•i  I  2  X 


Négligeant  les  quantités  en  -  >  je  prends 


a  -\-  { //  — ■  \  )/)  --1  X , 


ce  qui  donne  pour  l'expression  du  plus  grand  ternie 

/       by 


Ceci  posé,  soit  T  le  terme  de  rang  l  avant  le  maximum,  c'est- 
à-dire 

ga+lii—Ob 


LETTRE    150.  285 


La  condition  a  +  nb  =  .r  +  -  permet  d'écrire 


lo^T  =  X  lojï  [  X  -\ ht\  —  X 1-  i/, 


t  de  là  résulte 


X  -^ ht 


logT  —  logX  =  .-rlog| \-\-ht. 


2 


Développons  le  second  membre  en  série  jusqu'au  terme  en  /-, 
et  négligeant  encore  les  quantités  en  —,  on  obtient  simplement 

loirT  —  lo^X  = , 

(Toù 

h-  r- 
T  =  Xe     2.^-. 

C'est  la  même  expression  qui  s'offre  pour  le  terme  de  rang  ;, 
après  le  maximum  et  la  valeur  approchée  de  la  somme  sera  donc 
donnée  par  l'intégrale 

X  /         e     2.(   ^_y 

On  trouve  ainsi  la  quantité 

bY   I 

X  -\-  -  \     \/  -iizx 

1, 
Mais  on  a 


de  sorte  qu'en  négligeant  -  elle  devient  simplement 


X 

•i. 


ip-X 


y/a  71        I^  (  ,' 


e-^  \J  iiz        1  (  .r  +  i) 


Votre  prévision  est  donc  conqDlètement  réalisée;  il  en  est  de 
même  pour  l'origine  que  vous  avez  eu  l'idée  de  donner  à  la  série 
ll(^),  généralisation  de  celles  auxquelles  j'ai  été  conduit  en  em- 
ployant les  décompositions  suivantes  {Journal  de  C relie,  t.  89, 


286  CORUESPONUANCE    u'ilEKMITE    ET    DE    STIELTJES. 

p.  333) 

a  '^   11  +  n  '-  nu 

(n  =  O,    I,  9.,    .  .  .),  (Il   =  l,   "2,    3,    .  .  .)• 

Mais,  c'est  ce  que  vous-même  vous  avez  déjà  dû  i-econnaître,  et 
je  ne  m'y  arrêterai  donc  point. 

Mes  sentiments  de  bien  sincère  affection. 

151.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  i6  novembre  i888. 
Chkk  MoJvsiEin, 

Après  a^oir  vu  le  Mémoire  de  M.  Lipscliitz  [d'elle,  t.  54,  iSSi^), 
j'espère.  Monsieur,  que  vous  ne  me  reprocherez  pas  trop,  cette  fois, 
de  ne  pas  suivre  votre  conseil.  11  me  semble  préférable  maintenant 
de  ne  pas  intervenir  dans  cette  matière.  Ce  qui  me  décide  surtout, 
c'est  la  circonstance  que,  d'après  votre  lettre,  M.  Lipscliitz  lui- 
même  se  propose  de  revenir  sur  cette  matière  dans  le  Journal  de 
Crelle;  ]e  veux  donc  voir  d'abord  le  travail  de  M.  Lipscliitz  et  je 
doute  fort  qu'après  cela  il  y  ait  encore  quelque  chose  à  dire  sur  ce 
sujet.  Vous  pouvez  donc  détruire  mon  manuscrit  et  ce  n'est  que 
pour  vous  que  j'écris  ici  ce  résultat 

a^    ^    (  a~  ù  )■■'■        (  a  -f-  2  h  )-^' 

K(.-r—  1) i_     /•     e«'--"      __^.  ^^_ 

Y {X }      ~~  ■>.Tvi  J    I  —  e'^'--'' "* 

et  sous  les  conditions 

o  <  a  1  ^,         |).  réelle  a>-i. 


(rt  >  o,  ^*>  o), 


b^{x  -  1) 


/                   2  7:  rt  \ 

cos  (  arc  tang  ~ i-  --  \ 


4  t:^  \  - 


c 

2 


os  I  arc  tang  ~ ^  ^  a  / 


iGtt 
~b 


?y 


LliTTIlE    loi.  287 

OÙ  le  premier  membre  peut  s'écrire 

h  [_/■(  a  )  -\-  /{  a  -H  />  )  -4-  _/■(  a  -^-ih).  .  .] 

' ' Tx, ' ' 

/        J'{t)di 

'    0 

J'{t)  =  t^-^e-K 

Il  es.t  quelquefois  bien  difficile  à  s'assurer  si  un  résultat  qu'on  a 
obtenu  est  nouveau  ou  non.  Par  hasard,  j'en  ai  vu  l'exemple  que 
voici.  Vous  savez  queM.  Schering,  de  Gottingue,  a  publié,  dans  les 
Monatsber.  de  Berlin,  18-6,  ce  théorème 


où  (  ^  j  est  le  symbole  de  Legendre  généralisé  par  Jacobi  et  jji  le 
nombre  des  restes  minima  négatifs  pour  le  module  M  des  quantités 

(■/,     Ht,      3«,      ...,      o. 

(  Voii'  aussi  Acta  math.,  t.  1,  p.  1G6). 

Dans  le  même  Tome  des  Monatsher.  M.  Kronecker  a  exposé 
alors  ses  propres  recherches  sur  ce  sujet  et  je  crois  me  rappeler 
qu'il  dit  avoir  exposé  ce  théorème  déjà  dans  un  cours  fait  pendant 
l'hiver  de  1870. 

Mais  le  théorème  est  dû  en  vérité  à  un  géomètre  anglais, 
M.  Morgan  Jenkins,  qui  l'a  donné,  le  20  avril  1867,  dans  une 
séance  de  la  Société  mathématicjue  de  Londres,  (f^oi'r  les  Procee- 
dings  de  cette  Société  où  se  trouve  sa  démonstration).  L'énoncé 
de  M.  Jenkins  est  légèrement  différent  mais  cela  n'a  rien  d'essentiel. 
J'ai  mentionné  ce  fait  il  j  a  un  an,  je  crois,  dans  une  lettre  à 
M.  Mittag-Leffler.  Je  crois  qu'il  en  a  averti  M.  Schering. 

Veuillez  bien  agréer,  Monsieur,  l'expression  de  mes  sentiments 
dévoués  et  reconnaissants. 

P. -S.  —  Je  ne  connais  pas  le  titre  du  Mémoire  de  Hankcl  ;  mais, 
d'après  une  Note  que  j'ai  trouvée  dans  les  Math.  Annale ji, 
t.  XXXI,  p.  455,  il  doit  se  trouver  sans  doute  dans  le  Tome  IX  du 
Zeitschrift. 


288  CORRESPONUANCE    l>'lll- lOlITE    ET    DE    STIELTJES. 

152.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  i8  novembre  1888. 
Mon  cher  ami, 

Je  n'en  ai  pas  encore  Uni  avec  les  examens  du  baccalauréat,  j'ai 
demain  une  dernière  séance  à  la  Faculté  des  lettres,  et  puis  a  cette 
besogne  ^a  succéder  une  autre  d'une  autre  nature,  il  faut  m'occu- 
per  de  la  rédaction  d'un  rapport  dont  je  suis  chargé,  de  sorte  que 
je  ne  sais  quand  je  pourrai  pour  mon  compte  étudier  le  Mémoire 
de  M.  Lipschitz  c[ui  me  semble  fort  beau.  Je  ne  puis  assez  vous 
dire  quel  plaisir  m'a  fait  votre  équation  que  je  préfère  écrire  de 

cette  manière 

/  -ir.  a 

cos    arc  tani; -,    — ■iT.-r 
\\{t  —  \)         1  \  "6  b  J 


cos     arc  taii"  -;- 


(6--h  16712  )2 


Vous  me  permettrez  pour  le  cas  où  vous  auriez  à  l'employer  de 
NOUS  indiquer  comment  la  décomposition  de  l'intégrale 

J  =  ^"^^-ic'-?f/£, 
•  il 
en  termes  de  la  forme 


..<i  +  (n-\)l> 
'n  +  nl, 


de  sorte  qu'on  ait 


conduit  à  la  notion  de  la  fonction 

a-^        {a  +  b  y 


R(.r: 


€"■  ga-^b 


J'observe,  à  cet  effet,  qu'en  posant  ^  =  «  +  «6  +  /,  on  a 

I      r'' 

J„  r=  J    I      (a  -{-  iib  -^  ty^-i  e-'  df, 


LETTRE    152.  289 

et  que,  pour  toutes  les  valeurs  de  /i,  à  partir  de  n  =  i ,  le  déve- 
loppement suivant  les  puissances  de  ^,  par  la  formule  du  binôme, 
de  («  +  tib  -h  ty^'~^  1  donne  une  série  convergente  entre  les  limites 
/  r=  o,  t^ù.  Il  en  serait  encore  de  même  pour  n  =  o,  sous  la 
condition  ayb\  mais  il  est  préférable  d'exclure  l'intégrale  Jo,  en 
considérant  la  différence  J„  —  Jq  cpii  est  l'intégrale 


comme  vous  allez  voir 
Soit 


nous  avons 


f/^  =  J  1  -(-  J  2  -^-  .  . .  -H  J  ,j 


I     t'"  e-t  dt. 


J«  =  --è^i,    Po(«  -+-  nby-^  -i-  '^— i  P,(a  +  nhy- 

(X  ■ —  1)  ..{x  —  m 

de  sorte  qu'en  posant 


1 . 2 . . . /n 


Pm(«+  nbf-'^-' 


on  obtient  immédiatement 


pour         /«  =  r ,  2,  o, 


^^-1  e-l  d\ 

b 

=  PoR(^)+^^^P,R(a7-i)+  ^•^~'^^''^"'^^P,R(;r-2)-t-.... 
1  1.2 

Changeons  maintenant  a  en  a  —  b^  afin  de  parvenir  à  l'inté- 
grale proposée  J  ;  ce  changement  reviendra  évidemment  à  prendre 
à  partir  de  n  =  o,  au  lieu  de  /2  ^  1 ,  le  terme  général  de  R(^),  de 
sorte  qu'en  modiliant  ainsi  la  définition  de  R (:?■),  on  a  la  formule 

J  =  PoR(a:)-f-  Pi  ^^=^R(^-i)  +.... 

11  n'y  a  donc  pas  à  s'embarrasser  des  questions  de  convergence 
et  tout  devient  fort  simple  grâce  à  vous,  à  l'idée  qui  vous  appar- 
tient d'une  décomposition  de  l'intégrale  plus  générale  que  la 
mienne;  mais  n'est-ce  point  singulier  qu'on  parvienne  par  une 
telle  voie  à  l'extension  de  la  fonction  si'^)  de  Riemann! 

19 


290  CORRESPONDANCK    0  HEUMITi:    KT    DE    SÏIELTJES. 

En  VOUS  priant  de  nie  donner  à  l'occasion  quelques  explications 
sur  votre  procédé  poui'  parvenir  à  la  relation  qui  m'intéresse 
beaucoup  r(/î  H- a)  =  [ai -h  ((7  —  i)0]"r(/i)  et  vous  tlemandant 
d'attendre  que  j'aie  plus  de  liberté  pour  revenir  à  l'apj)lication  aux 

séries  6 /     __    )  et  0,  ( — —  )>  de  la  méthode  de  Laplace,  je  vous 

renouvelle,  mon  cher  ami,  l'assurance   de  ma  bien  sincère  affec- 
tion. 

153.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  dimanche  malin  (')  (/xi  novembre  i8^8?). 

Cher  Mo>siEuii, 

Je  suis  on  ne  peut  plus  touché  de  l'extrême  bonté  que  vous 
montrez  à  mon  égard.  Mais  M.  Lipschitz  étant  le  premier  inven- 
teur, je  veux  voir  d'abord  le  travail  qu'il  va  faire  insérer  dans  le 
Journal  de  M.  Kronecker;  s'il  n'y  parle  pas  de  l'application  à 
votre  fonction  R(:r),  je  pourrais  peut-être  plus  tard  donner  une 
Note  où  j'appellerai  l'attention  sur  cette  application. 

En  faisant  dans  la  relation 

(i)  r(a -4- n)  =  I  « -T- (a  — i)e]«  r(/o,       o<e<i, 

a  ^  -  et  remplaçant  n  par  n  H-  i 

r(/«-+-  -j  =  \J}i  ^  \  —  zV{n  +  \),         o<£<-- 

Je  vois  que  ce  n'est  pas  votre  formule  mais  prenons  «=  -  et 
remplaçons  n  par  ;?  H — -  d  ^ient 

r  (  /t  4- 1  )  =  v//j  -^  £  r  (  /j  -I-  -  j  •        o  <  £  <  - , 

ou 

/ \.'i...(in  —  1)    /- 

I  =   l//(    -(-  £ ^TT, 

■ï.\.  .  .111 

ce  qui  est  bien  votre  résultat  qui   est  ainsi  compris  dans  la   for- 
mule (i). 

(')  Note  de  l'éditeur.  —  Celle  iellre  non  daléc  ne  par;iit  pouvoir  se  rapporter 
à  une  date  autre  que  le  a3  novembre  i888. 


LETTRE    153. 

En  posant  i  -\-  x  =  e"  dans  la  formule 

T(a)rin)         f        x»-i 


djr. 


on  peut  écrire  sous  deux  formes  différentes 

T{a)r{n)         r  °"  /  rr  —  I    «-1 

Tia^n)       J^      \     y     J       -^  ^ 

Ajant 

i  —  e-y          r.                 ^                          I  —  e-y 
=  e-®y,       o  <  0  <  I .        e-y  < <  I , 

r  '  y 

, ,      ,    ,  ,    p  r  (  a  )  r  (  /i  ) 

on  voit,  d  après  la  seconde  lorme,  que  -=; — — —  est  comiîns  entre 

^  '   1        r  (  a  +  /i  )  ' 

les  deux  limites 

ce  qui  donne  la  formule  (  i). 

Mais  voici  une  autre  conséc|uence.  D'après  ce  qui  précède  on  a 
ces  deux  formules 

(3) 


r(a-t-nj        J^      V       y 


r(a)r(«  —  a  -i-i) 


r(«-H-i) 

Développons 


^/'(V)"""'  ■''"-"'-"■''■''• 


gv —  ,  \a-\ 


on  aura  en  même  temps 

1  —  e-y  \<^-i 


y 


=  I  —  C,7  -^  Co  J2  _  c.,yi  + . . .  ^ 


292  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

et,  à  l'aide  de  ces  séries,  on  obtient 


( 


r    r         a  a  (a -m)  «(«-hi  )(«-+- 2)  "1 

— -      1+   -Cl  H C.H r C3-T-...      , 

«"  L       ''^  '*  '^  J 

r(n)  I    r  a  a  (a -m)  «(«-+- i  )(«-!- 2)  "] 

'  1  (n  -f-  a)        /i"  L         /i  n-  «^  J 

C),  C2,   ...  sont  évidemment  des  polynômes  en  a. 

Lorsque  â-.  est  un  entier  négatif  «  =  —  m,  il  est  clair  que  la 
série  (5)  est  finie  et  ainsi  la  formule  est  valable  quel  que  soit  n. 
Et,  du  reste,  la  relation 

/        P         P  \ 

{n  —  i)(n  —  i)...{n-  m )  =  /i'«  (  1  h ^  -^ !_)_...) 

\^  Il         n-  / 

permet  de  calculer  la  série  indéfinie  des  polynômes  P  de  m  ou 

de  a.  Lorsque  a  est  un  entier  positif  a  =  +  /n,  la  formule  (5)  se 

réduit  à 

I  I    /        P,        P, 


n{n -\- i). .  .{n -^  m  —  i)        n'"  \  n         n- 

et  la  série  est  convergente  tant  que  mod/?  >>  /?«  —  i . 

Mais  pour  toute  autre   valeur  de  a  la  série  (5)  est  divergente 
(juel  cjue  soit  le  module  de  n.  Cela  est  évident  ici,  car  la  série 

1  -K  c,7  4-  C272  -f-  C373  + .  .  . 

n'est  convergente  que  pour  moày  <Ci-rz\  or,  on  a  multiplié  les 
coefficients  c  par  ces  facteurs 

a,     rt(rt  +  i),     a(« -i- i)(a  H- 2),     .... 

Les  anciens  analystes,    après  avoir  établi  la  formide  (5)  pour 
/î  =  —  m 

I         Pi        P- 

(n  —  1  )  (  n  —  2  ) .  .  .  (  /i  —  /«  )  =  n'"     i  -l- 1 \  -l- 

\  n         n- 

ont  cpielquefois  pris  le  second  membre,  dans  le  cas  que  m  n'est 
plus  entier,  comme  définition  d'une  généralisation  de  la  factorielle 

(  /i  —  \)(  n  —  ■!).  .  An  —  m). 

sans  faire  attention  à  la  divergence  de  la  série,  ce  qui  explique 
les  résultats  erronés  auxquels  ils  ont  été  conduits  quelquefois. 
M.  Weierstrass  a  fait  voir  d'une  autre  manière  cjue  la  série  (5) 


LETTRE    133.  293 

est  toujours    divergente  i^Abhandliuigen  aus  der  Fiinctioneii- 

lehre,  p.  i\\-i\^). 

Il  fait  voir  d'abord  que  si  la  série  était  convergente  elle  devrait 

^     c-         ■             r(n)  , 

représenter  nécessairement  la  fonction  =- pour  toutes  tes 

^  X{n  -^  a)   ^ 

valeurs  de  n  dont  le  module  surpasse  une  certaine  limite.  Mais 
cela  est  évidemment  impossible,  car  en  posant 

n  =  Re'?         (ceci  n'est  pas  le  raisonnement  de  M.  Weierstrass), 

et  faisant  croître  '.2  de  o  à  2—,  le  premier  membre  revient  à  sa 
valeur  primitive,  tandis  que  le  second  membre  est  multiplié 
par  e"''*-^.  Du  reste  aussi,  en  posant  /z  = — m,  m.  entier  positif 
suffisamment  grand,  on  rencontre  des  contradictions. 

Mais  quoique  ces  formules  (4)  et  (5)  soient  divergentes,  ce 
sont  cependant  les  séries  asjmptotiques  des  premiers  membres,  et 
elles  peuvent  servir  aussi  au  calcul  numérique  lorsque  n  est  grand 
et  positif. 

J'ai  vainement  cherché  (il  y  a  quelques  années)  à  établir  une 
théorie  satisfaisante  de  ces  séries  divergentes.  Voici  encore  une 
remarque  à  leur  égard.  Je  remplace  n  par  —  n  dans  le  premier 
membre  de  fS) 


r  (  —  «  )  r  (  —  /?  )  r  (  rt  H- 1  )  r  (  «  —  a  -1-  r  ) 

—  X 


Y(—n-^a)        r(  — /i -1- a  )  r(  n  —  a -r- I)  r(n-+-i) 

sinTrfn  — a)        X(n  —  a-hi) 
simr/i  r(rt  -h  i) 

donc,  d'après  (4) 


(5')  ^'-'" 


Yi^—n  -H  a) 


I    r         a            a(a-!-i)                 1        siii7T(/t  —  a 
=    I  -^ Cx^ Co  -i-  .  .  .      X  ^ ■ 


On  peut  donc  changer  dans  la   formule  (5)  n  en  —  n  k  con- 
dition de  remplacer  ( —  n)^  par  n"^  x  —. -, — ^^ •    On  trouve  un 

^  ^  ^      '  snnr(ft  —  a  ) 

résultat  analogue  lorsqu'on  change  n  en  — n  dans  la  formule  (4)- 
Existe-t-il  une  formule  plus  générale  qui  embrasse  les  for- 
mules (5)  et  (5')  en  même  temps?  Question  qui  paraît  extrê- 
mement difficile.  J'incline  à  croire  que,  pour  pénétrer  un  peu  dans 
ces  mystères,   il  faudra  revenir  d'abord  à  l'étude  de  la  série  de 


2g4  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    STIKLÏJES. 

Slirling. 

(6)  log  V(a)  —  (a j  loga  —  a  —  logv/2-  -+-  <P{  a), 

*  (  «  1 5->—  -,  -^ .  ■  •  ■ 

!.■>..«  0.4.  «•* 

M.  Lipschilz  a  considéré  le  cas  a  imaginaire,  mais  partie  réelle 
de  «  >■  o  ;  dans  ma  thèse  j'ai  trouvé  qu'aussi  lorscjue  a  est  pure- 
ment imaginaire  la  formule  reste  applicable,  mais  j'ai  observé 
depuis  longtemps  que  même  lorsque  la  partie  réelle  de  a  est 
négative  la  formule  peut  donner  une  grande  approximation. 

Supposons  une  coupure  de  o  à  — x,  la  fonction  Log  r(a)  est 


uniforme  alors  et  j'espère  qu'un  jour  on  fera  une  théorie  de  la 
série  de  Stirling  cjui  montre  qu'on  peut  l'emplojer  dans  tout  le 
plan,  seulement  lorscjue  a  s'approche  de  la  coupure,  le  terme 
complémentaire  doit  changer  brusquement.  La  grande  difficulté 
ici,  c  est  de  trouver  une  expression  de 


*(«)--=        /      log 


a  dt 


ou  de 


c|ui  donne  la  continuation  de  celte  fonction  à  gauche  de  l'axe 
des  y.  Vous  avez  remarqué  depuis  longtemps  dans  le  Journal  de 
Crelle  (-)  la  ligne  de  discontinuité  de  ces  intégrales,  qui  est 
cause  que,  quoique  ces  intégrales  aient  un  sens  pour  partie  réelle 
a  <;  o,  on  n'obtient  pas  ainsi  la  continuation  (qu'on  sait  possible) 
de  la  fonction. 

Je  ne  suis  pas  sans  espoir  d'obtenir  cette  continuation  à  gauche 
de  l'axe  desjK,  mais  même  après  ce  premier  succès  il  restera  à  voir 
si    l'expression    obtenue  se  prête  à  la  discussion   de   la   série  de 
Stirling.    Mais    voilà   la    fin    des   vacances,    mes    cours   vont    re 
commencer  mardi  et  demain  j'ai  encore  les  bacheliers  es  lettres. 

(')  Noie  des    éditeurs.    -  T.  9-J,  p.  iji;  i88î. 


LETTRE    153.  '  29.5 

Veuillez  toujours  me  ci'oire,  mon  cher  Monsieur,  voire  aflec- 
lueusement  dévoué. 

P.  S.  —  On  pourrait  faire  usage  de  la  formule  (4)  pour  dis- 
cuter la  variation  de  v; — -1  .r  variant  entre  — «et  — /iH-  1,  /z  entier 
positif.  Soit  X  ^^  —  Il  +  a 

I                   (  —  i)"  sin-Tia  ,^  ,  ' 
l  (^ n  -i-  i  —  a  ), 


r  (  —  «-!-«)  71 

I  (  —  u"  r(/i  -i- 1)  . 

-— =  ^ sin  TC«  X  rt^'*     I  H c 

r(  —  n  ^  a  )  71  \         n 

En  première  approximation,  on  aura  à  discuter 

a  variant  de  oà   i.  Annulant  la  dérivée,  il  vient 

TTCOtTia  =  Logn         ou         —  ^  hosn. 

^  a 

C'est  précisément  le  résultat  auquel  vous  êtes  arrivé  dans  votre 
lettre  à  M.  Schwarz.  {Crelle,  t.  90,  p.  387.)  Mais  votre  méthode 
me  semble  plus  élégante  et  rigoureuse. 

Il  me  semble  curieux  qu'on  peut  passer  de  la  définition 

(a)  r(a)  =   /      it^-i  e-»  f/«, 

supposant  partie  réelle  «  >>  o,  à  une  autre  définition  valable  dans 
tout  le  plan  ainsi  qu'il  suit.  Soit  n  un  nombre  positif  qui  croit 
indéfiniment,  on  a 

Y  {a)  =  liin   /       ««->  e-"  du, 

ou  bien  développant  en  série 


(B)      r(a)  =  lime"«| ^~ -\ — 

L  rt        rt  -)-  [         I  .-i.^a- 


-+-a)         i.2.3.(a-i-3) 

mais   (^)  donne   maintenant   la   définition  de  r(rt)  dans  tout  le 
plan.  En  effet,  en  adoptant  (  j3)  comme  définition,  il  vient  à  l'aide  de 

n  a  2 

=  I 


«  -^  I  f/  -1-  I 


-\ ... 

a -¥- \         a -t- 2         i.'2.(a-f-3)  J 


296  CORRESPONDANCE    n'ilERMITK    ET    DE    STIELTJES. 

c'est-à-dire 

a  Via)  =  V(a  ^i). 

Celte  transformation  montre  que  la  dérniition  ([i)  donne  une 
valeur  finie  pour  r(r/),  si  c'est  le  cas  pour  F  (a  -\-  i),  mais  tant 
que  partie  réelle  a  >>  o,  il  est  clair  que  (a)  el  (j3)  sont  équiva- 
lentes. .  ..  Mais  je  crois  que  cette  remarque  peut  être  à  peine  con- 
sidérée comme  nouvelle. 

Votre    méthode    directe    |)our   déterminer    le    rang    du    terme 

maximum 

(a  ^  iib  I*' 
-, —  > 

f>a-{-ub 

est  certainement  préférable.  Il  est  probable  que  l'on  a  imaginé  la 
méthode  moins  directe  d'égaler  deux  termes  consécutifs,  pour 
traiter  certains  cas  où  la  méthode  directe  s'appliquerait  difficile- 
ment. Mais  ce  n'est  pas  une  raison  ]>our  faire  usage  de  cette  ma- 
nière détournée  dans  les  cas  où  la  méthode  directe  s'applique  sans 
difficulté.  Surtout  dans  le  cas  actuel  où  le  résultat  est  si  simple. 


154.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

24  novembre  iS8<S. 
Mon   cher   Ami, 

Votre  dernière  lettre  si  substantielle,  si  instructive  m'a  rendu 
grand  service. 

Je  donnerai  dans  mes  leçons  votre  calcul  qui  est  extrêmement 
simple  pour  établir  la  relation 

Via  -^  n)  ^\n  ^(a  —  i)Q\"  V(n), 

que  j'aurais  bien  dû  voir  même  comprendre,  comme  cas  particu- 
lier, celle  que  j'avais  envisagée.  Et  aussi  votre  procédé  élégant 
pour  établir  l'égalité  Y{a  -^  \)  ::=  aV  (n)  au  moyen  de  l'expression 
limite  ])our  X  infini  de  T [a)  par  la  quantité 


),a       , . 

L  rt  ^-  I  I  .  2  .  (  rt  - 


2) 


Maintenant,  voici  une  circonstance  dont  je  dois  vous  faire  part 
et  que   vous   ne    pouviez    jioint    s()U|)çonnei'.    M.  Bourguel  a    eu. 


LETTRE    I5i.  297 

comme  vous,  l'idée  de  rechercher  l'extension  à   toiil  le   phm   de 

l'intégrale 

a  dt 


I     r^       i 


t> 


et  m'a  donné   communication  d'un  travail  étendu  dans  lequel  il 

expose  sa  méthode  et  ses  résultats Son  travail  me   semble 

d'une  grande  importance,  et  je  suis  autorisé  par  lui  à  vous  en  donner 
communication,  si  vous  le  désirez.  En  même  temps,  j'ai  mission 
de  vous  informel-  cju'il  désire  se  le  i-éserver,  et  qu'il  vous  prierait 
dans  ce  cas  de  garder  la  communication  pour  vous  seul.  C'est 
pendant  les  vacances  et  en  cherchant  la  solution  d'une  question 
cjue  je  lui  avais  indiquée  c[u'il  a  fait  la  découverte.  Ma  question 
était  d'obtenir  l'expression  qu'on  connaît  d'avance,  delà  différence 

et  vous  verrez  avec  grand  intérêt  dans  son  travail,  de  quelle  ma- 
nière il  la  traite  et  comment  ensuite  il  arrive  à  l'extension  de 
l'intégrale,  de  l'autre  côté  de  l'axe  des  ordonnées.  En  attendant 
cjue  vous  me  fassiez  connaître,  si  je  dois  vous  l'envoyer,  je  viens, 
mon  cher  ami,  vous  demander  pour  moi,  aide  et  protection  en 
vous  priant  de  me  tirer  d'une  angoisse  analytique  extrême.  Votre 

belle  formule 

■zm:        ina-K 


'Z 


cos    arc  tang 


Rix  —  i)         1  v»       ^^  "     ^  b      /    i 


r{x)  b    '    " ^à  I  h 

conduit  bien  naturellement  à  supposer  b  inGni,  en  posant  .  =  c/ç, 
ce  qui  donne 

R(a"  —  1)  y^"*"""  cosf  arc  tang'iTr^  —  'iT.a\\     ^ 


ou  encore 


r(.7-)  I  £ 

R(a"  —  I)  I         Z^"*"*  cos(  arc  tang^  —  a\) 


X(x) 


cos(arctangç  —  a\)   ^ 


jgS  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Or,  11  me  soinl)lp  que  pour  b  infini,  on  a 

tandis  qu'on  reconnaît,  si  l'on  écrit 

/^"  cos(arc  tangî  —  «ï)  /^*    cosa^f/;  /^"    ^sinr/^rf; 


que  c'est  absolument  impossible. 

Effectivement,  pour  x -^  i  égal  à  un  nombre  pair  2/1  et  pour 
/z  =  1 ,  2,  3,  . . ..  on  se  trouve  en  complet  désaccord  avec  la  for- 
mule de  M.  Catalan,  Journal  de  Liouville,  t.  V,  p.  11 4, 

2     /*°°    co%ald^  e-^  .„,  ^  ,, ,  _  , 

(j'y  change  a«  en  n  +  i).  J'avais  accueilli  l'espoir  d'aborder  autre- 
ment que  M,  Bourguet,  dont  l'analjse  est  d'ailleurs  si  remarquable, 

l'élude   des   coefficients    du   développement  de    — — -   suivant  les 

|)uissances  croissantes  de  la  variable,  j'espère  encore  avoir  fait 
(pielque  grosse  méprise  que  vous  reconnaîtrez,  de  sorte  que  votre 
formule  ne  laissera  pas  échapper  la  conséquence  que  j'avais  espéré 
en  tirer. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  ma  bien 
sincère  affection. 


155.    -  STIELTJES  A  HER.MITE. 

Toulouse,  26  novembre  1888. 
CuEU   Mon  s  i  EU  n. 

Quoique  très  occupé,  je  veux  répondre  immédiatement  à  votre 
lettre,  mais  je  dois  d'avance  implorer  votre  indulgence  si  sur  cer- 
liiins  points  je  ne  peux  pas  mettre  les  points  sur  les  i. 

En  premier  lieu,  vous  me  ferez  le  plus  grand  plaisir  en  me 
communiquant  le  travail  de  M.  Bourguet  et  je  ne  manquerai  pas 
après  1  avoir  vu  d'adresser  mes  remercîments  à  l'auteur.   Je  suis 


LETTRIÎ    155.  299 

curieux  de  savoir  si  les  formules  nouvelles  se  prêtent  à  la  discus- 
sion de  la  série  de  Stirling;  c'est,  comme  vous  le  savez,  le  but  que 
j'avais  en  vue. 

Vous  dites  que  M.  Bourguet  n'est  pas  géomètre  de  profession, 
mais  je  crois  qu'aucun  géomètre  de  profession  ne  serait  fâché 
d'avoir  fait  ce  qu'il  a  fait,  par  exemple  la  belle  démonstration  d'une 
formule  de  M.  Weierstrass  qu'il  doit  avoir  donné  dans  son  examen 
de  doctorat  et  que  vous  avez  fait  connaître  dans  votre  lettre  à 
M.  Mittag-Leffler  {C relie,  t.  91,  p.  61). 

Maintenant,  Monsieur,  j'ai  encore  à  vous  faire  mes  excuses  :  je 
crois  bien  qu'après  avoir  posé 


R(x) 
bR(x  —  i) 


j'ai  écrit 


in- 
cos  I  arc  tane — r- 


r(:c) 


au  lieu  de 


(-^y 


in: 
,  ^  ,  -    cos  (  .r  arc  tanç  — =— 

b  R(a7 —  I  )  V         \  °     b 


1  /  4  n2  7:2X2 

o  <  <x  S  ô, 
Partie  réelle  .27  >  i . 

C  est  cette  erreur  qui  vous  a  causé  tant  d'ennuis;  en  reprenant 
avec  la  formule  exacte  vos  calculs  il  vient 

/^°°  cos(^a7  arctangç  —  «  ;  )  ^  r,x-i^-a 


r(.r) 

K{x  —  i)  étant  égal  à  a-*^'  e''^  pour  b  =  -^  ce. 

La  formule  (I)  qu'on  obtient  ainsi  me  semble  très  remarquable 
et  j'ai  éprouvé  un  vif  plaisir,  en  la  trouvant  ainsi  d'après  vos  in- 
dications ;  moi-même  je  n'avais  pas  songé  à  cela.  D'après  la  dé- 
duction il  semble  qu'on  doit  supposer 

Partie  réelle  a^  >  i ,         «  >  o. 
Cependant  il  me  semble  que  l'intégrale  a  un  sens,  en  supposant 


3oO  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    KT    DE    STIELTJES. 

seulemenl 

Partie  réelle  ^  >  o, 

el  que  (1)  doit  subsistei'  sous  celte  condition.  Cela  me  seml)le  bien 
certain  si  par  exemple  x  est  supposé  réel.  Mais  voilà  déjà  un  point 
que  je  ne  peux  pas  préciser  en  ce  moment,  faute  de  loisir. 

Mais  j'ai  observé  que  la  formule  (I)  a  un  rapport  très  étroit  avec 
un  autre  résultat  dû  à  Cauchy.  Dans  le  Bulletin  àe  Darboux, 
p.  35,  36,  i88i,  il  y  a  un  résumé  d'un  article  de  M.  Schlomilch 
(t.  XXIV,  de  son  Zeitschiift,  p.  io3-io6;  18-9).  J'en  ai  pris 
note.  D'abord  on  emprunte  à  Cauchj  ce  résultat 

,  „  1  o  a  négatif, 

J_«     {b-+-izf  I  -_-^aA-i^-a6     a  positif, 

en  prenant  a  =^  b  =  i .  M.  Schlomilch  déduit  du  résultat 


'""  mr^-f 


dz 


le  développement 

Or,  si  Ton  prend  6  =  1  et  qu'on  suppose  k  réel,  la  formule  (II) 
de  Cauchy  doit  donner  évidemment  la  formule  (I)  et  encore  cette 
généralisation    obtenue    par  l'introduction    de    b  n'est    pas   bien 

essentielle. . .    il  suffirait  de  remplacer  ;  par  y  et  a  par  ab  pour 
déduire  de  (I) 

-d'c  =  -  — , 


et  c'est  là   précisément   ce  qu'on  déduit  aussi   de  la  formule   de 
Cauchy. 

Vous  voyez  donc   que  M.   Schhhnilch  a  fait  déjà,  à  peu  près, 

l'application  au  développement  de  - — -   que  vous  a\iez  en  vue. 


LETTRE    155.  3oi 

mais  il  est  instructif  de  retrouver  la  formule  de  Caucliy  de  cette 
façon. 

Voici  maintenant  une  démonstration  de  cette  formule  de  Cauclij 
qui  se  présente  à  moi  en  ce  moment  même.  Partant  de 


r(^) 


-^.  f 

■iTZl  ./ 


remph 


acons  z  par  a  z 


:pc 


r(.r) 
ou  bien  remplaçant  z  par  i 


7.7:1 .1 


-■^e-  dz. 


Z-x  gaz  clz^ 


«■^-1   _     I      r  e^'- dz 


le  contour  d'intégration  étant 


Soit  z  =^  1/  —  ùi,  h  étant  réel  positif 


27rJ   ( 


e«''"  du 


T(x)  1TZ  J  {b  -\-  iu)X 

le  contour  d'intégration  étant  maintenant  un  lacet  entourant  les 
points  bi  et  +  oc,. 


Mais  si  partie  réelle  x  >  i  l'intégrale  est  nulle  et  l'étendant  par 


3o2  CORRESl'ONDANCi;    d'hERMITE    El     DE    STIELTJES. 

des  valeurs  infinies  de  u  telles  que  le  coefficient  de  i  n'est  pas 
négatif.  Dès  lors,  on  j)eut  transformer  le  contour  d'intégration  de 
manière  à  obtenir  le  résultat  de  Cauchj 


i^..f 


e«"'  du 


Mais  cette  transformation  me  semble  bien  exiger 
Partie  réelle  ,r  >  i , 

tandis  que  la  formule  (I)  semble  vraie,  en  supposant 

Partie  réelle  a"  >  o. 

seulement  je  n'ai  pas  approfondi  ce  point. 

J'avoue  que  je  voudrais  bien  voir  la  démonstration  que  Caucliy 
lui-même  a  donnée,  il  me  semble  probable  qu'il  a  été  bien  près 
d'obtenir  la  formule 


r(.T) 


"^e-  dz 


s'il  ne  l'a  pas  obtenue  efTectÏNement. 

Mais  d'abord,  je  ne  sais  pas  Fendroit  où  il  doit  a^oir  obtenu  cette 
belle  formule,  et  ensuite  je  nai  pas  à  ma  disposition  ici  toutes  ses 
œuvres.  Les  anciennes  éditions  sont  épuisées  et  j'attends  avec 
impatience  la  nouvelle  pul)lication  de  ses  œuvres  complètes. 

J'ai  aussi  quelques  doutes  sur  l'expression  de  /„  par  M.  Scblo- 
milch;  l'intégrale  a-t-elle  un  sens? 

Il  j  a  ici  encore  quelques  |)oints  obscurs  pour  moi  et  peut-être 
ne  sera-t-il  pas  inutile  de  reprendre  \otre  idée  et  d'étudier  l'appli- 
cation de  la  formule  (1)  au  développement  de  r— — -■ 
^    '  ' ^  1 {x) 

En  vous  renouvelant,  Monsieur,  l'expression  de  mes  sentiments 
respectueux,  je  suis  toujours  votre  très  dévoué. 

P.  S.  —  Je  n'ai  j)as  le  loisir  en  ce  moment  pour  recbercber  si 
aussi  M.  Lipscbitz  dans  son  Mémoire  n'a  pas  obtenu  cette  for- 
mule (Ij? 


LKTTUi:  156.  ■  3o3 

156.  —  HERMITE    4  STIELTJES. 

Paris,  I"  décembre  i888. 


Mon   cher  A 


W     CHER    AMI, 

M.  Bourguet  m'a  chai'gé  de  vous  communiquer  le  Mémoire 
qu'il  m'a  confié  sur  la  théorie  de  l'intégrale  eulérienne;  vous  le 
recevrez  par  envoi  recommandé  et  j'ai  l'espérance  que  vous  le 
trouverez  digne  de  votre  intérêt. 

Vous  aviez  etl'ectivement  écrit  dans  votre  lettre  du  i6  novembre 

que  j'ai  sous  les  yeux 

/                  in  T.        imza\ 
,  ^  cos     arc  tang— ^ — -, — 


-1 


T(cr) 

au  lieu  de 

2  711Z       in7za 


bl\(x  —  \)  v'         V  "     '>  ^' 


cos    X  arc  tan<: 


Y(x) 


4/l-i'rT2\  2 


b-' 


toutes  les  difficultés  disparaissent  maintenant,  mais  la  conséquence 
que  je  tire  de  la  formule  exacte  en  supposant  b  intini 

7r«-*-"'e-"           /^°°  cns(  .r  arc  tanç^  —  a^)    ,^ 
=     /       — ^«ç, 


ne  fait  que   reproduire  la   formule  de   Cauchj  que   vous  m'avez 
indiquée,  en  y  faisant  b  =  i  ^  k  =^  r 


f 


e'"^  dz  'iTza'^-^  e-*^ 


On  a,  en  effet, 

log(i  -riz)—  -  Log(  i-^  Z-)  -h  I.  ai-ctangs, 

ce  qui  permet  d'écrire 


{\-T-lZ)X  ± 


3o4  CORRESPONDANCK    u'hERMITE    KT    DE    STIELTJES. 

et,  par  conséquent, 
e'"~  dz 


1 


(1    -T-    IZ) 


r.  >-c 


'cos(«^ — xavciax\",z)    ,         .     /^     °°sin(rt3  —  .rarctanfr-)    , 
^7- az-h  i    I  ^^ : — '-  dz^ 

(1  +  ^2)2  J_^  ^y-^z-'-f 


et  vous  voyez  que,  dans  le  second  membre,  la  seconde  intégrale  est 
nulle. 

La  première  forme  est  même  préférable,  par  exemple,  pou    en 
conclure  immédiatement,  au  moyen  d'une  intégration  par  parties, 

l'équation 

\{x  ^  \)  =  xY{x). 

M.  Lercli  m'a  fait  part  d'une  méthode  simple  et  élégante,  pour 
exprimer  Q(rt)  au  moyen  de  la  série  généralisée  de  Riemann 

que   je  vais  vous  indiquer,  pensant  qu'elle  vous  plaira   comme  à 
moi.  M.  Lerch  prend  comme  point  de  départ  cette  relation 


r(a)Q(I  — rt)=/       g-wU-Hl)^a-l 
•^  0 


dx 


X  -f-  I 


et  la  transforme  ainsi 


Y{a) 


Q  (  1  —  a  )  =    /       • — -, — -. x«-i  dx, 


où  u  désigne  une  constante  arbitraire.  Puis  il  écrit 


—    >   p—nu(x+\) 


e 


_  Il 


(«; 


x-^i  J^  A^  \.)...\n  —  \) 

(n  =  I,  -i,  3,  ...), 


en  posant 

*(/i)  =    /     t"-W  dt. 


LETIRK    157.  '  3o5 

On  a  ainsi 

ra)Qii  — rt|  =  >  ^ /      r dx; 

\      l^\  ^  \.-i....(n—l)  J^  e«':r-Hli_, 

or,  on  trouve  facilement  qvie 

/•»»  g-U)U-i-l}^a-l  cix 

la  relation  précédente  devient  clone 

2^(  n) 
^ — r  (  a  -1-  n  —  I  )  cîil  (  —  a  -}-  /i  -1-  I  ) 
I .  i  ...(/*  —  1  j  '  ' 

=  r  (  a  )  \  (  a  -f-  «  —  2  )n-\  *  (  «  )  >:'l  (—  «  —  «  -h  i  ). 
Et,  en  changeant  «  en  i  —  a,  on  en  conclut 

Q(a  j  =  \   (— i)"-i(rt  —  i)„_i  ^(«jc'R  ('a  —  n)         (/i  =  i,'2,  3,   ...). 

Ce  résultat  difïei'C  un  peu  de  celui  que  j'ai  obtenu,  en  ])artant 
de  la  décomposition  que  j'ai  employée 

foo  ^  O)  +  (  n  +  1  )  // 

xa-X  Q-x  ^/^  _  X        /  _y.a-l  g-x  clx^ 


(O  -+-  nn 


en  transformant  les  intégrales  par  la  substitution  j:-  ;x=  w  +  /jw  +  f, 
mais  on  le  trouvera  si  l'on  pose  x  =:  lo  +  (/i  -|-  ij^f  —  ^,  comme 
vous  le  verrez  immédiatement. 

Mes  sentiments  affectueux  et  bien  dévoués. 

157.   -  STIELTJES  A   HERMITE. 

Toulouse,  3  décembre  i888. 
Cher  Monsieuiî, 

Enlisant  le  travail  si  intéressant  de  M.  Bourguet,  il  m'a  semblé 
que  le  point  principal  de  son  analyse  revient  à  ceci 


■i.      C  '      dx     ,        /             I  \ 

u.ia)—  -    /      -^'ofï    — —    , 

'    ^       '  71, 7^  I  -r-  r2        '^  \  I   _  e-27I«.r/ 


dx. 


3o6  CORRESPONDANCE    D"iIERMFTK    ET    UE    STIELTJES. 

Or,  par  la  considération  de  l'intégrale    /   —  c/:;  je  trouve  qu'on  a 

Jr"   Mg-^"     ,                /*°°     COSU      , 
f du  =   I       -, du 

{  u  réel  toujours)  : 
/      du  =    I       -, du 

^f^  I  -h  u-  J^^  k  -:-   U 

on  doit  supposer  ici  partie  réelle  k\^  o,  mais  les  seconds  membres 
donnent  la  continuation  dans  tout  le  plan,  excepté  la  coupure  de  o 
à  —  co.  On  a  donc 

2      /**    siuTdx 

.  En  écrivant  pour  un  moment 


X  ^  inr.a 

sinar  dx 


X  -\-  in-a 


I  I  I 


b{b  +  X)        ibcib  -h  x)        'ib(3b  -h  x) 

X      L\6        b -h  X /  \  26        -ib-hx/  J 

^637(1  X  I         \  1  X   ] 

LV      '  +  7,'     V       ^-s'       J 

en  désignant  par  'ii{a:)  la  dérivée  de  LogT(;r)  et  par 

C  =  -4-  0,5-7. . . 
la  constante  eulérienne. 
D'après  cela 

(a)  u{a)=- 'Mu )-\-L\dx. 

'  TT  .7  X     l     \  ■J.izaJ  J 

Il  sendjle  que  par  une  inadvertance  il  s'est  glissé  cfuelque  erreur 
dans  la  formule  en  haut  de  la  page  1 3  du  manuscrit  de  M.  Bourguet. 
En  effet,  on  devrait  avoir 

logr(a)=log^^\""^^  +s, 
°  a  sinTia 


LETTRE    157.  307 

e  étant  inférieur  à  o,oi   et  0'<a<Ci.  Mais  cela  est  inexact,  en 
ajoutant  log«,  on  aurait 

logr(i  +  «)  =  iog^^^"=^  +s. 
Cela  n'est  pas  vrai,  comme  on  le  voit  en  posant  r/  =  o  ou  «  =  - 

Mais  ce  ne  sont  là  que  quelques  remarques  qui  se  sont  pré- 
sentées d'elles-mêmes  en  parcourant  le  manuscrit  et  qui  certaine- 
ment n'auraient  pas  échappé  à  l'auteur  s'il  revient  sur  son  sujet. 

En  vous  écrivant  la  dernière  fois,  je  n'avais  pas  eu  le  loisir 
d'examiner  à  tête  reposée  quelques  difficultés  que  j'ai  signalées 
moi-même  dans  ma  lettre.  Mais  comme  je  vous  avais  par  ma  faute 
causé  l'embarras  d'une  formule  manifestement  fausse,  je  croyais 
de  mon  devoir  de  vous  en  indiquer  la  cause  le  plus  tôt  possible. 
J'espère  dans  quelques  jours  pouvoir  vous  écrire  sur  les  points 
obscurs  de  ma  dernière  lettre. 

Je  vous  renvoie  ci-joint  le  manuscrit  de  M.  Bourguet  et,  dans  la 
supposition  que  vous  lui  donnerez  communication  de  cette  lettre, 
je  lui  exprime  aussi  tous  mes  remerciements. 

En  posant 

r'"  s'inu   , 

o{x)  =   I       au, 

J,.        Il 

une  intégration  par  parties  donnerait  en  partant  de  (a) 


ou 


(i/  (  I  -f-  .r  )  = 


(l-t-.r)2  (2+37)2  (3-1.^)2 

mais  la  formule  ([j)  suppose  que 

s'annule  pour  x  ^  o  et  pour  x  =  H-co.   Pour  .r  =  o  cela  a  lieu 
quel  que  soit  a,  mais  je  ne  sais  pas  en  ce  moment  si  pour  ^  :=  co 


3o8  correspo.\da.n<:e  d'iiermite  et  de  stieltjes. 

cela   est  encore  vrai,  quel  que  soit  a;   naturellement  'j(co)  =  o, 

mais  'ji  (  I  +  ;-^—  ]  devient  infini. 

La  manière  dont  '^{x)  s'approche  de  zéro  pour  ^  =  co  résulte  de 
la  formide 

Cite--'"    ,  C^  e-^^  du 

où 

f du  <   /       «e-*  "  du  —  — -  ? 

/       du  <   /         e--^"  du  =  -  . 

is(a;)  =  •  •  •  terme  principal. 

Lorsque  a  réel  >  o,  '|(  i  H-  7^7-)  devient  infini   comme  log\r; 

ainsi,  dans  ce  cas,  il  n'y  a  pas  de  doute.   Mais  vous  voyez  qu'il 
reste  encore  là  bien  des  recherches  à  faire. 

Veuillez  bien  agréer,  cher  Monsieur,  l'expression  de  mes  senti- 
ments respectueux  et  très  dévoués. 

P.  S.  —  Laformule  (jB)  étant  exacte  pour  a  réel  et  positif,  il 
resterait  à  voir  seulement  si  l'intégrale  conserve  un  sens  pour 
d'autres  valeurs  de  a.  Ce  sera  là  peut-être  plus  facile  qu'à  étudier 

'i»  (  I  -t-  ~ —  )  pour  X  ^  ce. 

Pour  a  =  -i-  00,  a  u ici)  =  — ,  ^  /      9 \x)  dx  =  ,.    /      9 (x)  c/^  =  -, 

'       t    ^    ^        T.-   b  Jq       '       '  b  J^       '  ^    •  6 

ce  qui  est  exact. 

158.  —  SriELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  le  3  décembre  1888  (lundi  soir). 
Cher   Monsieur, 

C'est  seulement  en  ce  moment  que  me  parvient  votre  lettre  qui 
a  dépassé  Toulouse  et  revient  ici  par  Cette  et  Carcassonne. 

Il  me  semble  bien  curieux  (|ue  votre  méthode  si  naturelle  pour 
obtenir  lexpression  de  Q{ct)  à  l'aide  de  ài{a)  conduit  au  même 


LETTRE  158.  Sog 

résultat  que  l'artifice  de  M.  Lercii  qui  consiste  à  introduire  le  fac- 

teur — ; — -; dans  l'expression  transformée  de  Q. 

Voici  maintenant  un  résultat  sur  la  série  de  Stirling  dont  j'avais 
déjà  un  pressentiment  ce  matin,  La  formule 

(a)  ijL(a)  =  — ; —    /       o(ar)J;'(n —]dx, 

o(a"  )  =   /      du, 

J  " 

I  '  r 


x'^        (  ^  -t-  I)-        (a-  -H  2  )■- 

étant  vraie  lorsque  a  est  réel  et  positif,  je  remarque  que  l'intégrale 
a  un  sens,  quelle  que  son  la  valeur  de  a  (on  doit  exclure  seule- 
ment la  coupure  de  o  à  —  go).  En  effet,  x  étant  très  grand,  on  a  à 

peu  près  cp(jc)  = et,  comme  on  a  -];'( w  +  i)  =  -V (w) ^5   il 

suffira  de  montrer  que 

Ç "^  cn^.r       /    X    \  ^^ 

a  un  sens  pour  oj  ^  +  go. 

Or, . 
posant 


Or,  X  variant  de  o  à  +go,  l'argument décrit  une  di'oite  et  en 


— —  =  Re'?, 
•iT.a 

R  croît  de  o  à  H- c/d,  '^  restant  constant.  D'ailleurs  '^  est  compris 
entre  les  limites  dz  -n:.  Or,  il  n'est  pas  difficile  à  montrer  qu'on  a 
alors 

mod  4;'(Re'«P)  <  —, 

OÏL  étant  une  constante  (qui  dépend  de  '^  seulement  de  telle  façon 
que  011  croît  au  delà  de  toute  limite  lorsque  o  s'approche  de  ±:tc, 
mais  ici  cp  est  constant). 
Par  là,  on  voit  que 

r'^ co=,x  ,,(  oc  \  ^    ^       ^    r'^ dx 

I       <li      dx  <  const.   /       — -, 

/  X         \iTzaJ  J        X- 


3lO  COKRESPO.NDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

donc  l'intégrale  a  un  sens.  Il  ne  semble  pas  douteux,  d'après  cela, 
que  la  formule  (a)  représente  [^.(a)  dans  tout  le  plan. 

Voici  maintenant   comment   on    peut   en   déduire   la    série    de 
Stirling.  Je  remarque  d'abord  que 


du 


donne 

,  /  I  1.2  1.2.3.4  \  ■  /    I  1.2.3 

(p(x)  =  CO?a7 H-   : ...       -H  smx  ( -— 

'  \x  x^  x"  I  \X^  X* 

Je  pose  maintenant 

?2(^)  =   /      0\{x)dx, 
^%{x)=  j      '■s,^_(x)dx, 


J'obtiens  ainsi  une  série  de  fonctions  finies  qui  s'annulent  pour 
.r  =  co,  et  l'on  trouve  facilement 

Oj(ip)=       cos.r  —  X  (f  (x), 
2  Oi{x)  =  —  sina?  —  X  (fi(x), 

303(X)   = COS5" X(Dî(x). 

^(Oi,(x)=       siniF  —  x<f3(x), 

5^5{x)=  COS57  XO!,(x    , 


<Di(x)  =  —    sina^  I 
o.(x)= ( 

'  I  .  2      \ 


I                        1.2.3                      \  /  I  .  2 

—     z-    -+-...-+-  cosa7  — - 

X                   x^                  /  \  x^ 

1.2            1.2.3.4             \  sina?      /  1.2.3 


sin  X 


I  .2. 

3 

X^ 

I  .2.3 

•  4 

x^ 

I  .2.  . 

.5 

.r-* 

1.2.. 

.6 

X  X''  /  1.1         \         X 


1.2.3         1.2. ..5  \  cos.r     /1.2  3.4 


X- 


1.2.3 

.4 

X' 

1  .2.  . 

.5 

x<* 

1.2.. 

.6 

^4 

I  .  2  .  . 

•7 

cosa?      / 1.2. 3. 4        1.2...  6  \  sinar      /i.2. 

'  I  .  2 . 3 . 4  \        X  x^  /         1.2.3.4 


la  loi  étant  évidente.  En  effet,  les  dérivées  de  'fi(^)  et  de 
cosa;  —  X'^{x)  sont  identiques  et  ces  fonctions  s'annulent  pour 
a:  =  00.  On  raisonne  de  la  même  manière  pourcp2(a:),  '^3 (.2;),  .... 


LETTItE     158.  3ll 

On  voit  maintenant  aussi  (jue 

(û(o)  =  z. ,  ?i(o)  =-+-  I5 

çj>2(0)  =  O, 
?3(o)  =  —    3' 

04(0)  =  O, 

05(0)  =+i. 


Cela  étant,  une  intégration  par  parties  donnant 
et  ayant  de  plus 


on  trouve  que  tous  les  termes  intégrés  s'annulent  pour  a*  =  4-  00, 
ainsi 


(2/1  —  i)(27ra)-"-2 

(2T:«)-'Vo  \  2  71  a/ 

En  exprimant  enfin  '^'(i),  '}'"(!),  ...  à  l'aide  des  nombres  de 
BernouUi  et  substituant  dans  l'expression  de  logr(«),  j'obtiens 
toute  réduction  faite 


log  r(a)  =  (  a j  loga  —  a  -t-  -  log('i7r; 


■ITT) 
2  /         ^  2        ^  '  ^ 

B,  B.,  B3  ,  B, 


1.2. a       3.4  a^       5.6.a5  (2n  — i)2na2/i-i 


3l2  CORRESPONDANCE    d'hEIOIITE    ET    DE    STIELTJES. 

OU   1)1011 

Quant  à  la  fonction  'f^ni^):  on  a  pour  .r  très  grand 

('in  -^  i]{  ■T.n  -+■  'jl) 


X  T-^ 

(•i.n  -^  \)(->.n  -\-  i](ii 


n  -i-  i  )  (  i  /i  -4-  4  )  ~| 

r  •;>  rt  H-  I         (  '2  /i  -4-  1  )  (  2  /«  ^  •;>.  )  (  '4  /t  -4-  3  )  ~| 

-h  sin .r — ; h .  .  .    . 

L       X'  x'*  J 

Voilà  donc,  grâce  au  travail  de  M.  Bourguet,  une  déduction  de 
la  formule  de  Stirling  telle  que  je  l'avais  rêvée.  Il  ne  reste  qu'à 
discuter  l'expression  de  R„. 

Votre  sincèrement  dévoué. 

P .  S.   —  Soit  b  réel  positif,  il  sera  intéressant  de  calculer  la 

différence 

ix(  —  b  -i-  zi)  —  [JL ( —  b  —  t i), 

pour  £  positif  très  petit.  On  connaît  cette  différence  d'avance. 
C'est  une  fonction  discontinue  de  b  cjui  change  brusquement  pour 
b=  I,  2,  3,  4,  .... 

159.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  II  décembre  iS88. 
Cher  Monsieur, 

J^a  manière  dont  INI.  Kronecker  envisage  le  théorème  fonda- 
mental de  Cauchy 

f  f(z)dz  =  o, 

Monatsberitchte,  p.  688;  i88o,  p.  786;  i885)  me  semble  bien 
intéi'essante.  Pour  lui,  ce  théorème  est  un  corollaire  d'un  autre 
théorème  qu'on  peut  énoncer  ainsi  qu'il  suit  : 

Soit/(.r,  j')  une  fonction  de  deux  variables  réelles.  Sup[)osons 
<\ue  fix^  y)  soit  continue  et  finie  ainsi  que  ses  dérivées  du  pre- 


LETTRE    159.  3l3 

mier  et  du  second  ordre  dans  un  certain  domaine  D.  Alors,  si  l'on 
sait  que  les  dérivées 

ôx        dy 

sont  uniformes  dans  le  domaine  D,  on  peut  en  conclure  que  /'(.r,  y) 


y 


elle  aussi  est  uni/orme  dans  le  domaine  D. 

On  dira  qu'une  fonctiony(^,  y)  est  uniforme  dans  le  domaine  D 
lorsqu'on  a 


/    df{x,y)  =  o, 


l'intégrale  étant  prise  sur  une  courbe  fermée  quelconque  tracée 
dans  ce  domaine. 

En  effet,  considérons  une  courbe  fermée  C;  d'après  les  hypo- 
thèses, l'intégrale  double 


//^^"^->'' 


prise  sur  toute  l'aire  de  C,  a  une  valeur  finie,  qu'on  peut  calculer 
soit  en  intégrant  d'abord  par  rapport  à  x,  soit  en  intégrant  d'abord 
par  rapport  à  y. 

Dans  le  premier  cas,  on  obtient 


//^-"-^X,!^- 


dans  le  second 


/     /   ■       ,     dx  dy  ~  —  /     -^  dx, 

J   J    ùxdy  -^  ^(C)^-^ 

les  intégrales  simples  étant  prises  sur  le  contour  de  C  dans  le  sens 


3l4  CORRESPONDANCE    D  IIERMITK    ET    DE    STIELTJES. 

direct.  On  en  déduit 


iM"-P^)-L"^^- 


y)  =  o,  C.   Q.   F.   D. 


Le  théorème  de  Cauchy  s'en  déduit  immédiatement.  En  effet, 
soit 

f  f{z)  dz=  f   {P  dx  —  qdj)^  i  r   (Qdx-hP  dy). 

Mais    V  dx  —  Q  t(v'  est   une    différentielle  exacte    et  l'on  peut 
écrire 

Ç   (Pda^-qdy)=  fdfix.y). 

Mais  maintenant  le  théorème  précédent  s'applique,  car 


dx  '  ôy 


=  -Q 


sont,  d'après  les  hypothèses,  des  fonctions  unifonues  et  finies  ainsi 
que  leurs  dérivées;  doncy(j;,  j^)  l'est  aussi  et 


de  même,  on  aura 


f   {Pdx-Q_dy)=  f   df{x,y)^o: 


/     {Q^dx -+- P  dy)  :=  I     do{x,y)=o. 

Voici  une  déduction  de  la  décomposition  en  fractions  simples  de 
que  j'ai  expliquée  pour  mes  élèves,  comme  application  des 


théorèmes  généraux  de  la  théorie  des  fonctions. 


Je  considère  la  série 

-H  00 

(log,3  -l-  •irmiy' 


/(^)=i; 


qui  est  évidemment  convergente.  On  constate  d'abord  que/(::)  est 
uni/orme.  Ensuite,  il  est  facile  à  voir  que  si  ;;  tend  vers  zéro,  il 

en  est  de  même  dey'(-)-  ^t  à  cause  de/(^)  ^/(^  \  on  voit  aussi 


LRTTRE    159.  3l5 

que  5  :=  co  est  un  zéro  de  la  fonction.  D'après  cela,  il  est  clair 
que  /{^)  ne  peut  devenir  infinie  que  lorsqu'un  des  termes  de  la 
série  devient  infini,  ce  qui  suppose  :;  =  i .  Et  l'on  a 


[Iog(  I  -f-  h  )]-      jimà  [log(i  -h  A)  -I-  •i.n-KiY- 


/(  I  +  /O  =    TTo  +  T     -  •  •  •  ' 


7*2  h 

quantité  finie  pour  //  r^  o. 

Donc  la  fonction  /"(  j)  admet  comme  pôle  double  le  point  :;  =  i 
et  n'en  admet  pas  d'autres.  Mais  pour  une  fonction  de  cette  na- 
ture le  nombre  des  pôles  doit  égaler  le  nombre  des  zéros  et  ainsi 
les  zéros  :;  =  o  et  ^  =  co  sont  des  zéros  simples.  De  tout  ce  qui 
précède  on  conclut 

mais  on  a  encore  oÂ.  ^=  i ,  à  cause  de/'(i  H-  A)  ^=:  y-;  -4-.  .  .. 
Ainsi,  on  a  finalement 


—  1)2  jLd 


(5  —  1)2  ^  (log  J  -i-2«TIf)2 

OU  bien 

+  00 


d'où  par  intégration 

~^  =  Sf — ' — ■ '— 


I 

e- —  I 


ou  bien  isolant  le  terme  répondant  à  n  =  o 


1  I 


2 


e«  —  I         a        z       .M^  \  z  -\-  -1  II Tz i        a  -T-  2  mzi 


et  pour  a  =  o 
I  I        I 


■2        z       âê^  \  z  -+  ■inni        inizi 


I         I 


{  Il  =±l.    ±2,    .  .  .), 


2        z       ^.À  Z-+  \  n^-iz- 


3l6  CORRESPONUANCE    d'hERMITE    ET    UE    STIKLTJES. 

Je  remarque  qu'on  pourrait  obtenir  de  la  même  façon  la  dé- 
composition en  fractions  simples  des  fonctions  elliptiques.  Soit, 
par  exemple,  la  formule  (votre  Cours,  p.  229,  y  édition) 

En  posant 

J^    i^z{i  —  z)(i  —  k-^z) 

on  a 

z  =  sn2[F(^)], 


et  ainsi  la  formule  (i)  peut  s'écrire 


I  / 


ou,  en  prenant  la  dérivée,  il  vient 

{■JL)  —  /.-2  ^z(i-z)(i-/^'-z)  =  2 


[F(5)-/>,]^ 


Or,  on  pourrait  établir  cette  formule  directement  en  étudiant  la 
série  qui  figure  au  second  membre. 
En  posant 

on  constate  directement  que  'j>{z)  change  de  signe  lorsque  z  décrit 

un  contour  fermé  enveloppant  les  points  o,   i ,  r^  •  Mais  a(-^)-  est 

une  fonction  uniforme.    Il   est   facile   encore   à  constater  qu'elle 

s'annule    pour  z  =  o,    i,    .-•  Et  ensuite  on  voit  qu'elle   n'admet 

pas  de  pôle  autre  que  le  point  ;  =  oo.  Lorsque  z  s'approche  de 
2  =00,  un  terme  et  un  seul  de  la  série  devient  infini  et  il  est  donc 
facile  à  voir  comment  se  comporte  'j>{z)  ou  0(5)^  dans  le  voisi- 
nage de  z  =  co.  On  établit  de  cette  façon  la  formule  (2)  d'où  l'on 
déduira  ensuite  facilement  (1). 

Cette  méthode  suppose  seulement  qu'on  ait  étudié  la  nature  de 
l'intégrale  F(^)  ou  si  l'on  veut  la  fonctiou  inverse  sn-;.  On  doit 
avoir  poussé  celte  étude  assez  loin  pour  connaître  toutes  les  racines 

de  l'équation 

sin-^  =  su- a. 


LKTTRE    H)0.  817 

En  somme,  celte  méthode  ne  peut  être  considérée  que  comme 
une  vérification,  mais  elle  me  semble  instructive  néanmoins.  Aussi 
au  fond  je  n  ai  appliqué  qu'une  idée  de  Riemann.  Pour  obtenir 
l'inversion  d'une  intégrale  elliptique,  il  étudie  d'abord  cette  inté- 
grale, ensuite  il  étudie  les  fonctions  0.  En  substituant  alors  l'in- 
tégrale dans  la  fonction  0  comme  argument,  il  obtient  une  fonction 
qu'il  reconnaît  être  une  simple  fonction  algébrique.  Vous  savez 
qu'il  a  appliqué  ce  procédé  synthétique  à  des  problèmes  bien  plus 
généraux.  Mais,  en  somme,  la  marche  indiquée  plus  haut  est  par- 
faitement analogue.  La  seule  différence  c'est  que  je  considère  une 
série  double  au  lieu  d'une  fonction  6. 

Votre  bien  sincèrement  dévoué. 


160.  —  HERMITE  A  STIELTJES . 

Paris,  i3  décembi*e 


Mon  cher  Ami, 


Votre  dernière  lettre  du  11  m'a  ravi  et  enchanté;  je  partage 
entièrement  votre  sentiment  sur  les  fonctions  de  deux  variables, 
et  sur  la  manière  dont  il  convient  de  caractériser  qu'elles  sont 
uniformes  dans  un  domaine,  par  la  condition    /     d  f{x^  y  )  ^:^  o. 

Mais  vous  excluez  les  variables,  comment  donc  procéder  alors? 

Votre  analyse  concernant  la  fonction  /"(c)^  7  —, ■. — - 

est  délicieuse,  exquise,  et  je  ne  manquerai  pas  de  la  donner  à  la 
Sorbonne.  Elle  me  donne  beaucoup  à  penser,  et  ce  que  je  vais 
vous  en  dire  se  sera  certainement  déjà  présenté    à  votre  esprit. 

Les  déterminations  de   linlégrale  F(:;)=^  /  — ^ 

qui  proviennent  de  tous  les  contours  possdjles  d'intégration,  sont 
comprises  dans  les  deux  formules 

—  F  -+-  (  4  »n-  2  ) K  -f-  2 niK', 
de  sorte  que  la  fonctu»n 

?'>-')  ^  ^  (  K  -H  4 ,n  K  -1-  2  niK'  )«  "^  ^  [—  F  -^  (  4 m  -t-  2 ) K  H-  2 /?  tk'  )3 


3l8  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

est  certainement  uniforme.  Mais,  en  procédant  de  même  avec  l'in- 

11  j  ^        r"  /x^z-  dz  ,  , 

teerale  de  seconde  espèce   /  - ,  on  |)eut  semlna- 

^  J^    ^/n-z^i^-k^z^)  ' 

blement  parvenir  à  une  fonction  uniforme;  cela  étant,  à  quoi 
tient-il  que  la  première  soit  une  quantité  si  simple,  et  que  la  se- 
conde soit  archi-transcendante.  L'équation  qui  s'offre  sous  votre 

,  f"  k^z  dz  1    •       n-  •  •    (^    •    '    1 

l)0int  de  vue   /  —  =  o  doit  oitrir  une  inimité  de 

J,     ^(t-z^d-k^z^) 

solutions,  peut-être  j  aurait-il  lieu  de  s'en  occuper  avec  soin.  Mais 
vos  idées  me  paraissent  surtout  intéressantes  et  importantes  si  on 
les  applique  à  1  intégrale  abélienne  de  première  classe 

où 

R(z)  =  z{i  —  z)(i  —  kz)(\  —  ÂZ)(i  —  ixz); 

soient  :  (i),  (A),    (a),   (u.)   les  diverses  intégrales    /    "t 

'      '^     — }  •  •  •  la  lonction  uniiorme  analogue  a  ci(  ;  )  sera 

^iz)=       V[       F -H        2m(i)       -h  ■im'ik) -^  ■2m"(l) -h  ■2m"'{ix)]-p, 
H-  V[— F  M-  (2m  -M)(i)  -f-  ■2/»'(A-)  -+-  2m"(/  )  -t-  •im"'(  [i.)]-p, 

et,  si  l'on  pouvait  étudier  l'équation  F  =  o,  il  semble  qu'on  se 
trouverait  sur  la  voie  d'une  nouvelle  transcendante  qui  se  rappro- 
cherait autant  que  possible  des  fonctions  elliptiques,  comme  ne 
contenant  qu'une  seule  variable. 

Mais  j'ai  d'autres  devoirs  pressants  qui  me  détournent  en  ce 
moment  du  calcul;  je  compte  m'y  remettre  après  le  jour  de  l'an, 
lorsque  j'aurai  retrouvé  ma  liberté  qui  maintenant  me  fait  absolu- 
ment défaut.  Et  puis,  les  premiers  froids  m'ont  enrhumé,  grippé, 
ce  qui  ne  constitue  pas  des  conditions  favorables  pour  le  travail. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  Ami,  l'expression  du  vif  plaisir 
que  j'éprouve  à  recevoir  communication  de  vos  idées  si  intéres- 
santes pour  moi,  et  que  je  saisis  au  premier  coup  d'œil  sans  aucun 
effort,  et  avec  l'assurance  de  mes  sentiments  de  la  plus  sincère 
affection. 


LETTRK    161.  3 19 

161.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  21  décembre  1888. 


Mon 


La  formule  de  Gauss  pour  l'évaluation  approchée  des  intégrales 
définies  m'a  conduit  à  une  question  dont  je  me  permets  de  vous 
entretenir,  dans  l'espérance  que  peut-être  elle  vous  suggérera 
quelques  remarques  dont  je  serais  heureux  de  profiter,  cette  fois 
comme  tant  d'autres.  Je  considère  deux  fonctions  que  je  suppose 
pouvoir  être  représentées  par  ces  développements 

F  (^  )  =  Ao -I-  A.,  37  -4-  A, a;^ -H . . . , 
f{x)  =  cIq  -^  aix  -\-  a^x^  -^ .  .  . , 

et  je  demande  de  déterminer  'in  constantes  à  savoir 

R,     S,     ...,     U, 
;•,      5,      .  .  . ,      u^ 

de  manière  qu'on  ait,  en  négligeant  .r-"  et  les  puissances   supé- 
rieures, 

¥(x)  =  Kfirx)  -^Sf(s.v)  ^ .  .  .^  li  f(ux). 

Vous  voyez  que  c'est  une  généralisation  de  la  relation  de  Gauss, 
qu'on  obtiendi'a  si  l'on  suppose 

f(x)^F'(x). 

Le  problème  est  déterminé,  puisque  l'identification  donne  2n 
équations 

Ao        =  ao       (R  -+- S  -H...-f-U), 

Al        =  ai       (R/-        -4- Sx         -(-...-}- U  «), 
(A;  '    A2        =a.,       (H  ri      ^Ss'^        -r-.  .  .-^  U  «-), 


A2„_,  =  «,«-1  (  R/-2"-'  +  S  52«-i  ^.  . . .  -^  u  «2"-i  )  ; 


maintenant  voici  la  solution. 

J'envisage  la  fonction  suivante  : 

,     ,  A  A,  A, 

'  aox        a\X^        a^x^ 


320  COllRESPONDAiNCE    d'HERMITE    ET    OE    STIELTJES. 

et  je  forme  la  réduite  d'ordre  n  de  son  développement  en  fraction 
continue  ^  On  aura  donc  en  développant  suivant  les  puissances 
descendantes  de  la  variable,  la  relation 


Cela  élanl,  je  décompose  en  fractions  simples    la  fonction  ra- 
tionnelle ,r>  et  l'obtiens  immédiatement  la  solution  cherchée.  En 
V         "^ 

admettant,  en  effet,  que  \  =^  o  n'ait  que  des  racines  simples  et 

posant 

U  R  S  U 

;r7   = h  ■ h.  ..H , 

V         X  —  /■        X  —  s  X  —  a 

la  relation  (B),  donne  les  équations  (A)  en  égalant,  dans  les  deux 

membres,  les  coefficients  des  termes  en  -?  — -j  •  •  •>  — —  • 

X    X'  .r-" 

Une  conséquence  de  ce  résultat  est  à  remarquer,  c'est  lorsqu'il 
arrive  que  o(:r)  est  une  fonction  rationnelle;   en  prenant  alors, 

pour  la  réduite  içj  ,  la  fonction  elle-même,  on  a  exactement  et  sans 
rien  négliger 

F(x)  =  R/irx)  -+-  Sf(sx)-i-.  .  .-+-  U/(ux). 

En  d'autres  termes,  si  la  série  ao+  a,.x'  +  y..,x--^.  . .  est  le  dé- 
veloppement d'une  fonction  rationnelle,  la  fonction 

Ao-t-AiJ7-t-  A2^--+-... 

s'exprime  linéairement  au  moyen  de  la  suivante  : 

Ao    ,    Al  A,    ,  ^ 


M.  ***  dont  je  viens  de  recevoir  une  lettre  très  intéressante,  me 
met  dans  un  grand  embarras  au  sujet  de  l'expression  de  Q(<^)  par 
la  série  /  [iù  -\-  may^  e'^^'  '""^  (/;i  =  o,  i,  '.i,  ...).  J'ai  encore  re- 
cours, mon  cher  Ami,  à  votre  bonne  obligeance,  en  vous  priant  en 
grâce  de  lire  le  post-scriptiun  de  sa  lettre  que  je  vous  envoie,  et 
de  m'en  dire  votre  avis.  .  .  . 

Excusez-moi  si  j'abuse  de  votre  bonté  et  veuillez  agréer  la  nou- 
velle assurance  de  ma  bien  sincère  affection. 


LETTRE    162.  3îîl 

162.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  le  jS  décembre  1888. 
Cher   Monsieur, 

Je  vous  remercie  vivement  pour  la  communication  de  voire 
généralisation  du  problème  de  la  quadrature  de  Gauss.  En  posant 
avec  vous 

0 

/(  X  )  =  2.  '■'''I  ^"^  mot! ^  <  R, 

0 

co(  j^')  =  V  — ^:r-"-i  nio(l-<Ri, 

'  .L^  a,i  X 

(I 

je  remarque  qu'en  supposant 

p  <  mod;;  <  R, 

p  étant  un  nombre  quelconque  inférieur  à  R,  et 

mocl.r  <  p  Ri, 
les  développements 

/(  z)  =^  af^-{-  aiz  -\-  (toZ-  -h .  .  ,, 
An  .V        A,   .r2 


sont  convergents  tous  les  deux,   en  sorte  qu'on  obtient  en  inté- 
grant sur  un  cercle  d'un  rayon  compris  entre  0  et  R 

— ^.  I  /(z)'f(^'^  j  dz  =  Ao.v-\-\iX-^^...=  xF{x). 

On  obtient  ainsi  une  valeur  finie  de  F(x)  tant  que  mod./'  ■<  oR| 
et  comme  p  peut  s'approcher  indéfiniment  de  R,  j'en  conclus  que 
le  rajon  de  convergence  de  la  série  F(x)  est  RR,,  ce  qui  est  bien 
connu.  En  supposant,  avec  vous, 

o(x) 


Y  ^2«-t-l  ^•y.n-hi 

U  _   _R_  S 

V  X  —  /•       X  —  s 


322  CORRtSPONDANCE    D'HERMITK    ET    DE    STIELïJES. 

on  a 

t¥{x)=       :       fiz){ 1 \-...)dz 

■?,T.iJ  \z  —  rx       z  —  SX  j 

-^ ■    /  A  -  )  (  —^ — r  -I s — T-  -!-•••  W- 


c'est-à-dire 

Y{x)  =  R/irx)  -(-  S/(s,r  )-+-... 

-f-  sasrt^'-"-!-  î'«2/(-+-iar-"+i  -h.  .  .. 

Mais  ce  n'est  là  qu'une  modification  de  votre  analyse  et  je  ne 
sais  pas  si  elle  permettra  de  pousser  plus  loin  cette  étude. 

Les  polynômes  U  et  V  dépendent  seulement  des  a/i  premiers 
coefficients  du  développement  de  ^(^),  mais  on  peut  changer 
arbitrairement  ces  coefficients  sans  affecter  le  rayon  de  conver- 
gence R,,  et  aussi,  paraît-il,  sans  affecter  d'une  manière  notable  la 
nature  de  cette  fonction  'f(x).  Il  semble  donc  qu'on  ne  peut  rien 
dire  en  général  sur  ces  racines  de  V  =  o. 

Voici  ce  que  je  trouve  en  examinant  la  note  de  M.  ***, 

La  série 

(I)  Q(,_a)=.2](^^^è^)*vW(i  -«-vj 

1 

est  convergente  toujours  en  supposant 

M  >  O,  10  >  o, 

et  elle  représente  toujours  Q(i  —  a). 
Quant  à 

(II)  Q(i  -  «j  =2  (  -  i)v-i  (""^^"^j  Pv  S(i  -a-  V), 

1 

comme  M.  ***  le  remarque,  elle  est  convergente  seulement  pour 

et  elle  représente  alors  Q(i  —  a). 

La  convergence  de  la  série  (I)  est  très  facile  à  établir.  En  effet, 
il  est  clair  que 

*v<  e"  I     r'-i  dt, 
*v  <  e"  —  » 


LETTRE    162.  323 

et  lorsque  x  est  négatif  il  est  clair  que 


"^{x)  <  (w  -H  a)-p  Ve- 


Oi—/nu  — 


e^{e''  —  i) 


ainsi,  le  module  d'un  teiune  éloigné  est  inférieur  à 


a  -+-  V  —  2  \       a^  I 


la  série  est  donc  convergente  comme  une  progression  géométrique 

de  raison à  peu  près.  Pour  se  convaincre  qu'elle  représente 

toujours  Q(i  —  a)  il  suffit  de  remarquer  que  si  (1)  est  vraie  pour 
un  système  de  valeurs  u,  oj,  elle  l'est  encore  en  remplaçant  w  par 
M-'r  II-  En  effet,  par  ce  changement  le  premier  membre  diminue  de 

i  e--^  x-'^  clx  —    I     ey-^-"  {(X) -^  Il — y)~'"dy, 

il  n'y  a  pas  ici  ombre  de  doute  sur  la  légitimité  du  développement 

\  I     0)  -H  M 

00 

ce  qui  donne,  enfin. 


/ 


pour  la  quantité  dont  diminue  le  premier  membre  de  (I)  en 
changeant  to  en  tu  H-  ii.  Mais  il  est  clair  que  c'est  là  précisément 
aussi  la  quantité  dont  diminue  le  second  membre.  Donc  la  for- 
mule (I)  est  toujours  vraie,  mais  en  somme  je  n'ai  fait  que  suivre 
la  voie  que  vous  m'avez  indiquée.  Si  M.  ***  indique  w  4-  «  >>  i 
comme  condition  de  convergence,  c'est  qu'il  doit  n'avoir  pas  fait 
attention  à  la  variation  des  nombres  <i>v<re"— •  Du  reste,  il  est 
clair,  d'après  ce  qui  précède,  que  la  série  converge  à  peu  près 
comme  une  série  géométrique  de  raison -,  cela  provient  de  la 

a       Y  ,  ... 

série  i  H —  — h-  •  •  ou  k  a  pour  limite  supérieure  u. 

r     fil  -I-  Il  •■  1  1 


324  <;ORRESPONDANCE    d'HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Après  avoir  établi 


—^Ip—Ui-U 


il  n'j  a  qu'à  remplacer  avec  vous  to  par  co  +  ?/,  to  +  2  m,  . . .  et  de 
faire  la  sommation.  Si  l'on  suppose,  comme  M.  ***,  rt>o,  tous  les 
termes  sont  positifs,  la  convergence  est  absolue  et  l'on  peut 
prendre  les  termes  dans  un  ordre  quelconque.  On  obtient  ainsi 
en  toute  rigueur  (  [),  mais  le  résultat  subsiste  quel  que  soit  a.  De 
même,  on  voit  que  (II)  est  convergente  pour  u  <<  to,  la  conver- 
gence est  comparable  à  celle  de   /,  (  —  )  •  •  •  • 

Quant  aux  expressions  de  R„,  P«.',,  il  n'v  a  pas  de  difficulté  à 
obtenir  de  telles  expressions,  en  écrivant,  par  exemple, 


(  0)  -H  U  —  y  )-"'  =  (  tu  -i-  M  )-"  (  I 


'  ^^^-...-R„) 

avec  un  reste.  Il  est  clair  qu'on  obtiendra  ainsi  une  expression  qui 
montre  la  convergence  de  la  série,  R,;  doit  renfermer  un  fac- 
teur ( )      L'expression  de  M.  ***  laisse  à  désirer  sous  ce  ran- 

\  a)  -t-  u  /  '  * 

port.  Peut-être  a-t-il  suivi  sa  métbode  de  déduction,  et  je  remarque, 
en  effet,  qu'elle  présente  des  facilités  pour  obtenir  K„,  mais,  en 
faisant  ce  calcul  d'une  manière  convenable,  on  doit  arriver  au 
même  résultat  que  tout  à  l'heure. 

J  ai  rédigé  provisoirement  mes  réflexions  sur  la  fonction  F  et  la 
série  de  Stirling  pour  les  reprendre  plus  lard  plus  facilement. 
J'ose  prendre  la  liberté  de  vous  les  envoyer  a\"'ec  la  prière  de 
vouloir  bien  les  donner  à  M.  Bourguet  lorsque  vous  le  verrez.  Si 
vous  avez  le  loisir  d"j  jeter  un  coup  dœil,  je  crois  que  la  déduc- 
tion de  la  formule 


I,  I     /""    X  du 


log 


X e-27lK 


\o^V{x)  —  Ix \\o\^x  —  X  ^ — logar  -i-  -    / 

à  l'aide  du  théorème  de  Gauchv 

/(-)=-^    f^^^^clx, 

•^  'llT.Jz~X  ' 

page   i4«  vous  fera  plaisir.   On  peut  donc  se  dispenser  de  petits 


LETTRE    103.  32.5 

artifices  dont  on  a  besoin  jusqu'à  présent  pour  arrivera  ce  résultat. 
11  reste  à  noter  que,  tandis  que  la  véritable  origine  analytique  de 
l'intégrale 


£ 


du 

;  los 


p—iTZU 


se  trouve  ainsi  dévoilée,  celle  de  l'intégrale 

I        gax  i_l — L  dx. 
J  T- 

( votre  cours),  page  124,  reste  obscure. 

Je  suis  un  peu  souffrant  depuis  quelques  jours,  c'est  un  mal 
d'oreille. . ..  Mais  c'est  la  première  fois  que  cela  s'est  déclaré  chez 
moi.  Cela  me  donne  un  grand  mal  de  tête  et  m'empêche  de  dormir. 

La  fin  de  l'année  est  si  proche,  que  je  vous  offre  déjà  mes 
meilleurs  souhaits  pour  l'année  prochaine. 

Votre  sincèrement  dévoué. 

P.  S.  —  Je  ne  veux  pas  encore  trop  me  plaindre  de  mon  mal, 
car  c'est  dans  une  insomnie  que  j'ai  vu  l'origine  de  l'intégrale  de 
Binet.  Mais  enfin,  cela  ne  doit  pas  durer. 

163.  —  STIELTJES  A  HERMllE. 

Toulouse,  25  décembre,  soir,  1888. 
Cher   Monsieur, 

Je  viens  de  faire  une  observation  si  curieuse  que  je  ne  peux 
m'empècher  de  vous  en  faire  part.  C'est  une  application  de  mes 
formules 


condition 


X, 


-    \fiz)\dz  ^^^ 


condition 


uB 


■  du, 


1 


^    \/(z)\dz  ^ 


320  CORRESPONDANCK    d'hERMITE    ET    DK    STIELTJES. 

OÙ 

/(  ui)  =  A  -+-  B  t,        /(  —  ui)  =  A  —  B  i. 

D'après  la  seconde,  jai 

.,  ,  2     /""     «B  /(<7 -4- «n  =  A -4- Bt, 

(i)         fia  +x)=—  -    I         ., ^du 

donc 

(2)  /■(«  -1-  I  )+/(«-+-  2)  -H.  ..  =  —  -      /        i —-^ h- -] 


Bdu, 


mais  de  (')  je  tire  en  multipliant  par  dx  et  intégrant,  si  dans  le 
second  membre  il  est  permis  de  changer  l'ordre  des  intégrations, 

(3)  ff(a-hx)dx^—   f     Bdu, 

et,   si  l'équation  (i)   qui   suppose  partie  réelle  :c  >>  o   est  encore 
vraie  pour  a;  =  o, 

et  ainsi  (2)  peut  s'écrire 

y  (a -+-!)+/(«  + 2;  H-...  =   /     J(a^x)—  -  fia)  ~i  -;^ 

C'est  là  une  formule  d'Abel,  OEuvres,  t.  I,  p.  38  en  bas.  Mais  la 
méthode  précédente  jette  une  nouvelle  lumière  sur  ce  sujet,  la 
méthode  d'Abel  manque  de  rigueur  tout  à  fait. 

Il  faudra  voir  aussi  à  rattacher  aux  théories  de  Cauchjla  formule 
sommatoire  d'Euler  et  de  Maclaurin.  Ce  sera  possible  probable- 
ment. Lorsque  M.  Malmsten  a  publié  son  Mémoire  sur  ce  sujet  de 
nouveau  dans  les  Acta,  la  rédaction  dans  une  ISote  faisait  entre- 
voir l'espoir  d'une  extension  de  la  formule  aux  variables  imagi- 
naires ('  ). 

D'après  ce  qui  précède,  je  crois  qu'il  sera  possible  de  démontrer 

la  formule  à  l'aide  des  méthodes  de  Cauchy,  mais  je  ne  crois  pas 

que  l'extension  aux  valeurs  imaginaires  existe.  En  effet,  plus  haut, 

lï  fallait  supposer 

/■(  a  -I-  ni )  =  A  -)-  Bi, 

y  (  a  —  //  /  )  =  A  —  B  i, 
(')  \o\r  Acta  Matheinatica,  l.  V.  p.  i. 


LETTRE    164.  827 

en  sorte  qu'on  a  réellement  à  faire  avec  les  fonctions  d'une  variable 
réelle.  Aussi  le  théorème  (I)  par  exemple  ne  s'applique  pas  lors- 
qu'on prend  pour  f{x)  une  constante  purement  imaginaire.  Le 
second  membre  serait  nul. 

On  peut  envisager  (I)  sous  un  nouveau  point  de  vue  en  prenant 
pour  A  une  fonction  réelle  arbitraire  de  a  telle  que 

A 

liin  —  =0         (  f<  =  oc;  /i  <  i). 

Alors  l'intégrale  existe  et  définit  une  fonction  d'une  variable 
imaginaire  .r,  dont  la  partie  réelle  se  réduit  à  A  sur  l'axe  des  y. 

Veuillez  bien  agréer,  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de  mon 
entier  dévouement. 


164.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  28  décembre  1888. 
Mon   cher  Ami, 

Veuillez  agréer  mes  souhaits  de  bonne  année  que  je  vous 
adresse  de  tout  cœur,  et  en  même  temps  mes  vœux. 

A  mes  souhaits  de  bonne  année  je  joins  mes  remercîments  pour 
vos  dernières  lettres  et  surtout  pour  le  résumé  de  vos  études  sur 
la  fonction  F,  que  je  vous  demande  l'autorisation  de  conserver 
quelques  jours  avant  de  l'envojer  à  M.  Bourguet,  à  qui  je  l'ai 
annoncé.  J'ai  le  plus  grand  intérêt  à  le  lire  et  à  l'étudier,  mais  il 
me  faut  du  temps,  ayant  mille  choses  à  faire  en  ce  moment.  Vous 
savez  sans  doute  que  M.  Bourguet  conteste  votre  conclusion  que 
la  série  de  Stirling  est  applicable  dans  toute  l'étendue  du  plan, 
même  lorsque  la  partie  réelle  de  la  variable  est  négative.  D'après 
lui,  la  série  n'est  valable  qu'à  droite  de  l'axe  des  ordonnées  et 
voici  le  motif  qu'il  m'en  donne.  Supposons  la  relation 

J(a)=  _^J ...^(_,y.-. ËZ^ ^_R, 

et  désignons  par  R'  ce  que  devient  R  lorsqu'on  change  a  en  —  a; 
on  aurait  évidemment 

J(a)-h  J(— rt)  =  R-+-  R', 


328  CORRESPONDANCi;    d'hEUMIÏR    RT    DE    STrELTJKS. 

quantité  qui  dépend  de  l'entier  /?,  ce  qui  se  trouve  en  contradic- 
tion avec  la  propriété  suivante,  que  M.  Bourguet  a  découverte  : 

i(a)  -hi'  —  a)  =  —  1  log(i  — e27ta<). 

En  attendant  que  vous  ajez  le  dénouement  de  la  difficulté,  je 
fais  encore  appel  à  votre  bonne  obligeance  en  vous  priant  de 
m'expliquer  ce  point  de  votre  lettre  du  a3  décembre,  où  vous 
dites  qu'en  supposant  que  R  soit  le  rayon  de  convergence  des 
séries 

F(.r) --^A,,^",         f{x)^^ancr". 

et  que  la  série 

Jmà  a,, 

soit  aussi  convergente  pour  mod  -  <  Ri,  on  peut  en  conclure,  ce 

qui  est  bien  connu,  que  RR,  est  le  module  de  convergence  de 
¥{x).  Comment  donc,  mon  cher  ami,  parvenez-vous  à  cette  con- 
clusion? Comment  le  rayon  de  convergence  de  F(\r),  que  nous 
supposons  égal  à  R,  devient-il  ensuite  RR ,  ;  comment,  enfin,  cette 
conséquence  est-elle  bien  connue? 

■  Excusez-moi,  je  vous  prie,  de  ne  pas  apercevoir  ce  qui  est  clair 
et  évident  pour  vous,  et  plaignez-moi  de  ne  pas  avoir  une  suffi- 
sante liberté  pour  me  consacrer  plus  entièrement  à  l'Analyse. 

Les  résultats  de  M.  ***,  sur  la  convergence  des  séries  qui  re- 
présentent Q(i — rt),  me  causent  beaucoup  de  surprise,  et  me 
paraissent  très  dignes  d'attention;  grâce  à  vous,  je  vais  ])Ouvoir 
les  étudier  à  fond  et  m'en  rendre  bien  compte. 

Encore  un  mot  sur  la  formule  de  Gudermann;  dans  une  de  mes 
leçons  de  cette  année,  je  la  lire  de  l'cxjjression 

e-^  (  2  —  .r  )  —  2  —  x 
^  _  (  I  —  e-^  )x- 

en  rem[)laçant 

■ par  >£'/■•' H (A- =  o,  i,  2,  .  .  ., /i  —  i). 

pX  (  ■;>   y^  \    ^  X 

La   décomposition    de    la    quaiiliti'   e^"^'"''-^' -^ en 


éléments  sim|)les  donne  l'intégrale  définie,  immédiatement,  et  on 


LETTRE    165. 

trouve  ainsi 

1     /      ^      \        ^                    /       ^.            .             /-           .                           \       ]   ^fV      1       ,            1 

\  —   1 

J  (  et  )  — -    T       \  O  -t-  A  -+-        1  lui;      1  -t- 

-/./          ' 

(  /i    =  o ,    !,•>.,    .  .  .  ,    /l  - 

-I)- 

329 


-;-  J  (  «  -+-  n  ) 


Avec  la  nouvelle  assurance  de  mon  affection  cordiale  et  bien 
dévouée. 

165.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  ag  décembre  i888. 
Cheu   Monsieur, 

En  vous  remerciant  pour  \otre  souhait  de  bonne  année...  je 
peux  vous  dire  aussi  que  mon  mal  ne  paraît  pas  bien  grave  à  mon 
médecin.  Cela  doit  être  un  abcès  dans  l'oreille  qui  se  guérira  avec 
un  peu  de  patience  et  de  repos,  mais  c'est  très  douloureux;  heu- 
reusement, je  constate  déjà  un  mieux  sensible. 

Je  suis  très  honoré  que  vous  voulez  garder  un  peu  mon  manus- 
crit pour  l'étudier  et  naturellement  vous  pouvez  le  garder  pour 
cela. 

Maintenant,  je  répondrai  encore  succinctement  à  vos  questions. 
Dans  la  lettre  du  ^3,  je  dois  avoir  écrit 


¥{x)^^knT'', 

f(x)  =2«„.r", 

modr  <  R, 

niod-  <  Ri. 

X 

Ainsi  je  ne  fais  pas  de  sup|)osition  sur  le  rajon  de  convergence 
de  F(.r  )  ;  mais  il  suit  de  mon  raisonneinent  que  ce  ravon  est  RR, . 
Ce  théorème,  en  ell'el,  doit  être  connu;  si  l'on  a 

^^a„x",         rayon  de  convergence  R, 

^   bnX"\,  »  »  R]. 

Alors  le  rayon  de  convergence  de 

^^aabnX" 


33o  CORRESPONDANCE    d'hERMITE   ET    DE    STIELTJES. 

e^laii  moins  RR,.  Je  crois  que  ce  ihéorème  se  trouve  énoncé  ex- 
plicitement dans  un  Mémoire  de  M.  Pincherle  dans  le  Journal  de 
Brioschi.  Mais  la  chose...  est  bien  facile  à  démontrer.  Soient  ;•  un 
nombre  positif  un  peu  inférieur  à  R,  /•,...  un  peu  inférieur  à  R|, 
les  séries 

2  «„/•",      ^b„r'i 

sont  convergentes  et  même  absolument  convergentes. 
Aussi  on  a  quel  que  soit  n 

P,  Q  étant  des  nombres  finis,  d'où 

ce  qui  montre  que  2_i^nbnX"  est  convergente   tant  que  x  reste 

inférieur  à  rix...^  mais  rr^  peut  s'approcher  indéfiniment 
de  RR, . 

La  remarque  de  M.  Bourguet 

J(a)  -+- J(—  «)  =  —  Iog(i  —  e^7t«') 

est  parfaitement  vraie;  toutefois,  il  faut  supposer  essentiellement 
que  le  coefficient  de  i  dans  a 


est  positif,  y  ^  o  ;  ainsi 

I  —  227la/ —  ,  —  e-27t7(cOS'2/>7:  -H  i  sin2/>7i). 

Lorsque  a  croit  indéfiniment,  il  en  est  de  même  de  q  (autrement 
un  des  points  a  ou  —  a  resterait  toujours  dans  le  voisinage  de  la 
coupure,  cas  cjue  j'exclus  expressément).  Et  alors  vous  voyez  bien 
que  J(a)  -\-  J( —  a)  tend  vers  zéro.  \\  n'j  a  pas  de  contradiction 
avec  mon  résultat,  dont  je  crois  du  reste  cjue  la  démonstration  est 
inattaquable. 

Veuillez  bien  agréer.  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de  mon 
dévouement. 


LETTIIE    166.  33l 

166.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES  ('). 

Moiv   CHER  Ami, 

I^'élégance  et  la  simplicité  de  votre  analyse  cachent  certainement 
un  grand  travail  et  il  est  difficile  d'imaginer  par  quel  enchaîne- 
ment d'idées  vous  avez  été  amené  à  la  considération  de  la  quan- 
tité 711  et  à  la  suite  des  fonctions  que  vous  nommez  f\  (x),  f.^ [x)^  . .., 
Vos  résultats  sont  excellents  et,  à  l'encontre  de  tant  d'autres  qui 
avec  un  grand  appareil  de  formules  n'obtiennent  presque  rien, 
vous  tirez  de  considérations  extrêmement  simples  et  faciles  des 
choses  entièrement  neuves  et  du  plus  grand  intérêt.  En  attendant 
que  j'aie  quelques  remarques  à  tirer  de  mes  réflexions  sur  ce  que 
vous  m'avez  communiqué,  permettez-moi  de  vous  demander  où 
vous  comptez  publier  ce  que  vous  venez  d'obtenir.  M.  Darboux 
serait  très  content  d'en  enrichir  les  Annales  de  V École  Normale, 
et  M.  Camille  Jordan  vous  bénirait  de  lui  fournir  de  la  matière 
pour  son  journal  qui  en  a  manqué  dans  ces  derniers  temps.  Je 
devais  lui  fournir  un  article  sur  la  valeur  asjmptotique  de  Q(rt), 
mais  mille  occupations  m'ont  détourné  de  le  rédiger,  et  ensuite 
je  me  suis  trouvé  dans  une  disposition  peu  favorable  pour  le 
travail,  ayant  éprouvé  comme  une  sorte  d'aversion  pour  l'Analyse 
qui  me  rendait  tout  eflorl  comme  impossible.  Après  m'être  plongé 
dans  la  lecture,  j'en  reviens  peu  à  peu,  et  nombre  de  recherches 
que  j'avais  commencées  surgissent  de  leur  sommeil  et  me  re- 
donnent quelque  peu  courage.  Je  relis  votre  correspondance  et,  au 
moment  ou  j'ai  reçu  votre  dernière  lettre,  j'allais  vous  écrire  et 
vous  chercher  querelle  au  sujet  de  la  condition  que  vous  m'avez 
formulée  pour  qu'une  fonction  f{x^  y)  soit  uniforme  dans  un 
domaine  D,  et  qui  consiste  en  ce  qu'on  a 


X. 


df{x,y)  =  o, 

IC) 


l'intégrale  étant  prise  sur  une  courbe  fermée  quelconque   tracée 
dans  ce  domaine.  Je  vous  avoue  ne  jamais  m'être  posé  la  question 


(  '  )  Il  man(|uc  sûrement  une  lettre  de  Stieltjes  antérieure    à  cette  lettre  non 
datée  d'Herniile.  {Note  des  éditeurs.) 


332  CORRESPONDANCE    d'hKRM[TK    ET    DE    STIELTJES. 

en  restant  comme  vous  dans  le  champ  des  valeurs  réelles  des 
variables,  la  circonstance  des  déterminations  multiples  me  pa- 
raissant résulter  en  toute  nécessité  des  valeurs  imaginaires  des 
variables  décrivant  des  contours  fermés.  Je   nous  demande  donc, 

pour  préciser  et  bien  fixer  mes  idées,  un  exemple  dans  lequel  -j- 

et  ~  soient  uniformes  dans  le  domaine  D  pour  les  \aleurs  réelles, 

,  4r        .  .  .  .  ,      .  .       . 

c'est-à-dire,  suivant  moi,  continues  et  à  détermination  unique,  la 

fonction  /"(a:;,  }')  ayant,  au  contraire,  des  déterminations  multiples. 

Je  demande,  en  plus,  de  voir  de  quelle  manière  ces  détemninations 

diverses  résulteront  de  ce  que  votre  condition    /     df[Xy  y)  ^=  o 

ne  sera  pas  remplie.  En  allant  plus  loin  et  m'accusant  d'avance 
d'avoir  la  vue  trop  courte,  je  réclame  à  cor  et  à  cri  une  fonction 

échappant  à  votre  condition  et  dans  laquelle  -r-  et  f^  soient  tou- 
'  '  ^  ax       oy 

jours  continues   et  linies  à  l'intérieur  de  D.  Ma  requête  a  pour 

origine  et   pour  cause  ma  tendance  à    faire   résulter  les  notions 

analytiques  de  l'observation  des  faits  de  l'analyse,  croyant  que 

l'observation  est  la  source  féconde  de  l'invention  dans  le  monde 

des  réalités  subjectives,  tout  comme  dans  le  domaine  des  réalités 

sensibles.  Je    m'arrête,   mon   cher  ami,  je  vous  ferais  bondir   si 

j'osais  vous  avouer  que  je  n'admets  aucune  solution  de  continuité, 

aucune  coupure,  entre  les  Mathématiques  et  la  Physique,  et  que 

les  nombres  entiers   me   semblent   exister  en  dehors  de  nous  el 

en  s'imposant  avec  la   même  nécessité,  la  même  fatalité  que  le 

sodium,  le  potassium,  elc. 

Avec  tous  mes  nœux  pour  la  guérison  complète  de  votre  mal 
d'oreilles,  et  en  nous  renouvelant  l'assurance  de  ma  sincère  et  bien 
cordiale  allection. 

167.  —  SriELTJES  A   H  ERMITE. 

Toulouse,  le  i4  février  1889. 
Chku   Monsieur, 

Le  théorème  sur  les  fonctions  de  deux  variables  réelles,  d'où 
M.  Kronecker  déduit  comme  corollaire  le  théorème  de  Cauchy, 
s'énonce  ainsi  : 

Soit  f[x^  y)   une  fonction   réelle  des  varialdes  x.  y  lellr  (|u<' 


LETTRE    167.  ài'i 

dans  un  domaine  D  à  contour  simple  (j'ai  peut-èlre  omis  celle 
condilion  qui  est  nécessaire)  les  dérivées  partielles 

dx        ôy 

soient  finies  el  uniformes  et  admettent  encore  des  dérivées  finies 
(qui    sont  alors   uniformes   aussi    naturellement),   alors   la  fonc- 

TIOJVy(x,   )')  ELLE-MEME  EST   AUSSI   NÉCESSAIllEMEiV T  UNIFOllME. 

En  eftél,  il  s'agit  de  démontrer 


/ 


(ff(.^^  y)  =  o> 

pour  un  contour  fermé  C  à  l'intérieur  de  D.  Mais  G  forme  la  limite 
entière  d'une  certaine  aire  qui  fait  partie  de  D,  et  pour  cette 
aire-là 


//; 


dx  dy 


dx  dy 

a  une  valeur  finie,  qu'on  peut  évaluer  de  deux  manières  en  inté- 
grant d'abord  par  rapport  à  x  ou  à  jk;  on  trouve  ainsi 


/ 


"^f ./..      ...  C  '^f 


—  dy         ou         —   ;    -^  dx  (sur  le  contour  C  ), 

Ov  .fax  ' 


<^y 


et  ces  résultats  étant  égaux 

/    Ox^''^'à^  '^■^'  ^  /  '^'^^■^''  -^"^  =  °'  ^-   "^^    •'•   ^• 

D'après  ce  théorème  même  il  n'' existe  pas  une  fonction  f\x^  y) 
non  uniforme  dans  D  et  dont  les  dérivées  partielles  seraient  uni- 
formes. 

Mais  considérons  un  domaine  D  qui  n'est  pas  à  contour  simple. 
Si  je  considère  un  point  ^{x,  y)  dont  les  coordonnées  polaires 
sont  /■  et  8,  on  ne  peut  se  refuser  à  admettre  comme  fonctions 
de  x.,y  les  expressions 

S{x,  y  )  =  r  cos  -  0. 
La   première  est  finie  dans  D...,  mais  elle  n'est  pas  uniforme, 


334  CORRESPONDANCE    D'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

si  P  décril  le  contour  fermé    PQRP,  f{x,j')  augmente  de   au. 
Cependant,    comme   les  diverses  déterminations   de  y^(^,  jk)  ne 


diffèrent  que  par  des  constantes,  vous  voyez  que  les  dérivées 
partielles  ^->  y-  sont  uni/ormes  dans  D. 

La  fonction  .f. ..  est  une  fonction  non  uniforme  d'une  autre 
nature,  ...  elle  admet  deux  valeurs  qui  se  distinguent  par  le  signe 
seulement,  etc. 

Du  reste,  si  les  analystes  n'ont  peut-être  pas  fait  beaucoup 
attention  à  ces  fonctions  réelles  de  deux  variables  non  uniformes, 
mais  dont  les  dérivées  partielles  peuvent  être  uniformes  (cepen- 
dant cela  seulement  dans  un  domaine  D  qui  n'est /?rt5  à  contour 
simple),  les  physiciens  (M.  Helmholtz)  en  étudiant  le  mouvement 
des  liquides  ont  été  amenés  aussi  à  reconnaître  l'existence  de  ces 
fonctions  dans  le  cas  de  trois  variables  x^j\  ^  (')• 

Voici  la  généralisation  du  théorème  de  M.  Kronecker  pour  le 
cas  de  l'espace. 

Si  une  fonction  /"(a:,  r,  z)  admet  des  dérivées 

^,     ^",     ^l, 
Ox        ày        dz 

qui  sont  uniformes  dans  un  domaine  D  et  admettent  encore  des 
dérivées  finies  (du  second  ordre  de  y"),  alors  la  fonction  /  elle- 
même  est  nécessairement  uniforme  dans  D. 


(')  Voir  le  iSléinuiie  d'ilelmholtz  itiséré  au  t.  55  du  Journal  de  Crelle. 


LETTRE   167.  335 

Poiu"  préciser  : 

On  dit  que /est  uniforme  dans  D  lorsque 


/ 


d.f{.on,  y,  z)  =  o, 

l'intégrale  étant  prise  sur  une  courbe  fermée  à  l'intérieur  de  D. 

Mais  ce  théorème  n'est  vrai  que  si  l'on  suppose  que  le  domaine  D 
est  de  telle  nature  que  chaque  courbe  fermée  tracée  dans  D  peut, 
par  un  changement  continu  et  sans  sortir  du  domaine  D,  se  ré- 
duire à  un  cercle  infiniment  petit.  Gela  a  lieu,  par  exemple,  si  D 
est  l'intérieur  d'une  sphère  ou  encore  l'espace  compris  entre  deux 
sphères  concentriques. 

Mais  cela  n'a  plus  lieu  si  D  est  l'espace  à  l'intérieur  d'un  tore. 
Dans  un  tel  cas,  M.  Helmholtz  a  remarqué  l'existence  de  fonc- 
tions non  uniformes,  mais  dont  les  déterminations  ne  diffèrent 
que  par  des  constantes,  en  sorte  que  les  dérivées  partielles  sont 
uniformes,  tout  à  fait  comme  la  fonction  y(.r,  j)/)  =  8  de  tout  à 
l'heure. 

Du  reste,  le  même  exemple  peut  servir;  en  posant 

0  étant  la  longitude  du  point  i^x^y^  c),  c'est-à-dire  l'angle  du  plan 
passant  par  l'axe  du  tore  et  du  point  {^x^y^  z)  avec  une  de  ses  po- 
sitions particulières. 

11  est  à  remarquer  que  si  l'on  prenait  la  même  fonction 

dans  le  cas  de  l'espace  compris  entre  deux  sphères,  cette  fonction 

ne  satisfait  plus  aux  conditions,  car  l'axe  qui  sert  à  déterminer  les 

longitudes  passe  alors  en  partie  par  le  domaine  D  et  en  ces  points  8 

devient  indéterminé  y,  ce  qui  n'arrive  pas  pour  le  tore.  Et,  en  effet, 

comme  je  l'ai  dit  pour  l'espace  compris  entre  deux  sphères  con- 

,      ,  ,     ,  ,.  n      •/>        •   ,  \     àf    df    df 

centriaues,  le  théorème  a  heu  et  1  uniiormite  de  -^»  -— -,  —  entraîne 

^        '  dx     oy     àz 

l'uniformité  de  f. 

Y  et  les  dérivées  partielles  cessent  d'être  Jiiiies  et  con- 
tinues. 

J'ai  pu  perfectionner  beaucoup  ma  méthode  d'approximation  de 


336  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 


rinlcgraie 


f''  lifl 


dx{^). 


En  etîel,  ma  première  méthode  conduit  à  une  expression 
approchée  avec  le  terme  complémentaire 

R»=      ..     .,  '       ,       l"-^^d. 

où 

fnix)  =fix)[m  —  '^(ir)]-2[(mi  —  9' J?)]-.  .  .[/n„_i  —  'f  (^)]-. 

Je  remarcpie  que  cette  expression  peut  se   mettre  sous  la  forme 

(I)  R«=  /    ^V-^(i-^^i?  ^- ^2 ?■  +  •••  + •^"?")-^-^- 

Dans  ma  nouvelle  méthode,  je  considère  directement  cette  ex- 
pression qui  est  une  forme  cpiadratique  de  x^^  x-,,  ...,  x,i.  Je 
détermine  ^,,  . .  .,  x,i  par  la  condition  que  R/,  soit  minimum.  En 

posant 

D\\.  „  =  I  -i-  j"i  9  -T- .  .  .  -H  a;,j  es", 

les  conditions  sont 


2)  f  /ix)D]1„'^'^-'  dx         (A=i,  i, 


n), 


ou  plus  explicitement 

I    Co      -H  Cl  a-  -H.  .  .-I- c„       J"„=o, 

le,      -h  c.>:ri-t-.  .  .-1- c„+i   .r„  =  o,  r'    . 

(3)         '  cx=   /     j{x)^ 

I     '  «^a 

[    0,1-1-+-  c„J^, +  . .  .+  C2„_i.r„=  o. 


''"  f/a;, 


Le  déterminant  de  ce  système  linéaire  est  positif  et  différent  de 
zéro,  c'est  en  même  temps  le  déterminant  de  la  forme  quadratique 
définie  et  positive 

/     fi-^)  'f  (^)(-^i  -i-  X.20  -\-  .  .  .-\-  x,ii^"-^ }-  dx. 


(  '  )  Ce   passage  se  rapporte  à  la  lettre  de  Stieltjes  qui  manque,  signalée  plus 
haut.  (A'o/e  des  éditeurs.) 


LETTUE    1G7. 

Les  Xi  étant  ainsi  déterminés,  on  a 


337 


R„  =   /     ■LJlL  01^    (  I  _^  ^  cç  _i_  .r,  cp2  + .  .  .  -4-  xn  cp«  )  dx^ 

mais  les  termes  avec  x^,   ...,x,i  disparaissent  en  vertu  des  rela- 
tions (2);  donc 

R„==  f  J1^0]l„dx, 

r''  fix) 

Kn  =    /       ^— ^  (1  -h  :r,  ç  -H.  .  .  -H  XnY')iix, 


R«  = 


Soit  donc 

(4) 

on  aura 


dx  -H  :?]  Cq  -I-  a"2  Cl  + . .  .  ■+•  Xn  C,i^\. 


(:r,Co-f-.  .  .+  Xi,Cn-\)., 


J.     ?(^) 


les  équations  (3)  et  (4)  donnent 


K„- 


Cii  —  \      c,i 


•  ■  ■        C,i^i 

Cl 

C) 

•  •      c„ 

.  .  .        Cn 

C2 

C3     • 

c„ 

■        C,,,-! 

■  ■  ■        C2,,_, 

ce  sera  l'expression  approchée  par  défaut.  On  doit  avoir  évi- 
demment K„>R„_);  et,  en  effet,  en  considérant  la  différence 
Rrt  —  K,^_,,  on  arrive  (à  l'aide  des  relations  entre  les  mineurs  d'un 
déterminant  symétrique)  à  mettre  K„  sous  la  forme 


B,        B,B2  B,;_,  B„ 


A„  = 


Cn-i 

Cn 

'             B„  = 

Cl„-2 

C,        0-2 
Ci       C3 


Soit 


Ja       ?(^ 


) 


§2  «?a7, 


338  COURESPONDANCE    d'HERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

les  coefficients  A,,  . . .,  ku  étant  arbitraires,  on  a 


donc 

R  _   R„  =    Ç    4^  (  ^  —  3rL„  )2  f/x  >  O, 

montrant  que  R^  est  réellement  minimum. 
D'après  cela,  si  je  considère 

r''  fix) 

et 

r''  f(x) 

il  est  clair  que 

'a       T 


)  dx 


Jn         T(^) 


C  étant  une  constante  quelconque.  Mais  si  m  et  M  sont  les  valeurs 
extrêmes  de  cp,  et  si  je  prends 


2 

C  = 


l  !•  '  /^         \  ..  •  5  /    1^^    '^  \  "'  1 

le  lacteur  (i  —  ^'f  )"  '^e  varie  qu  entre  o  et  (  -^^ I  ?  donc 


Al  +  m 

>  (1  pt  ( 

M  -H  m 


de  même 


,  M  —  m  \  - 


'  M  +  my    ./,     cp(ar) 


donc 

limR„=  o. 


LETTRE    107.  339 

Un  cas  particulier  intéressant  est 

?.(-f)  =  z  —  x, 

z  constante.  Alors  vous  vojez  directement  par  les  conditions  (2) 
que  dXLn  ne  diftère  que  par  un  facteur  constant  du  dénomina- 
teur ^ii{x)  de  la  fraction  continue  pour 

donc 

on    _Mf) 

puisque,  pour  z  — .r' =z  o,  d\\„  doit  se  réduire  à  l'unité.  D'autre 
part,  la  valeur  de  K„  est 

K„=  f'IMdx  -!{,,=   f'JA^Ui-dKn)dx, 
c'est-à-dire 

c'est-à-dire  que  K«  est  simplement  la  réduite  d'ordre  n  de  la  frac- 
tion continue  de 


V(^) 


IB 


dx. 

X 


On  voit  par  là    que    le    terme  complémentaire    de    la    réduite 
d'ordre  11  est  R«  minimum  de 


r   '^■'^^    r  /  N 

/      ^ [i  -I-  a"i  (^  —  x)  ^ ...-{-  x„{z  —  x)"\^  dx. 

Tant  que  les  limites  a  et  b  sont  finies,  la  démonstration  de 

lim  R„  =  o 

s'applique  et  montre  que  la  fraction  continue  est  convergente  vers 
la  valeur  de  l'intégrale.  Le  résultat  relatif  au  terme  complémen- 
taire de  la  fraction  continue  est  nouveau  peut-être,  il  l'est  en  tout 
cas  pour  moi. 


34o  CORRKSPONDANCE    d'hEHMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Mais  vous  vojez  qu'il  serait  intéressant  de  prouver  liniR„^  o, 

même  dans  le  cas  que  —  =  o.  On  prouverait  alors  en  même  temps 

la  convergence  de  la  fraction  continue  dans  le  cas  où  la  limite 
Z>  =  oc.  C'est  ce  que,  jusqu'à  présent,  on  n'a  pn  faire,  en  général, 
quoique  pour  certains  cas  particnliers  comme  f(x)  =^  x''~'  e~'^  la 
convergence  peut  se  démontrer  par  d'antres  considérations. 

Ayant  trouvé  par  ce  qui  précède  un  nouveau  point  de  vue.  .  .  je 
veux  nn  peu  réfléchir  là-dessus  avant  de  publier  ces  recherches 
que  je  mettrai  volontiers  à  la  disposition  de  M.  Camille  Jordan. 

J'espère  que  votre  aversion  pour  l'Analyse  passera.  Sans  doute 
un  tel  état  d'esprit,  qui  ne  m'est  pas  inconnu,  est  ordinairement  le 
résultat  d'une  trop  grande  fatigue. 

Je  vous  renouvelle,  cher  Monsieur,  l'expression  de  mes  senti- 
ments tout  dévoués. 


168.  —  HERMITE  A   STIELTJES. 

Paris,   i6  février  1889. 
Mon   cher   Ami, 

Votre  nouveau  point  de  vue  pour  obtenir  l'approximation  de 

•-^Ç—  flx  constitue  un    très  heureux  et   très   erand 

..     ?(^) 

progrès,  votre  analyse  devient  ainsi  plus  lumineuse  et  je  ne  puis 
assez  vous  dire  avec  quel  plaisir  j'ai  vu  l'application  cjue  vous 
faites    au    cas    de    .5(.r)  =  ;  —  x^    en   établissant    d'emblée    que 

011^^^  'ÏH—^K  cp„(x)  étant  le  dénominateur  de  la  //"'"*  réduite  du 

développement  de  l'intégrale  en  fraction  continue.  Personne,  cei^- 
tainement,  n'a  obtenu  ce  résultat  extrêmement  remarquable,  que 
le  terme  complémentaire  de  cette  réduite  est  le  minimum  de 
l'expression 

f  /l^r,  + j.,(^_;r)-4-..  .^xJz  —  x)"YdT; 

je  ne  sache  pas  non  plus  qu'on  ait  démontré  que  la  limite  soit 
nulle  pour  n  infini.  Quand  vous  aurez  rédigé  le  Mémoire  que  vous 


LETTRE    168.  341 

préparez  sur  celte  question,  ne  pensez-vous  pas  en  détacher  cette 
conclusion  dans  une  Note  pour  les  Comptes  vendus? 

Gi'âce  à  vous,  les  ténèbres  de  mon  esprit  commencent  à  se 
dissiper  au  sujet  des  fonctions  de  deux  variables  et  de  la  façon 
dont  il  faut  les  définir  en  tant  qu'uniformes,  lorsqu'on  envisage 
seulement  les  valeurs  réelles.  Les  exemples  que  vous  me  donnez 

en  considérant  l'angle  polaire   0,  et  la    quantité   /"cos-?    comme 

dépendant  de  x  et  y  sont  extrêmement  lumineux,  et  vous  me 
faites  voir  aussi  très  clairement  comment  la  question  se  complique 
lorsqu'on  considère  certains  domaines  à  l'égard  des  fonctions  de 
trois  variables. 

En  vous  priant  de  me  rectifier  si  je  fais  erreur,  je  vous  deman- 
derai encore  si  l'on  peut  dire  que  la  condition  nécessaire  et  suffi- 
sante pour  que  f\x,y)  soit  uniforme,  dans  un  domaine  D  à  contour 
simple,  c'est  que  la  fonction  reprenne  la  même  valeur  lorsque  les 
variables  étant  supposées  représenter  les  coordonnées  d'un  point 
de  D,  ce  point  revient  à  sa  position  initiale  après  avoir  décrit  un 
contour  fermé  quelconque  contenu  à  l'intérieur  de  D.  Puis,  peut-on 
en  conclure  que  cette  condition,  remplie  à  légard  de  f[x,y)^  est 
remplie  nécessairement  pour  toutes  les  dérivées  partielles?  Ou 
bien    doit-on   prendre    pour   définition   d'une  fonction   uniforme 

l'équation    /  cl  f(^x^  y)  ■=■  o  pour  un  contour  fermé  G  à  l'intérieur 

de  D,  en  admettant  que  la  fonction  soit  continue  et  finie  à  l'inté- 
rieur de  D? 

C'est  ce  que  vous  faites  à  l'égard  des  fonctions  de  trois  variables, 
mais  je  resterai  dans  le  cas  de  deux  variables  seulement,  et  alors 
il  me  semble  bien  qu'une  fonction  doit  être  considérée  comme 
uniforme  alors  même  qu'on  admettrait,  à  l'intérieur  de  D,  des 
lignes  pour  tous  les  points  desquelles /( .27,  jk)  serait  infinie,  et  des 

points  isolés  qui  lui  feraient  prendre  une  valeur  indéterminée  -■ 
^  ^  o 

La  circonstance  qu'il  existe  de  telles  lignes  et  de  tels  points  n'em- 
pêche aucunement  que  la  fonction  reprenne  la  même  valeur 
lorsque  les  variables  décrivent  des  contours  fermés  qui  les  ren- 
contrent ou  les  comprennent,  mais  il  faut  absolument  renoncer  à 

l'équation   /  d  f{x^  y)  =  o  dans  ce  cas. 


3/(2  CORRESPONDANCE    d'hEUMITK    ET    DE    STIHLTJES. 

J'espère  que  vous  comprenez  bien  que  j  incline  à  trouver  pré- 
férable une  tlélînition  qui  s'applique  au  quotient  de  deux  fonctions 
entières;  en  tout  cas,  je  serais  lieureux  de  recevoir  vos  avis  sur  un 
sujet  de  si  grande  importance  et  auquel  je  n'ai,  pour  ainsi  dire, 
jamais  songé  jusqu'ici. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mes 
meilleurs  sentiments. 

169.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse.  19  février  1889. 
Cher   Monsiei  r, 

Il  me  semble  qu'il  existe  peut-être  un  léger  malentendu  entre 
nous  concernant  la  définition  de  l'uniformité  d'une  fonction  réelle 
de  deux  variables. 

Dans  les  conditions  où  l'on  se  place  de  l'existence  (en  général) 
des  dérivées  partielles,  la  valeur  de 


/  df[x,y), 


étendue  le  long  d'une  courbe  AB,  ne  peut  être  que 

fix..  yi)  —  fix^,  pi) 
et  par  là  il  est  clair  de  dire  que 


f' 


sur  un  contour  fermé  C,  ou  bien  dire  que  ./(^,  ))  revient  à  sa 
valeur  initiale  si  l'on  parcourt  la  courbe  C  est  exactement  la  même 
chose,  et  cela  indépendamment  des  singularités  qui  peuvent  exister 
ou  non  à  l'intérifîur  du  contour. 

Et  il  semlde  aussi  clair  que  si  f[x,  y)  est  uniforme  dans  un 
certain  domaine,  cela  entraine  nécessairement  l'uniforuiilé  des 
dérivées  partielles.  Mais,  si  l'on  voulait  insister  sur  une  explication 
là-dessus,  je  crois  que  l'on  pourrait  raisonner  ainsi  qu'il  suit  :  Je 

•  j ■>  j-/  \         à  f( X,  y) 

considère  /(.r,  y)  et         .         • 


LETTRE    169. 


343 


Faisons  parcourir  au  point  (a?,  y)  la  courbe  ABCDA  dont  la 
partie  DAB  est  recliligne  et  parallèle  à  l'axe  des  X. 
On  part  de  A  avec  des  valeurs  finies  de 


au  point  A  (a^o,  JKo) 


et  de 


df(  ce,  y) 


â.r 


=  Q. 


Or  la  valeur  de  Q  est 


Q  =  lim 


f(xo  -4-  h,  jKo)  —  fixo,  Xo  ) 


A  proprement  parler,  il  faudrait  prendre  h  positif,  mais,  d'après 


l'existence  même  dune  dérivée  partielle,  on  doit  obtenir  la  même 

valeur  de  Q,  même  en  prenant  h  négatif. 

Or,  si  l'on  a  parcouru  le  contour  ABCDA,  on  revient  encore 

en  A  avec  la  même  valeur  P  d'après  l'hjpothèse  de  l'uniformité. 

Si  donc  on  applique  maintenant  de  nouveau  la  définition  de  la 

dérivée  partielle  pour  savoir  ce  qu'est  devenue  cette  dérivée,  on 

obtient  encore 

f(  .r „  -L-  h ,  r 0  )  —  /''  .'^n ,  ro  ~) 
lini  ■ '■ — ; '■ > 


identique  avec  la  définition  de  Q.  Sommairement,  comme  dans 
l'hypothèse  de  l'uniformité,  f{x,  y)  n'a  qu'une  seule  branche,  il 
en  est  de  même  de  toutes  ses  dérivées  partielles,  par  le  fait  même 
qu'une  fonction  bien  déterminée  n'admet  pas  plusieurs  dérivées, 
ou  autrement  :  la  définition  des  dérivées  ne  laisse  pas  place  à  une 


ambiguïté. 


Ainsi,  il  peut  très  bien  arriver  qu'une  fonction  soit  uniforme  et 
admette    cependant   des    singularités.    C'est   ce    qui    arrive,    par 


344  CORKESPONDANCK    d'hERMITE    ET    DE    STIEI.TJKS. 

exemple,  à  l'origine  [x  =  o,  y  =  o)  pour  les  dérivées  partielles  de 
cette  fonction 

/{x,  y)  =  @,  par  exemple 


Ces  dérivées  sont  uniformes,  mais  discontinues  à  l'origine.... 
Ces  exemples  montrent  que  le  théorème  de  M.  Kronecker  n'est 
pas  une  banalité. 

Je  vous  avouerai  que  je  n'ai  d'abord  rien  compris  au  premier 
passage  où  M.  Kronecker  énonce  son  théorème.  En  effet,  l'essence 
du  théorème  est  d'affirmer  l'uniformité  de  la  fonction  comme 
conséquence  de  l'uniformité  de  ses  dérivées  partielles  (sous  cer- 
taines conditions  restrictives).  Or,  par  inadvertance,  M.  Kro- 
necker a  d'abord  énoncé  son  théorème  en  comprenant,  parmi  les 
conditions'à  imposer  k/{x,y)  Vuniformité  de  cette  fonction!! 
Et  comme  il  est  très  succinct,  je  me  suis  inutilement  effoixé  à 
pénétrer  dans  le  vrai  sens  de  ces  quelques  lignes.  C  est  seulement 
après  la  lecture  de  sa  seconde  Note  {^Berliner  Monatsb.,  i885, 
p.  780)  que  j  ai  compris  son  idée.  11  j  redresse  aussi  l'inadvertance 
qui  s'était  glissée  dans  son  premier  énoncé  de  1880. 

Il  n'en  reste  pas  moins  vrai  qu'on  doit  appliquer  avec  beaucoup 
de  circonspection  certains  théorèmes  généraux  sur  les  fonctions 
de  deux  variables.  J'en  ai  rencontré  cet  exemj)le.  Soit 

J-     ■.        1  —  5 

Vous  verrez  directement  que  sur  le  cercle  de  rajon  1   autour  tle 
l'origine  y(z)  est  purement  imaginaire  : 

Si  donc  je  considère  la  partie  réelle  de  /"(s) 

\  —  x-^—y^ 

j'ai  là  une  fonction  qui  satisfait  à 

Ô-  'S  ()-  o 

dx-         dy- 

et  qui  s'annule  sur  le  cercle  C.  Or,  d'après  un  théorème  général, 


li;ttre   169.  345 

une  telle  fonction  cp  ne  peut  s'annuler  sur  nn  cercle  (ou  contour 
fermé  quelconque)  sans  s'annuler  aussi  à  l'intérieur  du  contour. 
Le  théorème  semble  ici  en  défaut,  mais  la  raison  est  celle-ci  :  la 
fonction  '■p(^,  y)  présente,  au  point  x  =^  ^  i ,  y  =  o  sur  le  cercle 
une  indétermination  et  l'on  ne  peut  pas  dire,  à  proprement  parler, 
qu'elle  s'j  annule.  On  peut  s'approcher  de  ce  point  de  telle  façon 
que  o  tende  vers  une  limite  quelconque.  Mais  vous  vojez  qu'il 
suffit  de  bien  peu  de  chose  pour  mettre  le  théorème  hors  d'usage. 
Il  en  est  de  même  pour  le  théorème  de  Gauss,  que  si  sur  une  sur- 
face fermée  dans  l'espace  on  a 

cp(r,  y,  z)  =  const., 

la  fonction  es  satisfaisant  à  l'équation  de  Laplace 

d-  *        û-  cp        â^  9 

dx-        ôy'-        dz^  ' 

on  a  aussi,  à  l'intérieur  de  cette  surface, 

o  =  COIlSt. 

Une  simple  indétermination  sur  la  surface  suffit  pour  détruire  le 
théorème. 

Permettez-moi  de  vous  demander,  en  terminant,  un  renseigne- 
ment. Dans  le  Jouinal  de  Crelle,  t.  iO,  p.  y.96,  vous  vous 
exprimez  ainsi  : 

«  Ce  qui  précède  indique  suffisamment  une  infinité  d'autres 
conséquences  analogues,  qui  toutes  viennent  dépendre  de  la 
recherche  difficile,  d'une  limite  précise  du  minimum  d'une  forme 
définie  quelconque.  Là-dessus  je  ne  puis  former  qu'une  conjecture. 
Mes  premières  recherches,  dans  le  cas  d'une  forme  à  n  variables 

n  — 1 

de  déterminant  D,  m'avaient  donné  la  limite  (4)  V^D  ;  je  suis 
porté  à  présumer,  mais  sans  pouvoir  le  démontrer,  que  le  coeffi- 


cient numérique  (  i  j         doit  être  remplacé  par  — 


v//i  -t-  I 

Je  demande  :  a-t-on  été   plus  loin  depuis  et  votre  limite  pré- 
sumée —    "       .  l'a-t-on  déjà  établie  rigoureusement? 

V /i  -t-  I 


3)6  CORUESPODANCE    T)'llERMlTE    ET    DE    STIELTJES. 

Dernièrement,  j'avais  à  considérer  une  question  où  il  m'impor- 
tait d'avoir  la  limite  exacte,  aussi  petite  que  possible.  J'ai  cherché 
un  peu  partout,  mais  je  n'ai  pas  trouvé.  Vous  pourrez  certaine- 
ment me  dire  ce  qui  en  est. 

Veuillez  bien  accepter,  cher  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de 
mon  entier  dévouement. 

P .  S.  — •  Je  vous  enverrai  sous  peu,  d'après  votre  permission, 
une   Note   pour   les    Comptes   rendus   sur   la   fraction    continue 

pour    / nx. 

170.  —  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  21  février  1889. 
Mon   r.HF.Ti    Ami, 

Je  n'ai  pas  chez  moi  la  collection  des  Mathematische  A nnalen , 
ce  qui  m'empêche  de  répondre  avec  une  entière  précision  à  votre 
demande,  je  dois  me  borner  à  vous  renvoyer  aux  Tables  de 
matières  où  vous  trouverez  l'indication  d'articles  de  M.  Korkine 
et  de  M.  Zololareft'sur  la  recherche  d'une  limite  précise  du  mini- 
mum d'une  forme  quadratique  définie.  On  a  établi,  je  crois  me  le 
rappeler,  que  ma  limite  présumée  ^  est  inexacte,  et  l'on  a 

démontré  (MM.  Korkine  et  ZolotarefT)  que,  pour  une  forme  réduite 
à  quatre  indéterminées,  le  produit  AA)  A0A3  des  coefficients  des 
carrés  satisfait  à  la  condition  A  A,  Ao  A3  ^4D.  A  cette  occasion,  j'ai 
été  en  correspondance  avec  les  auteurs,  et  je  leur  ai  communiqué 
une  nouvelle  méthode  pour  établir,  à  l'égard  des  formes  ternaires, 
la  condition  A  A,  Aj^aD,  mais  leurs  principes  me  semblent  plus 
féconds  et  d'une  plus  grande  portée  que  le  mien. 

Je  vais  réiléchir  sur  les  choses  excellentes  de  votre  lettre  concer- 
nant l'uiiiforinilé  des  fonctions  de  deux  variables;  le  cas  d'excep- 
tion oHert  |)ar  'S)(x.  y)  =  ^ ■ —  mérite  extrêmement  d'être 

signalé;  j'en  parlerai  à  Picard,  à  moins  que  vous  ne  désiriez  vous 
réserver  la  remarque  que  vous  avez  faite. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mon  affec- 
tion bien  dévouée. 


LETTRE    171.  347 

171.  —  HERMITE  A   STIELTJES. 

Paris,  3  mars  1889. 
Mon    cher   A:\ri, 

En  revenant  ànn  JDien  triste  voyage  en  Lorraine,  oii  j'ai  été 
appelé  par  la  mort  d'un  de  mes  parents,  j'ai  trouvé,  dans  le  dernier 
cahier  du  Jouinal  de  M.  Jordan,  votre  beau  travail  sur  le  déve- 
loppement de 

[  R"-  —  2  R  r  cos  u  cos  11!  cosf-r  —  a^')  -1-  sin  m  sin  u'  sin  (y  — y)  -H  /-^J-i 

que  je  lis  avec  le  plus  grand  intérêt.  Pour  que  vous  n'en  doutiez 
point,  permetlez-moi  de  vous  dire  comment  j'abrégerais  un  peu  la 
recherche  de  la  formule  (16),  au  moyen  de  l'identité  élémentaire 

X  -^  Y         X  —  Y 

ç,o%x  H-  COS  y  =  2  cos ^  cos ^  • 

•^  22 

On  a  d'abord 

.r-f-r\"      ^  ,  r{x  -\- y) 


=   2,  '^i  >t1n-r  C0< 


X  -+-  v\"      -"^     ,     -,  (  /i  —  -ir)  (t  -^  y) 

2  cos  —\     =     >     2(/i),.  cos ^^—  ■ 


OU  encore,  en  changeant  /•  en  n  —  ar, 
puis  semblablement 

=  ^-2(ft),vCOS -^ ■— 


Soit,  pour  un  moment,  a  ^=  n  —  a/-,  h  ^  n  ■ —  25,  il  viendra  en 

multipliant 

V     /        ,     ^           a( X  ->^  V)         b( X  —  y) 
2"  (cos  37 -f- cos  r)"  =   >   4( /^  ),.( /i)^.  cos — —  cos ^ 

Cela  étant,  je  change  y  en  — r,  et  j'ajoute  membre  à  membre  en 
divisant  par  2.  On  trouve  facilement 

a{x -\-  y)         b(x — y)               a(x — v)          b{x-+-y) 
cos '■ —  cos ^ 1-  co* •—  cos '■ — - 

2  2  2  2 

a  -^  b  a  —  b  a  —  b  a  -^  b 

=  cos X  cos y  -t-  cos X  cos y . 


348  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    El     DE    STIEI.TJES. 

On  a  ensuite 


b                                  a  —  b 
—  =  «  —  /•  —  s,  


de  sorte  qu'il  vient,  pour  le  développement  cherché, 

2"(cos3^  -t-  cosjk)'*=  'SL-2{n),.{n)s  [      cos(/i  —  /•  —  s)x  co?>{s  —  i-)y 

-i-cos(/i—  /•  —  s)yco%(s  —  r)x], 

où  les  entiers  r  eX  s  parcourent  la  série  o,  i,  2,  .  . .  jusqu'à  l'entier 

contenu  dans  -• 

■i. 

Je  ne  puis  assez  vous  dire  combien  j'ai  vu  avec  plaisir  l'extrême 
élégance  et  la  simplicité  de  votre  analyse,  dans  une  recherche 
difficile  et  profonde,  qui  conduit  si  aisément  à  un  résultat  impor- 
tant et  très  caché. 

J'ai  peu  travaillé  pendant  ces  dernières  semaines,  M"^  Hermite 
ayant  été  malade  d'une  bronchite  quia  donné  quelque  inquiétude, 
mais  dont  elle  est  maintenant  guérie,  et  je  pense  pouxoir  me 
remettre  à  l'œuvre. 

En  vous  priant  de  m'autoriser  à  annoncer  à  M.  Jordan  les 
recherches  que  vous  m'avez  communiquées  sur  les  fractions 
continues,  auxquelles  j'attache  un  grand  prix,  je  vous  renou- 
velle, mon  cher  ami,  l'assurance  de  mes  sentiments  affectueux 
et  bien  dévoués. 


172.     -  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  6  mars  1S89. 
Cher  Monsieur, 

Je  vous  remei'cie  vivemexat  pour  votre  bonne  lettre;  veuillez 
bien  être  assuré  de  la  part  que  je  prends  au  deuil  qui  vient  de 
vous  frapper.  Je  vous  prie  aussi  de  vouloir  bien  me  rappeler  au 
souvenir  de  Madame  Hermite.  Votre  méthode  d'établir  le  déve- 
loppement de  2"(cosx  +  cosy)"  est  certainement  ce  qu'il  y  a  de 
plus  simple.  Je  me  rappelle  que  M.  Tisserand,   dans  un  de  ses 


LETTRE    172.  3/49 

Mémoires,  se  sert  aussi  de  la  décomposition 


.r  -I-  K         X  —  y 
coscr  -+-  cos  V  =  -i  cos  — —^  cos ^ 


mais  sa  méthode  est  beaucoup  moins  simple  parce  qu'il  n'a  pas 
eu  l'idée  heureuse  de  changer  y  en  — y  et  de  prendre  la  demi- 
somme.  Mais  cette  transformation 

a(T  -i-  y)         b(x  —  y)               a(x  —  y)         b(x  -\-  y) 
cos  ^ ^—  cos ^^-^  -4-  cos —  cos ^^-— 

1  l  2  2 

(a  +  b)x         (a  —  b)y               (a  —  b  )t         (a  -\-  b)y 
=  cos —  cos — i-  cos cos ~ 


est  jolie  et  un  peu  cachée. 

Je  pense  toujours  aux  fractions  continues.  Soit  /(/<)  une  fonc- 
tion qui  ne  devient  pas  négative  et  telle  que 

ca- =   /      u''f{u)  du         (A' =  o,  I,  2,  3,  ...), 
ait  une  valeur  finie.  Alors  pour  ^  >-  o 

/    ^  Z"""    /"<"'       7  ^0  ^'  ,C„-l  C^       W'fill) 

( I )  /       ' c/u  = -H .  .  .  ± q=   / du. 

J        X  -\-  U  X         x-  X-'  J        x"-{x  -^  u) 

On  a 

C\      ^    C-2  C„  +  i     ^    C„-i-j 

Co  Cl  C,i  C,i-hl 

et  ce  rapport     ""^'  croît  au  delà  de  toute  limite.  La  série  (i)  est 

donc  divergente,  si  l'on  voulait  la  continuer  indéfiniment;    ce- 
pendant. .  .  elle  permet  de  calculer  l'intégrale 


-r 


/  (  u  )  du 


avec  une  certaine  approximation  qui  dépend  de  la  valeur  de  x. 
Mais  je  transforme  la  série 


Cn  _  c^ 

X  X' 


350  CORRKSI'O.NDAXJE    DllERMlTt;    ET    DE    STIELTJES. 

en  fraclion  conlinue 


(2) 


«I 


/>, 


6., 


alors  tous  les  «/,  ^/  sont  positifs. 

Les  réduites  d'ordre  impair  diminuent,  une  telle  réduite  est 
toujours  supérieure  à  I. 

Les  réduites  d'ordre  pair  vont  en  croissant,  une  telle  réduite  est 
toujours  inférieure  à  L 

Donc  les  réduites  d'ordre  impair  tendent  vers  une  limite  A,  les 
réduites  d'ordre  pair  vers  une  limite  B  et 

La  fraction  continue  est  convergente  seulement  lorsque 

A  =  I  =  B 

(même  si  elle  n'est  pas  convergente  elle  permet  de  calculer  I  avec 
une  certaine  approximation  comme  la  série  divergente). 
Soit  R«  le  minimum  de 

//(  u  )  (  I  -f-  a-i  a  -r-  X.2,  u--^- .  .  .^  x,i  u"  y-  du, 

alors 

R,<  K,<R3<..., 

donc 

lim  R,j  =  X,  «  =  a;, 

et  A  est  positif  ou  nul. 

«   Pour  que  la  fraction  conlinue  (2)  soit  convergente  il  faul  et 

il  suffit  qu'on  ait 

À  =  o.  » 
Dans  le  cas 

f{u)  =  «"-ig-'!'", 

on  peut  calculer  facilement 

T  (a)  I .  '2 . 3 .  .  .  n 


R«  = 


b'^     (a-+-i)(a-i-a)...(a-t-n) 


LETTRE    172.  35l 

donc,  clans  ce  cas 

X  =  o         et         fraction  continue  convergente. 


ainsi  pour  b  ■=■  \ 

1 


ua-lg-u                        T(a) 
au  = 


pour  a  =  I  c'est  le  résultat  de  Laguerre  dans  le  Bulletin  de  la 
Société  Mathématique  de  France.  Mais  Laguerre  a  considéré 
seulement  les  réduites  d'ordre  pair  qui  donnent  des  limites  infé- 
rieures. 

A  étant  égal  à  o  dans  le  cas/(u)  =  u"~^e~^",  il  est  clair  qu'on 
aura  encore  }\  =:  o  dans  le  cas 

yjourvu  que  'f{u)  reste  inférieure  à  un  nombre  fixe,  et  la  fraction 
continue  est  encore  convergente. 

Mais  la  question  difficile  qui  m'occupe  encore  est  celle-ci  :  n'a- 
t-on  pas  toujours  X  ^  o? 

J'incline  à  le  croire  en  ce  moment  et  je  chercherai  à  établir  ce 
point.  Voici  encore  un  résultat 

log  V{x)  =  yx \  ioga-  — ■  x  ^ —  \o^it.  -\-  ]{x), 

Bi  B, 

i{x)=  — -' ..    .-       +.... 

i  .i.x        3 .  4  .  a:'"* 

On  peut  développer  J(^)  en  fraction  continue  convergente 
"'  =  '-''^'  J(^)  = ^ 

«2  =  ï    :  30,  ^  ^ ^2 


«3  =    53  :  2IO, 

«;  =  195  :  371 , 


a.; 

■11  999  :  li.  737,  ^  "+-  ^zp7 
,          les  a,  tous  positifs 


352  CORKESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELÏJES. 

et  celte  fraction  continue  remplace  avec  grand  avantage  la  série 
de  Stirling.  Pour  ^  ^^  i ,  J  (  ly  =  o  ,  08  i  06  i  . 

La  série.  La  fraction  continue. 

\a\.  app.  Corr.  \al.  ap|j.  Corr. 

o,o83  333  —  0,002  'jL-ji  0,08 3  333  —  0,002  272. 

0,080  t55  -f-  0,000  5o5  0,080  645  -^  0,000  4 16, 

0,081  349  —  0,000288  0,081173  —  0,000112, 

0,080  754  -+-  0,000  3o7  0,081  oiT)     -  0,000  045, 

o,oSi  081  — 0,000020. 

Si  une  fraction  continue  telle  que  (2)  où  tous  les  «/,  bi  sont  ])o- 
sitifs  est  convergente  pour  .27  =  />  >>  o,  alors  elle  est  toujours  con- 
vergente tant  que  x  ;>  o.  Mais  je  dois  réfléchir  encore  beaucoup 
sur  la  question  difficile  que  j'ai  indiquée  tout  à  l'heure. 

Votre  tout  dévoué. 


173.  —  STIELTJES  A   HERMITE. 

Toulouse,  le  i3  mars  i^ 
ChEK    MoKSlElU, 

En  développant  la  série  divergente 

\.i.x        3.4-^^        5.6.  a"" 
en  fraction  continue  convergente 

iix)  —  


«1   =  1:   12, 

ao  =  I  :  3o, 
a.-,  =  â3  :  210. 

ai,  =  195  :  371, 

«5-=  22999:  22737, 


la  loi  des  coefficients  r/,,  r/o,  . . .  semble  extrêmement  compliquée. 
Mais  j'ai  fait  la  remarque  que  la  théorie  de  la  fonction  F  fournil 
aussi  des  exemples  de  développements  en  fraction  continue  de  ce 
genre,  où  la  loi  des  coefficients  est  extrêmement  simple.  Soit 


LKTTRE  17:1.  353 

cl  considérons  les  expressions 

•'•=*(-^)^'KT)-'°»- 
^"■•='-«K^)-<^)-'°«4 

Les  développements  divergents  sont 

_  I         I         5         ^i     ,    1^83 
a        a^        «"         a'  a^ 

a        a'^        «■*         a''  «^ 

Ces  coefficients 

I ,      i ,     '> ,     G 1 ,     1 8  3  j . 

«ians  le  développement  de  .l>,  sont  ceux  que  1  on  rencontre  dans  la 

série 

I      ,         5      ,        fil     .        i38j     _ 

sec  a;  =  i :  x-  M-  -7  .r*  -h  -^  r**  h -y-  a-"  -;-... , 

2  ;  4  ■  *■'  •  "  • 

et  les  coefficients 

I,     2,      iG,     272,     793G,      ... 

sont  ceux  de  la  série 

'^     „       iG    .,      272    .       7f)36 

tanfra-  =  .r  -i-  ;—  r^  +  y-r  a-"  -t-  — z-X'  H p-a?J-H.  .  .  . 

o  !  5 1  7  !  9  ! 

En  développant  en  fraction  continue,  on  o!)lienl  les  cxpression> 
extrêmement  simples  (et  coitvcrgcnlcs) 

CAD   ^=^    : 


3'^ 


11'.,  = 


5.(1 

a  + . 


-  <7  H 

2  I 

—  rt  -4-  . 


354  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Il  me  semble  fort  probable  que  clans  le  développement  en  frne- 
tion  continue  de  J(^)  on  a  aussi,  comme  dans  les  iractions  con- 
tinues cjue  je  viens  de  décrire, 

,.    ««  .  /      '  -A  X 

hm  — -  =  consl.    .:=—-•  (  «  =  x). 

On  peut  directement  constater  la  convergence  des  fractions 
continues  ^%>  et  iib  à  l'aide  de  ce  théorème  (dû  à  Stern  et  à  Seidel). 
Une  fraction  continue 

I 


«1 


où  les  a  sont  >  o,  est  convergente  lorsque  la  série 

a,-;-  «2-^-  «3-1-  îCi^-  •  -, 
«-il  divergente.  Soit,  en  effet,  P«  :  Q«  la  /<'^""^  réduite,  on  a 

Qs  =  î^i  ^2  2t3 -I- ai -4- as, 


Q/t  =  a«  Q«-l  +  Q/;-2) 

)nc 

Qi<Q3<Q5<Q7<..., 

Q2<Qv<Q6<Q8<-..- 
Or,  on  voit  facilement  que 

Q2«-i>  2ti  -t-  aj-t-.  .  .—  a.>„-,, 


(a) 

(   Q2«>3ti(a2-i-ai-î-...-Ha2„), 

car  (^2/i-i   ^c  compose   des   termes  a,,   a;,,    ...,   a2«_i   et  d'autres 
encore.  De  même,  pour  Qa,,.  Or,  la  fraction  continue  est 


(U      Qi      Q.Qi      Q2Q3     ■■■     Q«-iQ« 

mais  si  la  série 

ai  -f-  a2-t-  a;j  -:   ... 

est  divergente,  il  est  clair  d'après  (a)  que  l'une  au  moins  des  quan- 


LETTRE     173.  ^5 

tités  Q2«_i    Qaw?   •••   croit    indéjiniment  cl   l'autre    croît   au^éi. 
Donc  la  convergence  est  manifeste.  Au  contraire,  si  la  série 


était  convergente,  le  produit  (i  H- a,)(i  +  a2)(i -h  as). . .  léserait 
aussi  et,  à  cause  de 

Q,;<  (I  -+-ai)(i  -t-  a.  ).  ..(n-a„), 

on  au  rail 

limQ.,„_i  =  A,         liinQ2„=B, 

A  et  B  étant  des  nombres  finis.  11  est  clair  alors  que  les  limites  de 

^  m  ,    1  *  iii-x 

l'I  de 


diffèrent  entre  elles  (eux),  la  différence  est  -t-ît' 

^  Ad 

A  l'aide  de  ce  théorème  on  reconnaît  sans  peine  la  convergence 
des  fractions  continues  (%,l.)  et  (i(î>). 

Veuillez  bien  agréer,  cher  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de 
mon  entier  dévouement. 

I* .  S.  —  On  peut  écrire  aussi 

1 
1 

A,  =  lo->., 
I 


loga  = 


if) 


la  /i"-'""=  réduite  de  la  fraction  continue  pour  log2  est 


•1       3       4  /i 


356  COURESPONDANCE    d'hKKMITE    KT    1)1-    STIELTJES. 

174.  —  Il  ERMITE  A  STIELTJES. 

l'aris,  l'i  mars  1889. 
Mon   c.HEii   Ami, 

J'avais  fait  grise  mine  au  déNclcippeincnl  df 

J(.r)  = 


I  .  ■>. .  37  ,)  .  4  .  T- 


en  fraction  continue,  à  cause  des  nombres  énormes  qui  figurent 
dans  r/,,  f/o,  (i%,  ...,  mais  vos  nouveaux  résultats  m'enchantent.  11 
me  semble  que  l'on  a 

/"°°         .  ,  ,         I     /"°  tan <r?.r  , 

ne  doit-on  ])as  sup]joser  a^\  dans  les  fractions  continues,  pour 
(|u 'elles  convergent? 

Où  et  quand  [)uljlierez-vous  l'analyse  qui  vous  a  donné  ces  for- 
mules si  intéressantes  et  si  nouvelles? 

On  m'a  demandé  un  article  pour  les  jMémoircs  de  Bologne  et 

j'ai  eu  ridée  de  le  composer  avec  des  applications  de  la  méthode 

I       ,•         •         i>  -    \        «■■'■        {"  -^  '')" 
(le    La|)lace,    a     la    fonction    Iv(.r)^-— +  • — ,,,_^^,      +  •  •  •  :    iuix 

cocfficienls  (bi  développement  suivant  les  [missances  de  a\  de 
su./',  de  Bi  (.r)  et  H|  (.r),  eu  dernier  lieu  à  Texpression  (pu- 
Lanlâce  a  trail(''e  lui-même 


l.J.  .  .(  l  —  I)'2'-'    l 


/■(  i  —  1  y  '^       / (  /  —  1) (  /  —  { )'-^ 


pour  a\()ir   l'occasion   d'abréger   et    de    siiuplilîer   un  |)eu  sa    mer 
\eilleuse  anaivse.  A  l'égard  de  K(.r),   je  donne  votre  l'oriuule 


h\\(.r  —  i)  x"' 

l(.r)  .^ 


''                    111-        1(1  II  -  \ 
...arclang-^^ —  ) 


4  n--ii- 


comme  vérification,  en  disant  (pTelle  a  «'•le''  ohteuue  sous  une  (oiine 
|.<'u  dilTérenle  j)ar  jM.  Lipsehil/  el  .AI.  Lercli  ;  mais  j"aiuierais  bien 


LETTRE    IT'l^.  357 

que  vous  me  disiez  s'il  ne  serait  point  juste  de  vous  citer,  e^i 
disant  que  vous  me  l'avez  communiquée. 

Je  vérifie  aussi  l'expression  asymplotiqiie  du  coefficient  tie  .r'-"  +  ' , 

dans  le  développement  tIe  snj:,  qui  est  i^/i.'>N2,t-n  ^  P''^"  ^^^le  re- 
marque bien  facile. 

Les  pôles  de  sn.r  étant /j>  =  2«RH- (2 /v  +  r)/K',  le  lliéorèmc 
de  M.  Mittag-Lelïler  donne 

K  sn  j-  =  G  C.r  )  -t-V  (  —  !)''(  — ' h   '-  +  —)=  A 

OÙ  il  est  aisé  de  voir  que  G"(j;)=rro.  Effectivement  les  dérivées 
secondes  de  deux  membres  sont  des  fonctions  doublement  pério- 
diques, donc  G"(;r)  est  une  constante,  et  cette  constante  est  néces- 
sairement zéro,  ces  dérivées  étant  des  fonctions  impaires. 

Cette  relation  donne,  pour  le  coefficient  de.r-"+',  l'expression 

2_}~T^r+h.  '  ^^  somme  se  rapportant  à  tous  les  entiers  a  et  h.  Or,  W 

j  a  deux  pôles  p  =■  /K'  et  />  =  —  i  K'  dont  les  modules  sont  égaux 
et  moindres  que  ceux  des  autres  pôles,  de  sorte  que,  pour  n  très 

grand,  on  a  sensiblement,  puisque  «  =  i ,  "-,.^^^^^  ;  pour  la  valeur  de 
la  somme  A. 

Mais  tout  moyen  de  vérification  m'échappe  pour  H|  (.!•)  el0,  (j:); 
voici  le  calcul  pour  la  premièie  de  ces  fonctions. 

La  série 

iT        N       'V     i/ — •'         nTy.x  ,    . 

Hj(  .r  )  =     >    '2  l/<7"'  COS — -  (  /l  =  I,  .J,   •),    .  ,  .), 

JKWli  ■->.  K 

donne  pour  le  coefficient  de ?  l  expression 

^  i  .1. .  .1111  ^ 

où  les  termes  vont  en  croissant  jusqu'à  un  maximum,  pour  dé- 
croître ensuite  indéfiniment.  Je  pose 

d'où 

loï  j{  Il  )  =  lin  loir/t  —  — -  ,      > 


358  CORRESPONDANCE    n'iIERMITE   ET    I)E    STIELTJES. 

])llis 

la  \aleiir  (Je  /?  ([iil  donne  le  maximum  esLclonc 

I  mK 


"■'-    .K" 

el  j  en  conclus 

log/(/i)  =  log(^-^^^^j     —m,         D;^log/(/0  =  - 

ttK' 
K 

(1(1(1 

log/,«  +  0  =  log(    ^^.  j          "'          .K    ' 

a\anl  ainsi 

/--o-fi':'^)'"-'..-"', 

ICxpression  asjmplolique  cherchée  est 

2(— 1)'"     /4/;?K\"'  ,    fïW 

—  ( )     <?~"'  1  / 

1  .2. .  .9, //*   \  T  K'  /  y     k' 


?.K/ 


puis,  pUis  simplemenl, 

i.2...v./n  VkK'/  V     i"^ 

t('m|)laçant  1.2..  .■^. /?«  par  sa  valeur,  je  trouve  enfin 


/      e-     \"'      /     K 
\\niW\x  J      \      m TT  K 

\  ous  vojez  que  c'est  assez  simple,  et  surtout  la  racine  />i"™*, 

qui  est,  à  fort  peu  près,  - — p-p-y:  il  me  reste  à  chercher  si  cette  loi 
'  ^        ^        '  4  "*I^1^ 

tie  décroissement  des  coefficients  s'accorde  avec  un  théorème  que 

Poincaré  a  donné  dans  le  Bullelin  de  la  Société  philomathique. 

Je  ne  puis  assez,  mon  cher  ami,  vous  remercier  pour  ce  que  vous 

m  avez  appris  sur  la  convergence  des  fractions  continues;  j'ignorais 

entièrement  le  théorème  de  Stern  et  Seidel  qui  est  excellent  el 

m'a  fait  le  plus  grand  plaisir.  En  comptant  que  vous  continuerez 

de  me  faire  connaître  ce  cjue  vous  découvrez  chaque  jour,  je  vous 

renouvelle   l'assurance    de   mon    arfection    bien    sincère    et    bien 

d('\ouée. 


LETTRE    175.  359 

175.  -  STŒLTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  ij  mars  i88<). 
Cher  Monsieur, 

Après  réflexion,  je  crois  qu'il  vaut  mieux  que  mon  nom  ne  soil 
|)as  nommé  à  l'égard  de  celle  formule 

b  K{x  —  ï) 

r/      .         = I  +  .  . . , 

T{x) 

qui  esl  due,  en  vérilé,  à  M.  Lipschitz.  Cette  formule  montre  de 
la  manière  la  plus  simple  que 

,.     bV,{x  —  i) 

lim = =  I  pour         ar-  =  ce. 

Y{x)  * 

Mais  voici   une  autre  formule  qui  met  en  évidence   plulol  la 
différence  R(.r)  —  ■^T{x  +  i)  ou  R(^)  —  ^Q_{^  +  ') 


>  -^ —  =z      -    /      u<^ e-"  du -{- -  a"  e-"- 

0 

—  il fj-«(i/a--i-  b'-iC^Y  %m  (  irarc  tang -hu\ 

(a  >  o,  6  >  o,  a-  >  o). 
Elle  se  simplifie  notablement  dans  le  cas  a  =  o, 

(II)        >^ £-  =  yTf^  +  i)  —  2    /      — {buY%\x\[~x  —  bu\' 

0 

Il  faut  ici  supposer  loujours  ^  >>  o  ;  pour  x  ^=  o,  il  faut  ajouter 
au  second  membre  -  •  La  formule  (I)  esl  encore  exacte  pour  x  =  o, 
et  cela  explique,  jusqu'à  un  certain  poinl,  pourquoi,  dans  (II),  il 
faut  ajouler  -  lorsque  a:  =  o.  En  effet,  en  posant  dans  (l)  x  =  o, 
le  terme 


2 


donne  -  e  '',  ce  qui  devient  -  pour  a  =;  o.  Mais  si  l'on  pose  d'abord 


iUÎO  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

/iz=o^   comme   on    Ta  fait   pour   oljlciiir   (Jl),    ce  lerme  -a^e~" 

(lisparail  complrlcmenl. 

Ne  com])lcz-Yoiis  pas  traiter  aussi  dans  votre  Mémoire  le  cas  des 
développements  de 

•t,  de 


sinamx  siiia/u-uT 


(>es  cas  semblent  intéressants  ])arcc  qu'on  sait,  a  priori,  ([ue  lii 
convergence  a  lieu  tant  cpie  x  reste  inférieur  à  la  plus  j)etite  des 
<lcux  quantités  aK  et  âK.'  et  il  est  curieux  de  voir  comment  l'ana- 
lyse opère  ce  choix  entre  K  et  K'.  A'ous  avez  indiqué  la  solution 
de  celte  circonstance,  cjui  pent  paraître  dabordun  peu  singulière, 
dans  voire  leLlre  à  M.  Konigsberger  [C relie,  l.  81,  p.  222),  mais 
ne  songez-vous  point  à  établir  les  résultats  cpie  vous  j  avez  donnés? 
Les  fractions  continues  que  je  vous  ai  communiquées  pour  les 
fonctions 

•>.  r  ^""^  d.    -.  r 


a  du 


TZ  II 

c      - 


/-»g.r_g-a:                               /- °°    au  du    / 
a  /       e'<^^  dx  =   / /  


"K  II 

■  e 


■>..3 


\c  les  donnerai  dans  le  Mémoire  que  je  prépare  pour  INI.  Jordan, 
J'y  considère,  en  général,  la  réduction  en  fraction  continue  de 

'  "  a  -\ 


«-f--^^ 


1  +  -^ 


cl   vous  voyez  bien  qu'elles  se  rallacbent  à  celte  élude,  f{u)  étant 
dans  les  deux  cas 


t;l 


n     ,-                   Tl     ,-                   '                         71      -                   Tt    ;- 
—  V  /<  v"'  V"  V" 


LKTTUE    17o.  36 I 

(il  y  a  encore  à  changer  a  en  a-  el  à  mulliplier  par  a).  C'est  aussi 
en  vertu  dun  théorème  général  que  je  peux  affirmer  la  c.otwer- 
gence  de  la  fraction  continue  obtenue  pour 

1 .  i .  a         o . 4 . «^ 
C'est  un  exemple  qui  n|)partient  au  choix 

-  '  /  T 

J{u)  =  a    ■'  log 


m   ' 


ais,  naturellement,  on  ne  peut  pas  attendre  que  la  loi  des  coel- 
licients  de  la  fonction  continue  soit  toujours  simple.  C'est  précisé- 
ment en  cherchant  de  tels  exemples  que  j'ai  trouvé  ces  résultats, 
.le  remarque  que  la  seconde  fraction  continue  peut  s'écrire 


1 

1 

1 

a  + 

1 

a 

■j 

<f  -+- 

I 

-  a  -^ . 
1 

1 
a  -i 

2 

a  -T- 

1 

a  -+- 

l"*-- 

cl  comme  la  série 


est  divergente,  elle  est  convergente  tant  que  a  >>  o,  la  restric- 
tion a^\  serait  inutile,  il  en  est  de  même  pour  la  première  fraction 
continue. 

Mais  vous  vojez  bien  aussi  que  cette  transformation 

((        a^        a'"        a'  cû  a''       '   '  '  '  i- 


■^,- 


et 


I  ■).         i6        9.72        793G        3J379' 

a        a^        a-5         a''  a'-^  a" 


7..  3 


a  -4- , 


donne  implicitement  une  nouvelle  manière  de  définir  ces  nombres 
I,  I,  5,61,  ...  et  I,  '2,  if),  2^2,  ...  (nombres  de  BernouUi). 


362  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Aussi,  l'étahlisscment  de  ces  formules  exige  de  nouvelles 
recherches  sur  les  nombres  de  Bernoulli  qui  me  paraissent  essen- 
liellemenl  distinctes  de  tout  ce  qu'on  a  fait  jusqu'à  présent  là- 
dessus.  Mais  je  suis  occupé  à  simplifier  mon  analyse  qui  est  encore 
(pielque  peu  informe,  et  je  chercherai  aussi  s'il  n'y  a  pas  de 
rapport  avec  les  recherches  antérieures  sur  ce  sujet.  La  relation 
découverte  par  Seidel  il  y  a  quelques  années  ne  paraît  pas  être 
liée  à  la  réduction  en  fraction  continue,  mais  j'ai  lu  cpie  M.  Stem 
a  généralisé  les  relations  de  Seidel,  et  il  j  a  encore  d'autres  tra- 
vaux là-dessus  dont  je  dois  prendre  connaissance. 

D'après  les  valeurs  des  fractions  continues,  on  doit  avoir 

I  I  5  6i  i38'j  ~| 


a  -+- 1 

(  a  -1- 

1  )■'      '     (a  -H  1)5 

1              2 

a        a' 

ifi 

27 '2        79'î<J 
a'     '      «« 

(  rt  -i-  1  )■  (  «  -4-  I  j!* 


ce  qui  fournit  le  moyen  d'exprimer  les  nomjjres  eulériens  i,  i,  5, 
(il,  i385,  ...  par  les  nombres  i,  2,  iG,  2-2,  ...  (nombres  de 
Bernoulli,  coefficients  de  la  tangente)  ou  réciproquement.  J'em- 
ploie tous  mes  loisirs  à  travailler  à  mon  Mémoire  pour  M.  Jordan 
cl  j'espère  que  dans  quelques  semaines  je  pourrai  le  lui  remettre. 
Veuillez  bien  agréer,  cher  monsieur,  la  nouvelle  assurance  de 
mon  entier  dévouement. 


176.  —  //A  /.'  1  //  TE  A  S  TIEL  TJE  S . 

Paris,   18  mars  1889. 
Mojv    CHKK  Ami, 

Permettez-moi  de   recourir  à   votre  bonne  obligeance  et  vous 

prier  de  m'indiquer  quelle  est,  dans  le  Mémoire  de  M.  Lipschitz, 

la  relation  qui  revient  à  celle  que  vous  avez  vous-même  trouvée  : 

b  R(x  —  i)  ,.  .  •         r  •  •.   .•        1  • 

— ^  =  1-1-...,   afin   (lue   le  puisse    laire    une    citation  bien 

r(,r)  '  1        J      I 

précise.  Et  puis,  j)our  M.  Lerch,  dont  le  Mémoire  traite  le  même 

sujet,   a-t-il  obtenu   également  le   même   résultat?   M.   Lipschitz 

doit    faire    une    revendication    de    priorité,    toute    bienveillante, 

M.  Lerch  n'a  j)as  eu  connaissance  de  son  travail,  s'étant  confié  à 


LETTRE    176.  363 

lin  Mémoire  de  M.  Hurtvvilz  sur  une  question  analogue  el  clans 
lequel  les  recherches  de  M.  Lipschitz  ne  se  trouvent  point  men- 
lionnées. 

J'ai  besoin  de  réfléchir  sur  vos  équations  (I)  et  (11)  pour  en 
bien  comprendre  la  signification;  comme  vous  avez  (h'i  battre 
l'estrade  de  tous  côtés  pour  rencontrer  cette  formule! 

J'avais  songé  de  moi-même  à  ces  nouveaux  points  de  vue  pour 
l'étude  des  nombres  de  Bernoulli  et  d'Euler,  auquel  vous  vous 
trouvez  amené;  tout  cela  rendra  extrêmement  intéressant  votre 
prochain  Mémoire  sur  les  fractions  continues,  que  j'étudierai  avec 
soin,  vous  pouvez  y  compter.  Mais,  en  ce  moment,  je  suis  dans 
le  chagrin  d'une  grande  déception  au  sujet  de  la  méthode  de 
Laplace.  En  posant 

e,(.r)  ==S(-i)"'A,„.r2"S 
H,(:r)  =  S(— i)'«B,„.r2'«, 

elle  donne,  de  la  manière  la  plus  facile  et  la  plus  simple,  les 
valeurs  asjmptotiques 


_  /       ^"^     \"\   /   ^^^ 
d'où  Ton  tire,  en  supposant  m  très  grand, 

^^"'-  4mKK'' 

"\/^ni  =    "VKi'f 


Ces  deux  fonctions  conduisent  donc  au  même  résultat  j)our  la 
loi  de  décroissement  des  coefficients  que  l'exponentielle 

puisque 

C,n  =  =  i '  (i  OU  }/L.,n  =  —  • 

1.1...  m  ,„. 


Mais,  à  regard  des  fonctions  semblables. 


364  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DH    STIELTJKS. 

les  nouveaux  coefficienls  A,,u  et  \'iii„t  sont  représentés  par  des  séries 
à  termes  de  signes  alternatifs;  ainsi  on  a,  en  désignant  para  les 
nombres  impairs  et  par  b  les  nombres  j)airs, 


ilï 


Or,  la  similitude  d'expression  des  deux  termes  généraux  b'-"' q^' 
et  a-™ q"'  a  pour  effet  qu'on  obtient  la  même  valeur  asymptoticpie 
|)0ur  la  ])remière  série  et  pour  la  seconde.  Par  conséquent,  J-v»  a 
une  loi  de  décroisseinent  plus  rapide  que  A,„  et  qu'on  ne  peul 
obtenir  par  la  métliode  de  Laplace  qui  ne  donne  qu'une  première 
approximation.  Cette  imperfection  a  bien  été  reconnue  par  Laplace 
lui-même,  dans  la  Mécanique  céleste;  il  se  tire  d'affaire  avec  une 
audace  dangereuse  dans  le  cas  qu'il  traite,  mais,  pour  le  mien, 
tout  m'écbappe  et  me  manque,  même  l'audace.  Quel  dommage!  la 
relation 


montre,  comme  vous  voyez,  que  la  loi  de  décroissement,  pour  le 
carré  0-(.r),  peut  se  conclure  de  ce  qui  concerne  0|(.r),  mais  je 
dois  renoncer  faute  de  moyens,  faute  de  ressources,  à  toute  tenta- 
tive pour  parvenir  à  0(^)  lui-même. 

Je  vous  renouvelle  l'assurance  de  mon  affection  bien  dévouée. 


177.  —  STIELTJES  /l  HERMITE. 

Toulouse,  ig  mars  1889. 
CuKR    AloNSIEUIl, 

Vous  avez  eu  la  grande  bonté  de  me  demander  dernièrement 
de  détacher,  du  travail  dont  je  m'occupe  actuellement,  une  Note 
pour  les  Comptes  rendus. 

J'espère  que  vous  ne  désapprouverez  |)as  si,  au  lieu  de  cette 
question  du  terme  complémentaire  d'un  certain  développement 
en  fraction  continue,  j'ai  choisi  un  autre  morceau  traitant  des 
dérivées  de  séc.r  et  de  tang.2\ 


LKTTRE    177. 


365 


C'est  parce  que  peut-èlre  ([iielques  géomèlx'es,  en  lisant  inaNole, 
trouveront  plus  de  plaisir  à  cherclier  une  démonstration  des  rela- 
tions tpie  j'ai  trouvées,  qu'à  lire  plus  tard  celte  démonstration  dans 
\e  Journal  de  M.  Jordan.  Suivant  moi,  cette  démonstration  est 
assez  difficile  à  trouver. 

Je  vais  indiquer  comment  les  théorèmes  sur  les  dérivées  de  sécr 
et  de  tangx  permettent  d'établir  mes  fractions  continues. 
I'2n  général,  lorsqu'on  pose 


P\ 


71 


P^ 


y.f 


les/>,  q  s  expriment  ainsi 


Pn 


A„  W, 


Ao  ^  Bo  =  I , 


rt„_i     a  II 


B. 


A.B, 

\    <l\  Cl 

a  y        a 


(tn      (hi+\ 


'/(  +  ! 


En  supposant  donc  que  les  ((/  soient  les  coefficients  du  déve- 
loppement 



.^^  \..>...An 

0 

ou  du  développemenl 


pp( 


langa"  = 


^U  i.i...{i.n 


U 


la  difficulté  se  réduit  à  calculer  les  déterminants  A„,  B,j.  Mais  ce 
sont  les  déterminants  des  formes  quadratiques 


n  —  1  n—  i 


^  2«/+/,X/X/,,      2  ^«,>/,4-iX/X/,, 


366  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    Kl    1)K    STIELTJES. 

el   les   valeurs    des   déterminants    découleiil    iininédlalemenl   des 
décompositions  en  carrés. 
Ainsi,  dans  le  premier  cas, 

A„=  (ao^ic..    .Y-=[o\-i\  \\...i-in  —  %)\Y, 
\^„=.{a^b^c■,...f=[^\V.^3\...{■xn-  y)\\\ 


I  I  5         6t  _  I 


,/■ 


X 


Dans  le  second  cas,  on  obtient  de  la  même  façon 


A„=  i!  2!  3!...('i«-  I)! 
B,,  =  i!2!  3!...(>/0! 

—-!L.  =z  (■2n  —  -i)l  ('2/1  —  \)\ 


B«-i 


=  {ill  —  i)\  {■ni)\ 


^''±1  =(2n)!(2«  +  i)! 
/y„  =  (  2  /t  —  1  j2  /i,  </„  =  i  /i  (  2  //  +  1  ), 

I  2  16  272  _    I 

X        x'^        x^         or'         ■  "  I  .  •>. 


•le  crois  que  l'étude  des  dénominateurs  des  réduites  de  ces  frac- 
tions continues  ne  doit  pas  être  négligée,  mais,  dans  mon  Mémoire, 
ces  fractions  continues  ne  figurent  qu'à  litre  d'exemples  de  la 
théorie  générale,  et  cette  étude  particnlicre  urentrainerait  trop 
loin  et  y  serait  peu  à  sa  place. 

Je    ne    sais,    monsieur,    comment    je    dois    nous    lemercier    et 


LETTRE    177.  367 

m'excuser   de  la  peine  que  je   vous   cause;    crojez  bien   à   mou 
dévoùmenl  sincère  ('). 

«u  =  I,  f     =  %(^cr[\\, 

«1=1,  /"    =  sécj-[  I -4- •>.  i  |, 

«2  —  5,  /'*'  =  séca"[5  -h  i.%z  +  i  i  -■-], 

«3=  61,  /'*'=  séca"[Gi  -H  662  j  4-  I  j'20c2h-  -%oz'^]^ 

«i  =  I  385,  /'8)  =  S(''c^[  I  38  j -)- 24  )68c  + 83  66^  32-t- 100800^^+ ^o  3  >.«). 

«5  =  5o  521,  

</6=  27  702  765,  /'     =  séca"  lang.r[i], 

''"  —  '99  -^60  981,  /'')  =  séca"  tanga^[5  -t-  Gs  J, 

«8  =  19  391  5i 2  145,  /'^*  =:  sécar  tanga7[6n-  180-  -4-  I20.3-  ], 

,  /'"'  =  sécj:-  tanga:'[  I  38  J  -H  7  '^66 -3  +  10  920 -s^ -H-  5  oio^'' J, 


«B  =  6i2-l- 662^  +  1  320--f- 7202,  coef.  de /'''^ 

rt«=  3.1383 -+-28.2^568  +  24.83  664,  coef.  de /(^)  et  de /'»', 

«6  =  61.1  385  -H  180.7  266  -4-  [20. 10  920,  coef.  de  /(^'  et  de  /''', 

a-i  =  i  385^+ 7  2662-f- 10  9202-4- 5  040^,  coef.  de /'"^ 

«0=1,  f     =  tanga'[i], 

«1  =  2,  cp"   =  tang3'[2 -4- 2c], 

«2  =  16,  ^'.4'=  langa"[  16  -4-  4o-  +  24-3-J, 

«3=  272,  cp(6'=  tangj-[272  -T-  I  232  3  -4-  I  68052-4-  720  ^•■'J, 

a^—  7936,  '^(8)=  iang:f[7  936-1- 36  0205-1-129  024  32-f-i'2o  9603-^-1-40  )2o. 

rtj  =  353  792,  

«6=  22  368  2J6,  o      =1-4-  z, 

«7=1903757312,  cp'"    =  '2  -i-  85  -(-  632, 

«8  =  209  863  342  976,      o(5'=  16  -F- 1363  -t-  24o3--h  12053, 

.  .  .  . ,      '^(■'=  27>.  -h  3  9683  -H  12  0965- -4-  r3  4  10  33-T-  5  o4o3''. 


(.' )  Note  des  éditeurs.  —  La  Note  jointe  à  cette  lettre  a  été  coinimiiiiquôe 
à  rAcadémie  dans  la  séance  du  25  mars  1889  {Comptes  rendus,  t.  CVIH, 
p.  605-607). 

Les  valeurs  numériques  des  coefficients  des  /W  et  cpW  de  cette  Note  n'ont  pu 
trouver  place  dans  les  Comptes  rendus.  Nous  pensons  utile  de  les  reproduire  à 
la  suite  de  celte  lettre.  Elks  faisaient  partie  de  la  première  rédaction  de  la  Note 
en  question  [voir  lettre  179). 


.)G8  COKRESPONDANCE    ij'lIK IIMITF.    Kl'    DK    SlIKLUliS. 

«i  =  i .  16--+- 3. 4<)--!- j.u4-,  cocf.  ileip'*'. 

rt^  =  \  .>..i~i -h  i.i.  l'i.'ii,  cocf.  de  tp'-'el  de  ç."' 

«4=  >..8.i3r)-4-  i.G.vi'io,  coef.  decs^î'eldeti''' 

m  =  •>..  I  jG--t-  4 .240-  -T-  (j.  120'-,  coef.  «le  ç»'*', 

f(j—   1.7  9U)- H-  ') .  J6  3-20'' -T-  J .  ( '29  o '.  I -  -f-  7  .  I .to  i)()()^ H-  9 .  '|0  j->o-,  coef.  de  'i'*', 

(7;  —  '..3  9G8--(-  4  !■'-  0962 -r-  G .  I  î  44<>"' "!-  8  .  J  O  jo- ,  coef.  do»'"', 

n-  ^  \  .■>.- 1~  93G4-3.I  ■232.  )G  3204-  J.  i  G8o.  12g  024 -1-7. 7 2»).  l'.o  9G0,  coef.  de  o'^'et  de  'i'**' 


178.  —  STIELTJES  .1   II  ERMITE. 

'roiilousc,   19  iiuu-s  188;). 


Cher   Mon.sieuiî. 
L;i  (oi'imilc 


,  l>       V^  (  a  -4-  /i/>  )t— 1 

(  a  I >    — — 

\   (X)  ^  ,,a^iiù 


•XII  T.  ■>.nT.(l 

cos  (  ,/•  arc  lanj;  — , — 


{■T) 

M  1  /         4/*- 


|i«'iil   S  (Mrire 

II 


e 


2  n  Ti  I 
1  H ; — 


M.  Lipsclulz  piirl  (U;  cfLLc  (Ic-liulliou 


cl   i('iii|»l.ir;ml   n'i 

X  |i;ii'  o, 

/.  piir  — -  , 


-  |)ar  .r, 


LETTRE    178.  369 

VOUS  voyez,  ([tie  le  second  membre  de  (  fj)  est 

Or-,  réquation  (10)  de  M.  LipseluLz  donne  eelle  Iranslornialion 
de  la  défînilion  originelle  de  F 

r  (  (T  )  ^  \     I     \         /     ' 

0 

et  en  appliquant  cette  transformation  à  l'expression  (^'),  on  obtient 

0 

c'est-à-dire  le  premier  membre  de  (,3).  Vous  \oyez  que  M.  Lip- 
scbitz  part  du  second  membre  de  (a)  ou  ([i)  et  retrouve  le  premier 
membre.  Nous  avons  parcouru  le  chemin  en  sens  inserse. 
M.  i^ercb  pose  d'abord  (p.   19) 

'ïyiiw,  T.  S)  •=  7 ■ 

AdiKV   -^   Il   )•"■ 

II 

(je  remplace  sa  lettre  k  par  /?)  et  il  sup[)ose 

o  <  «V  <  I,  partie  ima;^inaire  x  >  o, 

et 

partie  réelle  «  >  1 

(si  mes  notes  sont  exactes).  J'avoue  (pie  cette  condition  relative 
à  .ç  m'euibarrasse  et  me  semble  superllue,  la  supposition 

•^"  =/>  -t-  qi        (y  >  o) 

assurant  déjà  la  convergence,  quel  (jue  soit  s.  Aussi,  pour  retrouver 
votre  H (./'),  je  prendrai  s  négatif 


^0) 


,  A         -j-  5    )     I  X    \    =    -7 7 . 


3-0  CORRESPONDANCl;;    d'hERMITE    ET    DE    SflELTJES. 

(  )i\  les  équations  ('()  et  (5)  de  M.  Lercli  sont 

(l)  t>i{w,x,  s)  =  e~^'^'V{i  — s)--^.K(n',x,s)  (p. -iij, 

+  00 

yg—2nniw 
f V TT^  (p. '^a). 


Donc,  substituant 


■r-^  g—iiiniw 


Appliquant  ceci  au  premier  membre  de  (o),  on  obtient 

.  /  ai  \   ^  —inr.ij 

—  \{x)e        \  ît/   X , — , 

00 

ou  bien,  à  cause  de 

I 


{-ly 
II 

—  i  mil  T 


\~^       e  " 

^^  (  b  —  ■>.  n  iz  i  )■' 

en  égalant  ceci  au  second  membre  de  (o) 


=   1   I  X      u~     •        -^     — -; : —  1 

t;«+''*  •  .«^  (  b  —  •>.  n  - 1  y 

ce  ([ui  est  la  formule  (^). 

Je  partage  votre  chagrin  de  ce  que  la  valeur  asvuiplotique  de  clv« 
dans 

e(x)  =  i:i— u"'a.v„.r2'« 

se  dérobe,  tandis  que  celle  de  A/„  dans 

ei(x)  =  i:(— i)"'A,„.r2'« 

s'obllent  sans  diflicullé.  <Ao„i  étant  la  dificrence  de  deux  quantités 
dont  \„i  est  la  sonnne,  et  vu  le  degré  d'approximation  que  donne 
ordinairement  la  mélbode  de  Laplace,  je  crois  qu'il  est  probable 

(pie  le  rap])ort  al),„  '.  A,^,  sera  de  l'ordre  —  ou,  enfin,  d'une  puissance 


LETTRE    178.  371 

négative  de  m  a  exposant  fini,  en  sorte  f|ue  le  rapport  \/^X,,n 
à  s/ h. m  est  sensiblement  =  i . 

lime  semble  peu  probable,  en  eflt't,  qu'il  y  ait  une  compensa- 
tion plus  complète  dans  les  deux  parties  de  A,,n.  Cependant,  il  faut 
avouer  que  cela  n'est  qu'une  conjecture  toujours  incertaine,  et  si 
j'avais  un  peu  plus  de  loisir,  je  serais  beaucoup  tenté  de  consacrer 
([uelques  efforts  pour  trouver  la  vraie  valeur  asjmptotique  de  A^m- 
Mais  ce  sera  difficile,  je  crois,  et,  pour  moi,  il  est  absolument 
inutile  de  m'occuper  d'une  question  de  ce  genre  si  je  n'ai  pas  le 
temps  nécessaire.  Je  ne  réussis  qu'en  revenant  toujours  à  la  charge 
et  avec  la  volonté  ferme  de  parvenir  au  but. 

Je  me  suis  aperçu  que  mes  résultats  relatifs  aux  dérivées  de 

séc^   et   de    tangj?   s'appliquent    presque    sans   changement   aux 

dérivées  de 

sinani.r,     cosamx,     Aamj" 

Je  considérerai  seulement 

f  =  cosain  j? 


et  je  pose 
On  trouve 


z  =  k  sinam^j". 


/     =cnr[i], 

f     ^=  snx  du  j-  \ —  I J, 

/"    =cna''[— 1^  ■>./.;•  I, 

f"   =  sna"  dn^'[i  4- 4 /i^ — 6A5], 

/(i'  =  en :?•  [ I  +  4  k'-  —  {  io k  4-  8  k-^  )  z  -f-  i  ',  k'-z-  J , 

/'ï>  =  sna-  ilii  j[—  I  —  44/'^''-—  i(J/t*+  (60  A-  -+-  \iok^  )z  —  iwk-z-], 

/^6'  =  c  n  if  [  —  1  —  44  A-2  +  1 6  k'* 

-+-  (i8>.A-H  448A-i-t-  3>.k-  )z  —  (840/:-+  48o/cV)---f-  T^oA^^'l, 

si  je  considère  d'abord  les  dérivées  d'ordre  pair 

f     =cnjr[i]  =  cnx[a^)], 

f"    =  cnj[ — i-{-ik:\,  =  cnx[ — ai-\-  bi  z\, 

y*(4)=cii,  —  cnx[-h  rti — 6o3-(-C2--|, 

/(6)  —  CI1J7[ «3-4-   63^    -+-  C352 cl-iZ''  ], 


372  CORRESPONDANCE    d'iIKKMHK    11    IIK    STIELTJES. 

j'ai 


ot 


«1      .,  «2 

en  J-  =  «0 ^    -■ :; — 7  ^" 

I .  i  I .  >. .  î .  4 


2^]  «/+/.X,-\/,  =  (.-/oXy^-   a,X,-t-   <72X2--...)2 


.-(6,Xi--   62X2--...)* 

-.(c^X,-...)^ 


iil)soliiinenl  coniine  dans  le  cas  de  sécj'-.  De  même  pour  les  déi-i\ées 
«l'ordre  im|>aii'.  Ainsi,  par  exemple, 

,r.  =  (1  -+-  Wk"-^  i()/.'»  )-^-+-  (Go/  -f-  i',o/c-*y^4-  (120  A-2/, 

ou  si  je  pose,  pour  simplifier,  2/,=  /, 

«5  =  (  1  -i-  r  I  /-  -1-  /'m-  4-  (  jo  /  -h  I  j  /^  )-  +  (  3o  /- )- , 

<f  u  =  (  I  -f-  I  I  /-  -H  /*  )-  +  {  9 1  /  -+-  J6  /3  H-  /•>  )2  -H  (  -2 1 o  l^-  -i-  3o  /*  )-  -t-  (  90  /■'  )-, 

«s  =  i  -i-  9ii ^"^  -t-  I  9'.')  /*  +  ■>.!\~  /^-^  /", 

«,;=  I  H-  8  3o3/--i-  >i  4ii^'*+  ■>!  o^o/'>  + 1013 /•*-!-  /'«. 

Ce  sonl  exaeteinenl  les  Naleurs  ilonnées  par  Briot  el  Bourpiii 
(p.  /\(h)  cl  qu'ils  ont  obtenues  à  l'aide  de  votre  belle  méthode. 
l*our  A  =z  \  ^  on  relondje  sur  mes  premières  formules  qu'il  ('tail 
bien  nécessaire  de  découvrir  d'abord.  Et  \oi<'i  maintenant  coimnc ni 
ma  première  fracli(jn  continue  se  dédouble 

/cos ani  c  t'-'"-  dz  =  


4t^ 


16  A  2 


36Â-2 


i 


A am  - c'~'  ~  dz      =  


16 

■'^  3ÏÏ 


LETTRE    178.  3-.'» 


c'esl-à-dire 


cosanic  =  «o —    — 
I .  ■>. 

Aani  ;;      —ht, 

I .  •>- 


«0        «1         a-i 
X  x^     '    X'' 


_., 

«2 

1 

.■>,.3, 

.4^ 

1 
I 

.■>..3, 

.4^ 

X  -i-  - 

1 

4/r^ 


6o 

a-' 

r 

X 

/.- 

"   '    .   ,             '• 

a?^ ^^ — 

X  H-. 

.le  n  ai  pas  encore  considère  sinam.r,  mais  je  vois  Jjien  que  ce 
cas  exige  une  légère  modificalion.  Aussi,  je  n'ai  pas  encore  réduil 
les  intégrales 


Ji       cosam  zc~'^  (/:•.         j      A  y 
0  *^  0 

à  la  ibriiie 


imze^-^^  dz 


£ 


U^.d,. 


ce  qui  est  très  essentiel  jjour  moi.  INIais  tout  cela  va  me  donner 
encore  beaucoup  de  travail.  En  eOel,  j'étais  assez  satisfait  de  la 
démonstration  de  mes  théorèmes  sur  les  dérivées  de  séc^  et  de 
tangx.  Mais,  si  je  voulais  tenter  une  pareille  démonstration  pour 
dix,  dna",  la  chose  serait  bien  possible,  mais  cependant  très 
pénible.  Or,  ces  relations  me  semblent  si  simples  que  je  ne  peux 
douter  qu'elles  ne  soient  l'expression  de  quelque  fait  analytique 
également  simple.  Il  faudra  trouver  cela. 

Sachant  que  vous  prenez  intérêt  à  la  loi  des  coefficients  (7/,  h, 
dans  les  développements  des  fonctions  elliptiques,  j'ai  cru  pou- 
voir vous  communiquer  ces  résultats.  Vous  voyez  que,  dans  mes 
recherches,  je  me  suis  rapproché  maintenant  du  sujet  qui  vous 
occupe  actuellement,  les  valeurs  asymptotiques  des  coefficients. 

Va\  vous  remerciant,  cher  Monsieur,  des  bonnes  paroles  de  la  lin 


374  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

(le  votre  lellre,  je  peux  vous  assurer  que  je  lâcherai  d'être  toujours 
(ligne  de  l'intérêt  que  vous  voulez  bien  montrer  pour  votre  dévoué. 


179.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Mojv  CHER  Ami, 

Combien  vous  êtes  bon  et  complaisanl  de  m'avoir  fait  profiter  si 
complètement  de  l'étude  attentive  que  vous  avez  faite  des  Mémoires 
de  M.  Lipschitz  el  de  M.  Lerch  ;  le  premier  étant  écrit  en  allemand, 
je  n'aurais  pu  parvenir  à  j  voir  ce  que  ^ous  avez  bien  voulu 
m'expliquer  avec  la  plus  entière  el  la  plus  complète  clarté. 

J'ai  été  enchanté  des  belles  formules  que  vous  m'avez  envoyées 
T)our  les  Comptes  rendus;  voire  article  sera  présenté  à  la  pro- 
chaine séance  de  l'Académie  et  j'espère  bien  que  M.  Bertrand  ne 
fera  point  difficulté  pour  son  insertion.  La  commission  du  budget 
a  rogné  de  loooo^',  je  crois,  lallocation  accordée  à  l'impression 
des  Comptes  rendus,  cjui  s'élevait  à  la  somme  importanlc 
de  80  ooG*^"". 

Vos  expressions  des  dérivées  successives  de  cn.r  et  les  fractions 
continues  que  vous  avez  découvertes  pour  les  intégrales 

me  ravissent;  à  coup  sûr,  personne  au  monde  analytique  n'a  jamais 
CM  \olre  idée  si  heureuse,  si  ingénieuse  de  la  décomposition  en 
carrés  de  vos  formes  quadratiques  à  un  nombre  infini  de  variables. 
Verriez-vous  inconvénient  à  ce  que  je  mette  ces  résultats,  vraiment 
surprenants,  sous  les  yeux  de  M.  Darboux  avec  qui  je  m'entretiens 
de  vos  intérêts?  C'est  ordinairement  le  lundi  que  j'ai  occasion  de  le 
\oir  et  de  causer  amicalement  avec  lui  dans  le  cabinet  de  M.  Ber- 
trand, qui,  je  saisis  l'occasion  de  vous  le  dire,  partage  entièrement 
nos  sentiments  à  votre  égard. 

Soient  F(.r)  un  polynôme  de  degré  n  (pii  n"a  point  de  racines 
réelles,  et  ^{x)  un  polynôme  arbitraire  de  degré  n  —  2;  je  vous 
|)ropose  comme  exercice  pour  vos  élèves  à  la  Faculté  de  démontrer 


LETTItE    180.  37.5 

que  l'inlégralc 


J=/         î^cLr 


{xj 
est  un  invariani  simullanc  des  formes 

v"F(  —  )  et  v"-2G, 

Celle  minime  queslion  vous  monlre  que  j'ai  repris  mes  leçons  à 
la  Sorbonne;  je  me  propose  celle  année  de  donner  la  mélliode  de 
I^aplace  pour  la  convergence  des  séries  qui  représenlenl  les  cooi'- 
données  elliptiques,  avec  quelques  petites  simplifications  dont 
vous  m'avez  suggéré  la  principale.  Vous  m'avez  fait  remarquei' 
que  la  série  proposée  étanl  Sm„,  si  Laplace  pose  la  condition 
U/i=  Un^t,  c'est  uniquement  parce  que,  dans  son  cas,  Téqualion 
est  plus  simple  que  D,iU,j^=  o  qui  est  la  vraie  au  fond. 

Étant  ainsi  fixé  par  vous,  je  raisonne  en  employant  la  dérivée, 
après  avoir  préalablement  formé  l'expression  asymplotique  de  i/,,; 
on  abrège  de  cette  manière  les  calculs,  et  la  métliode  prend  une 
apparence  plus  régulière. 

Quelle  désolation,  quelle  humiliation  lamentable  de  ne  pouvoir 
moindre  sur  S(x)  et  H(a?)  qui  sont  si  voisins  de  S,[x)  et  H,(j,-)! 

Avec  mes  plus  vives  félicitations,  mon  cher  ami,  pour  vos  nou- 
velles découvertes  et  l'assurance  de  mon  afFection  dévouée  ('). 


180.  —  STIELTJES  A  IlERMITE. 

Toulouse,  22  mars  18S9. 
Cher  Moksieur, 

Votre  lettre  m'a  engagé  à  faire  la  Note  ci-jointe  que  je  vous 
prie  de  substituer  à  celle  que  je  vous  avais  d'abord  envoyée  et  qui 
est,  en  cfTel,  un  peu  longue.  Celle-ci  étant  plus  courte,  trouvera 
plus  facilement  grâce. 


(')  Note  des  éditeurs.  —  La  lettre,  non  datée,  semble  s'intercaler  naturelle- 
ment entre  eelle  du  19  et  celle  du  22  mars  1889. 


376  C.ORRESrONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIEI.TJES. 

La  formule  pour  \c  sinam  csl 


1      e~''-  sin  am  z  dz 

•■  0 


.r2  -)-  (  I  H-  /,■  -  )  — 


\  ..L-.'i 


x^  +  S^i  +  k')  —  — —''^''  ■' 


J---1-  5-(n-  A-j 


Les  polynômes  (jiil  figurenl  dans  le  développement  de  sinam.r 
sont  décidément  plus  difficiles  à  obtenir  que  ceux  qui  figurent 
dans  les  développemenls  de  cosam^r  et  de  Aamj:.  C'est  ce  que 
vous  avez  trouvé  aussi. 

Je  ne  vois  aucun  inconvénient  à  ce  que  vous  parliez  à  M.  Dar- 
boux,  ou  à  qui  que  ce  soit  de  vos  amis,  des  recherches  scienti- 
fiques qui  m'occupent. 

Votre  exercice  sur  l'intégrale    /       -p-^ — ^dx  sera,  je  le  crois,  un 

peu  difficile  pour  mes  élèves,  mais  je  verrai  ('). 

Ce  qui  manque  surtout  à  la  vie  des  facultés  de  province,  ce  sont 
les  l)ons  élèves.  Les  meilleurs  que  nous  avons  sont  nalurellenient 
les  boursiers  d'agrégation,  mais  ces  pauvres  gens  oui  à  subli-  un 
concours  bien  redoutable  et  l'on  ne  peut  pas  trop  leur  reprocher 
qu'ils  tiennent  exclusivement  à  leur  pi-ogramme  et  ont  peu  d'in- 
clination à  s'occuper  d'autres  choses.  Quant  aux  autres,  ils  se 
contentent  presque  exclusivement  d'être  reçus  Hcenciés,  et  encore 
est-il  matériellement  impossible  de  traiter  toutes  les  matières  du 
programme  dans  un  cours  d'un  an,  à  raison  de  deux  leçons  par 
semaine.  Il  ne  faut  pas  oublier  qu'il  n'est  pas  possible^  de  laisser 
(le  côté  les  premiers  éléments  comme  on  peut  le  faire  à  Paris, 
car  enfin,  ils  ne  savent  pas  prendre  une  dérivée  et  il  faut  le  leur 
apprendre. 

Aussi,  peut-on  consacrer,  par  pxemple,  deux  ou  trois  leçons  au 
plus  aux  fonctions  d'une  varialile  imaginaire.  Et  cette  année 
j'avais  à  expliquer  à  quelques-uns  de  mes  élèves  qui,  après  avoir 
obtenu  la  licence,  aspiraient  à  l'agrégation,  le  théorème  de  Cauchy 

(')  Note  de  M.  Stieltjes.  —  Je  ne  suis  pas  sûr  s'il  y  en  aura  un  qui  saux-a  ce 
que  c'est  qu'un  invariant. 


LETTRE    181.  377 

Cl  (le  M"'*  (je  Kowalewskl  sur  les  (équations  aux  dériv('es  partielles! 
Nalurelleinent,  il  fallait  bien  leur  donner  d'abord  quelques  le(;ons 
complémentaires  sur  la  théorie  des  fonctions. 

Mais  voilà  bien  des  jérémiades  qui  ne  changeront  rien.  Il  faudra 
beaucoup  de  temps  et  surtout  d'esprit  de  suite  dans  la  dii^ection 
de  l'enseignement  supérieur  pour  relever  le  niveau  scientiPupu' 
des  facultés  de  province. 

Je  veux  réfléchir  de  temps  en  temps  un  peu  sur  la  valeur 
asymptotique  du  coefficient  JLm  dans  le  développement  de  i-){ûc). 
Mais  je  crois  bien  qu'il  faudra  suivre  une  méthode  toute  différente 
de  celle  de  Laplace. 

Veuillez  bien  accepter,  cher  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de 
mon  entier  dévouement. 


181.  —  riERMITE  A   STIELTJES. 

Paris,  32  mars  1S8;). 
Cher  Awi, 

Je  vais  risquer  une  lentalive  bien  hasardeuse  pour  avoir  la 
valeur  asymptotique  des  coefficients  de  0(jc)  et  de  H(x),  voici 
mon  point  de  départ. 

La  méthode  de  Laplace  pour  obtenir  la  valeur  approchée  de  la 
série 

S=/(i)+/('-'.)-t----    -/(«)  +  .... 

dont  les  termes  vont  dabord  en  augmentant  juscpi'à  im  maximum 
|)0ur  décroître  ensuite  indéfiniment,  a  été  appliquée  par  lui  au  cas 
où  la  fonction y(«)  se  compose  d'un  produit  de  facteurs  élevés  à 
de  grandes  puissances,  et  c'est  ce  qui  arrive  dans  les  exemples  que 
j'ai  traités.  Remplaçons  l'entier  îi  par  une  variable  x^  l'analyse  de 
Laplace  revient  simplement  à  prendre  pour  valeur  approchée  de  S 

l'intégrale     /     f[x)dx^    et   à   déterminer  cette   intégrale    par   la 

méthode  donnée  dans  la  théorie  des  probabilités.  La  fonction  f{x) 
étant  supposée  nulle  pour  ^  =  o,  x  ^  ce  et  avoir  un  maximum 
unique  pour  .r  =  ^,  on  pose 

f{x)=j\\)e-<\ 


378  CORRESPONDANCE   d'hERMITF.    ET    DE    STIELT.TES. 

de  sorte  que  la  nouvelle  variable  /  ci-oil  rie  — oc  à  +  ce.  Dans  le 
cas  où  f{x)  esL  de  la  forme  [F(:r)]",  la  ^alellr  de  dx  s'oblienl 
sous  forme  d'une  série  en  i,  et  contenant  les  puissances  succes- 
sives de  -—5  ce  qui  permet  (ralLeiiidre  une  ap|iroximation  cpii 
y  a 

augmente  quand  n  croit.  En  négligeant  -—■>  on  trouve  la  formule 

yZ/i 


C'est  de  là  simplement  que  se  tire  l'application  si  importante  à 
la  convergence  des  séries  qui  représentent  les  coordonnées  ellip- 
tiques et  aussi  toutes  mes  applications.  Vous  direz  que  mon 
audace  ne  connaît  pas  de  bornes,  et  je  ne  \ous  contredirai  certai- 
nement point,  mais,  plutôt  que  de  ne  rien  fiiire.  je  me  propose, 
en  parlant  de  l'expression 


■77\i"t 


1.1. .  .im 
d'évaluer  cbacun  des  termes  par  les  intégrales 

(  -ixy-'"  q''"'  dx  et  /      (^-r  +  i)^'"  5r'2""+  ')"  dx. 


r 


traitées  comme  le  fait  La|)lace.   Je   prendrai  im    terme  de  plus, 

j'emploierai  le  terme  en  — =  dans  le  développement  de  dx,  suivant 
\//n 

les  puissances  de  /,  et  puis,  va  comme  je  te  pousse,  advienne  que 

jiourra. 

Le  luxe  en  côtoyant  la  misère  la  rend  plus  sordide,  plus  humi- 
liante, je  considérerai  les  séries  doubles  '^/(m,  n),  où  la  fonction 
de  deux  indices  croît  aussi  juscju'à  un  maximum  pour  décroître 
ensuite,  qui  s'offrent  comme  coefficients  de  x"^y'^  dans  les  déve- 
loppements des  0  à  deux  variables. 

Et,  comme  Laplace  dans  les  pro!)abilités  a  étendu  sa  méthode 
aux  inléi;rales  doubles 


/     /    fi.^^y)d^  (^fy^ 


LETTRE    182.  379 

je  prendrai   son    résultai  pour   valeur   ap|)roclice  de    la    série,   à 
l'aventure  ! 

Que    pensez-vous,    dans    voire    sens    analytique    in  lime,   de    la 
lentative? 

Votre  bien  afTeclueusemenl  dévoué. 


182.  —  STIELTJES  A  IIERMITE. 

Toiilonse,  2,3  mars  1889. 
Cher  Monsieur, 

Je  veux  répondre  par  quehjues  mots  à  votre  lettre.  Probable- 
ment, vous  avez  vu  aussi  qu'il  n'est  (pas)  besoin  d'aucun  calcul 
prolixe  pour  évaluer  les  intégrales 

'-  0  «-'o 

/      (2.r-i- r)2'"^(2''  +  ir  fl^x  =  <2"'-'   /     y"'~^e~'*"y  (/y 


y, 


q  =  e-", 
dont  la  différence  est,  par  conséquent, 


r'>   ,11-- 

•î-'«-i   /    y    '^e-'"'.ydy, 


cela  donnerait  donc  une  destruction  bien  complète  dans  la  diffé- 
rence 

v^-2,H^«î_  Zb'-"'q''\ 

mais  il  paraît  bien  difficile  de  dire  si  l'on  peut  s'y  fier.  Cependanl, 
après  y  avoir  regardé  de  plus  près,  je  retire  formellement  l'opinion 
émise  précédemment  que  la  destruction  des  termes  dans  la  diffé- 
rence  se   bornei^ait   aux    termes    principaux    et,   par   conséquent, 

-T —  décroîtrait  comme  —  ou  — j- 

J'admets    maintenant  comme  probable  un    conlrebalancement 
des  termes  d'une  manière  plus  complète,  quoique  j'iiésite  cepen- 


38o  CORRESPONDANCE    d'iIERMITE    KT    DE    STIEI.TJES. 

(lïinl  il  iulmollrc  le  résultai 


•    0 

Pour  savoir  avec  quelle  approxiinalion  ou  peul  poser  avec  vou? 

•  Il 

il  semble  naturel,  en  posant 

(le  recourir  à  la  formule  dEuler 

-/     f{x)dx—-J,  !/(/.,     ~J\a)\ 


(b  ^  a  -^  nh), 

m  |)renant  n  r=yD^  b  =  yz.  a  =:  o,  h  =  \ . 

Vous  vojez  que  f{h),   f'{b).  /'"\^^)  s'annulent,  de  même  que 

Or,  j'ai  remarqué,  dans  mainte  occasion,  que  si  cela  arrive  el 
(pie  l'équation  d'Euler  semblerait  ainsi  donner  régalilé  complète 
•  •nire  la  série  et  l'intégrale,  la  vraie  différence  décroit  très  rapide- 
dement.  Comme  exemples,  je  citerai  ici  le  cas  de  votre  fonc- 
lioii  lv(x),  la  relation 

A     -  H-  e~'''- -h-  e-'-''i'- -+-  e-^'-*'"- -t- .  . .      =  ^tJ--  -h  e~^+  e     ^^-i-. . .  ], 
et  il   y  en  a  encore  quelc{ues  autres,  dont  voici  la  plus  simple 


.r       ^^  .r--+-  .'i  /«•--■' 
1 


LKTTRE    18*2. 


in 


c;"esl-à-dir«^,  pour  /"(j?)  ==  — -, 


dx 


d.v 

I  +  X 


■2  71 


•2  7t 

.T. 


pour  dz  :>o,  f{x)  s'annule  avec  toutes  ses  dérivées. 

Admettons  donc  qu'on  a  d'une  nianit^-re  très  approchée,  en  ellel, 

Zd'-'"  </"'■=    j       (•',?■)- '"(7 ''•'■' rf.r. 

En  |)renant 

f{.r)  =  (■AJ.--+-  ()■-!'"  ,yl2'+ 11', 

la  formule  dEulci'  donnera 

X  ly^">  II'''-  —    I       /■(  .r  )  ,/.r  -^    ^q^.,., 

'  {I 

mais  les  termes  suivants,  avec /' (u),  /*"'(o),  ...,  renferment  des 
puissances  positives  de  plus  en  plus  élevées  de  m,  et  le  degré 
d'apj)roxiniation  nous  échappe  conij)lètement. 

Je  crois  que,  pour  avoir  une  sohition  rigoureuse  de  la  question, 
il  faudra  trouver  des  transformations  analytiques,  mais  cela  nr 
sera  pas  aisé  du  tout.  On  ne  sait  même  pas  si  r.\o,„  est  toujours 
positif;  il  s<'  pourrait  bien  (pie  la  vraie  valeur  a[)prochée  renferme 
un  terme  périodique  (pii  change  désigne  comme  dans  la  diflérence 

b  K(x  —  \)  __    , 

Je  crois  (pie  l'a|)plication  aux  séries  doubles 

i2  J\  III .  n  ) 

((ue  V(jus  |»i'op()sez,   donnera   des   n'-sultats  exacts   et  est   légiliiiic. 


382  COIIRESPONDANCE    D  IlERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

J'ai  [)lusleurs  fois  évalué  des  intégrales  doubles  d'après  la  méthode 
de  Laplace  et  avec  un  succès  complet. 

Votre  bien  sincèrement  dévoué. 

183.  —  IlERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  2j  mars  1889. 
Mon   cher  Ami, 

M.  Darboux,  à  qui  j'ai  communiqué  vos  charmantes  formules 
de  développements  en  fractions  continues,  en  a  été  aussi  enchanté 
(uie  moi;  nous  vous  prions  tous  deux  de  vouloir  nous  fournir  la 
liste  complète  avec  les  indications  des  recueils,  de  toutes  vos  publi- 
cations mathématiques,  nous  aurons  à  en  faire  usage.  M.  Bertrand, 
j'ai  le  plaisir  de  vous  le  dire,  n'a  fait  aucune  difficulté  à  l'insertion 
dans  les  Comptes  rendus  de  votre  dernière  Note.  Vos  remarques 
sont  excellentes  et  désolantes,  je  me  les  étais  faites  déjà  en  grande 
partie  et,  dans  ce  que  je  vais  écrire,  je  n'aurai  garde  de  dissimuler 
tout  ce  qu'il  j  a  tie  hasardeux  et  d'obscur  à  prendre  pour  valeur 
approchée  de  la  somme 


i:('2.r-t-  \)'"'q' 


lintéiirale 


^»' 


f     {■>..v-h\y^"'q^--''-^^i'-  dx. 


(hiel  dommage,  car   le  dé\eloppement  suivant  les  puissances 
descendantes  de  m  que  vous  ramenez  au  calcul  de 


/ 


—  »  7 


s'ul)lient  très  facilement  sans  recourir  au  procédé  de  Laplace. 
Ou  a,  en  effet, 

/      .r"'-'  e--'^  dx  ~  w"'  e-"> 1 -, \ -, -H  .  •  •  1  • 

.  /  ^^  m       m  {m  -\-  \)       m{/n  -j-  i){  m  -t-  ).  )  / 

Mai>  voici  de  bien  autres  difficultés  à  l'égard  des   fonctions  0 


LETTKE    I8'l.  383 

à  deux  variables.  Il  s'agit  d'obtenir  la  \aleiir  asjmptotique  pour  ni 
et  n  très  grands  de  la  série  double 

si^a^m  fjî,i  c-^S"-+i/"'i'  +  ''l'"-t         (a,  b  =  o,  \,  ■>.,..  .), 

question  en  apparence  toute  semblable  à  celle  des  0  elliptiques, 
or  il  s'en  faut  du  loiil  au  tout;  la  fonction  de  deux  variables 

^ini  ■i-2/i  (j—(g.r-+2/i.vy  +  k)-) 

où  (^g\  h,  k)  est  une  forme  définie  positive,  passe  par  deux  maxima  ! 
l'ar  conséquent,  tout  s'effondre,  il  devient  impossible  d'appliquer 
la  méthode  de  Laplace  qui  suppose  essentiellement  un  seul  et 
unique  maximum. 

Et,  en  même  temps,  vojez  comment  se  révèle  la  singularité 
|)leine  de  mystères  des  fonctions  de  deux  variables.  Deux  maxima 
comportent  un  minimum  dans  leur  intervalle,  s'il  s'agit  des  fonc- 
tions d'une  seule  variable;  rien  de  pareil  pour  deux  variables;  que 
peut-on  entendre,  en  effet,  par  un  système/?  et  q  de  valeurs  inter- 
médiaires entre  a  et  ùj  a'  el  O'I 

En  vous  demandant  d'a\oir  la  bonté  de  me  rappeler  et  de  me 
dire  où  Dirichlel  a  donnt';  la  formule  importante  dont  vous  a\iez 
si  habilement  tiré  une  démonstration  de  l'égalité  de  1\L  Lipschilz 

/}l\(.V—l)   _ 

T{x)        -'+•••' 

je  vous  renouvelle,  mou  cher  ami,  l'assurance  de  tout  mon  dé- 
N  ouement. 


184.  —  STŒLTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  2j  mars  i88(j. 
Cher  Monsieur. 

La  vraie  démonstration  de  mes  propositions  concernant  la 
décomposition  en  carrés  de  certaines  formes  quadratiques  est  si 
excessivement  simple,  (ju'il  est  vraiment  humiliant  de  n'y  a^oir 
pas  songé  tout  de  suite. 


38 'i  CORKESPONDANCE    d'hERMITK    El     DE    STIELÏJES. 

•le  considrre  les  dérivées  d'ordre  pair  de  /'(./)  =  séc  j:*,  r-  =  tang-x 
/     =  sécx(ao), 

'  yC')  =  sécx{a.î-ir-  b^z  -h  CîZ-), 
/■(«)  =  séca;(  «3  -t-  b-i  z  -i--  T:;  ;:-  -4-  (•/■{  ^•■'  ), 

(  ■>.  )  sec  J^  =  7 • 

D'après  le  lliéorèine  de  Taylor 

(Kl  hirii,  (Ml  suhstiliiant  les  \aletirs  (i), 
(:{)  -  [séc(j7 -h /j)  +  sec C.r  —  A  )| 


sec:r  \ 

"1 

1.   '. 

-f-  rt..  - 

.   K.'i.\ 

z   séca\ 

1 
\ 

A, 

1 .  •'. 

1 

h' 
.    >.    ).    i 

z-  séCvT  1 

( 

"  1 

h' 
1  .  ■>.  .   J  .   i 

Mais 


I  «éc(.r  -T-  /i)  +  séci'j;'  —  /<)] 

séca"  iéc.h  séc./'  «éc  A 


I  —  tang2^  lang'^A         i  —  ;taiig'-A 

=  sécj'-  Séc/j(l -f-  â;  tang2/,  -i-   -i  l;,|io'. /,     ;-;;:!  tim-'' A     -     ..), 

(lOri.  par  e()mj)araison  aNec  (.n, 

^ec/i  =  «0  -f-  (1 1 -i-  fi-, -T-  .    . , 

1 .  '.  "  I .  ■». .  5 .  j 

,     ,            ,  ,                   ,     b'         ,         II* 
scc/t  tanir- /<  =  h, h  «o 


,    ,  ,  ,  /'  '^ 

scc/t  laiig'A  =  c'o -I-    .    . 

-  \.■x.■^.\ 

D  a|)rrs  cela,  en  se  rappelant  (jiie   :;  t^  lani;-./'.   on   Noil  <pi<; 


LETTRE    18i.  385 

second  membre  de  (3)  peut  s'écrire 

r  X'-  x'*  T       r  /r2  h-^  1 

L  1.2  1.2.3.4  J        L  I  •  '^  1.2.3.4  J 

L  1.2  1.2.3.4  J       L  i'^  1.2.3.4  J 

r  •^^         1    r  f^'         1 

+  C,   5—,    H-  ...        X  C2    5-7   +  .  .  . 

L  1.2.3.4         J      L  1.2.3.4        J 

-h , 

tandis  que  le  premier  membre  est 

-^ —f [(x^hY'^-^{x-hf"\, 

2  ^U  1 .  2  .  .  .  (  2  n  ) 

0 

soil  i-\-/x=nj   en    comparant   de   part  et  d'autre   le  coefficient 
de  x^^/i'-^',  on  trouve  immédiatement 

(  4  )  «/J  =  «/■  «A  +  bi  b/^-  -+-  Ci  ca-  -i- . .  . 

et,  en  particulier, 

(5)  «2/ =  «■-  -H  6,-  -I-  c? -t- C.Q.F.D. 

Le  théorème  sur  les  dérivées  d'ordre  impair  s'obtient  par  la 
considération  de 

-  [séc(a?  -h  h)  —  séc(.r  —  h)] 

et,  avec  de  légères  modificatioias  qui  se  présentent  d'elles-mêmes, 
le  même  raisonnement  s'applique  aux  autres  cas  des  fonctions 

tanga",     snx,     cna^,     dna^. 

Je  viens  de  voir  que,  dans  le  Tome  79  du  Journal  de  Crelle, 
M.  Stern,  dans  un  Mémoire  sur  les  nombres  eulériens,  a  dé- 
veloppé aussi  les  dérivées  de  sécr,    ( )>   en  introduisant 

/ gx g— x\2 

des  polynômes  en  tang-^,  f  — ^  1  •  Il  a  considéré  les  mêmes 

nombres  «/,  6,-,  c/,  ...  que  moi,  mais  les  relations  (4)  et  (5)  lui  ont 

25 


386  CORRESPONDANCE    DUEliMlTi;    ET    DE    STIELTJES. 

échappé.  11  se  borne  à  discuter  les  relations  entre  les  «,-,  bi,  Ci,  . . . 
qui  résultent  du  calcul  de  proche  en  proche  des  dérivées,  d'où  il 
tire  diverses   consécpiences  relatives  aux  nombres  eulériens,  etc. 

Dans  le  Tome  88  du  même  journal,  il  considère  aussi  les  déri- 
vées de  lang^;  mais  ici,  au  lieu  d'introduire  des  polynômes  en 
tang-.r,  il  introduit  des  polynômes  en  sin-o;.  C'est  là,  je  suppose, 
la  cause  que  les  résultats  qu'il  obtient  ne  présentent  pas  une  ana- 
logie complète  avec  ceux  de  son  premier  Mémoire.  S'il  avait  aussi 
introduit  ici  des  polynômes  en  tang-.r,  je  ne  doute  pas  que  l'ana- 
logie n'eût  été  complète. 

Mais,  réfléchissant  sur  l'application  aux  fonctions  elliptiques, 
je  me  suis  aperçu  que,  si,  dans  mon  cas,  on  emploie  le  théorème 
de  l'addition,  on  pourrait,  par  une  légère  modification,  déduire 
ce  théorème  par  des  considérations  analogues. 

Cependant,  après  avoir  ainsi  retrouvé  le  théorème  de  l'addition, 
j'ai  vu  que  cette  démonstration  est  exactement  celle  qu'Eisenstein 
a  donnée  (dans  ses  Mémoires  réunis,  avec  une  Préface  de  Gauss, 
p.  i55-i58). 

Au  lieu  de  recourir  à  la  formule  d'Euler,  j'ai  eu  l'idée,  pour 
voir  avec  quelle  approximation  on  a 

"^  fj^.m  fjh'-  —    I       (2  3"  -H  I)2'"çri2i-l-lj-  ^37^ 

de  me  servir  d  une  formule  d'Abel  [CSiinfes,  t.  I,  p.  38), 

'i(a)-f-«f(a-:-i)-f-o(a-f-2)+... 

/•"  ,  I      ,  /•"       dt        [  oi  a  -h  fi)  —  o(a  —  fi)~\ 

J„    '     '         a^  J,    e2«-i  L  11  j 

La  démonstration  d'Abel  n'a  pas  de  rigueur,  mais,  récemment, 
j'ai  retrouvé  cette  formule  et  vu  qu'elle  est  applicable  sous  cer- 
taines conditions.  Ces  conditions,  du  reste,  je  ne  me  les  rappelle 
pas  distinctement  en  ce  moment. 

Dans  le  premier  cas,  il  j  aurait  égalité  absolue,  mais,  dans  le 
second  cas,  on  est  amené  à  une  intégrale  qui  n'a  pas  de  sens.  Tout 
cela  me   parait  indiquer   que    le  problème   de  trouver  la   valeur 


LKTTRE    185.  887 

asjmpto tique  de 


1 


est.  extrêmement  difficile.  Dès  que  j'aurai  un  peu  de  loisir,  je  me 
propose  de  voir  si,  en  attribuant  à  q  une  valeur  fixe,  cette  expres- 
sion ne  change  pas  de  signe  en  donnant  à  m  des  valeurs  de  plus 
en  plus  grandes.  Gela  ne  m'étonnerait  pas,  et  serait  une  nouvelle 
preuve  de  la  difficulté  de  cette  question. 

Je  vous  renouvelle,  cher  Monsieur,  l'expression  de  mon  entier 
dévouement. 

185.  —  HE  RM  I  TE  A   STIELTJES. 

Paris,  28   mars  188g 
Mojv    CHEii    Ami, 

V  ous  avez  le  don  des  démonstrations  simples  et  élégantes,  et  je 
ne  puis  assez  vous  dire  avec  quel  plaisir  j'ai  vu  l'analjse  rpie  \ous 
m'avez  communiquée  dans  votre  dernière  lettre.  J'achèterais  bien 
volontiers,  au  prix  d'une  humiliation  plus  grande  que  celle  cpie 
vous  exprimez,  de  trouver  de  telles  choses.  Vous  vous  êtes  ren- 
contré avec  Eisenstein,  qui  tenait  beaucoup  à  sa  démonstration 
algébrique  du  théorème  de  l'addition  des  fonctions  elliptiques, 
ainsi  ([u'il  me  l'a  dit  lui-même  quand  j'ai  été  le  voir  à  Berlin 
en  i853,  et  vous  n'avez  point  lieu  de  regretter  une  telle  circon- 
stance. 

Vous  vous  êtes  bien  facilement  rendu  compte,  sans  doute,  de 
ce  que  je  vous  disais,  ([ue  la  fonction 

X-'"^  y2"  e — { gx'^+lh.fy+ky-) 

a  deux  maxima,  ce  à  quoi  j'étais  bien  loin  de  m'altendre,  et  aucun 
minimum,  ce  qui  tient  à  la  nature  méphistophélique  des  fonctions 
de  deux  variables.  Il  me  faut,  par  conséquent,  renoncer  à  obtenir 
la  valeur  asjmptotique  que  j'avais  espéré  trouver  en  opérant 
sur  ©(x,  jK)  comme  sur  0(x).  Jai  repoussé  aussi  comme  une  ten- 
tation dangereuse  et  périlleuse  de  chercher  l'intégrale  définie 

cpii   aurait   donné    facilement,   eu    différentiant   par  rapport    aux 


388  COimESl'OXDANfll'     d'hERMITK    I<:T    I)K    STIEI.TJI'S. 

conslanles.   la  <|iianlité 

Je  m'en  tiendrai  donc  aux  applications  de  la  méthode  de  [.aplace 
qne  j'avais  eue  en  vue  tout  d'abord. 

Permettez-moi  de  rappeler  à  votre  sou\enir  la  fonction  ^(-v)  qui 
m'a  donné  occasion  de  citer  vos  recherches  dans  une  leçon  à  la 
Sorbonne. 

M.  Jenssen  a  donné  une  relation  intéressante  qui  est  indiquée 
dans  le  Bulletin  de  M.  Darboux 

{s  —  \)Us)  =  i+2(— l)VCv(i-  —  1^  <V  =1,  '2,  3,  ...), 

où  l'on  a 

Cv=    > ^^ rino;(/)   -hl)  v_j_(loo;/2  )V   ,      (/J   =  I,  'i.S.  ...i. 

I  .  '2 ...  V  ^mà   {  n  j  .         ^ 

Elle  n'est  pas  difficile  à  démontrer,  mais  je  doute  qu'elle  four- 
nisse l'expression  définitive  de  la  fonction  de  liiemann;  en  tout 
cas,  elle  est  utile,  l'auteur  en  ajant  tiré  les  valeurs  numériques 
des  premiers  coefficients  Cv,  résultat  auquel  j'attaclie  beaucoup  de 
prix.  Permettez-moi,  lorsque  l'occasion  s'en  présentera  pour  vous, 
de  vous  demander  de  m'indiquer,  au  point  de  vue  de  l'Arithmé- 
tique, la  conclusion  du  Travail  de  Riemann,  qui  est  en  allemand 
et  que  je  n'ai  pu  lire.  Mais  que  cela  ne  vous  détourne  point  de 
ce  que  vous  faites  en  ce  moment  où  vous  obtenez  chaque  jour  de 
nouveaux  et  excellents  résultats;  il  arrivera  certainement  que  vous 
vous  sentirez  recherché  par  l'Arithmétique  et  naturellement  vous 
reviendrez  à  la  fonction  s('^)' 

En  attendant,  mon  cher  ami,  la  liste  de  vos  publications,  je 
vous  renouvelle  l'assurance  de  mon  affectueux  attachement. 

186    —  STIELTJES  A  HERMITE . 

Toutoiise,  39  mars  1S89. 
Cher   Monsieuii, 

La  formide  de  Dirichlet  se  trouve  dans  son  Mémoire  fondamental 
Sur  la  convergence  des  séries  trigonométriques,  dans  le  Tome  4 


LETTRE    186.  889 

du  Journal  de  Crelle.  M.  Lipschilz  obtient  aussi  de  celte  manière 
sa  transformation  et  j'emprunte  à  lui  cette  citation,  que  je  ne  peux 
vériiier  (les  trente  premiers  volumes  du  Journal  de  Crelle  ne  se 
trouvent  pas  dans  notre  bibliothèque),  mais  je  n'ai  pas  le  moindre 
doute  quant  à  son  exactitude.  Quant  aux  séries  0  à  deux  \ariables 
et  les  expressions 

y  "V  a2'"b-"e  -(ê-"--H2/»/i+/,-6') 

n'ja-t-il  point  de  votre  part  une  légère  inadvertance?  11  me  semble 
que  F(x,  1)  ne  passe  que  par  un  seul  maximum,  pour  les  valeurs 
positives  de  x  et  y,  bien  entendu.  C'est  probablement  à  cette 
dernière  condition  que  vous  n'avez  pas  eu  égard. 

Je  considère,  pour  j?  >>  o,  y  >>  o,  s  >>  o,  la  fonction 

où  ax'--\-. .  .=  '^  est  une  forme  définie  positive. 

11  est  clair  qu'il  j  a,  au  moins,    un  maximum;   il  me  semble 
qu'on  peut  établir  ainsi  qu'il  suit  qu'il  n'y  en  a  qu  un  seul. 

Les  conditions  du  maximum  ou  minimum  sont 

^  ^-  "^  X  ~^^'  ""'^'•^  "     '^  """' 

I    '^   >      ,^        P  / 

■i  ây      °  y 

—  logF  —  -   — bix  —  a^y  —  cz    =0. 

Ce  système,  nous  le  savons,  admet  au  moins  une  solution  (en  vo^- 
\e\\vs  positives  toujours).  Mais,  s'il  en  admet  plusieurs,  il  est  clair 
<pie  ces  solutions  répondront  toujours  à  de  véritables  maxitna, 
car  la  forme  quatiratique 


se  réduit  à 


•2  \0x^-     ^     ' 


cp(X,Y,  Z)—  —  X'- ^  Y2-  Xz2. 

'  x^  y-  z- 


Vdmettons,  pour  un  moment,  (|u'en  dehors  de  la  solution 

X  ^  xo,        y  —  yo-,         -s  =  5«,         F  =  Mu, 


Sgo  coRRESPONDAKCK  d'heumite  et  de  stieltjes. 

Mo  élant  le  inaxiiniun  absolu,  il  y  en  ait  une 


X  =  Xi, 


y  =  yu 


où  M|  -<  Mo  esl  un  second  maximum. 
Considérons  les  surfaces 

¥ {X,  y,  z)  =  const., 

ou  plutôt  la  partie  de  l'espace  où  F(.r,  ;)^,  c)  ^const.  ^  C.  Tant 
que  C>Mo,  il  n'y  a  pas  de  partie  réelle  de  la  surface.  Faisons 
décroître  constamment  C.  Pour  C  =  Mo,  nous  avons  un  point  isolé 
X  ^=  Xq,  y  ^  y^j,  c  =  Co.  Pour  C  =  Mo  —  A,  la  surface  est  fermée 
et  enveloppe  le  point  Mq.  A  mesure  que  C  décroît  ainsi,  la  partie 
de  l'espace  où  F  >>  C  s'étend  ainsi. 

Lorsque  C  ^  M-i,  la  surface  se  compose  : 

i"  D'une  surface  fermée  enveloppant  Mo; 

2  D'un  ])oint  isolé  ^\^[x^J  )^i,  :;i  )  en  dehors  de  la  surface 
fermée. 

C  décroissant  toujours,  le  point  M,  aussi  se  trouvera  enfermé 
dans  une  nouvelle  surface  fermée  et,  C  continuant  à  décroître,  les 
deux  parties  séparées  de  l'espace  où  F^G  vont  nécessairement 
s'unir  en  un  point  P.  11  est  clair  que,  dans  ce  point  P,  point  sin- 


gulier d'une  surface  F  =  const.,  les  écjuations  (i)  sont  satisfaites. 
Mais,  de  plus,  ce  point  P  n'est  pas  un  maximum,  car,  en  se  dépla- 
çant d'un  côté  ou  de  l'autre,  on  peut  faire  croître  ou  décroître  F. 
Mais,  comme  nous  avons  \u  que  tout  point  satisfaisant  à  (i)  esl 
nécessairement  un  maximum,  il  j  a  ici  contradiction,  l'hypothèse 
d'un  second  maximum  est  inadmissible.  Donc,  à  moins  qu'il  n'y 
ait  un  \ice  caché  dans  ce  raisonnement  (et  j'avoue  que  je  ne  le  vois 
pas),  on  peut  affirmer  que  la  Ibnction  F  n'admet  qu'un  seul  maxi- 
mum pour  les  valeurs  positives  des  >ariables,  et  le  même  raison- 
nement s'applique  à  un  plus  grand  nombre  de  variables.  L'on  se 


LETTRE    187.  391 

trouve  bien  dans  les  conditions  nécessaires  pour  l'application  de 
la  méthode  de  Laplace. 

Il  me  semble  que  le  raisonnement  précédent  est  exact;  cepen- 
dant, je  ne  suis  pas  tout  à  fait  sûr  et  j'espère  que  vous  me  ferez 
part  de  vos  objections,  si  vous  en  avez. . .,  l'opinion  de  M.  Picard 
me  serait  aussi  très  précieuse. 

J'espère  pouvoir  vous  envoyer  dans  quelques  jours  la  liste  de- 
mandée; si  je  n'ai  pas  voulu  remettre  jusque-là  à  vous  répondre, 
c'est  à  cause  de  ce  que  vous  m'aviez  demandé  concernant  la  for- 
mule de  Dirichlet. 

Votre  sincèrement  dévoué. 

187.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  i"  avril  1889. 
MOK     CHEa     A-Ml, 

J'éprouve  bien  de  la  difficulté  à  suivre  les  considérations  rela- 
tives à  l'hjperespace,  ce  sera  donc  l'avis  de  Picard  et  non  le  mien 
que  vous  aurez  sur  l'idée  originale  que  vous  me  communiquez 
pour  établir  l'existence  d'un  seul  et  unique  maximum  de  la  fonc- 
tion 

m        n        n 

1 1 H. . .—  cp(a?,  y,  ^,  .  . .), 

X        y       z  7V'./''        '1 

lorsqu'on  suppose  un  nombre  quelconque  de  variables.  Dans  le  cas 
de  l'espace  réel  et  relatif  à  trois  variables,  votre  raisonnement, 
contre  lequel  je  n'élève  aucune  objection,  me  semble  extrême- 
ment ingénieux,  et  je  ne  vois  guère  comment  on  pourrait  s'en 
passer  à  moins  de  se  jeter  dans  un  océan  de  calculs. 
Pour  le  cas  des  équations 

—  =  ax  -i-  by.  —  =  bx  -{-  c  y, 

X  y 

je  crois  préféi^able  de  joindre  à  l'ellipse 

m  ^  Il  =  aa?^  -+-  ibxy  -\-  cy-, 
celle-ci  qui  représente  deux  droites 

an x'^-\-  b(n  —  m) xy  —  cniy^  =  o. 


892  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELIJES. 

On  voit,  en  etïet,  cjiie  les  droites  sont  réelles  et  que  les  coeffi- 
cients angulaires  sont  de  signes  contraires;  par  conséquent,  l'une 
d'elles  se  trouve  dans  les  deux  régions  où  les  coordonnées  sont  de 
mêmes  signes,  c'est  celle  qui  donne,  par  son  intersection  avec 
l'ellipse,  la  solution  unique  en  quantités  positives  à  laquelle  cor- 
respond le  maximum,  tandis  que  l'autre  droite  se  trouve  dans  les 
deux  angles  des  coordonnées  où  elles  sont  de  signes  contraires. 

Je  me  suis  aperçu  trop  tard,  hier,  que  l'intégrale 


«^0     ^0 


s'obtient  immédiatement  au  moyen  du  procédé 'élémentaire  qui 
consiste  à  poser  ^::=pcoscp,  j^^psincp,  l'intégration  pouvant 
s'effectuer  immédiatement  par  rapport  à  0.  Mais,  voici  une  autre 
question  sur  laquelle  j'aimerais  bien  avoir  votre  avis.  C'est  une 
application  que  je  pense  donner  à  mon  cours  de  la  formule 


/' 


dt 


A^-H-B  2y/AB 


Soient 

A=i  —  'i.x -\- %  \J  X'- — I,  8  =  1  —  tx  —  a /•2^- — I, 


on  aura 


AB  =  I  —  aaiTM-  a2 


et  de  là  peut  se  conclure  l'expression  de  Jacobi  des  fonctions  X^. 
Soit,  d'abord 


lang- 


on  aura 


et,  par  conséquent, 

.     -     =  r 

v/i — 2a^-i-a2        /       I  —  a ( ^  -f-  \J x-  —  i  cos cp ) 
Voici    maintenant   mon    raisonnement.    Supposons   x    réel    et 


LETTRE     187.  898 

moindre  ({ue  riinité;  j'observe  que  le  module  de 

X  -1-  ^x"- —  I  COSCp, 

ayant  pour  valeur  x-  sin-'^  +  cos-o,  est  aussi  inférieur  à  l'unité.  Il 
est  donc  permis  de  développer,  suivant  les  puissances  croissantes 
de  a,  la  fraction  sous  le  signe  d'intégration;  ce  qui  donne  sur-le- 
champ 

,71:  

X„=—    /      \x -\- \J X'- — 1  cos©)"  r/cp, 

sous  la  condition  admise  et,  par  suite,  quelle  que  soit  la  variable. 
Soient,  en  second  lieu, 


A  =  ,r  —  a  —  ^ x''- —  I ,  B  =  a"  —  a  -+-  \J x'-  —  i , 

d'où  encore 


AB  =1 
on  a  maintenant 


A  -)-  B  —  (A  —  B  )  cos  'X,  =  '2  (  37  —  an-  \J  x-  ■ 
d'où 


,( 


y/i  —  1-j.x  -\-  X-      J      ,r  —  a  -f-  y/a-2  —  i  cos  œ 

Cela  étant,  je  suppose  a:  réel  et  supérieur  à  l'unité.  L'expres- 
sion X -\- s^ X- — icoscp,  étant  aussi  grande  qu'on  le  veut,  je  puis 
me  servir  de  la  série 

(«  =  o,  I,  2,  .. .) 


X  -4-  \J x'^  —  I  cos  Cf.  —  a       ^^  (^7  +  s/x'^  —  I  cos  'i)' 
et  j'en  conclus  l'expression  de  Laplace 


«-'11 


(j7  -i-  \J  X"^ I  COSCp  j""^ 

M.  Laurent  a  donné  une  méthode  ingénieuse  que  M.  Jordan  a 
reproduite  dans  le  deuxième  volume  de  son  Cours  d' Analyse, 
mais  qui  s'allonge  pour  une  question  secondaire,  la  détermination 
de  signe;  sauf  l'obligation  de  prendre  successivement  ^  •<  i  et 
.r  >■  I  qui  me  contrarie  un  peu,  la  marche  que  j'ai  suivie  me 
semble  facile. 


Sg^  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

C'est  au  mois  de  juin  que  nous  ferons  usage  de  la  liste  de  vos 
publications;  il  n'j  a  donc  pas  urgence,  cependant,  il  peut  se  pré- 
senter Iclle  circonstance  où  il  nous  serait  utile  de  l'avoir  plus 
tôt;  achevez-la  donc,  mon  cher  ami,  si  vous  avez  commencé,  et 
envojez-la  moi.  En  vous  renouvelant  l'assurance  de  ma  bien  sin- 
cère affection  ('  ). 


188.   -  H  ERMITE  A  STIELTJES 

Paris,  3  avril  1889. 


Mon  chek  Ami, 


Votre  détermination  de  Tintégrale 


(fi      e~'^  (^^  dy  d^ 


m'a  fait  le  plus  grand  plaisir,  jamais  je  n'aurais  réussi  à  découvrir 
et  à  introduire  l'aire  S  du  triangle  sphérique  qui  vous  en  donne 
une  expression  si  élégante;  je  pense  que  vous  ne  vous  opposerez 
pas  à  ce  que  votre  analyse  soit  publiée  dans  le  Bulletin  et  je  suis 
assuré  d'avance  que  M.  Darboux  lui  fera  le  meilleur  accueil.  Je 
lui  donnerai  lundi  la  liste  de  vos  travaux  que  vous  m'avez  envoyée, 
mais  je  ne  vous  réponds  pas  qu'il  ne  demandera  pas  que  vous  j 
ajoutiez  l'indication  des  articles  des  Comptes  rendus;  en  tout  cas, 
vous  apprendrez  dans  quelques  mois  l'usage  que  nous  en  aurons 
fait  et  qui  ne  sera  pas  pour  vous  être  désagréable. 


(')  Note  des  éditeurs.  —  Il  manque  une  lettre  de  Stieltjes  dans  laquelle  il 
donnait  une  démonstration  de  la  formule  due  à  M.  Hermite 

^^     ^oc                                  a^'c  cos(  7^  ) 
f      r    e~^^^^y)da:dy=  \^l^ , 

<\i{a:,y)  =  ax--i-  ibxy  -4-  cy-, 

démonstration  qui  a  été  publiée  dans  le  Bulletin  des  Sciences  mathématiques, 
2'  série,  t.  XIII,  i"  partie,  p.  170-172. 

Il  manque  aussi  une  lettre  de  M.  Hermile  à  laquelle  la  lettre  perdue  de  Stieltjes 
répondait.  Gomme  le  montre  la  lettre  188,  elle  contenait  une  démonstration  de 
la  formule  écrite  plus  haut. 


LETTRE    189.  39.5 

J'accepte  avec  empressement  et  une  grande  reconnaissance, 
comme  un  témoignage  d'amitié  auquel  je  suis  bien  sensible,  votre 
offre  de  collaboration  pour  une  seconde  édition  du  premier  volume 
de  mon  Cours  d' Analyse.  Il  j  a  quelques  années,  lorsque  M.  Bou- 
quet est  tombé  malade,  je  l'ai  remplacé  pendant  le  premier  semestre 
à  la  Faculté,  ce  qui  m'a  donné  l'occasion  de  revenir  sur  le  calcul 
différentiel  en  cbangeant  l^ien  des  choses  de  ce  premier  volume. 
Ce  sera  à  employer  pour  une  nouvelle  édition  et,  si  vous  le  voulez 
bien,  nous  commencerions  l'entreprise  aux  vacances  prochaines. 
Ne  vous  hâtez  pas  et  prenez  voire  temps  pour  le  Mémoire  de 
Riemann;  en  ce  moment,  j'ai  d'autres  choses  qui  m'occupent  et, 
si  intéressant  qu'il  soit  pour  moi,  je  j^réfère  attendre  à  avoir  plus 
de  loisir  pour  m'en  occuper. 

Une  autre  fois  aussi,  je  vous  parlerai  de  l'expression  de  '(^{s) 
de  M.  Jenssen.  Ce  matin,  en  donnant  les  expressions  de  Jacobi 
et  de  Laplace  pour  les  ionclions  X,;,  j'ai  vu  que  j'avais  bien  inuti- 
lement pensé  à  la  convergence  des  séries  suivant  les  puissances 
de  a,  la  convergence  n'a  rien  à  faire  ni  à  voir  dans  la  question, 
puisque  a  est  indéterminé  et  peut  être  supposé  aussi  petit  qu'on 
veut. 

V^ous  pouvez  ainsi  juger  combien  je  suis  sujet  à  commettre  des 
inadvertances,  c'est  ce  qui  me  fait  attacher  tant  de  prix  à  votre 
amicale  assistance  pour  la  revision  de  mon  premier  volume  où 
elles  ne  manquent  point. 

Avec  tous  mes  remercîments,  mon  cher  ami,  et  en  vous  renou- 
velant l'assurance  de  mon  affection  la  plus  dévouée. 

189.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  3  avril  1889. 
Cheiî   Mojnsieuk, 

Ce  n'est  pas  grand'chose  que  je  peux  dire  sur  votre  déduction 
des  intégrales  qui  représentent  X,^,  mais,  puisque  vous  j  tenez, 
je  ferai  de  mon  mieux. 

Il  me  semble  qu'après  avoir  obtenu 

(0  -===-/ f== -, 

V  1  —  2  a 37  -+-  a-       J ^      i  —  a  (  x  -^  \i  x-  —  i  cos  cf-  j 


og6  CORKESPONDANt;E    d'iIERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

il  n'esl  pas  nécessaire  de  faire  aucune  supposition  concernant  la 
valeur  de  x  et  qu'on  pourrait  raisonner  ainsi.  Quelle  que  soit  la 
valeur  de  x  (réelle  ou  imaginaire),  on  pourra  toujours  donner  au 
module  de  a  une  valeur  tellement  petite  (ju'on  ait  constamment 

moda(:r  -+-  ^ x''- —  i  coscp)  <  i 
et  alors 


^  a"(,r  -1-  si X- —  I  cos»)" 


I  —  a(^  -t-  \J x''-  —  I  cos^  ) 
et,  par  conséquent, 
(2)  X„  =  -    /      i^x  ^  \/ x'^ — icos(p)"rfce. 

''^  «-0 

Mais,  à  l'égard  de  cette  formule  (i),  il  faut  remarquer  que,  à 
proprement  parler,  on  doit  bien  indiquer  la  valeur  du  radical 
ambigu  \' \  —  2aa;-l-a-.  (hiel  que  soit  x,  la  formule  est  exacte 
pour  a  =  o  en  prenant  le  radical  +  1,  et  c'est  là  la  raison  qu'on 
obtient  (2)  sans  faire  aucune  hypothèse  relative  à  x. 

Mais  supposons  x  réel  et  supérieur  à  i , 


X  -i-  y/^- —  I  cos  cp 

restera  toujours  positif  et  si,  maintenant,  nous  supposons  aussi 
-X  réel,  positif  et  très  grand,  vous  voyez  directement  que  l'inté- 
grale est  négative  ;  ainsi,  au  lieu  de  (i),  il  faudrait  écrire 


v/i  —  -ly-x -^  oi-      J^      I  —  x{x  -h  \/x'^  —  1  coscf  ) 

On  suppose  a  assez  grand  pour  que,  constamment, 

moda(a7  -t-  \/x^ —  i  coscp)  >  i 

et,  développant  alors  suivant  les  puissances  descendantes  de  a,  on 
obtient 


(3)  X„  = 


""-/    0 


d(f 


X  -i-  \J X-  —  I  cos©  j  • 

Mais,  si  nous  avons  dii  supposer  ici  x' >  1 ,  cela  tient  à  la  cir- 
constance suivante. 


LKTIRH    189.  397 

SI  l'on  se  place  au  point  de  vue  le  plus  général,  on  a 

(3')         X  -+  '  r       "^^ 

l'o     \a.--^\/x-  —  I  coscp; 

et  il  faut  prendre  le  signe  supérieur  ou  inférieur  selon  que  la 
partie  réelle  de  x  est  positive  ou  négative.  Dans  le  cas  où  la  partie 
réelle  de  x  est  nulle,  l'intégrale  n'a  pas  de  sens.  C'est  ce  que 
remarque  aussi  M.  Jordan. 

Voici  comment  j'ai  cherché  à  rattacher  ce  résultat  à  votre  lué- 
thode. 

D'abord  une  remarque  sur  votre  point  de  départ 


f\i 


dt 


J'observe  que 

est  une  fonction  uniforme  (dans  un  tel  cas,  il  serait  peut-être  plus 
précis  de  dire  bien  déterminée)  admettant  la  coupure  de  o  à  —  00. 
En  posant  donc 

il  faut  faire  varier  /■  de  o  à  h-  oo,  B  de  o  à  ±7:,  mais  G  ne  doit 
jamais  franchir  ces  limites  i+i  tt.  Mais,  pour  ()  =  o,  on  a 

2  s/  z 

\fz  étant  réel  et  positif.  Donc  on  aura,  à  cause  de  la  continuité, 
généralement 


a/-|(cos  26-1-  f  sin-5-6) 
En  somme,  dans  la  formule 

•2  y  z 

l'argument  de  \j z   varie  entre   ±  -■,   c'est-à-dii-e  la   partie  réelle 
de  \jz  est  positi^'e. 


098  COKUKSPONDaNCE    U'IIERMITE    ET    UE    SIIELTJES. 

Ainsi,  j'écris 

/•"       dt 


,.u/| 


et  il  tant  prendre  ici  le  radical  4 /-r  avec  nn  tel  signe  (|ue  la  partie 
réelle  6oh  positive.  De  même,  dans  la  lormule 

/»"  d^  _        "^ 


(4) 


-(A-i- Bj  — -(Â-Bjcos-^        A»/- 
■^  '-^  y/  A 


Si,  maintenant,  je  prends  avec  vous 

l   A  =  1  —  a(x  —  '^x- —  1)  =  1  —  a^, 
)   B  =  I  —  u,{x  -^  \/ x'^  —  I  j  =  i  —  y  5 

je  vais  supposer  d'abord  j;  quelconcpie  mais  moda  assez  petit  pour 
(jue  B  et  A  soient  sensiblement  ^i ,  alors  on  obtient  la  formule  (i); 
le  radical  étant  aussi  sensiblement  i  et,  de  là,  la  formule  (i). 
Mais  il  est  un  peu  plus  difficile  d'obtenir  (3)  ou  mieux  (o'j. 

Remarques  préliminaires.  —  Les  parties  réelles  de 

I   _  p  —  qi 


A  =  />  -H  ql         et  de 


A        />^-t-^^ 


ont  même  signe. 


Donc,  les  parties  réelles  de 

\^  X  —  \J  X-  —  i  et  de  ^  =  ^  -4-  s/ x-  —  i 

ont  même  signe  et  ce  signe  sera  aussi  celui  de  la  partie  réelle  de 

I 

a?  =  - 
■2 

et  encore  (en  snpjjosant  a  réel)  de 

x  -H  \J X'- —  I  cosc?  =  E  sin-^  -  a»  -H  t  cos-     o. 

'  1  '         \  2  ' 


On   voit   par  là  que  x^sjx'^ — -icos'^   ne    peut  s'annuler  (pie 
lorsque  x  est  purement  imaginaire. 


LETTRE    189.  399 

Cela  étant,  je  reviens  aux  formules  (4)  et  (5). 
Je  suppose  x  quelconque,   seulement  pas  sur  l'axe  des  Y,   de 
sorte  que  sa  partie  réelle  ait  un  signe  déterminé  qui  sera  aussi  le 

signe  de  la  partie  réelle  de  ;  et  de  >  •  Ensuite,  je  suppose  le  module 

de  a  très  grand,  de  sorte  qu'on  a  sensiblement 

et  ainsi,  dans  la  formule  (4),  on  a  sensiblement 

et  comme  il  faut  prendre  le  radical  tel  que  la  partie  réelle  soit 
positive 

où  il  faut  prendre  le  signe  supérieur  ou  inférieur  selon  que  la 
partie  réelle  de  x  est  positive  ou  négative.  Il  en  sera  de  même  dans 
toutes  les  formules  suivantes. 

Le  second  membre  de  (4)  est  donc  sensiblement 


-^i^ï) 


si  donc  y/i  —  aax-i-a^  est  pris  avec  un   tel  signe  que  ce  radical 
est  sensiblement  =  a  (on  suppose  moda  très  grand),  il  vient 

.  '1^ 

I  —  a(j;  -T-  y/a?*  — •  r  coscp) 


Nous  avons  remarqué  déjà  que  x -\- \J x'^  —  icos'^  ne  s'annule 
pas;  en  supposant  donc  moda  suffisamment  grand,  on  aura  con- 
stamment 

moda  (a?  +  sj  x-  —  i  coscp)  >  i. 

Il  est  permis  alors  de  développer,  suivant  les  puissances  des- 
cendantes    de    a,    ...,    ce    cjui    conduit    directement    à    la    for- 


400  COKRESl'ONDANOi:    D  HEUMITE    ET    DE    STIELTJES. 

nulle  (3') 


{.r  -+-  ^a 


Je  vous  demande  pardon  de  ces  longues  et  minutieuses  consi- 
dérations dont  le  fond  se  trouve  aussi  dans  le  Livre  de  M.  Heine; 
il  n  j  a  que  de  légères  différences  de  forme.  Naturellement,  on 
pouirait  aussi  considérer  votre  seconde  substitution 

A  =  ï  — 7.,         B  =  i  — a. 

Si  Ton  suppose  a  très  petit  ([)Our  développer  ensuite  comme 
vous  suivant  les  puissances  croissantes  de  a),  on  a  sensiblement 

(signe  -{-  ou  — ,  selon  le  signe  de  la  partie  réelle  de  J?)  et  le  second 
membre  de  (4)  est  sensiblement 


^^ï) 


donc,  si  y/i  —  'i.a.x  +  a-  est  sensiblement  ^  -f-  i ,  on  a 


/ 


y/ 1  —  i  a.r  -h  a^        /      x  -\-  \,/.r-  —  i  cos  cp  —  a 

et  développant  suivant  les  puissances  croissantes  de  a  (ce  qui  est 
permis,  puisque  ^+  \i  x-  —  i  coscp  ne  s'annule  pas),  on  retrouve  (3'). 
Mais  je  dois  terminer  cette  longue  lettre  qui  aura  déjà  mis  à 
l'épreuve  votre  patience. 

Veuillez  bien  toujours  me  croire  votre  bien  dévoué. 

P.  S.  —  A  l'aj)j)ui  de  la  demande  que  je  \ous  ai  faite  dans 
ma  dernière  lettre,  je  ferai  observer  que  vous  avez  dû  corriger  les 
épreuves  de  bien  des  Notes  que  vous  avez  présentées  en  mon 
nom  à  l'Académie  et  que  ce  ne  serait  que  juste  si  je  vous  rends 
un  service  analogue. 


LETTItK    190.  4oi 

190.  —  lŒRMlTE  A  STIELTJES. 

Paris,  4  avril  18S9. 
Cher  Ami, 

Ce  n'est  pas  tout  à  fait  une  inadvei^tance  mais  peut  s'en  faut;  en 
tout  cas,  c'est  une  négligence  que  de  n'avoir  pas  fait  attention  que, 
dans  la  formule  de  Laplace, 


^  Jq     {^  -^  coso  ^x-—  i)" 


le  second  membre  doit  être  pris  tantôt  avec  le  signe  +,  comme  je 
l'écris,  et  tantôt  avec  le  signe  — ,  ce  dont  Laplace  s'est,  je  crois, 
peu  inquiété.  La  méthode  tirée  de  la  considération  de  l'intégrale 

définie 

dt  T. 


r 


At^^B        .^^AB 


me  seml)le  rendre  bien  compte  de  cette  circonstance. 
Revenant,  en  effet,  à  l'expression  plus  générale 


-/: 


df 


Gf^-h  2Ht-^K 


où  G,  H,  K  sont  des  constantes  réelles  ou  imaginaires  et  repré- 
sentons les  racines  du  dénominateur  par 

—  H  -^  ?■  v/GK— H2  —  H  —  i  v/GK  — H2 


A  '  A 

Si  l'on  admet  que  dans  ^o  le  coefficient  de  /  soit  positif,  on  a  la 
valeur 

"    A  (  Zo  —  2l  )   ~    y/GK  —  H2  ' 

tandis  qu'il  faut  prendre 

J  = :-- 


v/GK  -  H^ 


si  le  coefficient  de  /  dans  cette  même  quantité  est  négatif.  C'est, 
en  effet,   la  conséquence  de  l'expression  générale  de  l'intégrale 

26 


4o2  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

/        f{L)dt  par  a^Ttï,  où   S  est  la   somme  des    résidus  de /(^) 

pour  les  seuls  pôles  qui  soient  au-dessus  de  Taxe  des  abscisses. 
En  appliquant  cette  règle  au  cas  particulier  de 


/; 


dt 


A/^+B 


v/AB 


où  A  =  J7  —  a  —  \Jx-  —  I ,  B  =  ^  —  an-  \Jx-  —  I  :  vous  vojez  qu'il 
faut  prendre,  dans  le  second  membre,  le  signe  +  ou  le  signe  — y 
suivant  que  le  coefficient  de  i  dans 


v/i  —  aa; 


X  —  a  —  ^x-  —  [ 
est  positif  ou  négatif,  ou  encore  suivant  que  la  partie  réelle  de 


/ 


I  —  aa^-  -V  a-' 


X  —  a  —  \/x'^  —  i 

est  positive  ou  négative. 

Cela  posé,  j'envisage  le   cas  de  a  infiniment  petit,   puisque  je 

dois  faire    le  développement,   suivant   les  puissances    croissantes 

de  a,  de 

I 


X  -\-  cos  cf  \/x-  —  I  —  a 
Il  suffit  alors  de  considérer  la   partie  réelle  de 


\/x- 


encore  de  ^  +  \/x-  —  i .  Soit  donc 


X  -+-  iy  -^  ^(x  -{-  iyf'  —  r  =  X  -t-  i  Y. 

L'équation  X  =^  o  donnera  la  limite  de  séparation  des  régions 
cbi  plan  où  X  est  positif  de  celles  où  X  est  négatif.  Or,  on  a 


\  —  -ix  -\-  '^{x  -{-  iy  y^ —  I  -t-  '^{x  —  iy)-- 
et  l'équation 


■X X  -\-  \/{x  ->r-  iy  y-       \  -\-  \J {  X  —  iy  y-  —  \  =  o 

se  réduit,  en  faisant  disparaître  les  radicaux,  simplement  à  ,r  =  o. 
C'est  la  conclusion  donnée  par  M.   Jordan;  mais   qu'il  est  peu 


LETIRK    191.  4o3 

agréable  et  peu  honoral)le  de  faire  disparaître  les  radicaux  comme 
font  les  derniers  des  écoliers!  En  tout  cas,  la  remarque  est,  je 
crois,  à  faire  dans  mon  premier  ou  mon  second  volume. 

En  attendant  votre  avis,  croyez  toujours,  mon  cher  ami,  à  mon 
bien  sincère  atlachemeut. 

M.  Sonine,  professeur  à  Varsovie,  a  trouvé  une  forme  nou- 
velle du  reste  pour  la  formule  sommatoire  d'Euler  et  celle  de 
Slirling. 

Dans  cette  dernière,  au  lieu  du  terme  complémentaire 

O.B.,  [ 


il  obtient 


in  (in  —  I  )  .r-«-i 

B„ I 

■i n{in  —  I  )  (a-  -h  6  )-"-'  ' 


où  o  <  8  <  i- 

\  ous  verrez  son  article  dans  les  Comptes  rendus  de  la  |)rochaine 
séance. 

191.    —  STIELTJES  A  HE R  MITE. 

Toulouse,  5  avril  1889. 
Cher   Monsikuii, 

Je  ne  peux  assez  vous  exprimer  le  plaisir  (jue  vous  me  faites  en 
acceptant  mon  ofl're  de  vous  aider  à  la  correction  des  épreuves 
d'une  seconde  édition  de  votre  Cours,  et  je  ne  pourrai  m'occuper 
plus  utilement  pendant  les  vacances,  car  les  terribles  chaleurs,  à 
Toulouse,  ne  permettent  point  un  travail  un  peu  difficile. 

C'est  vous  qui  m'avez  appris  quelque  chose  sur  les  intégrales  X„  ; 
sachant  ce  qu'a  fait  là-dessus  M.  Heine,  je  n'ai  pas  pensé  à  faire 
mieux;  votre  méthode  à  lever  l'ambiguïté  du  radical  dans  la  for- 
mule   /      — — 5- me  semble  bien  préférable.  La  seule  chose  dans 

,  '      \  t — I-  t>  ' 

0 

ma    lettre    qui   pourra   vous  avoir  été    agréable   c'est  la   méthode 
simple  (de  M.  Heine)  de  reconnaître  que  les  parties  réelles  de 

ont  toujours  même  signe  et  s'évanouissent  simultanément. 


4o4  CORUKSl'O.NDANCE    d'iIKHMITK    li  I     1»F,    STII;I.T.IKS. 

A  vrai  dire,  je  ne  sais  pas  si  ee  (juc  jc  nous  ai  écril  sur  I  iiili'^i'alt' 


fil      e-'\d.Tdy 


ch 


a  été  rédigé  avec  assez  de  soin  pour  être  iiiipiinié.  Si  vous  erovez 
qu'il  soit  préférable  cpie  je  rf^lasse  une  nouNclle  i'(''daelioii,  je  suis 
lout  disposé  à  la  faire. 

L'expression  du  reste  de  la  formule  de  Stirliiii;  de  .M.  Sonine 
est  bien  |olie.  Il  y  a  (pielque  temps,  |"ai  trouvé  une  (b'monsli  ation 
(pour  ainsi  due  synthétique)  de  la  lonnule 

iog  Y(a)=^ya j  loii  a  —  r/  h —  log(  >.-)  -^  M  a  ) 

qui  me  semble  assez  curieuse,  étant  fondée  sur  votre  notion  de 
coupure  d'une  intégrale  définie  et  votre  formule  poui-  la  dilïérence 
des  valeurs  d'une  intégrale  définie  aux  deux  bords  de  la  coupure. 
Mais,  comme  cela  se  rapproche  un  peu  des  recherches  de  M.  Bour- 
guet,  je  ne  veux  pas  publier  avant  lui....  Aussi,  la  détermination 
de  la  constante  -  log( y  — )  <pii  figure  dans  la  formule  s'obtient  plii> 
royalement  dans  ma  méthode  (pie  dordinaire. 

Ayant  rédigé  à  peu  près  cela  et  sachant  que  vous  donnez  dans 
votre  cours  la  théorie  de  la  fonction  I',  je  vous  oflVe  ce  que  j'avais 
écrit  là-dessus,  ce  qui,  bien  entendu,  ne  vous  oblige  nullement  à 
le  lire  ni  à  me  le  renvoyer;  vous  |»ourrez  détruire  ce  manuscrit, 
car  je  ne  songe  nullement  à  le  publier. 

Je  suis  toujours  entièrement  abîmé  dans  mes  fractions  continues. 

TNIais  ne  faudrait-il  pas  publier  en  même  temps  dans  le  Bullclln 
votre  premier  calcul  de 

/        /     e- '"'"-+-'">+ ''y'-'  dx  dj 

par  un  développement  en  série.  C'est  là  une  méthode,  peut-être 
moins  simple  que  de  poser  .r=pcos9,  -)'=osinO,  comme  vous 
lavez  remarcpié.  . .,  mais  elle  |)Ourrait  bien  s'appliquer  à  d'autres 
cas....  (i'est  ce  (pie  je  dois  laisser  à  votre  jugement.  Je  joins 
seulement   la  lettre  cpii  contient  votre  calcul. 

En  NOUS  renouvelant,  Monsieur,  l'expression  de  ma  \i\egrati- 


MaiRiî  19*2.  4o5 

tilde   |»oiir  avoir   bien  voulu  ac<'epler  mon  oiFre,   je  suis  loiijoiu^s 
\oUe   1res  tlé\oiié. 


192.  —  H  ERMITE  A   STIELTJES. 

Finis,  8  avril  i8Sg. 
Mon    chkr   Ami, 

Je  \iens  de  donner  à  M.  Darhoux  \olre  déterniinrilion  de  l'inté- 
grale /  /  /  P~'^^  (I X  dy  dz ,  dont  la  rédaction  m'avait  paru  excel- 
lente, sans  (jue  j'y  aie  trouvé  un  mot  à  changer.  Mais,  pour  plus  de 
sûreté,  M.  Darboux  nous  enverra  les  é|)reuves  à  corriger,  ce  c[ui 
vous  permettra  de  faire  les  changements  que  vous  jugerez  à  propos. 
Ai-je  besoin  de  vous  exprimer  avec  quel  intérêt  j'ai  lu  la  brillante 
esquisse  de  la  théorie  de  la  fonction  logr(rt)  que  vous  m'a\ez 
envoyée!  Je  dois,  la  semaine  prochaine,  partir  de  Paris  pour  passer 
en  Lorraine,  dans  ma  famille,  le  temps  des  vacances  de  Pàcpies; 
c'est  de  là  que  je  me  propose  de  vous  écrire  ce  qui  [)ourra  mètre 
suggéi'é  par  l'étude  attentive  de  votre  théorie  si  neuve  et  si  origi- 
nale. C'est  aussi  pendant  ce  temps  que  je  voudrais  rédiger  à  tête 
reposée,  comme  vous  l'avez  à  Toulouse  en  province,  plus  facilement 
que  les  malheureux  Parisiens,  les  applications  de  la  méthode  de 
Laplace  dont  nous  nous  sommes  entretenus.  Mais  je  suis  bien 
mallieureux  en  ce  cpii  concerne  0( ./)  et  H(dS')  ;  il  faudra  me  borner 
à  l'indi("ation  bien  hasardeuse  cpii  consiste  à  prendre  un  terme  de 
plus  dans  l'approximation  de  l'intégrale  définie  qui  n'est,  hélas, 
qu'une  approximation  de  la  série  à  évaluer.  Ce  qui  adviendra  de 
ma  tentative  sur  B(x,  y),  je  ne  sais,  nuiis  je  ne  vous  cache  pas 
que  j'ai  peu  de  confiance  dans  le  lésultat,  à  cause  de  l'expression 
assez  compliquée  ipi'on  Irouxc  pour  le  maximum  de  la  fonction 


l«.>-+2/;.>'y  \-cy- 


Vous  serez  donc,  mon  cher  ami,  peudant  les  grandes  vacances, 
mon  collaborateur  et  mon  associé  pour  une  œuvre  dont  je  serai  à 
profiter  seul  ;  j'accepte  votre  concours  et,  je  vous  le  répète,  de  grand 
cœur;  sans  vous,  le  courage  m'aurait  manqué  et  je  n'aurais   pas 


4o6  rOURESl'ONDANCE    I)  lIKiniITi:    ET    DE    STIELÏJES. 

ent)'epris  celle  seconde  édition  si  nécessaire  pour  (jn  a|»rrs  moi   je 
laisse  un  Ouvrage  élémentaire  moins  incorrect. 

En  vous  renouvelant  mes  remereimenls  et  l'assni  a urc  de  mon 
adectueux  attacliement. 


193.  —  HERMITE  A   STIELTJES. 

F*;iris,   i>  avril   1889. 
Mon    cheu     Vmi, 

Ne  soyez  point  surpris  si  ma  correspondance  est  un  peu  inter- 
rompue, un  nouveau  deuil  de  famille  m'oblige  de  partir  en 
Lorraine. 

Je  ne  sais  point  au  juste  quand  je  serai  de  retour  à  Paris. 

Pour  essayer  de  me  distraire,  permettez-moi  de  nous  dire  com- 
ment, à  la  leçon  que  je  devais  faire  demain  et  que  je  ne  ferai  pas, 
je  me  proposais  de  donner  les  deux  formes  du  terme  complémen- 
taire de  la  série  de  Stirling. 

Après  a\oir  obtenu 


/      '^[x)e"-' 


OÙ 

cf(.r)  =  'i7-^ («  =  I,  9.,  3,  .  ..), 

ce  qui  [)ermel  d'écrire 

■^     r"      -le"'' dx 

^^  J _  ^  x'-  -h-  l^  n- t:- 

2  /ITT? 

X  =   • 

a 

/•"      ae^^  dx      _    /""      ae^""?c^$ 
J_ ^  x^ -h  f\  n- ■::'       J_^  n7z(^'^  ^  a- ) 

et,  en  changeant  ç  en  —  ^ 

-_  1    r"  e-'"^'zdi 


je  pose 

|]  \ient  ainsi 


LETTRE     19'*.  407 

/-11,  ,  r  'V^   g— 2"TC| 

Cela  étant,  le  développement  log(i — e~-'^^)  =  —  >  donzie 


immédiatement 


Je  vous  renouvelle  l'assurance  de  mon  afFectueux  attachement. 


194.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  i5  avril  188). 
Cher    Monsieur, 

Je  vais  vous  présenter  quelques  remarques  très  élémentaires  : 
c'est  votre  grande  bonté  qui  me  fait  espérer  que  vous  les  ac- 
cueillerez avec  indulgence. 

Il  y  a  quelques  mois,  vous  m'avez  fait  remarquer  que  le  coeffi- 
cient du  binôme  (m)«  est  divisible  par  ^j  d  étant  le  plus  grand 
commun  diviseur  de  ni  et  n.  Donc  (in)^^  terme  constant  dans  le 
développement  àe  (x  -{ )     ,  est  un  nombre  pair.  Mais  je  trouve 

que    ce   nombre    est   aussi    divisible    par  n -\~  \ .   Voici    quelques 
exemples  : 

n. 
I 
1 
3 

4 
5 
6 

7 

C'est  ainsi  qu'il  suit  que  j'ai  été  amené  à  cette  remarque.  Je 


(2/2),,. 

(  2  /«  ),^  :(/?-(- 1 

2 

1 

6 

2 

20 

5 

70 

14 

252 

42 

924 

l32 

3432 

4-^9 

4o8  CORKKSPONDANCE    DIlKRMITi:    KT    DR    STIELTJES. 

considère  la  fraclion  continiic 
F=  • 


Il  est  clair  que  la  réduite  d'ordre  n  a  celte  forme 

x"-'^  -H  a x"-'-^ -I-  b x"-° -\-.  .  . 
X" -\- a' x'>--- -^  b' X"-'* -T- .  . .   ' 

«,  b.  ...;  a\  h',  ...  étant  des  entiers.  Donc,  parla  division,  on 
voit  que,  dans  le  développement  suivant  les  puissances  descen- 
dantes de  ^ 

p Aq  Al        Aj  _^     A„     


tous  les  Ki  sont  des  entiers. 
Mais 


p  ^  s/x"-  +4  —  3? 


d  ou  1  on  lire  sans  peine. 

A,- 


A,;    = {0.11)11. 

n  -+■  1 


Je  n'ai  pas  cherché  une  démonstration  purement  arithmétique. 
J'ai  commencé  par  dire  que  {2n),i  est  pair,  mais,  pour  savoir  au 
juste  quelle  esl  la  plus  haute  puissance  de  2  qui  divise  (2«)„,  je 
calcule  les  nombres 


1  /  \  9. 


cl  j'ai  la  règle  suivante  : 
Si,  parmi  les  nombres 

n,     n^.     n<i.     n^, 

(dont  le  dernier  est   1  )  il  j  en  a  k  (pii  soient  impairs,  alors  2*  esl 
la   jjlus  haute  puissance  de  2  qui  divise  [-in),,. 

D'après  cette  règle,  si  je  suppose  n  =  2*  —  i,  j'aurai 

/i,=  '>y'-i — I.         /i,  =  2''-- — I,         ...,         n/,_i  = '2'  —  1; 


LETTRE    19i.  409 

donc,  dans  ce  cas,  2*=  /?  +  i  est  la  plus  haute  puissance  de  2  qui 
divise  (2/i)„,  c'est-à-dire  le  nombre  A„  est  impair.  J'ajoute  que 
tous  les  autres  nombres  A„  sont  pairs. 

En  efl'et,  d'abord  si  n  est  pair,  K,,  l'est  aussi  parce  que  (2/?)„  est 
toujours  pair.  Je  n'ai  donc  qu'à  considérer  le  cas  où  n  est  impair 
mais  point  de  la  forme  •>.'' —  i . 

Ainsi,  on  aura 

Il  =  2'/??  —  1 , 

m  étant  impair  et  au  moins  égal  à  o.  Cela  étant,  on  a 

«1        =  '2''""'  1)1  —  I  , 


/ir      =  "1  —  I  pair  et         ^2. 

Donc,  dans  la  série 

/> ,     n i,     rii,      .  .  . , 

il  y  en  a  au  moins  /■  -+-  i  qui  sont  impairs,  savoir  les  /•  premiers  et 

le  dernier.  Donc,  si  2^  est  la  plus  haute  puissance  de  2  qui  divise 

{0.11)11,  on  a 

s  ^  /•  -!-  I  et         n  -^  \  =  -i''  ni  ; 

donc  A,^  est  pair. 

Voici  une  curieuse    génération    des  nombres  A„.   Je   forme  le 
Tableau  suivant  : 


0    l 

2 

3 

4 

o 

' 

7 

8 

0 

10 

[    1 

1 

•2 

■> 

) 

9 

14 

>4 

4 '2 

42 

I 

r 

3 

4 

■4 

'28 

48 

90 

I 

r 

ô 

6 

1 

20 

•27 

75 

1 

7 

8 

35 

1 

I 

9 

I 

4 10  coitKESPONDANCE  d'heioiitiî  i;t  ue  siieltjes. 

(1  iiprrs  la  règle  suivanle  :   Soil  la  colonne  verlicale  à  l'en-tèle 


on  en  déduit 


n 

-1-  I 

a+p 

P 

+  ï 

T 

+  8 

l 

-\-  I 

I 

el  ajanl 


impan- 


n  -+-  I 

a 

p  +  a 

T+P 

i  +  X 

1 

Vous    voyez    figurer   dans    la    première    ligne    horizontale    les 


LETTKE    lO'l  .  4'  1 

nombres  A„,  in;iis  ce  qui  est  plus  cui'ieux  le  voici  :  Prenez  la 
somme  des  carrés  des  nombres  qui  se  trouvent  dans  une  colonne 
verticale,  on  retrouve  la  série 

I,        I,       '2,       j,       (4,     ^•i■,     13-2,     4'''-9'      '43o,      4^fi'>-i     '''79*^) 

=  Ao,     A,,     Ao,     A),     Av,     Âg.     A,-.,       A7,        A»,  Ag.        Aiq. 

Mais  ce   n'est  là  qu'un  cas  très  particulier  d'un  autre  résultat 
que  j'ai  obtenu  en  considérant  ce  problème. 

Etant  donnée  une  fraction  continue 


C3 


en  déduire  le  développement 

X  X^  X"  x-"'^'- 

J'ai  été  surpris  de  voir  qu'il  restât  encore  à  trouver  quelque 
cbose  sur  un  sujet  aussi  élémentaire. 

On  s'assure  aisément  que  A„  est  une  fonction  entière  homo- 
gène de  degré  a -\- \  des  quantités  Co,  c,,  ...,  c„,  les  coeCficients 
étant  entiers  et  positifs. 

La  solution  que  je  propose  est  renfermée  dans  les  deux 
théorèmes  suivants  : 

Théorème  I.  —  La  forme  quadratique 

i]i]A,.,x,-x, 

0         0 

est  égale  à 

Co[aoXo-f-ai  X,-4-  aa^j-t-  «3X3  +  .  ,  .]2 

-4-CoC,C2[plXiH-  ^2X2+  P3X3  +  .  .  .]^ 

-t-  C0C1C2C3C4  [Y2X2-I-  Y3X3-I-.  .  .]2 

-1-  CoCiC2C3C4C5C6[f>.3X3-(-.  .  .]- 


4lC>  CORIUCSPONDANCH:    U  UKUMITK    et    Dli    STIELTJES. 

Thkorrme  h.  —  La  forme  <iu(i<li(iti(/i(e 


! 


est  en; air  à 


y  yA,+,.„x,x^ 


Co  Cl  [  Ko  Xo  -h  a,  X,  H-  70  X.,  +  '7,3  X3  +  .  .  .  ]2 

-^  '"0CiC,C3[p,XiH-   ^2X2+  P3X3-+-...]2 

+  CoCiC2C3C4C5[Y2X2+  Y3X3-+-.  .  .^ 


Les  coefficients 


5^0)        î^l)        ^-21         «:!, 

Pi,      P2,      i^a, 

•S 

03, 


(qui  ne  sont  pas  les  mêmes  dans  les  deux  théorèmes)  peuvent 
être  considérés  comme  connus,  on  les  calcule  à  l'aide  de  relations 
récurrentes  d'une  grande  simplicité. 

En  effet,  si  je  forme  le  Tableau  suivant  : 


(T) 


0 

l 

2 

3 

n 

fi 

I 

I 

Ci 

I 

CiH-C, 

cf+C,C2 

Cf  -+-  C|  -t-  -2  C,  Co-f-  Co  C3 

C\  -+r  IC'l  Ci-h  CiC|  +  C1C2C3 

I 

C1-4-C0-I-C3 

Ci-\-  C2-+-  C3-I-  Ci 

Cf-i-  C|-|-  3  Cl  C2-I-  '2  C2  C3+  C|-i-  C3  c,. 

I 

I 

Ci-h  C2-H  Cs-i-  Ci-i-  C5 

1 

LETTRE     19i. 


d'après  la  loi  sui\ante  : 


4i3 


et  de 


on  (Icduil 


Il  -f-  I 

a  +  C2  3 

?  +  c,y 

Y  -\-  C,;  0 

1  +  c„ 

I 

ini|)Rii 


on  déduit 


n  -f-  1 

Cl  a 

c-3  ?  +  a 

CâT  +  P 

C„_2)v  -1-  k 

c„ ,  I  -f-  X 

1 

4l4  CORIlKSr>ONDANCK    TJ  HEUMITE    KT    DE    STIELTJHS. 

Cela    élanl,    si    j'écris    y    part     les    colonnes    de    rangs    pair    et 


0 

2 

4 

6 

8 

«0 

«1 

ao 

as 

«4 

?i 

82 

h 

^4 

T2 

73 

T4 

' 

04 

^4 

1 

;3 

ri 

7 

2tO 

«1 

«2 

«3 

p. 

?2 

P3 

T2 

T3 

O3 

j'ai,  dans  le  premier  cas,  les  coefficients  cpii  figurent  dans  le 
théorème  I,  dans  le  second  cas,  les  coefficients  qui  figurent  dans 
le  théorème  II. 

Si,  dans  les  deux  théorèmes,  je  ne  considère  que  les  termes  avec 
les  carrés  des  variables,  j'aurai 

Ao  =  c'o, 
Al  =  CqCi, 

A2  =  CoCf  -+-  CqCi  Ci, 

A3  =  Co  Cl  (  Cl  -h  Co  )■-  -+-  Cu  Cl  Co  C3 

A',  =  Co(c|  -H   CiCo)--!-  CoCiC2(Ci  -h  Co-h  €3)^-^  CqCi  CjCsCj, 

A5=  Co  Cl  (Cf -h  C|-r-  2  Cl  C2 -h  CaCa)^ 

-f-  Co  Cl  C2  C3  (  Cl  +  C2  -1-  C3  -T-  Ci  )2  _}_  Cq  Cl  C2  C3  C,v  C5. 


Vous  vojez  que  si  l'on  a  poussé  le  Tableau  (T)  jus(pi  à  la 
colonne  n  on  peut  écrire  immédialemcul  les  valeurs  de  Ao, 
Al ,  . . .,  A,,. 

IVJais  vous  vojez  bien  uuunlenanl  couiment  mes  recherches  sur 
les  fractions  continues  m'ont  amené,  de  la  manièi'e  la  plus  nutu- 


LETTKE    193.  4l3 

relie,  à  considérer  ces  nombres  A^^  =  (2/1),/  dont  j'ai  voulu 

vous  entretenir. 

En    vous    renouvelant,    cher   Monsieur,     l'expression    de    mou 
attachement  bien  sincère  et  très  dévoué. 


195.  —   HERMITE  A  STIELTJES. 

Flanville,  pai"  Nuiseville  (Loi'raine),  17  avril  1889. 

Mojv   CHER   Ami, 

Votre  lettre,  qui  m'intéresse  vivement,  me  parvient  en  Lorraine 
où  j'ai  été  appelé  par  un  deuil  de  famille,  comme  je  vous  l'ai  écrit 
avant  de  partir.  Je  m'empresse  de  vous  informer  que,  dans  l'un  de 
ses  nombreux  Mémoires  dont  je  pourrai,  s'il  est  nécessaire,  obtenir 
l'indication  en  m'adressant  à  lui-même,  M.  Catalan  a  obtenu  la 
propriété  du  coeflicient  binomial  [in)„  à  laquelle  vous  avez  été 
conduit.  De  quelle  manière  l'a-t-il  démontrée,  je  ne  le  sais,  mais 
voici  la  mienne.  Considérant,  en  général,  l'expression 

m  (m  —  i).  .  .{m  —  n  -f-  i  > 

(  m  )n  = . 

I.7..  .  .11 

je  désigne  par  0  le  plus  grand  commun  diviseur  de  m  -\-  i  et  /i,  et 
je  pose  la  relation 

0  =  (  7?i  -H  I  )  A  -)-  n  B 

où  A  et  B  sont  entiers.  Cela  étant  et  après  Tavoir  écrite  ainsi 

rj  =  (m  —  71  -T-  I  )  A  -f-  (  A  -1-  B  )  n, 
je  multiplie  les  deux  nombres  par  le  facteur 
ni  (ni  —  \). .  .{m  —  /i  -1-  a  ) 

I  .  2  ...  71 

ce  qui  donne  facilement 

m  (77?  I  )  .  .  .  (  777  —  n 


0  =  (777),,  A  -(-  {m)„-iB. 
En  représentant  par  E  le  second  membre  qui  est  entier,  on  a 


4l6  COUUKSI'ONDANCK    DUKinUTE    El     DE    SHELTJES. 

donc 

{/n  )„o  =  {m  —  /i  -H  I ) E . 

,....,                m  —  n  +  \      o    • 
el  vous   voyez  ainsi   que  {lujn   est   <li\isiljle  |)ar   =;^ boit 

ni  =  2/«,  les  entiers  'in  -\-  \  et  n  soni  |»remiers  entre  eux,  o  ^  i  el 
le  coefficient  (2 /i),/  est  elleclivemenl  divisible  par  /? -|- i  ;  mais 
votre  méthode,  tirée  d'une  identité  algébrique,  est  puisée  à  la  vraie 
source  des  plus  iuiportanles  |)ropriétés  des  noinl)res.  Je  vois  avec 
infiniiuenl  de  plaisir  combien  vous  avez  heureusement  jirofité  du 
rap|)rochcment  si  original  et  dont  personne  n'avait  jamais  eu  l'idée 
de  la  décomposition  en  carrés  des  formes  quadratiques  à  un  nombre 
infini  d'indéterminées  avec  la  théorie  des  fractions  coiitinues  algé- 
briques. Le  Mémoire  auquel  vous  travaillez  sera  extrêmement  inté- 
ressant, on  se  rappellera  peut-être  en  vous  lisant,  qu'autrefois,  il  y 
a  bien  des  années,  les  fonctions  Y,  V( ,  Vo,  ...  du  théorème  de 
Sturm,  qui  ont  pour  origine  un  développement  en  fraction  con- 
tinue, ont  été  aussi  rattachées  à  la  décomposition  en  carrés  d'une 
forme  (puidraticpic,  mais  ces  questions  sont  maintenant  si  loin  de 
moi,  qu'il  me  faudrait  pour  j  revenir  un  eflort  que  je  n'ai  pas  le 
courage  de  faire.  Et  puis  je  vais  lâcher  de  rédiger  les  applications 
de  la  méthode  de  Laplacc  dont  je  dois  faire  un  article  pour 
rinslitiit  de  Bologne.  En  com|Uant  au  besoin  sur  \ous,  mon  cher 
ami,  pour  ce  travail  si  quelque  chose  survient  qui  me  fasse  obstacle, 
je  vous  renouvelle,  avec  mes  félicitations  pour  tout  ce  que  vous 
venez  de  rencontrer,  l'assurance  y\v  mon  bien  allectueiix  atta- 
chement. 

196.  —  STŒLTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  j»  avril  i88<). 
CuEIt     MOJNSIEUR, 

Vous  avez  parfaitement  raison,  parmi  quelques  Mémoires  de 
M.  Catalan,  que  je  possède  grâce  à  l'obligeance  de  l'auteur,  se 
trouve  un  article  Sur  les  nombres  (Je  Segner.  M.  Catalan  désigne 
par  T,,  le  nombre  de  manières  dont  un  polygone  convexe  de 
n  côtés  peut  être  décomposé  en  triangles  au  moyen  de  ses  diago- 
nales. L'on  a  T/,  =:  2,  T5=5.To=i4,   ...,  ce   sont  précisément 


LETTRK    196.  417 

les  valeurs  de  A2,  A3,  A4,  ...,  et  il  doit  y  avoir  là-dessus  des  articles 
dans  les  Tomes  III  et  IV  (i""^  série)  du  Journal  de  Liouville. 
Je  reviens  un  instant  sur  mes  formules 

(I)  V  VA/+a-X,-X/,     =  Co(«o,t)Xo-l-«o,iXi+«o,2X2-t-..  .)- 

-+-  CoCiC2(ai,iXi-{-  a, ,2X2-1-.  .  .)- 
-1-  CqCi  CiC^Ci^ia^^i  X2  -+-.  .  . )'- 


(II)         2  7  A,-_HA-hiX,-X/,=  CoCi(6o,oXoH-  60,1X1-1-  60,2X2 -H.  .  .f 

-1-  CflC)  0263(61,1  Xi-i-  61, 9X9 -t-. .  .)- 

-I-  CuCi  02036405(62,2X2-1-.  .  .  )^ 


pour  remarquer  que  leur  vérification  est,  pour  ainsi  dire,  immé- 
diate. 

En  effet,  supposons    que,    par   le    développement  des   seconds 
membres,  on  obtienne 

22  ^'./^•^'^^-    ^^    22  ^'•'^■^'^'"'^''■' 

je  dis  d'abord  que  l'on  a 

(1)  a/,/,+  i=  p,-,/,. 

En  effet, 

ot/,A-i-i  =  Coao,j«o,/,-i-i  -t-  f''oOi02ai,/«i,A-4-i  -t-.  .  . , 

S,-, A-       =  OqO,  60,, -60, /,■  -I-  OoOiC2C36i,/6,,/,   -H     ... 

mais  les  lois  de  récurrence  sont 

60, «=  «0,/(-^-  C2«l,/i, 
61, «=  «1,hH-  04«2,«, 
62,»  =  «2, /(-H  C,ja3,„, 


et 

'J'0,«-H1  =  '^1  60, «, 

«1,H+1    =    60,,,  -I-    0361,,,, 

«2,«  +  l  =  61,,,  -f-  0.562,,,, 
«3,«+l  =  62,,,  H-  O763,,,, 


27 


4l8  CORRESl'OiNDANCE    D'iIEK.MITK    ET    l)K    STIKLTJES. 

Exprimons  donc  les  ao,/f+)  p^'r  les  b^>^k  et  les  b^^i  par  les  «o,/?  •••  r 
on  aura 

a/,/.  +  i  =  Coao,/(cièo,A-)  +  CoCj  C2ai,j(èo,/r4-  636,, a-) 

-i-  CoCiC2r3C4a2,/(6i,/.-t-  Cibi^/,.)  -t-.  .  . , 
^iz•,/.■      =  CoCièo,A(«o,/-i-  caai,/)  +  CoCj  C.2C36, ,/,(«],/+  c^ao,,-) 

-H  CoCiC.2C3C:,Csb.2^/,(a.2^i-\-  Cnasj)^.  .  .. 

L'idenlité  de  ces  expressions  est  manifeste. 
Il  est  clair  qu'on  a  pour  la  même  raison 


donc 


d'où  il  est  facile  de  conclure  que  l'on  a  généralement 
lorsque 

f  H-  /î  =  /•  -t-  S. 

On  voit  par  là  qu'il  existe  effectivement  une  série  de  quantités 

Ao,     Al,     A2,     As,     ... 

qui  satisfont  identiquement  aux  relations  (1)  et  (II). 

Ce  point  établi,  on  connaît  aussi  les  valeurs  des  déterminants 


P« 


Ao       Al      ...      \,i-  \ 

A«-l         A2/i-2 

et  l'on  en  conclut  que  la  série 


Q.  = 


Al      A, 

A„     .  . 


A„ 

A2„ 


Ao        A,        A2        A3 
X  X-  x'^  X* 


donne  la  fraction  continue 


C5 


LETriiiî   li)(i  4 19 

Vous  voyez  que  celte  vérification  est  bien  simple,  mais  j'ai  été 
conduit  à  ces  formules  par  lexamen  attentif  de  certains  cas  parti- 
culiers, principalement  ceux  que  j'ai  indiqués  dans  les  Comptes 
rendus  dernièrement. 

Mais  je  vais  montrer  maintenant  que  l'on  peut  se  dispenser  de 
considérer  la  forjne  cpiadra tique 

à  condition  d'écrire  la  fraction  continue  sous  une  forme  légère- 
ment modifiée. 

On  a,  en  eflet,  aussi 

Ao  Al        A2  _  £0 

X  X-  X-^  '  '  '  Cl  C-i 


■r  +  C2 -H  C3 — 


X  ^  t\-\-  Cû  ■ 


la   /?'"'"=  réduite,  ici,   est  identique  avec  la  (2/?)'^'""'  réduite  de  la 
[)remière  fraction  continue. 

D'autre  part,  d'après  Talgoritlime,  on  a 

au,n+\  =  Ci-(-  C2-t-.  .  .-+-  Cin+], 

en  sorte  qu'on  peut  énoncer  cette  proposition  : 
U  idenlité 

22  ^'+/-^'  ^'^  =  îo  [  X  +  a,  X ,  -t-  a2  X2  + .  .  .  J2 
-»-E,[X,+  3.,X,  +  ...]-^ 

^£2[X2  +  ...]^ 


entraîne  cette  autre  identité 

Ao        A,        A2        A.-,  _ 

X  X-  x*  x'* 


X  -\-  rz-y 


l.-h 


J'ai  pensé  aussi  comme  vous  qu'il  doit  exister  certains  rapports 
entre  mes  formules  et  les  recherches  sur  le  théorème  de  Stui-m  et 


420  CORRESPONI)A>CE    DIIERMITK    KT    DK    STIEMJKS. 

sur  \olie  méthode  pour  trouver  le  noml)rc  des  racines  l'éelles, 
basée  sur  la  considération  de  certaines  formes  quadratiques.  Ces 
deux  métiiodes,  si  diderentes  au  premier  abord,  ne  le  sont  cepen- 
dant pas  pour  lé  fond,  je  crois.  Mais,  en  ce  moment,  je  n'ai  pas 
toutes  les  facilités  |)our  étudier  ce  sujet,  la  bibliothèque  étant 
fermée  pendant  les  vacances. 

Veuillez  bien  me  croire  toujours,  cher  Monsieur,  votre  piofon- 
dément  dévoué. 

197.  _  H  ERMITE  A  STIELTJES. 

Flanviiie,  25  avril   1889. 

Mon   cher    A.mi, 

Il  me  semble  qu'il  n'y  ait  plus  rien  à  ajouter  au  dernier  théorème 
que  vous  m'avez  communiqué:  l'identit*' 

V  A,-+/,X,-X/,=  £o(X-ha,  Xi-4-.  ..)2-f-£,(Xi-h  !32X2-^-...)2^-..., 

d'où  vous  concluez 

Ao  _  A]  _^  A2  _       ^  îo 

X         -r'^        x-^       '  '  '  ■      Si  :  So 


a- -I- P2— «!-(-• . 

constitue  un  résultat  définitif  et  que  je  juge  le  couronnement  de 
vos  recherches.  Ce  n'est  point  du  premier  coup  que  vous  y  êtes 
parvenu,  mais  vous  n'avez  pas  à  regretter  vos  efforts;  il  n'y  a  cer- 
tainement rien  dans  les  nombreux  travaux  dont  les  fractions  con- 
tinues ont  été  le  sujet,  de  notre  temj)s,  qui  approche  de  votre  beau 
théorème.  l-,e  point  de  vue  sous  lequel  vous  vous  êtes  placé  est 
entièrement  nouveau  et,  quand  j'ai,  autrefois,  touché  à  la  question 
en  m'occupant  du  théorèuie  de  Slurm,  c'est  d'un  autre  côté  que  je 
me  suis  dirigé,  comme  \ous  aHez  voir,  par  la  remarque  suivante, 
qui  est  d'ailleurs  sans  portée.  Vous  savez  qu'en  posant 

\  —{X—  a){x  —  b).  .  .{X  —  /), 
si  l'on  envisage  la  forme  quadralicjue 

F  =  ! (  X  -H  «V  -H  ...  )^  H ^—T  (  X  H-  />Y  -r-  .  .  .  )2  H-  .  .  . , 


LETTRE    197. 


421 


qui  estime  fonction  symétrique  des  racines,  le  non)l)re  des  carrés 
est  égal  au  nombre  des  racines  réelles  moindres  que  x,  augmenté 
du  nombre  des  couples  des  racines  imaginaires.  Et  si  l'on  pose 

F  -^^kij.Xi\,,        il,  A-  =  o,  t,  -i,  . . .),  A,v,=  Ayr, ,., 

les  coeflicients  de  ces  carrés  sont  la  suite  des  déterminants 


Ao,o  ■ 


V 


A,= 


Ao,,     A,,, 


Généralisons  en  remplaçant  la  forme  F  par  celle-ci 


et  soit 


puis 


(X  -I-  aY-+-.  .  .)2-h 


V, 


X  —  b 


(X-I-6Y- 


V        ^x  —  a 


V2  _  Y"      AB(a  — 6)2      _ 

V  ~  ^  (X  —  a){x  —  b)  ~     '' 

Va  _ -^  ABG(a  —  6)2(a  —  c)2(è  —  c)2  _ 

V  """  ^        (x  —  a){x  —  b){x  —  c)         """     '' 


J'observerai  que  les  quantités  Aq,  A,,  A^,  ...  ne  changent  point 
en  remplaçant  dans  <1>  l'indéterminée  X  par 

X  -xY  —  x^Z—..., 

ce  (jui  donne  la  transformée 
A 


2 


[  X  -H  (  a  —  37  )  Y  +  ( «2  —  .r^  )  Z  H- .  . .  |2  =  0. 


Cela  posé,  soit 


0=2p,./,X,X/, 
^mi  X  —  a 


Vous  voyez,  ensuite    que    tous  les  autres   coefficients  sont  des 
polynômes  entiers  en  x^  et  de  l'expression  sous  forme  de  déter- 


422 

minant 


COUnKSPOiNDANCE    I)  llKinilTK    ET    1)K    STIKI.TJKS. 


X.' 

V 


A,-,  = 


^'  P 

Pl,0  Pl.l 


Po,(4  1 
Pl,/-f- 


résulte  qu'on  peiil  écrire,  en  di-sii^nanl  par  (j  et  H  des  |)()lynonies 

entiers, 

V  \  . 


V  =  G  V 


c'est-à-dire 


\,  =  GV,+  HV. 


Mais  peut-èlre  vaudrait-il  mieux  employer,  au  lieu  de  la  forme  0, 
cette  autre  transformée  de  <I»,  pour  lacpielle  les  quantités  A/  sonl 
les  mêmes  que  dans  F, 

V  — ^ rX  -H(a7  — a)Y-H(.r  —  aj^Z-H.  .  ■['■ 

Les  coefficients  s'expriment  alors  parles  sommes  des  puissances 

\'(rr  —  a)"'  =  S,i.r"'  —  /» ,  Sia""'-'-+-  /?ioS9,r'"-~'-  — .  .  .. 

Encore    un   mot  au    sujet   de   l'intégrale    /     f[x)dx  et  de  la 

méthode  de  Laplace,  qui  consiste  à  poser  f{x)  =  /'(  a)e~''  lorsque 
fix)  n'a  qu'un  seul  maximum  pour  x  =  a. 

En  posant  ^{x)  =  1/  log  4-^ — ^  cetLe  équation  devient  F(.r)  ^  <, 

avec  la  condition  de  x  ■=  a  pour  /  =  o.  Ne  couvient-il  pas  de 
remarquer  que  la  valeur  de  x  sous  Ibruie  de  série  en  /  se  tire  de  la 
formule  de  Lagrange  pour  la  rc'solution  de  ré(pialion  .r  =  a-\-  t  o{x)^ 

.,     ,      ,    — ^ .  lorsciu  on   lail,  a|)rcs  la  dilrerentialion, 

.^  1.1.  .  .H  '  ' 

^  =  a?  Il  suffit,   en  effet,  de  poser—- =iY{x)  pour  ol)lenir  la 

proposée. 

En  vous  informant  que  je  serai  de  retour  à  Paris  dimanche,  je 
vous  renouvelle,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mon  hien  an'ectueux 
attachement. 


LKTTHE     198.  423 

198.  —  SriELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  y-  avril  1889. 
Cher   Monsieur, 

11  y  a  certainement  des  rapprochements  à  faire  entre  mon  travail 
et  les  travaux  classiques  sur  le  théorème  de  Sturm  et  sur  votre 
méthode.  La  forme  quadratique 

F=       — î — (Xo-haXi-4-a2X.,  +  ...)2 
X  —  a  ' 


est  aussi  de  cette  forme  j^articulière  7  A,^./!;XtX/;,  le  coefficient 
de  XjX^. . .  dépendant  seulement  de  « '+  A",  et  je  remarque  encore 
que  le  point  de  départ  de  mes  recherches  est  la  recherche  du 
minimum  d'une  intégrale 

I      ■ \i-]-  ai(x  —  u)  -\-  a.:,{x  ^  u)^  -h.  .  .-h  a„(or  —  «<)"    (lu; 

J^,      X  —  u^  ' 

c'est  peut-être  aussi  à  rapprocher  de  l'expression  F.  Mais  nous 
voilà  à  peu  près  arrivés  à  la  fin  des  vacances  et,  mon  travail  ayant 
pris  plus  d'extension,  il  me  reste  encore  heaucoup  à  faire. 

Je  ne  crois  pas  me  tromper  (mais  je  n'ai  pas  en  ce  moment  la 
bibliothèque  à  ma  disposition)  si  je  me  rappelle  que  votre  remarque 
sur  l'application  de  la  série  de  Lagrange  au  développement  de  x 
suivant  les  puissances  de  t  ayant  y"(^  )=/'(«)  e"'''  se  trouve  déjà 
dans  l'exposition  même  de  Laplace  de  sa  méthode. 

Voici  une  curieuse  identité  algébrique  que  j'ai  rencontrée  che- 
min faisant.  Parmi  mes  fractions  continues  est  la  suivante  : 


r(^= 


Q-XZ  cl;^    ^= 


2(a  -i-  r) 

3(a-t-  1) 
X  -H. 


424  CORIIESPONDANCE    d'hERMITK    ET    DE    STIELTJES. 

pour  «=  1 ,  2,  on  retombe  sur  les  deux  premières  que  j  al  obtenues, 
cette  formule  est  même  renfermée  dans  une  autre  où  iif^urent  deux 
paramètres  a  el  b. 

Mais  je  prends  «  =  —  /?,  n  »''lant  entier  et  positif,  alors 

(«)o  (  n)i  (n).,  (n)n 


X  -r  n 

2/i 


■2,{n  —  i) 
3  (  /i  —  'x) 


Je  ne  crois  pas  que  ce  soit  facile  à  démontrer  d'une  autre  façon. 

Il  me  faudra  encore  beaucoup  de  travail  pour  coordonner  les 
■  résultats  que  j'ai  obtenus  et  surtout  pour  m'assurer  qu'il  n'en  reste 
pas  d'autres  qui  m'auraient  échappés,  de  manière  à  a\oir  un 
ensemble  à  peu  près  complet. 

En  vous  renouvelant,  cher  Monsieur,  l'assurance  de  mon  entier 
dévoûment,  je  suis  toujours  votre  très  reconnaissant. 


199.  —  HERMITE  A   STIELTJES. 

Pai'is,  5  mai   i88y. 

MoK  CHER  Ami, 

J'ai  donné  dernièrement,  dans  une  leçon,  pour  origine  à  la  série 
de  Gudermann,  qui  a  beaucoup  attiré  votre  attention,  l'intégrale 


S  =   I      e"' -— ; dt. 


En  employant  l'identité 


I  e"^ 


I  —  e' 


on  obtient,  en  effet,  une  somme  de  termes  représentés  par  l'inté- 
grale 


/*"      ,    ^/i,«'(^  —  2)  —  «  —  2     ,  /  ,  l\ 

/      e(«+A)'  — ^ i- df  =  I  a  -r-  A  -^  ~  ) 


io<ï    I  -t- 


a  -+-  k 


LETTRE    199.  425 

avec  un  ternie  complémentaire 

([ui  reproduit  la  quantité  J  en  y  changeant  a  en  a -\-  n.  Comme 

on  a  J  =  — ^  ,   où  £  est  <C  i ,    le   terme   complémentaire  a  pour 
12a  1  ^ 

limite  supérieure  — -, et  devient  nul  pour  11  infini,  ce  qui 

^  1 2  (  rt  -i-  n  )  c-  '1 

détnontre  la  convergence  de  la  série 

l[(''-^--i) '»«(■- dr-A-)-']       a- =  0., ,,,,...). 

Je  suis  peu  satisfait  de  ce  que  dit  M.  Serret  dans  le  second 
volume  de  ses  Leçons,  pour  démontrer  directement  cette  conver- 
gence. Il  me  semble  nécessaire,  en  restant  dans  le  cas  de  a  réel  et 
positif,  (remployer  le  développement 

,og(,  +  .)  =  .._:^  +  Ç_^_^^         (6<,) 
(|ui  donne  pour  limite  supérieure  du  logarithme  la  quantité 


X h  — 

•2  O 


(^n  trouve  facilement 


a  +  k  ^ )  los  (  I  H- 


(  rt-l-  A-H  -  )  ( — ^—j 
•ij  \a-\-  k 


a  -\-  k  I 

I 


2(a  -I-  A-)2        3(a  -4-  A-)3 
1 


ii{a  -+-  ky^        Ç)(a  -{-  kf 

d'où  une  somme  de  deux  séries  convergentes,  pour  limite  supé- 
rieure de  la  série  proposée. 

Vous  m'avez  bien  surpris  en  mapprenant  que  la  forme  quadra- 
tique 

y  — '■ (X  +  aY  +  a2Z-f-...)2 

^i  X  —  a  ' 

appartient  au  type  7  A/^/fX/X^,  dont  vous  avez  le  premier  reconnu 


426  COnUKSPONDANCR    l)'HER>HTE    ET    DE    STIELTJES. 

l'iiii|)orlance;  il  en  est  de  même  évidemment  de  celle-ci 

7   rX  -1-  (.r  —  a)Y  -h  (.r  —  <7  )-Z  -+-.  .  .12, 

dont  j'ai  fait  aussi  usage.  Mais  y  aurait-il  lieu,  pour  l'Arithmé- 
tique, de  distinguer  ces  formes,  et  intérêt  de  chercher,  ce  qui  est 
encore  une  question  d'Algèbre,  les  substitutions  qui  conduisent 

à  des  transformées  de  même  genre  ^  A^^^^X)  X)^.? 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mon  bien 
affectueux  attachement. 


200.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  7  mai  1889. 
ChEI!     Mo]\SIEUK, 

Me  sentant  un  peu  fatigué,  et  aussi  à  cause  de  mes  conférences..., 
j'ai  dû  interrompre,  pour  une  dizaine  de  jours,  mon  tra\ail,  mais 
je  compte  bien  le  reprendre  bientôt. 

Voici  une  petite  remarque,  sans  aucuine  portée  d'ailleurs,  que 
j'ai  faite  sur  un-  j)assage  de  la  Théorie  analytique  de  la  ehaleur 
dont  nous  devons  une  si  lielle  édition  à  M.  Darl)Oux. 

Fourier,  pour  ol)tenir  le  développement 

i  =  a  cos.r  -4-  6  cosSa-  -H  c  cos  5.r  -i-  fi?  eosja^  -I-.  .  . , 

pose  .2?  =  o  dans  cette  relation  et  dans  celles  qu'on  en  déduit  par 
des  différentiations  successives,  il  obtient  ainsi 


I 

= 

a  -+- 

b 

-+- 

c 

+ 

d 

+  ..., 

0 

^ 

a  -+- 

3^ 

'b 

4- 

5- 

c 

■+- 

1-d 

+  ..., 

0 

= 

a  + 

y 

'b 

-f- 

5'' 

<■ 

-H 

'j'-d 

-f-. .  .. 

0 

= 

a  -t- 

36 

b 

-H 

5« 

c 

-+- 

■]Hl 

-(-..., 

n    de   ces   équations    lui   donneni    les   )i    premiers   coefficients  et, 
posant  ensuite  n  =00,  il  obtient 

4  /  I        .,  1        -  i  \ 

(■osa?  —  -7  cos3,r  -\-  -.■  cosaa;  —  -  00573?  -h.  . .     . 


LETTRE    200.  4*27 

Il  est  clair  que  cela  revient  à  détenniner  une  expression 

a„(,r  )  =  «1  cosa;  -\-  a^  cos3ar  H-.  .  .H-  a„  cos(2«  —  i)t 

par  la  condition   que  le  déveIop|)enient  de   'f//(-r)  soit  de    cette 

forme 

çp„ (  .r  )  =  I  +  A„  x"-"  ^-  knv  1  a72"+2  -t- . .  . . 

Or,  je  remarque  que  l'identité 

(■>.i-iin.-r)2«-i  —  {e'x—  e-ixy.n-\ 

donne  facilement 


(siiia:-)2"-i  =  A;; 


On  en  conclut 


Il  —  \    .               ( n—  \){n  —  2)    .    . 
im,7' sin  3.7-  -1- sin  33* 

/i  +  1  (  n  H-  r  ;)  (  /î  -4-  2  ) 


A„ 


/      (  sii)  .r  )-""'  t/,r 


3 . 5 . 7 . . .  (  2  /i  —  I  ) 

4 . 6 . 8 .  . .  (  2  n  ) 


I   («  —  i)(/-*  — 2) 
cos  3  .r  -1-  - cos  5  x 

5  (  /?  4-  I  )  (  «  -H  2  ) 


•]■ 


/■  2  2  .  4  .  6  .  .  .  (  2  /<  2  "l 

B,,  —   /        sni,r)2"-i  dx  =  ^r^ ^ '■  » 

Jo  3.5.7...(2/i-i) 

et  il  est  clair  qu'on  aura  nécessairement 

A,;!"  I   «  —  I  I  («— i)(/i    -2)  "1 

(i)     o„(^)  =  — -    cos2.r  —  -  cos3.r  -H  - cos 5 a-  —  ...    , 

B„  L  3    /i  T-  I  3   (/iM-l)(/H-2)  J 

71 

(2)  i  —  (s„ix)=   I      (sin.r)2'' -1  «'a-:    /      (sina-)^"- 


-1  rt'r. 


11  est  facile  de  constater  l'identité  de  (i)  avec   le  résultat  de 
Fourier,  on  a  notamment 


A„ 


3-.  5-.  .  .(2/1  —  I  )- 


B„        (r-—  i)(  y^—1). .    [(2/1  — 1)2-  ij  B„        - 

A  l'aide  de  (2)  il  est  facile  de  démontrer  qu'on  a 

I  i  m  [  I  —  o„  (:?■)]  =  o  { /i  =  x) 


4^8  CORRESPONDANCE    d'hERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

lanL  (juon  suppose  —  -  <<  jc  <CH En  effet,  soit 

C/(  =    /      (  s'inx)-"-^  do- 


évidemment 


C„+i<  sin2a".G„         et         B„_j-,=  ^ B„: 


I  -  -  cp„+.i(a?)  _  G,f-n  ,  G 
I  —  ci„(.r)     ~"  B„+,  ■  B„ 


:  o-  <    I 


—  )  sin2 
m  / 


Donc  ce  rapport  i  —  'i,/+i(j')  :  i  —  -On^x)  restera  inférieur  à  un 
nombre  fixe  À  compris  entre  sin-j:  et  i,  pour  des  valeurs  suffi- 
samment grandes  de  a?,  d'où 

lim[i  —  (p„(.r)J  =  o         (n  =  -Ji). 

En  faisant  croître  n  indéfiniment,  Téquation  (i)  donne  donc 

„  1         _ 

COSo^  -r-  7  COS  ^  X  — . 

—  —  <  ^  <  -1 — ^  • 

Pour  établir  ce  résultat  en  toute  rigueui-,  il  faudrait  montrer  qu'en 
posant 

b   =  CO?iX  —   -  COS  3^  +   -Q,0%JX  —  .... 
,D  5 

I   n  —  I         „           i  {a  —  i){ti  —  -i.) 
b  =  coScT  —  -  ■ —  COS  3  a;  -\-  ^   , ,  cosaa:*  — .  . . , 

ô    n  -\-  i  3    (  /«  -h  1  )  (  /l  -r-  2  ) 

on  a 

lini(  S  —  S')  =  o  («=»:;). 

Ce  n'est  pas  difficile,  mais  peu  intéressant.  J'ai  écrit  un  petit 
article  sur  ce  sujet  pour  les  Nouvelles  Annales  (').  On  peut 
obtenir  d'une  façon  analogue  le  développement 


-  sin  2.r sin/iiT  H — -  sin  ^x  — . 

•i  4  b 

37   <H 


4 

7t 


(')  Note  des  éditeurs.  —   L'article  a  paru   clans  le  Tome.  VIM,  page  4^2,  de  la 
3'  série  des  Nouvelles  Annales  de  Mathërnatiq ues . 


LETTRK    201.  4^9 

Soit  d'aborJ 

<}^ra(-'Z')  =  «1  sin-i^  H-.  .  .-h  a„  si  11  i  nx 
avec  la  condition 

i];„(:rj  —  x  ^  X„a:*''+i4-  kn^xx''-»^-'' ^ 

On  obtient  '|'«(.r)  en  remarquant  que 

(|;„(.r)  —  X 

ne  dilïère  que  par  un  facteur  constant  de 
/      (  sina-)'^"  dx^      .... 

Veuillez  bien  agréer,  cher  Monsieur,  la  nouvelle  assurance  de 
mon  sincère  dévoûment. 


201.  —  HERMITE  A   STIELTJES. 

Paris.  10  mai   1889. 


Mon   cheu   A 


Mr, 


Vous  ne  pouvez  pas  douter  du  plaisir  que  j'ai  eu  à  lire  votre 
ingénieuse  et  élégante  analyse  et  vous  voudrez  bien  recevoir  mes 
compliments  pour  ce  que  renferme  d'entièrement  neuf  l'équation 
cp„(.2:^)  =  I  -f-  knx'^" -\--  ■  .;  n'y  a-t-il  point  là  quelque  écho  éloigné, 
quelque  réminiscence  des  fractions  continues?  Maintenant,  je 
viens  faire  appel  à  votre  charité  en  appelant  votre  attention  et  vos 
observations  sur  la  façon  dont  je  présente  la  méthode  de  Laplace 
sur  le  dévelo[)pement  des  coordonnées  elliptiques  (Mec.  cél.,  t.  V, 
Supplément).  Je  raisonnerai  de  préférence  sur  l'anomalie  excen- 
trique au  lieu  du  rayon  vecteur;  on  a  alors  la  série 


u  ^=  t  -k-  e  %int 


I.  2.  .  .m. 2'"-^ 
OÙ 

T„j  =  m'"-'  sin  mt  —  m ,  ( m  —  2 )'«-i  siri  (m  —  ■1)/. 
-+-  /n2  (  m  —  4  )'"-!  sin  (  m  —  4  )  ^  — ...  ; 


43o  COKKESI'OINDANCK    DUKIOUTE    ET    DE    SIIELIJES. 

cette  quantité  T,„  a  pour  maximum 

[JL  étant  l'entier  contenu  dans  —  cl  il  s'agit  d'obtenir,  pour  m  très 

grand,  la  valeur  approchée  de -^ — ^ r:  c'est-à-dire  de  la 

^  '  '  '  1.2. ..  m  —  i)  2'«-i 

série 

S  =  /(o)-l-,/(u+...  +  /(r)+...  +  /((JL), 

en  posant 

■^       '  1.2. .  ./n.2'"-i 

J'introduis  dans  ce  but,  au  lieu  du  nombre  entier  /•,  une 
variable  x\  je  fais  pour  cela 

/•(^)  = \Jl L 

•^  ^     '       Y{x  -\-\)Y{in—x-^\) 

De  cette  manière,   une   valeur  approchée  de  S  est  donnée  par 

l'intégrale  définie     /     fi^x')  dx^   qu'il   s'agit  d'évaluer   elle-même 

par  approximation. 

Admettant,  comme  le  dit  Laplace,  que  les  termes  de  la  série  S 
vont  d'abord  en  croissant  et  qu'ils  ont  un  maximum  après  lequel 
ils  diminuent;  je  cherche  ce  maximum  en  posant  /'(j:,-)  =:=  o.  Les 
expressions  as jmplo tiques  de  r(.r-i-  1)  et  Yi^in  —  .r  +  1  j  me  donnent 
d'abord 

/  *  /''(^)        2(m  — I)        ,  ,       ,  ^  I 

(A  )      Hv — -  =  — loga;  H-  log(/w  -  x) 


/(  X  )  2  X  —  m  °  "  '        'i  X        ■î{x  —  m) 

Je  néglige  les  deux  derniers  termes;  je  remplace  par 

et  je  trouve,  pour  déterminer  le  maximum,  l'équation  de 


•IX  —  m 

la  Mécani(/iie  céleste 


2  m  , 
=  loi 


qui  achuet  une  seule  racine  x"  =  ç  =  o,o83  o'j  ni.  Cela  étant,  je  dis 


LETTRE    201.  43l 

qu'aux  limites  x  ^  o,  x  =  ^j.,  les  quantités 


/(o)         ^^  /(i^) 


sont  l'une  et  l'autre  très  petites.  On  a,  en  effet, 

/(o)  _   /       m       \"'-'  r(g  +  I) 


et  la  valeur  ç  =  o,o83  07  m  montre  que  le  facteur  --^ décroit, 

quand  //i  augmente,  bien  plus  rapidement  que  n'augmente  la  puis- 

(rn       \  "'^'  /'(  |i.  )       ,  , 
— c          =(1.2...)'"    '.    (  )uant  à    ^^77y7    c  est   zéro    ou 


j    mais   cette   remarque  a    peu   d'importance, 

r(|x-f-()r(/«  — [J.-+- 1)  1  '  '  ' 

comme  vous  allez  voir.  La  propriété  de  la  fonction  ,/(•/■)  de  n'avoir 
qu'un  maximum  entre  les  limites  de  l'intégrale  conduit  naturelle- 
ment à  employer,  pour  obtenir  cette  intégrale,  la  méthode  du 
calcul  des  probabilités  en  posant  • 

Soient  ^  =  —  g  et  t  = -^  h  les  valeurs  de  t  qui  correspondent 
aux  limites  x  =  o  et  ^  =  u.,  nous  aurons 

J^  fi.x)dx  =  M)J      e-^"-clt. 

Cela  étant,  si  l'on  se  borne  à  employer  le  premier  terme  seule- 
ment de  l'expression  de  dx^  qui  est  i/—  V.  dt^  ce  qui  donne 
la  quantité 


/<v-7f/r'--" 


on  observera  que  l'intégrale  définie  tend,  avec  une  extrême  rapi- 

dite,  vers  sa  limite    /        e^''  dl  =  y/'u  et  en  diffère  fort  peu,  même 

pour  des  valeurs  médiocrement  grandes  des  limites  g  et  li\   de 
sorte  qu'on  obtient,  pour  l'expression  approchée, 


J  =  v/'^^/(^)\/-|^ 


4331  CORBESI'ONUANCE    d'hEUMIIE    ET    DE    STIELTJKS. 

Observez,  inaintenanl  que  réqualion  (A)  donne,  en  négligeant 

les  termes  en  ^  et  —. i 

^2         (?  — m)2 

f'W)  !\m  I  I  m^ 


on  en  conclut 

1  _    r^  fir,  (m  —  -i\)\/\(m  —  \)  _  \ke)'"  {m —'i\)"^ 

^  —  \  '*■  <■  J  { ;  )  , —  —        , —    , —  »-(')• 

m  \/m  1  <^-i.-:z  //«*  l}(.  m  —  ; )"'-l 

Faites  comme  Laplace  \  =  i/no^  cette  quantité  devient 

I  r     e(i  —  2  co  )     1  "' 

ou  plutôt  en  représentant  par  E,  comme  fait,  je  crois,  M.  Tisse- 
rand, la  base  des  logarithmes  népériens 

La  règle  de  convergence  lim  y^J  •<  i  nous  donne  donc  la  conclu- 
sion de  la  Mécanùjue  céleste. 

Tout  à  NOUS  bien  affectueusement. 

202.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  11!  mai   1889. 

Chkiî    Monsieur, 

En  écrivant  ma  dernière  lettre  je  n'avais  pas  encore  reçu  la  vôtre 
du  5  mai,  qui  ne  m'est  par\enue  qu'avec  un  grand  retard  (c'est 
que  dans  un  moment  de  distraction  vous  l'avez  dirigée  à  Paris  au 
lieu  de  Toulouse^  et  ainsi  elle  a  fail  un  pclit  tour  en  passant  par 
Lyon. 

J'ai  lu  avec  la  pbis  gi-ande  attention  votre  analyse  pour  trouver 

(')  Note  des  éditeurs.  —   Voir,  au  sujet  de  celle  formule,  lu  lettre  202. 


LETTRE   203.  433 

l'expression  approchée  du  maximum  du  coefficient  de  e"*  dans  le 
développement  de  l'anomalie  excentrique,  et  je  ne  vois  pas  ce 
qu'on  pourrait  y  changer.  Je  crois  qu'il  j  a  seulement  quelque 
inadvertance  dans  les  formules  suivantes  : 

il  me  semble  tpi'd  faut  multiplier  l'expression  («)  j>ar  4   et  écrire 

2(^e)"'(m  — 'jQ"' 
y/'iT,  v/m^  ^^{m  —  ç  )'"-5 

et,  en  posant  \  =  m  w, 

La  condition  de  convergence  est  alors,  e  étant  rexcentricité 


e< 


limt'  y/ J  <  1 , 


E  (  I  —  2  eu  ) 
c'est  le  résultat  de  Laplace. 

Mais,  pour  plus  de  sûreté,  je  dois  vous  prier  de  vouloir  bien  me 
contrôler  à  l'égard  de  ce  facteur  2  que  je  mets  au  numérateur  au 
lieu  du  dénominateur,  on  se  trompe  si  facilement. 

J'aurais  encore  à  vous  parler  des  formes  quadratiques  du  type 

^7  T/^^X^X;;,  mais  j'aime  mieux  attendre  encore  un  peu  poui- 
apj)rofondir  cette  matière. 

Votre  sincèrement  dévoué. 

203.  —  sriELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  i3  mai  1889. 
Cher   Monsieuii, 

Voici  un  post-scriptnin  à  ma  dernière  lettre.  La[)lace  donne  à 

peu  près 

a>  =  o,o83o7,         e  =  o.()6i95. 


434  CORRESPONDANCE    D  HERMITE    ET    DE    SÏIELTJES. 

Je  me  rappelle  que  les  auteurs  qui  se  sont  ensuite  occupés  de 
cette  question  (Cauchj,  Serret)  donnent  des  valeurs  légèrement 
diflerentes  de  e;  je  n'ai  pas  sous  la  main  leurs  nombres,  mais 
M.  Schlumilch  (t.  II  de  son  Traité)  donne 

e^(),6(r2  742         (37=1,199678). 

Pour  faire  disparaître  ces  difierences,  j'ai  entrepris  le  calcul;  les 
résultats  suivants  sont  aussi  approchés  que  cela  est  possible  avec  le 
nombre  des  décimales  écrites 

Equat.  transe.  :  log  nep. =  -ix^ 

X  =  -f-  1 ,  199  678  640  237  7c>4 

to  =  -H  o , o83  22 1  720  1 99  5      =  (a?  —  \)\  >. x, 

e  =; -H  0,662  743  419  349  2      =  ^xx  —  1 . 

J'ai  cru  que  si  vous  donniez  les  valeurs  de  w  et  de  e,  mieux 
\audrait  donner  les  \aleurs  exactes. 

Votre  dévoué. 


204.  —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,   i5  mai   i88y. 

Monsieur, 

Les  notes  que  vous  m'avez  confiées  sur  les  intégrales  eulériennes 
contiennent  cette  équation 


3.4  .«^ 


5.6.a5 


Seriez-vous  assez  bon  pour  me  dire  si  elle  vous  appartient? 
Je  remarque  qu'ayant 

r^  fe'-^  —  ('■^'  ~|  dx 


\o"Y(a 


('-.!)' 


—     a \e 


dx 

X 


LETTRi:    'lOk. 


011  en  conclut 


^ax  y  g  -  —  j 


gx 


dx 

X 


e"-^'  I       \  dx 

X 


Joignant  à  cette  é<|nalion  la  suivante 


\\o^a^j^     ( 


X 


et  retranclianl  membre  à  membre,  il  vient 


*      Y {a)  1      ^ 


i  \  e'^-^'  dx 


e2  +  I 
I  —  e^   e^''  d. 


I  -4-  e2 


formule  dont  se  conclut  votre  développement. 
Une  remarque  maintenant;  on  a 


n 


donc 


U-' 


(  »i  =  1 ,  3,  5,  . .  .  )  î 


IX        e^  -{-  e 
cos  —  = 

2  2 


n 


puis,  en  prenant  la  dérivée  logarithmique 

1=2 


1  e-  —  e 

2  ^ï         ^ 


X-  -+-  ni^Tz- 


Changeons  encore  x  en  -  et  l'on  aura 

.V 

I    «2  —  I  _  "^  4 

>.  :r     £  ^à  X-  -+-  4  m^  TT- 

ce  qui  nous  conduit  à  la  nouvelle  expression 

4  ë"^  dx 


11 


a"-  -(-  4  m-  Ti- 


135 


CORRESPONDANCE    D  HER>UTE    El     IlE    STIELUES. 
a 


,,      ■  ■  iniur  .         . 

ooil  inainleuaul  ^' ^  -,  on  trouve  ainsi 


en  posant 
Or  on  a 


S  = 


s  =  f  [Iog(i-He27:?)_loo(,_e27t;)]. 


Votre  série  a  donc  le  même  caractère  analytique  que  celle  de 
Stirling;  en  l'arrêtant  à  un  terme  de  ranii;  cjuelconque,  le  reste 
est  moindre  que  le  terme  sui^  ant  ;  mais  vous  aurez  sans  doute  déjà 
vu  tout  cela. 

En  vous  renou\elant,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mon  afTec- 
tueux  attachement. 


205.  —  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  16  mai  1889. 
Cher   Moinsieuk, 

Je  ne  me  rappelle  pas  a\oir  vu  quelque  part   explicitement  la 
formule 

iog  — =  -  lue  «  — ...  ; 

"^      V{a)  -2      " 

cependant  on  ne  peut  pas,  à  proprement  dire,  la  considérer  comme 
nouvelle,  puisqu'elle  résulte  immédiatement,  en  retranchant  les 
formules  (59)  et  (58)  du  Mémoire  de  Gauss  Sur  la  série  hyper- 
géométrique  {OEuvres,  t,  111,  p.  103),  car 

logJj(^-;)  =\o^v{z^~^,  logJJ(5)=logr(3)  +  log5. 

Mais  je  considère  cette  formule  sous  un  autre  point  de  vue.  Soit  6 
un  entier  positif,  on  a 

logr(a  -{-b)  —  logr( a)  =  iog a(a  +  i)  ...  (a  -4-  6  —  i) 

6-1 

A- 


=  6loga-+-2jog(i4-  -y, 


LETTRE    205.  437 

donc  en  développant  suivant  les  puissances  descendantes  de  «,  et 
en  introduisant  les  fonctions  de  Bernoulli  (j'adopte  la  notation 
de  M.  Jordan,  t.  II,  p.  \oi), 


(A)      log 


i"-t-  ■_>."-+-..  .H-( 6  —  1)'*=  1.2.3. .  .ncp„(6); 
r  (  a  -4-  6  ) 

r(a) 

Cil  (6)  '-22(6)  l.2.Cp.3(6)  I.2.3.cp4(6) 


J'ai  supposé  ici  b  entier  et  positif,  mais  en  ayant  recours  aux 
intégrales  définies  qui  représentent  logr(a  +  b)  et  logT(a)  vous 
verrez  aisément  que  le  développement  ...  est  valable  sans  cette 
restriction.  Toujours  est-il  remarquable  que,  lorsque  b  est  entier 
(  positif  ou  négatif),  la  série  est  convergente  lorsque  a  est  suffi- 
samment grand;  ainsi  la  dédiu'tion  précédente  montre  bien  que 
pour  b  entier  positif  la  série  est  convergente  tant  que  a"^  b —  i. 
f^orscpie  b  n'est  pas  entier  la   série  est  divergente  quelle  que  soit 

la  valeur  de  <7,  comme  cela  arrive,  par  exemple,  pour  6  =  -  ...  ce 

(pii  donne   précisément  le  cas   particulier   mentionné   plus   haut. 
Vous  voyez  que  cette  supposition,  b  entier  positif,  fournil  y\n  moyen 
siuqjle  pour  retrouver  la  formule. 
On  a  généralement 

Oa{\  —  h)  =  (— i)"-io„(è), 
donc 


(B)  log 


Via) 

9i(6)        <p-2  (  ^  )        1  . 2 .  tp.-i  (  6  ) 


(1  —  0;  log  a 


a  a^  «■< 


ce  qu'on  pourrait  trouver  aussi  directement  en  supposant  encore  b 
entier  et  positif. 

La  combinaison  de  (A)  et  (B)  . . .  donne 

,,,  I,        V{a-+- b)V{a -\'\ -b) 

^^^      2'*^^ ru)r(a) 

=  J  loga  +  i^  +  i:ljM^  _^  y.o..-i.^.^db)  _^ 
■i  a  a^  a^ 


438  COUnESPONDANCIÎ    I)  HEUMITI':    ET    DE    STIELTJES. 

Supposons  niainlenanl  o<ih<^i  ....  D'après  les  pio|)riétés 
connues  des  fonctions  o  vous  verrez  <pie  dans  ces  séries  (C)  el(D) 
les  termes  sont  alternativement  +  et  —  et  elles  ont  même  carac- 
tère que  la  série  de  Stirling;  en  s'arrêtant  à  un  terme  quelconque 
l'erreur  est  moindre  que  le  dernier  terme. 

Si  vous  introduisez  les  intégrales  définies  |)our  logF,  \ous  trou- 
verez, en  déxeloppant,  les  formules  par  intéj;rales  définies  des  fonc- 
tions de  Bernt)ul]i  dont  vous  avez  traité  dans  le  Journal  de 
Crelle{'). 

Les  séries  (C)  et  (D)  ne  donnent  pas  de  fractions  continues 
simples,  mais  les  séries  obtenues  en  prenant  les  dérivées  par 
rapport  à  a  donnent  des  fractions  continues  élégantes.  Pour  les 

écrire    sous    leur    forme    la    |)lus    simple,    je    remplace    a    pai-  -y 

b  par >  donc  i  —  b  i)ar Alors  on  a 

'  >.  '  2 


32(32—6^ 


,r.,  ,,a-+-i-ho\        ,/rt-)-i  —  b\  .a 


b-^ 


9 


3a2^        4(9-^^ 


4(25  —  62) 

4 


')a'-  -h . 
n'^[(-2n  —  1)2—  b-^\ 

"^  nmin-hi)^—  62] 

in-ï i ^ 

(•2/?  -H  i)a2-t-.  _ 

Si  dans  (D')  on  suppose  b  entier,  ou  dans  (C)  b  entier  im))air, 
on  retombe  sur  de  simples  identités  algéhriipies,  car  d'une  |)artles 
fractions  continues  se  terminent  brusquement,  et  d'autre  part  les 


(')  Ce   que  je  dis  ici   se  rapporte  aux   loiiiiiiles  analogues  à  la  formule  de 
Scliaar  dont  je  vais  imrler  à  la  (in  de  tua  lettre. 


LETTRE    206.  4>^9 

premiers  membres,  en  vertu  de 

'^{x  -h  I)  =  ■'h{x)  +  -, 

sont  aussi  des  fractions  rationnelles.  Cette  circonstance  me  fait 
soupçonner  que  ces  fractions  continues  représentent  toujours,  en 
sup|)Osanl  a  et  b  réels,  les  [)remiers  membres,  mais  je  ne  l'ai 
démontré  rigoureusement  qu'en  supposant  —  i  <<  6  H-  i .  Mais  ce 
qui  résulte  surtout  de  uion  travail  c'est  la  parfaite  justesse  de  votre 
idée  de  faire  dépendre  les  propriétés  des  fonctions  de  Bernoulli 
de  leurs  expressions  par  les  intégrales  définies. 

Je  dois  ajouter  que  pour  discuter  . . .  les  séries  . . . ,  il  semble 
indiqué  de  recourir  à  des  formules  intégrales  analogues  à  la 
foiniule    de  Schaar  dans    le  cas    de    la  série  de  Slirling.    C'est 

ce  qu'on  peut  faire  dans  le  cas  de  log  ■  L."^  "   '  ainsi  par  exemple 

t];(a?H \-  b\  ^  '^  {  X  -^ b 


_        r°°     X  du  e-2"«  sin('26-;r)  

~  \/(,      ^'^  -\-  u^   I  -+-  2  e-^ii:"  cos  (  '2  6  -II  )  -H  e-'*'^"- 

Dans     le     cas    de    la    fonction    logT    il  doit  y    avoir  sous    le 

signe    /  j  je  crois,  un  log,  mais  le  temps  me  manque  en  ce  moment 

pour  chercher  la  formule,  voulant  vous  faire  parvenir  cette  lettre 
aussitôt  que  possible,  à  cause  des  Mémoires  indiqués  de  M"'^  de  K. 
sur  lesquels  vous  voudrez  demander  peut-être  l'avis  de  quelques 
personnes  plus  compétentes. 

Veuillez  aussi,  pour  cette  raison,  m'excuser Je  vois  bien 

que  j'ai  écrit  une  lettre  un  peu  embrouillée.  Croyez-moi  toujours 
votre  très  dévoué. 

206.  —  H  ERMITE  A   STIELTJES. 

Paris,  i6  mai  1889. 
MoK    CHER    Ami, 

M'autorisez-vous   à  donner   dans   ma  leçon    sur  les   intégrales 
eulériennes,  que  je  rédige  en  ce  moment  pour  ma  nouvelle  édition. 


44o  CORRESPONDANCE    DHERMITE    ET    DE    STIKLÏJES. 

voire  beau  rt'-sultiil  (|iip  j'énonce  ainsi.   «  En  posant 

«  M.   Slieltjes  a  démontré  que  pour  une  valeur  imaginaire  quel- 
«  conque  a  =i  Re'^,  où  l'angle  0  est  compris  entre  les  limites  —  tt 

«  et  +  7c,  on  a 

niod  J(  a)  < 


Je   vous  ferai  remarquer  que,  pour  a  réel  =  R,   votre  formule 
donne 

J(a)<  —  -^  -7— ^ -, 

iKii        24  (rt-  —  a) 

tandis  qu'on  a  la  limitation  un  peu  plus  étroite 

lia 
Vaut-il  la  peine  de  dire  que 

,     r(«-f-i)      ,  ,     /        I  \ 


ia  -h  i 


\         2  «  H-  •>.  a  -\-  \  )         i  a  -h  -2.  n  -h  i 
OÙ  £  est  positif  et  <<  1 . 

Encoi'e  tous  mes  remercîments,  mon  clier  ami,  et  l'assurance  de 
ma  bien  sincère  affection. 


207.  —  STIELTJES  A   H  ERMITE. 

'loulouse,  17  mai   1889. 
Cher   Mojvsieuis, 

En  rétlécliissant  sur  ce  que  j'ai  grill'onné  hier  soir,  je  sens  le 
besoin  de  m'expliquer  plus  clairement  afin  de  vous  épargner  la 


LETTRE    ^07.  44l 

peine  de  débrouiller  cette  lettre  trop  confuse.  Je  reprends  donc  la 
formule 

I,       r{a-^  h)V(a-^i  —  b)         i.  cpj  (  6  )         1.1.93(6) 

en  exprimant  les  fonctions  logF  par  la  formule 

et 

loga  =   /      (  e--»^-- e-a-i) — , 

on  trouve  en  posant 

I,       r(a -+- b)r{a-{- i  — b)         i, 

,  of  <      /     (  ''  —  ^  )  ■'■  —(*—:;)  -"^  ■^■^'  —  ::-^  \ 


1  1 


Maintenant,  je  vais  supposer 


sous 

cette 

con 

dition 

i' 
e^ 

-ï) 

1 

)•'■ 

1 

X 

1 

1  (— 

1  )'^'  4  xco'ii'ib  —  I  )  k  11 

1 

1 

1-                .V 

—  e    2 

1 

^2-4-4^-^112 

(oS 

6<i 

), 

JV 

e 

1 

■2 
X 

I 

1 

tsx 

1 
e-    — 

e 

1 

A  x2 

-^4A'2  7î2' 

ce 

q 

ui  donne 

J  = 

=  /■•.. 

•-'^0 

-«-*■  «i^ 

1} 

1 

-.)^ 

•'  cos 

(•26  —  D/fTT  —  1 

+  4/f27r2 

ou 

p 

our 

Oi 


x=  ik-y, 

,/  1  ^    k2^  A-TI 


log(i  -I-  2/-  cos  a  -f-  /-^  )  =  r  cos  a /--cos'ia  -t-  -  /-^  cos.'}  a  +. 


(\l\9.  CORRESI'ONDANCK    d'hEUMITK    KT    I)K    STIEI.TJES. 

Eu  posant 

on  troiiNora  facileinenl  après  quelques  rédnelious 

IJ  suffit  de  remarquer  que  la  fonction 

I  —  2e-2a7tr  cos(2  67r)  -1-  e-'faTtr 

(l  —  e-2«K>)2 

est  toujours  ^i,  donc  son  logarithme  ^o,  jjour  voir  que  la  série 
obtenue  par  le  développement  de  J  a  le  même  caractère  que  la 
série  de  Stirling  ;  posant  ay  =  x^ 

,_         I       f"^     adx  r  I  —  2e-2ii:-»^  008(2671) -t- e-^'ï-^l 

en  développant 

a  i  X-         x'^  ,         ,       37^'» 

on  obtient  par  comparaison  avec  la  série 

cpi(6)         v.->.^-i{b) 

a  «-j  '  '  '  ' 

1.2. .  .{%n)^^_„^^(b) 

(o^6ii), 

d'où  vous  voyez  que   '-50,^^,(6)   a   un   signe   constant   dans    l'inler- 

valle  (o,  1)  et  (^ue  sa  \aleur  al)sobie  ('roît  de  o  à  ->  décroît  de  -  à  1 , 

en  repassant  par  les  mêmes  valeurs.  Cette  valeur  de  '-s^/z+i  (^)  tl^i' 
revenir  au  fond  à  celle  que  \ous  a\ez  donnée  dans  le  Journal  de 

Crelle,  t.  79.  Pour  0  =.  -  on  retombe  sur  la  formule  qui  se  trouve 

dans  votre  dernière  lettre. 

La  formule  de  décomposition  dont  j'ai  fait  usage  est  une  consé- 


LETTRE    207.  443 

(juence  de 

gaz  I       '^^ -j.z  vo^i-ialciz)  —  ^k-KÛniahr.  , 

-^^=-.=z^li  z^+ik^^ (o<«<.). 

1 

Voici  un  système  complet  de  formules 

-  +  y r, T^~-^ (—  1  g  6  £+  1  ), 

1 

2,      -iAtz  sin ^Att  ,     ^ 

<—')'■-' — ; 7-^—^  (— i<6<  +  i), 

1 

2'-"'-         ....-(A-D^J  (-.<*<^.). 

Il  j  a  naturcUenienl  une  formule  analogue  pour  le  développe- 
ment de 

,        r(rtH-6) 

lue  r— 7—  • 

^  r(«  +  i  —  6) 

Votre  très  dévoué. 

/-*.  S.  —  Je  viens  de  recevoir  voire  lettre  et  je  m'empresse  de 
répondre.  A  ous  me  faites  beaucoup  d'honneur  en  voulant  insérer 
mon  résultat  dans  votre  Cours,  seulement  j'ai  obtenu  la  limitation 

plus  simple 

a  =  Re'û         (_^  TT  <  6  <+ tt), 

niofl  ^{a)  < 


e^ 

—  e- 

-X 

ehx 

—  e 

-hx 

gX 

—  e- 

-X 

gbx 

-+-  e- 

-bx 

gX 

■+■  e- 

-X 

phx 

—  g" 

-bx 

r-iR  cos-|6 
ce  qui,  pour  le  cas  a  réel  positif,  donne 

J(a)<  -^. 
12a 

C'est  donc  cette  limitation 

I 

inod  J  (  a  )  < 


iiRcos49 
que  je  vous  prierai  de  mentionner. 


(4  CORRKSPONDANCE    D  HERMITK    ET    DE    STIELTJES. 

A  (tici  la  (léiTionslralion 


■")-/' 


X  -^  a 


P{x-h\)  =  P(x),  P(x)=-—.r  (o<a:<i), 


,ri+\ 


J(. 


rt  )  =  >     /  dx  =y     I dx^ 

n  I) 

ce  (iiii  donne  la  série  de  Giider  inann 

I) 

mais  aussi 

I 


—  dx. 


/•'"^'/i  +  i  —  X              r      tn-^-y  —  x  r'^ 

I dx  =    I  = dx  —   / 

^n  x-^a  J^  X  -+-  a  J  ^  ^  i_ 

En    posant   dans    la    première    intégiale   x  =  n  +jKj    dans    la 
seconde  jc  =  /«+  i  — y,  il  vient 

I 
/•""^'/iH-i  —  X               fî               i(i  —  -iyy-dy 
I  = dx  =    / > 

J  a-hx  J     {n-^y -^a}(n-^\  —  y -r- a) 


''"^=t.rv^ 


Ui  —  -j.yfdy 


Jo     ('i+y-+-a)i/i^i—y^a) 
On  a 

(n-i-j-t-a)(/i-+-  I  — y  -h  a)  =  {n  -+-  n)  (n  -i-  a-]-  i)  ~ry(i  — y); 
donc,  dans  le  cas  a  réel  positif, 


a  )  (  /i  -T-  «  -+-  1  j 

0 

c'est-à-dire 

I 
12a 
Mais  soit 

a  —  He'^         (— Ti  <  f)  <-i- ~), 

/i-i-y  et  fi  -\- i — y  soûl  toujours   rc'cls  et  positifs;  or,  lors(pie  b 
est  réel  et  positif", 

mod (  6  +  « )  =  \/(b  -^  Ry  cos-H^  -^  (b  —  R)^^in^^O, 
niocl(6-i-a)  >     (  6 -1- R)  cos^ô. 


LETTRE    208.  445 

Ajanl  ensuite 

1 

1.(1  — .?,J)2fl^v 


moc^J(a)  <2    / 


iuod(«  -+-y  -h  a}{n  -\-  i  — y  -+-  a) 

il  vient 

1 

II 
c'est-à-dire 

modJ(«)<  — L-J(R) 
cos"-if) 

et  a   fortiori 

I 

laod  J  (  a  ) 


i2Rcos2|6 


Il  \a  sans  dire  que  cette  limitation  se  rapporte  à  la  continuation 
analytique  de 

j_    r"  ff  logd  — f+-^^^) 

dans  le  cas  où  P-R.»  serait  nétiative. 


208.  —  HERMITË  A  STIELTJES. 

Paris,  20  mai  1889. 
MoK    CHER   Ami, 

Je  suis  on  ne  peut  plus  satisfait  de  votre  méthode  extrêmement 
ingénieuse  et  élégante,  pour  obtenir  la  limite 

mod  J(  a)  <; 


12  R  cos^  2  6 

et  je  la  reproduirai  textuellement  dans  la  leçon  sur  les  intégrales 
eulériennes  de  ma  nouvelle  édition,  leçon  que  j'ai  refondue  entière- 
ment. 

Les  formules   que  vous    m'avez    aussi    communiquées   pour   le 
développement  de 

I,       r(a-4-6)l^(a-f-6  — i)         i, 

-  I02 ;t^; Io£;a 

■X      ^  V-iya)  2      "^ 

sont  très  intéressantes,  et  vous  pensez  quelle  attention  je  donne  à 


446  coRRESPONnAiscF.  d'hehmitf.  kt  i)f,  stii;i/iji:s. 

\<tlre  expression  : 

<|u  il  me  faiulra  bien  étudier  et  rapproclier  de  mes  aneiens  résul- 
tais sur  les  fonctions  de  Jacob  Bernoulli.  Me  proposant  de  faire 
avec  mon  cours  lithographie  de  la  Faculté,  le  deuxième  Volume 
de  mon  cours  imprimé  de  l'Ecole  Polytechnique,  je  réserve  ce 
travail  pour  un  autre  moment,  car  maintenant  j'ai  \raiment  plus 
d'ouvrage  cpie  je  n'en  peux  faire. 


209.  —  STŒLTJES  A   H  ERMITE. 

Toulouse,  -M   iiKii  1889. 
Cher    Monsieur, 

Kn  parlant  sur  le  Mémoire  conceruant  les  anneaux  de  Saturne 
j'ai  ajouté  à  la  lin  une  remarque  qui  n'est  pas  à  sa  place  là.  11  s'agit 
en  eflet  de  ce  que  M""'  de  K.  a  fait,  non  de  ce  qu'elle  n'a  pas  fait. 
Donc,  en  vérité,  la  remarque  que  sa  juéthode  ne  suffit  pas  à  une 
démonstration  rigoureuse  de  la  forme  annulaire  d'équilibre  est 

hors  de  propos ;  tel  qu'il  est,  ce  Mémoire  est  très  intéressant 

et  peu  de  géomètres  et  d'astronomes  auraient  pu  le  i'aire.  Cepen- 
dant il  aurait  eu,  à  mes  yeux,  un  mérite  beaucoup  plus  grand 
encore  si  l'auteur  avait  eu  l'idée  qui  a  conduit  plus  tard  M.  Poin- 
caré  à  une  démonstration  rigoureuse  de  l'existence  d'une  forme 
d'équilibre  annulaire.  Mais  il  faut  qu'il  j  ail  de  l'or  et  de  la 
monnaie,  aussi  ce  Mémoire  est  loin  d'être  le  plus  important  que  la 
Science  doit  à  M"""  de  K.  J'ai  remarqué,  il  y  a  bien  longtemps, 
cpie  l'idée  de  M.  Poincaré  se  trouve  aussi,  sous  une  autre  foruie 
et  aj)pliquée  à  une  question  toute  dillerente,  dans  un  Mémoire 
de  Riemann  sur  le  znouvemenl  diiiie  masse  tliiide  de  forme 
ellipsoïdale. 

Je  comprends  à  merveille  cpie  vous  êtes  surchargé  de  travail.  Moi 
aussi,  je  ne  peux  pas  travailler  beaucoup  en  ce  moment  car  mes 
conférences  pour  les  boursiers  d'agrégation  me  donnent  beaucoup 


LETTRE    210.  447 

à  faire  et  c'est  un  travail  dont  je  ne  suis  pas  bien  sûr  qu'il  portera 
des  fruits.  Le  programme  de  cette  année,  la  théorie  des  équations 
aux  dérivées  partielles,  est  bien  vaste  et  bien  difficile  pour  des 
jeunes  gens  qui,  en  somme,  ne  peuvent  |)as  encore  avoir  l'esprit 
assez  mûr  pour  ces  choses-là. 

Il  faudra  bien  que  M.  Gjlden  se  console,  et  je  crois  qu'on 
pourra  toujours  reconnaître  que  ses  méthodes  constituent  un  pro- 
grès sur  les  anciens  procédés  de  Laplace  et  de  Le  Verrier.  Je  sais, 
du  reste,  par  M.  Callandreau  qu'un  astronome  allemand  qui  a  étudié 
à  Stockholm  les  méthodes  de  M.  Gylden  avait  acquis  la  conviction 
de  la  divergence  des  séries. 

Croyez-moi  toujours  \otre  sincèrement  dévoué. 

P. -S.  7   "<\nnx:=~ ,  o<rr<27r; 

^^  n  1 

1 

X  ^0  ^  infiniiiu'nl  petit; 

^V^    1              ^       t:  —  0          /*°°  sina?  tt 

0  >   — ^^  sui  n  0  =  =   ;       dx  =  -  • 

^^  110  1  J.  X  2 


210.  —  H  ERMITE  A   STIELTJES. 

Paris,  ai   niai   1S89. 

Mon    chkr   Ami, 

Je  viens  encore  vous  dire  tout  le  [daisir  que  m'a  fait  votre 
analyse  relative  à  la  limitation  du  modide  de  J(a).  J'abrégerai  un 
peu  en  remarquant  que  le  terme  général  de  la  série  de  Gudermann, 

(  «  -h  /?  H —  )  log  (  I  H j  —  I ,     est    donné     par     l'intégrale. 


I 


dx. 


n-v-  a-\-  X 

Je    continuerai,    comme    vous    le    faites    si    heureusement,    en 
écrivant 


1 

/     — ? '■ —  dx  =    I     — dx  -f-    /     — — 

J      n  -\-  a  -\-  X  J      n  -^  a  -^  X  ,  /i     n  -l- 


■dx. 


448  COKRESPOINDA^C^;    DHKRMITK    ET    UK    STIELTJKS. 

puis,  si  i  on  (ait  ^r  ^  i  —  )'  dans  la  dernière  mtéyrale, 

J      n  -^  a  ^  X  J      \n^a-~x        n  -\-  a  -^  \  —  œ  I 

(v  —  op){i  —  "ix)  dx 


J.     (" 


a  -\-  x){n  ^  a  -i-i  —  x) 


ce  qui  est  voli-e  exjjression. 

Maintenant,    perinettez-nioi     d  aj)|>eler    voire    allenLion    sur    la 
ibruude 

J(.;=y   ri^^^ ^--"  )^:r 

qui  nie  send)le  très  intéressante.  N'y  aurait-d  pas  lieu  d'exprimer 
par  Djlogr{(7  +  x)  et  D.,  loi;r(r/  —  x)  la  séi-ie 

--)5;( — ' — 


a  -H  I  —  X 


Une  circonslanee  bien  douloureuse  me  préoccupe  et  contrarie 
mon  travail;  j'ai  dernièrement  appris  que  M.  Halphen  était  sérieu- 
sement malade  d'un  l'humatisme  articulaire,  et  vendredi  dernier  j'ai 
été  le  voir  chez  lui  à  Versailles.  Je  l'ai  trouvé  extrêmement  changé, 
pâle,  amaigri,  la  voix  faible;  il  m'a  accueilli  avec  une  émotion 
singulière;   nous   avons   longtemps  causé,    et  de   choses  intimes. 

...  En  le  quittant,  j'ai  remarqué  (pi'il  avait  la  main  brûlante,  je 
me  suis  senti  inquiet;  liélas!  hier  j'ai  ap|)ris  qu'il  était  atteint  dune 
pneumonie  double,  que  sa  vie  était  en  danger 

J'irai  demain  après  ma  i^eçon  avec  la  crainte  d'un  aflVeux  malheur; 
il  a  six  enfants  dont  le  dernier  est  âgé  seulement  de  deux  ans  ! 
Vous  axez  du  lire  son  Tnnlé  des  fonctions  elliptiques;  c'est 
l'immense  tra\ail  qu'a  demandé  cet  Ouvrage  qui  lui  aura  coûté  la 
vie,  il  aurait  du  mettre  cinq  ou  six  ans  à  le  faire.  Le  troisième  et 
dernier  Volume  qu'il  a  entrepris,  étant  déjà  malade,  l'a  mis  à  bout 
de  forces;  il  succombe  à  la  tâche;  je  vous  écrirai  ce  que  j'appren- 
drai demain. 

Encore  une  fois,  mes  bien  sincères  remercîments,  et  la  nouvelle 
assurance  de  mes  sentiments  d'amitié  dévouée. 


LFÏTHK    212.  449 

211.  —  SriELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulfiuse,  :f^  mai  1889. 
Cher   Mowsikuk, 

l^es  mauvaises  nomelles  que  vous  m'avez  données  de  la  santé  de 
M.  Halphen  m'ont  fait  beaucoup  de  peine  ;  je  viens  d'apprendre, 
hélas!  que  vos  inquiétudes  n'étaient  que  trop  fondées  et  que 
M.  Halphen  est  mort  âgé  de  /\o  ans  seulement.  C'est  une  perte 
immense  et  irréparable.  J'admire  énormément  ses  deux  premiers 
volumes  sur  les  fonctions  elliptiques;  quant  au  troisième  il  fallait 
avoir  une  audace  bien  rare  pour  songer  seulement  à  l'entreprendre 
et  l'on  ne  trouvera  pas  un  autre  géomètre  qui  pourra  le  remplacer 
pour  cette  tâche.  Mais  vraiment  cet  exemple  me  confirme  dans  mon 
idée  que  vous,  savants  de  Paris,  vous  travaillez  trop.  . 

Cela  suppose  une  puissance  de  travail  dont  je  ne  peux  pas 

bien  me  rendre  compte.  Je  connais  trop  vos  sentiments  pour  savoir 
que  vous  êtes  profondément  affligé;  le  sort  de  sa  malheureuse 
femme  est  bien  cruel. 

...  La  seule  consolation  pour  nous  c'est  de  savoir  qu'il  laisse 
une  œuvre  durable  et  qu'il  a  donné  le  plus  noble  exemple  de  travail 
et  de  probité.  Je  m'associe  pleineuient  à  votre  tristesse. 

Votre  dévoué. 


212.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

Toulouse,  28  mai  1889. 
Cher   Monsieur, 

Un  travail  urgent  (rédaction  d'un  rapport  annuel  sur  l'état  de 
l'Observatoire  de  Toulouse)  m'a  fait  remettre  pour  quelques  jours 
de  répondre  à  quelques  questions  qui  se  trouvent  dans  vos  deux 
dernières  lettres.  Comme   vous  le  remarquez,   on  peut  écrire,  au 

^9 


45o  CORRESPONDANCE    d'heBMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Heu  de 

,7      ^d  y  n  -h  a  -\-  a:        n  ^  a  -\- \  —  x  ) 


x\\'^{a  -^\  —  x)- —  (!/(«  +  r)]  dx^ 


'h(x)  =  -^logr(a-). 


Déjà,  en  1886,  j'avais  renconlré  jDOiir  S{a)  des  intégrales  avec 
la  fonction  <!^  sous  le  signe    /  ?  par  exemple,  aussi 

C  =  o,5'j'j:i  . . .  et  ces  intégrales  sont  valables  dans  tout  le  [)lan 
excepté  la  coupure  de  o  à  — co.  Mais  je  n'avais  pas  réussi  alors  à 
en  déduire  la  formule  de  Stirling,  ce  qui  n'est  pas  difficile  pourtant 
et  j'avais  complètement  perdu  de  vue  ces  expressions,  jusqu'à  ce 
que  le  travail  de  M.  Bourguet  m'y  ait  ramené. 

Voici  une  remarque  d'où  l'on  peut  déduire  directement  la  for- 
mule 

^  .   ,      I  ,       T(a-hb}r(a  —  i~b) 

^^^      ^'"S r(a)T(a) 

1  ,                  I      /""     «  dy    ,       r  I  —  ie-^Ti.v  cosiby  -{-  g-i't^  i 
=  -  oir« / —  loe 

(olèli), 

soit  h  une  constante  réelle  et  posons 

/(x)  =  r(x^h)r(x^\~-b). 

Je  dis  que  lorsque  a  est   réel  on  peut  exprimer  mody(///)  par 
les  fonctions  élémentaires.  En  eU'et 


df(ui)  =  v^r'  b  -h  ui)  V{\  —  è  -f-  iii)  Y(b  —  ui)  Tii  —  b  —  ui), 


ino 


mais 

■K 


T{b  -^  ui)Y{\  —  b  —  ui)  =  -. —, r- , 

sin7r(o  -H  ui) 

V{  b  —  ni)  Y(i  —  b  -h  ui)  =  —. -, > 

simr(  b  —  ui) 


LETTRE    212. 


45  f 


mo(iy(  ni)  = 


^sin7r(è  h-  a«)  simr(6  —  ui) 


4  si  11  7:  (6  H-  Mt)  s  in  71  ('6  —  ui)  =  •2(cos2  7ri<i  —  cosaèir) 
mody(Mt)  — 


^g2m4_|_  g-27tK  —  2  COS26- 
Vous  voyez  donc  (|uX'n  posant 


5(^) 


=  i,„g[ 


I'  (  .7-  )T{X) 


logir, 


on  peut  exprimer  directement  la  partie  réelle  de  ^{y  i)  en  suppo- 
sant j"  réel  et  l'on  trouve  alors 


4        ^  (1  —  6-271/ )2 


où   NOUS  \ovez  la   lonction  sous  le  signe     /    dans  la  formule  (A). 

Et  l'on  peut  en  conclure  directement  cette  formule  (A)  à  l'aide 
d'une  formule  déduite  de  l'intégrale  de  Cauchy 

f{x)^  -^.    f  l^^dz, 
^  ^     '        -^-KiJ    z  —  .r 

(jue  j'ai  donnée  dans  le  cahier  de  mes  Notes,  sur  la  fonction  F, 
pour  en  déduire  la  formule  de  Binet 

On  peut  obtenir  (Tune  façon  analogue  la  formule 


I             r(a-Hé) 
(B)       -log— — S— 


=  —    6  — -     loga /        -^ -aictaiig    - 


e-''^y  sin(2è7r) 


e-27ty  0032671 


(oSè^i), 


en  remarquant  (lue  la  partie  imaiiinaire  de  loa  rz — - — -, ^s'obtient 

'  '  '  °  1  (I  —  6  -H  ui) 

facilement.  Les  formules  (A)  et  (B)  conduisent  à  des  expressions 

des  polynômes  de  Bernoulli  qu'on  peut  transformer /?«/•  une  inté- 


/45'i  C.ORKKSI'ONDANCi:    KHKRMITK    KT    DE    STIKLTJES. 

gration  par  parties  dans  celles  (luc  iîaiil»  cl  vous  oui  domK'-t's.  l.e 
(1('\ rlo|)j>onipnt  de  (B)  donne 

^  lo o  .^ — =\  li  —         H>ii  n  —  ^ — — ^ 1^ .  .  . , 

■j.      ^  l  (a  -hi  —  o)       \  ■>.  I      '  a-  a  • 

la   série  di\eri;ente   ayant    les    mêmes    |)r()|)ri»''lés   que   la   séi"ie   de 
Stirlini;  (juant  au  terme  complémentaire. 

Je  dois  vous  l'emercier  encore  l)eaucou|)  de  donnei-  ma  limita- 
tion de  jnod,l(r/)  dans  \otre  (]ours.  Je  croie,  en  elïel,  que  cette 
limitation  a  (|uelque  importance  aussi  pour  la  tliéorie  de  la  fonc- 
tion r  en  j^énéral.  Comme  je  Tai  moulré  dans  le  cahier  de  mes 
ISotes,  on  peut  en  déduire  rigoiireuscmenl  la  formule  de  Binet  en 
se  ser\ant  de  la  formule  de  Cau(liv  rappelée  tout  à  l'heure,  et 
j'avoue  que  j'attache  quelque  intérêt  à  ("ctte  déduction.  A  euillez 
bien  me  croire  toujours 

\  otre  très  dévoué. 


213.         HEBMITE  A   STIELTJES. 

Paris,  .'^i   mai    1889. 
Mon   cher    Ami, 

Les  formules  (A)  et  (B)  sont  aussi  helles  quelles  sont  noii- 
\  elles;  nous  les  mettrez  certainement  dans  un  tra\ail  (rensemhie 
qui  réunira  tous  les  résultats  auxcpiels  nous  êtes  par\eiiu  sur  la 
fonction  Y {o)  et  fera  un  excellent  iNJénioire. 

J'ai  été  obligé  de  m'arracher  de  ce  sujet  pour  me  jeler  tète 
baissée  dans  les  fonctions  elliptiques  (pie  j  enseigne  mainlenani ,  et, 
comme  il  m'est  difficile  de  réfléchir  en  même  temps  à  deux  choses 
dillérentes,  je  m'éviterai,  si  ^ous  le  permettez,  TcHort  à  faire  pour 
vaincre  la  force  d'inertie,  en  vous  demandant  s  il  ne  comienl  point 
de  donner  à  rint(''grale 

i{a)=   /      — — -^ e«^  dx 

./_«         ■>-x-{e-'—  I) 

une  coupure  en  faisant  a.r^t^cc  (jiii  donne 

/       e"{t  —  'la)  —  t  —  -i.a 
J(«)=     /        — e'dt, 

J  •>./ne?«— i) 


LKTIKE    218.  45'^ 

/ 
,  ...  -  I    .  ,     /  >.ni-K 

la   conailiou   c?   —  i   conaiiisanl  a   -  =i:2ni~   ou  a  :=^  »    \ous 

a  I 

soyez,  ([lie,  n  pieiianl  des  valeurs  positives  et  négatives,  l()is([iie 
t  varie  de  zéro  à  — x,  on  obtient  pour  coupure  tout  l'axe  des 
ordonnées. 

C'est  done  le  même  résultat  qu'avec  l'autre   expression  si    dit- 
té  rente 

Piiis-je  dire  ensuite  ([ue  votre  limitation 
mod  J  (a) 


i2Rcos2,M) 

est   \alal)le   dans   tout    le    plan,  nonobstant  cette   coupure,    (|ui    se 
retrouve  dans  l'ex[)ression 


J<«^= /'('--)  S — — ■ ' — ) 


dx  ? 


C  est  ce  que,  sans  trop  rétlécliir,  je  conclus  en  lisant  dans  votre 
avant-dernière  lettre  :  «  11  va  sans  dire  (pie  cette  limitation  se 
rapporte  à  la  continuation  analytique  de  (i)  lorsque  la  |)artie  réelle 
de  a  serait  négative.    » 

Dois-je  comprendre  que  vous  faites  cette  extension,  ainsi  qu'il 
])arait  naturel,  au   moyen  de  la  relation 

J( —  a)  —  —  ]{ II) 

à  laquelle  ciniduisent  les  deux  expressions  de  J(a)? 

Samedi  dernier,  après  ma  leçon,  j'ai  été  à  Versailles  voir  Halphen, 
pour  la  dernière  fois,  sur  son  lit  de  mort.  J'ai  eu  avec  M""'  Halphen, 
(|ui  contenait  son  désespoir  en  retenant  ses  larmes,  un  entretien 
dont  je  ne  pourrai  jamais  perdre  le  souvenir.  La  présence  à  ccVté 
d  elle  de  madame  sa  mère,  qui  est  de  Nancy,  et  m'a  parlé  de  ma 
famille  qu'elle  a  connue,  a  fait  un  [)eu  diversion;  j'ai  tenté,  en 
[)arlanl  du  mérite  éclatant  de  son  mari,  de  donner  la  seule  conso- 
lation qui  fût  en  mon  pouvoir,  et  un  intime  ami,  M.  Collet,  qui  a 
corrigé  les  épreuves  du  Traité  des  fonctions  elliptifjues,  m'a  écrit 


454  CORRESPONDANCK    d'hiiUMI TF,    ET    1)K    STIELÏJES. 

que  ma  \  isitc  n"a\ail  pas  été  eiitièrenicut  iiuilile,  mais  que  c'est  peu 
(lecliosel  Sunf  lacrymœ  rerrtnt  et  uicnlcni  nioitalia  tangunl. 

En  vous  renou\  elant,  mon  clici-  ami,  I  assurance  de  toute  mon 
affection. 

214.  —  H  ERMITE  A   STIELTJES. 

3i   mai  1889. 
Je  irra|)erçois  à  l'instant  que 

J(«)  =  ri'-  -.r)  y  (' ' ' )  d. 

J^      \  1  !  A^  V  «  -I-  <7  -H  .-r         /?  -4-  «  -H  1  —  X I 

a  pour  couj>ure  la  partie  négative  de  l'axe  des  abscisses,  comme 
vous  le  dites,  et  non  point,  comme  je  viens  par  inadvertance  de 
vous  l'écrire,  l'axe  des  ordonnées. 

11  y  a  là  matière  sérieuse  à  réflexion;  la  formule  ci-dessus  ne 
donne  aucunement,  comme  les  intégrales  définies, 

J( —  a)  —  —  Ma). 

Comment  donc,  en  définitise,  obtenir  lextension  à   tout  le   plan 

de  J(r/)? 

215.  —  STIELTJES  A  H  ERMITE. 

'l'iniloiisc.  II-  2  juin   1S89. 
ChEI!     MoiN'SIEUl!, 

\  ous  trou\erez  \\n  peu  plus  loin  un  petit  résumé  des  foramles 
nouNclles  de  la  théorie  de  la  fonction  F.  qui  \ous  sera  utile  |)cut- 
être  lorsque  \ous  reviendrez  sur  wWv  lliéorie;  pour  le  uiomeni,  il 
suffira  de  remaixpier  que  la  formule 

log  r(a)=(« jloijrt  —  a  -\ loe;'^-  -^  i  (a) 

déliait  é\  idemmenl  J  (  r/ )  couime  fonction  non  unifornic  de  a. 
Mais  supposons  une  coupure  de  o  à  — •  00  et  prenons  ^{o)  réel 
lorsque  a  est  réel  et  positif.  Alors,  grâce  à  cette  restriction  de  la 
marche  de  la  \ariable,  i{a)  est  (artificielleuient)  uniforme  et  a  une 
valeur  déterminée  dans  tout  le  plan  (excepté,  il  est  vrai,  les  points 


LETTRE    213.  455 

de  la  coupure  où,  à  vrai  dire,  il  y  a  deux  valeurs  selon  que  Fou 
arrive  en  ce  point  par  un  chemin  tracé  dans  la  partie  supérieure 


0 


ou  inférieure  du  plan).  C'est  cette  fonction  J(a)  qui  est  donnée 
par 


dx 


<-)         Ha)=  r('--.)'S( ' ' 

J^     \  2  /  ^\n-h  a  -^  .7-        n  -^  a  -h-\  —  x 

et  à  laquelle  se  rapporte  la  limitation 

mod  J(  Re'f)  )  <  — ? —  • 

i2Rcos4e 

Quant  à  la  formule 

elle  n'est  exacte  qu'en  supposant  P.  R.  a  >-  o  et,  pour  éviter  toute 
équivoque,  il  vaudrait  peut-être  mieux  écrire 


a  los(i  —  e^"') 


dt, 


où  il  faut  prendre  le  sii;ne  -f-  ou  —  selon  que  la  partie  réelle  de  a 
est  positive  ou  négative. 

Si  l'on  adoptait  (i)  comuie  définition,  on  aurait 

J  (  a  )  =  —  J( —  a). 

Mais,  comme  vous  l'avez  remarqué,  l'axe  imaginaire  est  une 
coupure  et  des  deux  côtés  on  a,  en  vérité,  deux  fonctions  difte- 
rentes  dont  l'une  n'est  pas  la  continuation  analytique  de  l'autre. 
Ici,  comme  d'ordinaire,  par  continuation  analytique  il  faut  entendre 
cette  continuation  parfaitement  déterminée  qui  se  fait,  d'après 
M.  Weierstrass,  par  la  série  de  Tajlor  ou,  d'après  Riemann,  par 

l'équation 

.0  f(a)        à  fia) 

Toute  autre  méthode  conduit  à  rarl)itraire.  Donc  il  ne  convient 


4-Î6  c()kkksi'o.ndam;e  d'iibrmitk.  kt  de  siieltjes. 

pas  d'adopU'i-  (i)  coniine  déliiiilion  ^t'nérale,  il  faut  la  borner  au 
ras  P.  11.  a  >>  o  ou,  ce  (jui  re\  lent  au  même,  la  remplacer  par  (i'). 
La  continualion  anaivtltpie  (d'après  Weierstrass)  de  la  l'onction 
qui  est  définie  [)oui- 


par  l'intégrale 


P.  K.  a>o 

\_     /*""°°alog(i  — e-^Tt') 


dt 


est  précisément  la  l'onction  J(«)  telle  que  je  l'ai  définie  en  com- 
mençant, et  qui  est  donnée  par  (a). 

Il  serait  facile  de  continuer  analytiquement  celte  fonction  J(«) 
en  traverscuiL  la  coupure;  pour  cela,  il  suffit  de  calculer  la  difïe- 
rence  des  valeurs  de  J(«)  sur  les  bords  de  la  coupure.  Mais  alors 
elle  cesse  d'être  uniforjne. 

.lai  vu  a\ec  plaisir  Notre  transformation 

J(a)  =j  \,,,(,i_,^         «-  clv  i  P.  R.  a  >  o) 

en 

e" ( ï  —  2 a)  —  t  —  i.a    ,    , 
— ^ 7 — — e'  fit. 

Dans  la  première,  on  doit  supposer  P.  K.  «  >■  o  poui'  que  linté- 
grale  soit  convergente;  il  est  curieux  de  voir  que,  dans  la  seconde, 
cette  restriction  s'annonce  par  l'existence  d'une  coupure. 

Sait-on,  Monsieur,  si  le  Tome  III  du  Traité  de  Halphen  est 
irréparablement  perdu  ou  s'il  avait  préparé  du  moins  une  partie 
pour  l'impression  déjà  ? 

A-t-<»n  d('-jà  démontré  que  la  conslante  eulérienue 

est  un  nombre  incommensurable?  Je  pense  de  temps  en  temps  à 
cela,  mais  je  n'ai  pas  encore  trouvé  une  expression  de  C  qui 
pourrait  conduire  à  une  démonstration,  cependani,  je  dois  exa- 
miner encore  quebjues  expressions  obtenues  récemmenl  et  cpii  me 
semblent  donner  ime  faible  espérance.  Mais  peut-être  que  je  perds 
ma  peine  à  pure  perte  et  la  chose  esl-elle  déjà  démontrée. 

Mais  jua  principale  occupation  est  (Tacliever  et  de  perfectionner 


LETTRE    '215.  4^7 

mon  lra\ail  sur  les  Iraclums  coiiliiiues  ;  pour  n'y  pas  renieraier 
Irop  de  choses  un  peu  disparates,  je  le  scinderai  en  deux  parties  : 
l'une  plutôt  algébricpie,  tandis  (pie,  dans  la  seconde,  je  nvoccupe 
de  la  (piestion  de  con\eij;;ence  surtout.  Ces  fractions  continues 
représenlenl  ordinairement  des  fonctions  dans  tout  le  plan,  excepté 
une  coupure  comme  J(a). 

Je  pense  passer  les  vacances  près  de  ma  famille  en  Hollande, 
c'est  plus  de  quatre  ans  que  je  n'ai  pas  vu  ma  famille  et  ma  femme 
éprouve  aussi  un  grand  désir  à  revoir  ses  parents.  Cela  n'entravera 
en  aucune  façon  notre  travail,  la  Haje  est  même  plus  près  de 
Paris  que  Toulouse  (onze  heures  en  chemin  de  fer  au  lieu  de  seize 
heures).  Je  pourrai  même  travailler  là-bas  plus  à  mon  aise  qu'ici 
où  les  grandes  chaleurs  sont  vraiment  accablantes,  et  les  enfants 
aussi  en  soutirent  beaucoup.  Vous  lue  savez  être  toujours  votre 
très  dévoué. 

P. -S.  —  Les  intégrales  définies  dans  la  théorie  de  la  fonc- 
tion i\(/),  (pi'ou  a  considérées  jusqu  ici  presque  exclusivement, 
ne  sont  \alables  (pie  sous  la  conditi(jn 

P.  R.  a  >  o. 
11  n'j  a  (pi  une  exception  apparente  pour  la  foriuule  de  Binet 


mais  vous  avez  remarqué  que,  à  vrai  dire,  ce  n'est  là  qu'une 
illusion.  L'intégrale  représente  des  deux  côtés  de  la  coupure  deux 
fonctions  clitrérentes,  l'une  n'est  pas  la  continuation  analytique  de 
l'autre. 

C  est  M.  Bourguet  qui  a  d'abord  obtenu  des  intégrales  définies 
qui  permettent  de  franchir  l'axe  desjK-  H  obtient  une  formule  que 
j'écris,  après  un  léger  changement  de  \ariable, 


(.,  "">  =  ll  û 


du 


SI  11  iiiiza 


elle  représente  la  fonction  J(rt)  dans  tout  le  plan  a\ec  la  coupure 
de  o  à  — ce;  c'est  la  fonction  J(a)  telle  qu'elle  a  été  définie  plus 


458  COHRESPOMJANCE    DHEKMITE    ET    DE    STIELTJES. 

Ililut.  Une  antre  l'orme  de  eette  formule  de  M.  Bourguel  esl  celle-ci 

ici 

V^  sin  ■imzii 

1 

est  évidemmeut  une  fonction  périodique 

P  (  i<  -+-  1  )  =  P  (  «  ) 
et,  dans  l'inlerxalle  (o,  i),  on  a 

p  (  «  )  = u. 

■>, 

Celle  seconde  forme  (y.)  se  décompose  iinmédialement  dans  la 
formule  de  Gudermann 

i(a)=   I du-+-  I     du-\-..., 

J^^     u  -\~  a  ,  /j     u  +  a 

(3)  J(a)=;^[(a->-.-H^)log(";;-^;^'j-l]. 

0 

C'est  celle  seconde  forme  (2)  qui  me  jjaraîl  la  |)lus  importante 
et  la  plus  fondamentale  ;  il  en  résulte  aussi  directement  la  différence 
des  valeurs  de  .](a)  aux  bords  de  la  coupure,  d'après  votre  for- 
mule. 

La  formule  de  Gudermann  (3),  déduite  de  (2),  |)ermet  natu- 
rellement de  continuer  la  fonction  J(  a)  en  traversant  la  coupure 
et  met  ainsi  aussi  en  évidence  le  vrai  caractère  de  J(«)  et  montre 
qu'elle  admet  une  infinité  de  valeurs  selon  le  chemin  de  la  variable, 
si  l'on  fait  abstraction  de  la  couj^ure. 

Peut-èlre  que  je  me  déc'iderai  à  rédiger  et  à  [xiblier  ce  que  j'ai 
fait  sur  ce  sujet. 

J'ai  besoin  de  ces  formules  pour  faire  voii-  que  la  série  de  Stirlinj; 
est  applicable  dans  tout  le  |)lan.  Cela  a  loujours  (Hé  mon  but  prin- 
cipal et  qui  m'esl  propre. 


LETTRK    216. 

La  démonstraliou  de  la  lliiiitaliOu 
iiiod  J(a  )  < 


i-iRcos'-'iQ 
est  le  premier  pas  el  le  plus  iiupoilanl  dans  celte  direction. 

216.  —  ri  ERMITE  A  STIELTJES. 

4  juin   1889. 

Mon   chek   Ami, 

Un  mol  seulement,  à  la  hàle,  pour  vous  remercier  de  votre  der- 
nière lettre  qui  jette  une  vive  lumière  sur  tons  les  points  que  \ous 
touchez.  Je  ne  puis  assez  vous  dire  quel  travail  et  quelle  peine 
vous  m'éparonez  et  comme  vous  avez  le  don  de  me  sortir  de  mes 
anxiétés  et  angoisses  analytiques. 

Pensant  avec  vous  aux  fractions  continues,  avez-vous  remarqué 
que  dans 

('•<■  l  X  7,  )  —  X  —  2 


/        ('•'  iX  —  t.)—X 
•'  (  '^  '   ^     /         Vl—r 

,/  -ix^ie-^  —  I 


e"x  dx 


—  est  la  |)remière  réduite  du  dé\eloppement  de  e-^?  Peut-être 


y  aurait-il  lieu  dV'tudier 

Pe'  — Q 


/ 


a?2"(eJ^—  I) 


e«^  dx 


où  p  serait  la  réduite  d'ordre  n. 

A  l'égard  de  la  constante  d'Euler,  je  crois  pouvoir  vous  assurer 
qu'aucun  œil  humain  jusqu'ici  n'a  même  sondé  le  mystère  de  son 
irrationalité.  Ce  serait  donc  une  grande  et  belle  découverte  de 
démontrer  que  C  est  incommensurable,  mais  d'où  a  pu  donc  venir 
\\\\  rayon  de  lumière  sur  une  question  si  cachée,  si  jirofonde  ? 
J'ap|)rends  avec  grand  ])laisir  que  vous  passerez  les  vacances,  avec 
voire  famille,  en  Hollande,  et  que  vous  me  |)ermettrez  de  vous  y 
faire  parvenir  les  difiicultés  et  les  peines,  les  [u-essantes  invocations 
à  votre  bonne  assistance  que  vous  accueillez  avec  une  bonté  que  je 
sens  bien  vivement. 

En  vous  renouvelant  l'assurance  de  mon  affection  bien  sincère 
et  bien  dévouée. 


46o  CORRESPONDANCE    u'UKRMITK    KT    DE    S 1  li;i.r.lE>«. 

217.  —  HE n  MITE  A  STIELTJES. 

Paris,   lundi  (  '  ). 
Moiv    cnKi'v    Ami, 

l'emlaiil  hi  séance  de  rAcadi'inic,  pcrniellez-moi  de  vous  envoyer 
un  iiKil  en  courant  pour  vous  dire  que  je  suis  sorti  des  lonelions 
ellipticjues  et  revenu  à  la  fonction  I  («)• 

J'ai  entièrement  refondu  mes  leçons;  j'ai  cru  devoir  ex|)Oser  les 
propriétés  fondamentales,  d'abord  comme  tous  les  auteurs  en  par- 
lant de  la  définition  ordinaire,  puis  une  seconde  fois  en  pailant 
de  la  définition  de  Gauss  et  traitant  alors  de  F  (a)  comme  fonction 
aualjticjue.   Enfin,  je  consacre  une  dernière   partie  à  l'étude  des 

diverses  intégrales  définies  ciui  se  présentent  dans  la  théorie,  -; -y 

loi;r(a),  J(rt),   pour  donner  votre  belle  analvse  cpii  conduit  à  la 

limitation  de  mod  J(rt)  |)our  (/ =  Re''^  et  enfin  /    .r*^~'(i — j:)*    '  dx^ 

pour  en  tirer  les  applications  cjue  vous  connaissez  du  théorème  de 
M.  Mittag-Lefiler. 

Dans  ma  leçon  sur  les  coupures,  je  parlerai  de  la  coupure  de 
J(a)  et  de  la  substitution  dune  autre  coupure  à  celle-là,  par  le 
fait  de  la  transformation  que  vous  avez  obtenue  de  cette  intégrale. 
G  est  là  un  résultat  qui  m'intéresse  vivement  et  qui  ma  surpris; 
je  crois  bon  d'ap[)eler  lattention  sur  cette  circonstance  si  remar- 
(piable  que  vous  avez  rencontrée. 

\  bientôt,  mon  cher  ami,  une  lettre  inoins  décousue  et  en  vous 
renouvelant  l'assurance  de  mes  meilleurs  sentiments. 


218.  —   STIELTJES  A    H  ERMITE. 

Touluusc,   12  juin  1889, 
Ghkii    Monsikur, 

Vous  considérez,  sans  doute,  comme  l'un  des  résultats  les  j)lus 
importants    de    la    théorie    de   la   fonction    T    ce    théorème    du    à 


(')  Note  des  éditeurs.  —  Ceite  lettre  n'est   pas  datée  et  nous  avons  beaucoup 
hésité  à  la  nieltre  à  la  place  qu'elle  occupe,  en  la  rapportant  au  lundi  10  juin  1889. 


LKTTRF,    218.  /461 

M.    \\  eiei'slrass,  que  ^^ ^  t-st   taie  fonction  lioloinorplic  dans  loul 

''!(«)  ' 

Jr  |)lan. 

Vctuellenienf.  ce  théorème  s'obtient  presque  immédiatement  si 
Ion  prend  pour  point  de  départ  le  produit  infini  de  Gauss  et 
d'Euler.  Mais,  comment  faut-il  l'obtenir  en  prenant  pour  définition 
l'intégrale  définie 

V{  a  )  =    I      •T'^-'  e-^  d.r  ? 

Si.  avec  M.  Prviu,  on  pose  d'abord 

P(a)=    I     a"«-ie--^  c/.r,  Q(a)=    1      œ'^-^e-^  dx, 


on  obtient 

r  (a)  = 


1  .  V.  (  c/  ^  2  )         1  .'2. 3  (  a  -H  3  ; 
fy  -+-  c,  rt  -t-  C2  a-  -f-  ("3  «■*  -I-  .  .  . 


et  l'on  en  concbit  cjue  I  («)  est  une  fonction  uniforme  qui  admet 
seulement  les  pôles  simples  o,  —  i ,  —  2,  . . . .  C'est  là  certainement 
déjà  un  résultat  notable,  mais  cela  ne  suffit  pas  encore  pour  obtenir 
le  théorème  de  M.  Weierstrass. 

Dans  ce  but,  il  faudrait  démontrer  encore //^/e  Y  (a)  ne  s'annule 
pour  aucune  valeur  /i/ne  de  a.  Ce  point  établi  on  pourrait  con- 
clure immédiatement  que  i  ir(«)  est  une  fonction  entière,  mais 
comment  le  faire? 

11  est  vrai  qu'on  peut  tirer  ce  résultat,  (pie  V {  a)  ne  s'annule  pas, 
de  la  relatif )n 

(i)  T{a  )W\  —  a)  =  ^-^ — 

'  sin-a 

et,  comme  l'a  fait  remarquer  M.  Bourgiiet,  cette  formule  montre 
aussi  directement  que 

1  siii-rt 

^— I  (a) 


r  (  I  —  «  ) 


est  une  fonction  entière.  Mais  en  prenant  [)our  point  de  départ 
rinlégrale  définie,  la  démonstration  de  cette  relation  (i)  est  assez 
difficile. 

J'ai   été    amené    ainsi    à  cherclier  si    Ton  ne   pourrait  pas    tirer 


.'\6-2  COKRKSPONDAN'CK    d'hKRMITE    ET    DR    STIELTJKS. 

(liiectemenl  de  la  définition 


la  conclusion  que  r(a)  ne  s'annule  pas,  tant  que  a  reste  fini. 
Je  remarque  d'abord  que  si  l'on  avait 

r(a)  =  o         [jour         a  =  a  -1-  j3t, 

on  aurait  aussi 

^(a-\-^}  =  o,         V(a-T--2)  =  o,  ..., 

et,  évidemment,   ^  ne  peut  pas  être  nul.  Ensuite  ayant 

Jf      ar"-'  g--*'  fil-  =  o, 
0 

on  aura  aussi 

/      ^«-'e    '''•^«fa;  =  o, 

k  étant  un  nombre  positif  quelconque,  donc  pour  a  =  y.  -{-  p  i 

I      a7«-i  cos(  p  loga;)^-'''-'' r/^  =  o, 

Ji      a:-^-' sin  (^  loi;a7)e-/'-*' <j^.r  =  o, 
0 

et  ces  relations  doivent  rester  vraies  en  remplaçant  a  par  a  -h  /?, 
n  étant  un  entier  positif  quelconque.  Je  [)Ose  maintenant 

0 

C'est  là  une  fonction  entière  cpi'on  peut  développer 

o(.r)  =  Vc„.r« 

0 

et  l'on  devra  avoir  maintenant 

/      x<^-^'.:j>(.r)  ^ini^\ogx)e-''^  dx  =  o, 

car  en  remplaçant 'j( .2?)  par^r,,^:"  tous  les  termes  sont  nuls.  De 


LETTRE    218. 

même,  il  faudrait  avoir 

/      x^-^"-^<f(:/-)  sin(ri  \o<^t )e-''-^  dx  —  o, 

n  élanl  tin  entier  |)osillf  quelconque.  Mais  cela  peut  s'écrire 

(A)  /    :r«+''-'çp(^-)  sin(  ,3  loga:.-)e-'^'-^'flfa? 

-1-    /      .r°'+"-icp(:r  )  sin(  3  log.r)e -''''•'■  fl^a:- =  o. 

Or,  la  première  intégrale  a  une  valeur  absolue  inférieure  à 
/     ^a+/;-i  cix  —  — î 


et  tend,  par  conséquent,  vers  zéro  lorsque  n  croit  sans  limite.  Et 
dans  la  seconde  intégrale 

/      .r«+«-'«i(  a-)  sin(  j3  loga")e-^-^  dx^ 

le  produit 

cp(.-r)sin(j5  1ogr) 

a  un  signe  constant  ( — ),  car  cp(:r)  change  de  signe  en  même  temps 

que  sin(,3  log^c).  Donc,  évidemment,  cette  seconde  intégrale  a  une 

valeur  négative  dont  la  valeur  absolue  croll  en  même  temps  que  n. 

Vous  vojez  (pie  réc[uation  (\)  implique  contradiction,  donc  r(rt) 

5  1  '  /■  • 

ne  s  annule  pas  et^r —  est  une  lonction  entière. 

J'ai  dû  introduire  la  constante  positive  k  pour  parer  à  une 
objection  qu'on  pourrait  faire  à  ce  raisonnement.  En  effet,  ce 
raisonnement  serait  en  défaut  si  l'intégrale 


II 


n'avait  pas  de  sens.  Mais  je  remarque  que  la  valeur  absolue  de  cp(.r) 
est  inférieure  à 


(  I  -4-  37  ;  \  1  -4-  .r  e    ^  j  \  \  -\'  x  e 


'^ /  \  i  -\-  xe     ^  /  \i  ^  xe     '    I .  . 


464  cokkksi'o>da>(:e  d'hekmitr  et  de  stiki.tjes. 

et  a   fortiori  à 


gjTgj-e     "-exe 


p.^«  p 


■p 


Jl  est  clair  par  là  qifen  prenant  /.  >  /  les  intégrales  ipie  j'ai 
considérées  ont  bien  un  sens. 

.l'ajoute  (prévideninient  dans  les  développements 

f'ï=  Vc„.r",  cp(>)  =\  r„ir", 

Il  0 

e,,  est  supérieur  à  la  valeur  absolue  de  c„. 

Je  me  fonderai  sur  cette  remarque  pour  détruire  une  autre 
objection  qu'on  pourrait  faire  et  qui  consiste  en  ceci.  Il  est  bien 
\  rai  que 

/      .r='-i  cp (.r  )  sin  (  3  log.r  ) €-'•■''  dx 

a  un  sens,   mais  est-il  bien  sur  que  cette  inléi;iale  soit  égale  à 

\^    /       x'^~^c„x"  sin(  [i  loga")  e-'-^  dx, 

11 

et,  par  conséquent,  nulle  connue  je  l'ai  su[)posé? 
Pour  écarter  le  doute,  je  pose 

o(a?)  =  Cu-h  cia-  -H  .  .  .-4-  f„_i.r''-'  -t-  H„, 
et  jobtiens 

/      .r^-i  cf  ( X)  siiii  ^  loga^  )  e-''-'^  dx 

=   /      a-^t-i  H  „  si  11  (  ^  lo  g  .r  )  e-''-^  dx 

«'Il 

=    lini     /     .rît-i  R„  sin(P  loga")e-/-^<:/r. 

/(  =  =0  ,7„ 

Or,  en  posant 

S„  =  enX"^^  e,,+isr"+^  -h  .  .  . , 

la  \aleur  absolue  de  Vi,i  est  inférieure  à  S,^,  donc;  la  valeur  absolue 
de 

/     x'^~H\„^n\{'^\o'j,x)e-'^-^  dx 


LETTRK    218.  465 

est  inférieure  à 

'-   0 

Mais  on  a 
./«  .'u  L  1.2.  .(«-.)J 


c  esl-a-(lire 

/      x-^   >S,,e-'^-^-rf.r  =  r(a)    -, -, -, -, ^ -, -— ... 

.7^  '  '    ik—lyj-       k'J-       I  />-^+'  [.-2       A-='+2 

a  (  a  H-i  ) .  .  .  (  a  -f-  n  —  I  )      /«-'    1 
\  .i...{n  —  \)  A-X+"-'  J  * 

Or,  on  a  ce  (lé\el()|)peiiient  ron\erj;pnt 

I  1  X         l  2  (  a  -;-  I  )        /■- 

donc 

lim  (     /      J-^-' S„e-'^-'' ffo  j  =  o, 

et  à  plus  forte  raison 

liin     /      x'J--^  R,j  siii  (  ^  log,7'  )  e-^'-^  dx  =  o. 

Il  me  semble  qiraprès  ces  explications,  ma  fléinonstration  est  à 
l  abri  de  toute  objection. 

Je  vous  parlerai  une  autre  fois  du  nojnbre  C;  certain  résultat 
rencontré  dans  mes  réflexions  sur  les  fractions  continues  me  donne 
quekjue  espoir.  Mais  je  dois  d'abord  rédiger  un  Mémoire  pour  nos 
Annales,  conçu  depuis  bien  longtemps,  mais  cjue  j'ai  laissé  tomber 
dans  l'oubli.  Et,  ensuite,  il  me  faudra  terminer  mes  fractions 
continues.  Je  regrette  beaucoup  que  faute  de  loisir  je  n'aie  pu 
examiner  encore,  d'après  votre  idée,  l'intégrale 


/; 


Pe^— Q 

^  ■  e"-^  dx. 


e-2u.^ga 


p  étant  la  réduite  d'ordre  n  de  e^^.  La  vie  est  bien  courte  pour  tout 

ce  cju'on  voudrait  faire.  Veuillez  uie    croire  toujours   votre  bien 
dévoué. 


4GG  C0RRESi'0M)A>r;i;   i)'iii:inii  ir  ki    de  stiki.tjks. 

219.   -  STIELTJES  A  HERMITE. 

Toulouse,  i3  juin  i8.S(). 
Cher  Monsieiir, 

En  vous  énivant  hier,  j'ai  oublié  de  dire  que  lefail  que  Y  {a)  ne 
s'annule  jamais,  peut  se  tirer  non  seulement  de  la  relation 

V i.  a  )  l^(  I  --  a  )  =■  t:  :  sin(  TTC/  ), 

mais  encore  de  rex[)ression  de  iogr(r/)  par  une  intéi;rale  définie. 
On  voit  que  logr(c7)  a  une  valeur  finie  tant  que  la  partie  réelle 
de  a  est  positive.  Mais  il  ne  me  senil)le  pourtant  pas  inutile  d'avoir 
une  démonstration  directe,  mallieureusement  elle  est  un  peu  déli- 
cate; je  crains  qu'on  ne  puisse  la  simplifier  beaucoup. 
J'ai  rélléchi  autrefois  sur  la  fonction  holomorphe 


Q(.r)=     /      u'-'^e-"  du, 


et  je  voulais  savoir  si  elle  admet  des  zéros  ou  non.  Dans  le  dernier 
cas,  on  pourrait  la  mettre  sous  la  forme  eJf-^^,  (/(.r)  étant  encore 
holomorphe.  Mais  je  viens  de  m'apercevoir  que  l'équation 

Q  (  a-  )  =  (> 

admet  certainement  des  racines.  Ces  racines  sont  imaginaires,  du 
reste,  car  tant  que  x  est  réel  Q(.x")  est  réel  et  positif. 

Pour  le  démontrer,  je  vais  supposer  que  Q(./")  ^  o  n'admet  pas 
de  racine,  vous  verrez  que  cette  hypothèse  conduit  à  une  absurdité. 

L'équation 

Q(ir)  =  -  -(-(.r— [)Q(.r— I) 

montre  que  Q(i)^->  mais  aussi  que,  dans  notre  hypothèse, 
Téquation 

Q(-)  =  ^ 

n'admet  qu'une  seule  racine  .r  =  i .  En  effet,  si  l'on  avait  encore 

Q(«)  =  -  {a  difréranl  de  i), 


LKTTRE    219.  467 

011  en  conclurail 

Q(a  —  i)  =  o         contre  l'hypothèse. 

Cela  étant,  je  considère  la  fonction 

Ç^(cr)  =  Q(i-f-e^-). 

C'est    encore    là   une    fonction    holomorphe,    et,    d'après    ce    qui 
précède,  les  équations 

(j(x)  =  o, 

n'auraient  aucune  solution.  {i{-v)  serait  donc  une  constante  d'après 
le  tliéorème  de  M.  Picard,  mais,  cela  n'étant  pas  vrai,  il  est  certain 
que  l'équation  Q(.f')  =  o  admet  des  racines. 
Si  le  uombre  des  racines  de 

Q{x)  =  o 
était  fini  {x=^x,,  ...,  x,,)^  l'équation 

e 
aurait  seulement  les  n  -\-  1  racines 

( ,      r  -H  a"  1 ,      I  -i-  .r 2 ,      . .  . ,      i  -\-  x„. 

Or,  est-il  possible,  {}{j^)  claut  une  fonction  entière,  que  les  équa- 
tions (J(3:)  =  a,  Ç{x)  =  b  aient  toutes  les  deux  seulement  un 
nombre  fini  de  solutions?  J'en  doute,  et  alors  on  pourrait  conclure 
que  Q(^)  =  o  a  un  nombre  infini  de  racines  (  '  ).  Mais  il  y  a  là  évi- 
demment matière  à  beaucoup  de  réflexions. 

Je  n'ai  jamais  trouvé  à  la  Bibliothèque  le  volume  des  Annales 


('  )  M.  Picard  (Annales  de  l'École  Normale,  2"  série,  t.  I\,  iSSo)  a  démontré 
le  lliéorème  suivant  : 

Si  les  équations 

Flz)  =  a 

\Hz)^b 

ont  chacune  un  nombre  limité  de  racines,  la  fonction  entière   V{z)  se  réduit 
à  un  polynôme. 


468  CORRESPONDANCE    D  HKRMITK    ET    DE    STIELTJKS. 

qui  coulieul  le  Mémoire  de  M.   Picaitl,  mais  je  ne  peux  pas  rester 
ainsi  sans  le  connaître. 

Votre  très  dévoué. 


220.  —  HE R MITE  A   STIELTJES. 

Paris,  1.5  juin   1889. 
Moin   cheiî    Ami, 

Vos  recherches  sur  Q(.r)  m'intéressent  extrêmement  et  j  ai 
précédemment  suivi  avec  le  j)lus  grand  plaisir  les  diverses  étapes 
de  votre  démonstration  que  la  fonction  I  («)  n'a  point  de  racines. 

Mais  comment  se  peut-il  que  vous  n'ayez  pas  à  la  bibliothèque 
le  volume  des  Annales  qui  contient  le  théorème  de  Picard  !  Je 
vais  lui  demander  s'il  j)Ourrait  vous  envover  un  exemplaire  de  son 
travail. 

Permettez-moi  devons  demander  votre  avis  sur  cette  manière  de 
présenter  raj)plication  du  théorème  de  M.  Mitlag-Leftler  aux  fonc- 
tions doublement  périodiques. 

La  formule  générale  pour  les  fonctions  y(\2')  étant 

/(.)  =  G(.)-.2[g«(^)-f.(-;], 

il  convient,  pour  cette  application,  d'envisager  en  particulier,  en 
les  réunissant  dans  un  même  groupe,  les  pôles  qui  se  trouvent  à 
l'intérieur  d'un  parallélogramme  formé  avec  les  périodes  «  et  />^  et 
au  sommet  arbitraire.  Je  les  nommerai  pôles  principaux  pour 
abréger,  et  en  désignant  l'un  quelconque  par  p,  tous  les  pôles 
de  f{x)  seront  représentés  par  p-\-nia^nh.  Cela  posé,  soit 
cp(a7)  la  fonction  rationnelle  ayant  pour  uniques  discontinuités  les 
pôles  principaux,  et  telle  que  j\x')  —  '-2(^')  soit  finie  pour  toutes 
les  valeurs  x  =/>.  11  est  clair  cju'on  pourra  écrire 

f{x)  =  GCa")-^^  ['f  (j"-t-  ma  +  nb )  —  ^ ,„.n(x')\, 

^ m,n  étant  un  polviu)me  auxiliaire  tel  que  la  somme  étendue  à 
tous  les  entiers  ni^  n  représente  une  série  convergente.  Je  remar- 
querai que   la   somme  des  résidus  relatifs   aux    pôles   principaux 


LETTRE    220.  469 

étant  nulle,  on  a,  en  développant  suivant  les  puissances  descen- 
dantes de  j:', 

G         H 

9(^)  =  ^  H ï  + 

Je  conclus  de  là  que  la  valeur  asjm|)totique  de  la  dérivée  'f'(.r) 

■>.G    , 
étant  —  —  >  la  somme 


Dt^ 


/H«  -+-  « 


b) 


représente  une  fonction  analytique  et,  eu  plus,  cette  fonction  est 
doublement  périodique,  aux  [)ériodes  a  et  6,  d'après  sa  compo- 
sition. 

On  a,  par  conséquent, 

y'(a;)  =  G  -1-  2,  ^' {^  -^  nia  -H  nb), 
G  étant  une  constante,  et  il  vient  en  intégrant 

f{x)  —  /( ^  )  =  G (\r  —  ^  )  -I-  \^  [  cp ( .r  -t-  ma  -i-  «6  )  —  cf  (  ;  -H  ma  -+-  nb)]. 

Vous  \oyezque  l'intégration  a  conduit,  [)our  le  second  membre, 
à  une  série  convergente.  Ecrivez,  en  effet, 

cf  (a?  -1-  ma  -\-  nb)  =^  ':j{x  —  ^  -\-  c,  -^  ma  -+■  nb  ) 

=  cp(^  -t-  ma  -+-  nb) 

-+-  \{x  —  0  ?'[ç  -f-  '««  -+-  '^b  M-  f)(.r  —  0]: 

vous  voyez  que  le  terme  général  s'exprime  parla  dérivée,  donc,  etc. 
En  particulier,  pour  /(x)  =  k-  sn-.r,  on  peut  prendre  «  =  2K, 

b^2.i¥J,   n^=iK',  's>(.t)=- -• 

On  reconnaît  ensuite  très  facilement  cjue  la  série 

y  r ^ ' ^1 

.^  l(  X  -}- p  -h  1  m  K  -h  i. m' t  K'  )"-        (^  -^ P  -^  '- '"  K  -+-  ■>. m  iK  )-  J 

ne  change  pas  en  changeant  le  signe  de  x  et  ^;  il  suffit  pour  cela 
de  remplacer  m  par  —  met  m'  par  —  1  —  m'  dans  le  terme  général  ; 
donc  C  =  o  et  l'on  a 

k'-isn^x  —  sn^f  ) 


[x  -+-  2/n  K  -+-  {-mi' -\-  i)iK'  |-        [;  -h  xmK  -+-  (-îm'-h  i)iK']^ 


470  CORRESPONDANCK    DHinnUTI-    ET    DE    STIEI.TJES. 

C'est  de  In  que  je  lire  les  eAprcssions  de  B(j"),  B,  (jr),  H(.7) 
el  Y\f(^x)  sons  forme  d'un  [tiodint  de  facteurs  primaires. 

F]n  vous  rcuouNelant,  mon  elier  ami.  I  assurance  de  mon  afl'ec- 
tion  l)icn  dé\ouée. 


221.  —  STIELTJES  A   HERMITE. 

Toulouse,  il)  juin  i88g. 
Cher   Monsirur, 

(  hie  je  vous  plains  de  l'ingrate  besogne  qu'on  vous  demande  \ 
Mais  |)arlons  plutôt  d'Analvse.  11  me  semble  que  \otre  analyse 
pour  la  décomposition  des  fonctions  doublement  |)criodiques  ne 
laisse    plus    rien    à    désirer.   L'expression    asjmptotique   de    '>^(^) 

ç 

étant  — T»  d  est  évident  que  la  série 

^   'jj{  X  -+-  ma  -\-  nb  )  —  'f  (  J  -i-  ma  -r-  nb) 

est  convergente,  de  même  que 

7   o' (X  -^  ma  ^  nb). 

Après  bien  des  recherches,  le  tome  des  Anudies  rie  l'Ecole 
Normale  de  i88o  se  retrouvera  bien.  On  sait  du  moins  à  qui  on  l'a 
prêté,  il  y  a  quelques  années  déjà,  mais  je  ne  l'ai  pas  encore. 

Je  suis  surtout  bien  aise  d'apprendre  par  votre  lettre  que  M.  Pi- 
card a  déjà  démontré  que  le  nombre  total  des  racines  de  ^^{x)  =  a, 
(.J{j-)  ^  b  ne  peut  être  fini,  ce  que  je  ne  savais  pas.  Mais,  dans  le 
cas  que  M.  Picard  aurait  encore  un  exemplaire  de  son  Mémoire 
pour  me  l'envoyer,  je  lui  serais,  en  etlet,  infiniment  obligé  et  vous 
voudrez  l)ien  lui  exprimer  toute  ma  gratitude.  Voici  une  remarque 
que  vous  avez  faite  peut-être  déjà.  Dans  \otre  Cours  de  la  Sor~ 
bonne  (3^  édit.,  p.  68),  la  formule 


„       V^  i  f>i  ^  [  )  { m  -^-  1) .  .  .(  m  ~  n  —  \  ) 

^J  (  n  -h  i)  ( n  -h  •?.). .  .(nn  -r-  m  —  i )       ' 


{){m  -{-  -i).  . .{  m 
i)(n-+-  ■?.). 

n  )  n, 


LKTTKK    '221.  471 

VOUS  sert  à  (N'inoutier  (jiie  e-'^'  est  incoiiiinensiirable  lorsque  ,r  est 
entier.  Ne  vaul-il  pas  la  peine  de  reniar([uer  qu'on  démontre  aussi 
de  cette  manière  tpie,  tant  que  x  est  commensurable,  e-*'  ne  l'est 
pas.    Vinsi,  lo^.r  est  incommensiirahie  pour  x' =  -•  En  etl'et,  sup- 

y"  'W  P  \ 

posons  ./■=—,  e'  =  Y  (  ••'!  pourra  supposer  jc  =  —  >■  o  I,  on  aura 

le  premier  menihre  est  un  entier,  le  second  membre  est  toujours 
positif  et  tend  vers  o  pour  //  =  :c,  donc  contradiction. 

Mon  adresse  à  la  Haye  sera  101  Balistraat,  mais  je  ne  peux 
pas  encore  déterminer  Tépocjue  où  je  |)artirai,  car  la  Faculté  ne 
s'est  pas  encore  réunie  pitur  parler  de  la  session  du  baccalauréat. 
En  tout  cas,  ce  sera  probablement  dans  les  premiers  jours  d'août 
seulement. 

En  rétlécbissant  sur  la  constante  eulérienne  C,  il  me  semble 
pres(pie  qu'on  poiii'rait  arriver  à  démontre)'  rincommenstiral)ilité 
en  parlant  de 

./„       \  I  +  J?  /    X 

et  des  propriétés  des  intéj^rales  définies  de  la  l'orme 


1 


Mais  c'est  une  recberche  qui  demandera  beaucoup  d'elïbrls  et 
que  je  rései^ve  j)our  les  vacances.  Quoi  qu'il  en  soit,  si  cette  route 
est  obstruée...,  je  perds  aussi  la  confiance  dans  mon  idée  première. 

A  l'éf^ard  de  cette  question  des  zéros  de  Q(d7),  j'ai  toujours  été 
frappé  par  un  j)assage  de  la  correspondance  de  Gauss  et  de  Bessel. 

Gauss  dit  que  si  la  fonction  entière    /     d.r  admet  une  racine, 

elle  en  admet  nécessairement  une  infinité  et,  [)lus  tard,  il  a  calculé 
effectivement  l'une  des  racines.  Il  affirme  aussi  la  décomposition 
en  facteurs  primaires  (la  fonction  de  genre  zéro  ou  un,  il  associe 
les  lacteurs  |»rovenant  des  racines  conjuguées).  Tout  cela  a-t-il  été 
bien  démontré  ?  /V  présent,  cela  paraît  encore  bien  mystérieux, 
.le  prépare  un  petit  Mémoire  pour  nos  Annales  où  je  rencontre 


47^  cokrespom)AN(;f.  dhkkmitk  rt  df,  stieltjes. 

la  forimile 

Y  (a)  cos  T.a  = 1 1- h .  .  .  —  f  i'  (  «  ) 

a  (.rt  -H  I  I.2.«  -h  2 

analogue  à 

r(rt  )  = ! . . .  H-  Q(rt), 

a         r .  rt  -t-  I         I .  '2  rt  -r  > 
(j'(rt)  est  une  fonction  entière  qui  peul  s'expriuier  par 

V .  I  ) .    /        rt.r 

1  (  I  —  rt  )         '    J^  i  —  x 

tant  que  la  partie  réelle  de  a  est  inférieure  à  l'unité.  Ayant 

{{{a  -h  ] )  =  e  —  rt  ^)' ( rt  ), 

il  s  ensuit  encore  que  {{(a)  a  une  infinité  de  zéros,  mais  i(-i  on  voit 
ininiédiatenient  qu'il  y  a  une  infinité  de  racines  réelles 

C,'(  n  =  e, 
g{i)  =  o, 
^(3)  =  ., 
Cj(4)=-2e, 
Ç(5}  =-f-gf>, 


Je  pourrai  mentionner  alors  en   passant  la   propriété  de  Q("P) 
d'avoir  un  nombre  infini  de  zéros  aussi. 

Crojez-moi  toujours  votre  l)ien  dévoué. 


222.    -  STIELTJES  A    II  EH  MITE. 

Timlouse,  19  juin  1889. 
Cher    Mojnsieuu, 

N'est-ce  pas  abuser  de  votre  bonté  de  sous  demander  de  vouloir 
bien  présenter  à  l'Académie,  pour  les  Comptes  rendus,  la  petite 
note  ci- jointe. 

Vous  savez  que  j'ai  travaillé  loni;temps  sur  cette  matière,  mais 
j'en  ai  assez  en   ce  moment  et  j'éprouve  le   besoin  de  })enser  à 


LETTRE    223.  473 

d'autres  choses.  C'est  |)our  ne  pas  courir  le  risque  de  perdre  toute 
ma  peine  que  j'ai  rédigé  cette  Note  ('). 

Mille  remercînients  pour  le  Mémoire  de  M.  Picard,  c'est  sur 
les  théorèmes  de  M.  Picard  que  je  veux  réfléchir.  Je  crois 
que,  pour  son  premier  théorème,  la  démonstration  fondée  sur  la 

K' 

fonction  —  est  la  |)lus  naturelle,  mais  je  veux  tâcher  cependant  à 

obtenir  une  autre  démonstration,  avec  l'espoir  qu'elle  se  |)rêterait 
plus  facilement  à  la  généralisation  donnée  par  le  théorème  du 
Chapitre  II . 

Votre  très  sincèrement  dévoué. 


223.  —  HE  fi  MITE  A  STIELTJES. 

Paris,  29  juin  1889. 
M0]\     CHER     .\mI, 

La  Note  que  j'ai  présentée  à  l'Académie  est  excellente;  peut- 
être  |)ourrait-on  rapprocher  de  votre  résultat  cette  propriété  du 
développement  d'une  fonction  quelconque  F  (.a?),  au  mojen  des 

dénominateurs  (^„  des  réduites  F(:r)  =  ^  A/^C^^,  qu'en  posant 

^{x)  =  A0Q0-+- A,Q,-t-...-t- A„Q„, 

l'intégrale  /  [F(^)  —  (^ [xy\- f{x)  dx  est  un  minimum,  c'est- 
à-dire  qu'elle  a  une  valeur  plus  grande  si  l'on  remplace  ^[x)  par 
tout  autre  |)o]ynome  du  n"'"^^  degré. 

Mais  il  me  faut  absolument  renoncer  à  l'Analyse;  en  ce  moment 
je  commence  la  lecture  des  ouvrages  élémentaires  de  Lacroix, 
Arithmétique,  Géométrie,  Algèbre,  pour  tâcher  d'en  tirer  quelque 
chose  à  dire  dans  mon  rapport. 

Il  paraît  qu'on  ne  pourra  pas  imprimer  plus  de  80  pages  du 
troisième  volume  de  rOuvrage  d'Halphen,  quelle  perte  pour 
1'  /Vnalyse  ! 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mes  meil- 
leurs sentiments. 


(')  \ote  des  éditeurs.  —  La  Note  citée  a   piur  titre  :   Sur  un  développement 
en  fraction  continue  {Comptes  rendus,  t.  CVIII,  p.  1397-1298;  24  juin  1889). 


474  CORRESI'ONDANCE    DHEUMITi:    ET    DE    SlIELUES. 

224.  -  STIELTJES  A   H  ERMITE. 

Toulouse,  1*"^  juillet   1889. 
Cheiî  Monsieur, 

En  vous  remerciant  vivement,  je  ne  peux  m'empècher  de  dire 
quelques  mots  sur  un  résultat  que  je  viens  d'obtenir.  Je  sais  que 
vous  êtes  profondément  engagé  dans  d'autres  lectures,  mais  je 
plaide  les  circonstances  atténuantes  parce  qu'il  s'agit  d'un  sujet 
qui  vous  a  occupé  et  intéressé  beaucoup  il  y  a  quelques  mois.  Du 
reste,  vous  pouvez  remettre  à  plus  tard  la  lecture  de  ce  que  je  vais 
écrire,  mais  je  peux  vous  assurer  que  c'est  presque  aussi  élémen- 
taire que  les- livres  de  Lacroix,  etc. 

Il  s'agit  de  l'expression  asymptotique  des  coetïicienls  de  ^"  dans 
le  développement  de  B(x)  et  de  B,  (x). 

Pour  simplifier  un  peu  l'écriture,  je  pose 

X,i  =  e-«  -+-  4«  e-'*'^  -h  9"  e-9«  -f- . .  .  +  t^"  e-'''"  -1- . .  . , 
l('.,„  =  e-«  —  4"  e-'*"-  -f-  9"  e-9«  — . .  .  ±:  k-'^  e^''^"-  =p 

J'obtiens  comme  il  suit  les  valeurs  asymptoliques  de  A^n  et  itb„. 
Le  logarithme  du  terme 

étant 

■m  iog/t  —  A- a, 

le  maximum  de  ce  terme,  en  considérant  k  comme  variable  conti- 
nue, a  lieu  pour 

et  la  valeur  du  maximum  est 

Soient  maintenant  A' ^  A,  H- s,  o  ^  £  <  1 ,  A',  étant  entier  et 
|)(tsilif.  Je  calcule  la  valeur  du  terme  k-^"e~^'"^  dont  le  logaritluiu' 

est 

■}.nlog(fc  —  z)  —  a(A  —  £)2 

,       'i-n  (  z^         '=>  £5 

=  .«logA-A-a-.a--  _  (^-  +  _  +  —  +. 


LETTRE    22i.  47^ 

2/1     ,  •      ,>      •  .         .,     . 

-t;^  clanl  iiiliiiiineul  pedl,  j  ai  asyiiiplolHHiejiK'iil 

/  Il  \  " 

De  là  je  conclus 

\a  J 
lll,„=  (—  i)/m-i  (  ^y'e-«[e-2"£'—  e-2«(£+i)^_^.  g-2«(c  +  2)''^_, .  _ 

_    g-2niS  — U-_j_  g-2rt(£  — 2)-_(_  |_ 

E!n  elVet,  j'ai  remplacé  ainsi  les  premiers  termes  (ceux  dans  le 
voisinaj^e  du  maximum)  par  leur  valeur  asjmploti(|ue,  quant  à 
ceux  d  un  rang  éloigné  de  ceux-là,  ils  sont  à  peu  |)rès  négligealiles. 

Or  si  je  pose 

_  g_A(3-i,5_^  e-^(2-2)-—  e-/'--3|!'_^_ .  .^ 

On  a,  d'après  la  théorie  des  fonctions  elli|)ti(|ues, 

/tJ  -^'  -'-^ 

./(•3)=     K/j\\-\--îe     ''   cos7,-« -1- '^e      ^oos4'Ji. 

j^(5)  =  2  1  /  -  \^e    */'■  cosTT^ -t- e     **cos3-^-l-. 


donc 

67r£  +  ...), 

iTC-h...j, 


1-hjf.e    -"  cos'2  7r£ -t- 2e      -"cosjtte 

■712 
-9  — 
-1-2  6       2«  cOSb' 


—  25  — 


47^  CORRESPONDANCE    DHERMITE    ET    DE    STIELTJES. 

c'esl-à-dire 

-t-2e    '2«  cos(  4  7:4/ -)+...     , 


—  9  — 

e      *"  cos  I  3t: 


V 

La  méthode  de  Laplace  aurait  donné  pour  „i.«,  je  crois,  seule- 
ment le  terme 

In  ,  "  _^^      /  Ti 

et  donne  ainsi  un  résultat  qui  ne  me  semble  pas  exact,  mais  sim- 
plement approché.  J'ai  vérifié  la  valeur  de  )IJ)„,  dans  un  certain 
nombre  de  cas,  n  variant  de  7  à  i5  et  à  2y,  l'accord  est  parfait, 
mais  l'Analyse  est  si  simple  que  cela  ne  valait  presque  pas  la  peine. 

Votre  très  dévoué. 


225    —  HERMITE  A  STIELTJES. 

Paris,  2  juillet   1S89. 


Mon 


Votre  analyse  est  un  petit  chef-d'œuvre;  elle  donne,  je  crois 
jjien,  le  seul  et  unique  exem|)le  où  la  méthode  de  Laplace  soit 
complètement  éclairée  et  complétée.  Que  je  voudrais  donc  bien 
pouvoir  projeter  quelque  lumière  sur  la  relation  suivante,  dans 
laquelle  je  la  résume,  lorsque  la  fonction  y(^)  est  supposée  n'avoir 
entre  a  et  b  (pi  un  maximum  pour  a"  =  ^ 

Vous  me  permettrez  de  jHiblier  toute  votre  lettre  dans  l'article 
destiné  à  Bologne,  et  dont  j'ai  dû  inlcrromjire  la  rédaction  à  mon 
grand  regret.  Après  a\oir  appliqué  la  formide  précédente  au  déve- 
loppement des  coordonnées  elliptiques,  puis  aux  fonctions  ellip- 


LETTKE  226.  ^77 

ti(|ues  sn.r,  cnx',  dn.r,  elle  viendra  bien  à  propos  ))Oiir  oOrir  une 
analyse  approfondie  à  propos  de  W(x),  H(j^'),  etc. 

A  mes  félicilalions,  je  joins,  mon  (-her  ami,  celles  de  Darboux, 
au  sujet  de  votre  article  sur  les  fractions  coutinues. 


M 


226.  —  HERMITE  A   STIELTJES. 

Pai'is,  22  juillet  i88g. 


0]\  CHER  Ami, 


Peruiettez-moi  de  vous  demander  si  \ous  voudriez  vous  joindre 
à  moi  pour  corriger  les  épreuves  de  la  partie,  malheureusement 
bien  courte,  du  troisième  Volume  du  Traité  des  fonctions  ellip- 
tiques d'Halphen  que  sa  famille  se  propose  de  publier.  M.  Aron,  le 
bean-père  de  Halj)hen,  a  demandé  à  M.  Camille  Jordan  de  se 
charger  de  ce  soin.  M.  Camille  Jordan  s'est  em[)ressé  d'accepter, 
mais  en  réclamant  mon  adjonction  pour  ce  qui  concerne  la  multi- 
plication complexe,  et  moi,  mon  cher  ami,  je  sollicite  la  vôtre, 
pensant  que  les  notations  d'Halphen  \ous  sont  connues  et  familières 
et  qu'il  ne  vous  déplaira  [pas]  de  concourir  à  une  publication  que 
les  géomètres  accueilleront  avec  reconnaissance. 

Et  je  suis  toujours  à  rédiger  le  rapport  sur  l'enseignement 
mathématique  de  la  Sorbonnequi  arrive  à  sa  fin.  Je  ne  sais  encore 
s'il  sera  imprimé,  mais  dans  ce  cas  et  quand  \ous  le  verrez,  je 
réclame  votre  indulgence,  il  n'est  pas  brillant. 

En  vous  renouvelant,  mon  cher  ami,  l'assurance  de  mes  senti- 
ments bien  dévoués. 


FIN    DU   TOME   PREMIER. 


PARIS.  —   IMPRIMERIE   GAITHIER-VILLARS, 

284"27       Quai  des  Grands -Au^ustins,  55. 


BINDING  SECT.  JUN  13  1968 


QA  Herraite,  Charles 

29  Correspondance  d'Hermite 

HAA2^7  et  de  Stielt.ies 

t.l 


Physîcal  & 
Aw>lied  Sci. 


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